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2015年湖北省高考数学试卷(理科)答案与解析


2015 年湖北省高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分) (2015?湖北)i 为虚数单位,i 的共轭复数为( ) A.i B.﹣i C .1 D.﹣1 2. (5 分) (2015?湖北)我国古代数学名著《九

章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮, 有人送来米 1534 石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得 254 粒内夹谷 28 粒,则这批米内 夹谷约为( ) A.134 石 B.169 石 C.338 石 D.1365 石 n 3. (5 分) (2015?湖北)已知(1+x) 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等,则奇 数项的二项式系数和为( ) 12 11 A.2 B.2 C.210 D.29 4. (5 分) (2015?湖北)设 X~N(μ1,?1 ) ,Y~N(μ2,?2 ) ,这两个正态分布密度曲线 如图所示.下列结论中正确的是( )
2 2 607

A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B. P(X≤?2)≤P(X≤?1) C. 对任意正数 t,P(X≤t)≥P(Y≤t) D.对任意正数 t,P(X≥t)≥P(Y≥t) 5. (5 分) (2015?湖北)设 a1,a2,…,an∈R,n≥3.若 p:a1,a2,…,an 成等比数列;q: 2 2 2 2 2 2 2 (a1 +a2 +…+an﹣1 ) (a2 +a3 +…+an )=(a1a2+a2a3+…+an﹣1an) ,则( ) A.p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 B. p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 C. p 是 q 的充分必要条件 D.p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件

6. (5 分) (2015?湖北)已知符号函数 sgnx=

,f(x)是 R 上的增函数,g(x)

=f(x)﹣f(ax) (a>1) ,则( ) A sgn[g (x) ]=sgnxB sgn[g (x) ]=﹣sgnxC sgn[g (x) ]=sgn[f (x) ]D sgn[g (x) ]=﹣sgn[f (x) ]

1

7. (5 分) (2015?湖北)在区间[0,1]上随机取两个数 x,y, 记 P1 为事件“x+y≥ ”的概率,P2 为事件“|x﹣y|≤ ”的概率,P3 为事件“xy≤ ”的概率,则( )

A.P1<P2<P3 B.P2<P3<P1 C.P3<P1<P2 D.P3<P2<P1 8. (5 分) (2015?湖北)将离心率为 e1 的双曲线 C1 的实半轴长 a 和虚半轴长 b(a≠b)同时 增加 m(m>0)个单位长度,得到离心率为 e2 的双曲线 C2,则( ) A.对任意的 a,b,e1>e2 B. 当 a>b 时,e1>e2;当 a<b 时,e1<e2 C. 对任意的 a,b,e1<e2 D.当 a>b 时,e1<e2;当 a<b 时,e1>e2 2 2 9. (5 分) (2015?湖北)已知集合 A={(x,y)|x +y ≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2, x,y∈Z},定义集合 A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A, (x2,y2)∈B},则 A⊕B 中 元素的个数为( ) A.77 B.49 C.45 D.30 10. (5 分) (2015?湖北)设 x∈R,[x]表示不超过 x 的最大整数.若存在实数 t,使得[t]=1, [t ]=2,…,[t ]=n 同时成立,则正整数 n 的最大值是( ) A.3 B.4 C .5 D.6 二、填空题:本大题共 4 小题,考生需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在 答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 11. (5 分) (2015?湖北)已知向量 ⊥ ,|
2 2 n

|=3,则

?

=



12. (5 分) (2015?湖北)函数 f(x)=4cos

cos(

﹣x)﹣2sinx﹣|ln(x+1)|的零点个数

为 . 13. (5 分) (2015?湖北)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得 公路北侧一山顶 D 在西偏北 30°的方向上, 行驶 600m 后到达 B 处, 测得此山顶在西偏北 75° 的方向上,仰角为 30°,则此山的高度 CD= m. 14. (5 分) (2015?湖北)如图,圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0) ,与 y 轴正半轴交于两点 A, B(B 在 A 的上方) ,且|AB|=2. (1)圆 C 的标准方程为 ;

2

(2)过点 A 任作一条直线与圆 O:x +y =1 相交于 M,N 两点,下列三个结论: ① = ; ② ﹣ =2; ③ + =2 .

2

2

其中正确结论的序号是 . (写出所有正确结论的序号) 选修 4-1:几何证明选讲 15. (5 分) (2015?湖北)如图,PA 是圆的切线,A 为切点,PBC 是圆的割线,且 BC=3PB, 则 = .

选修 4-4:坐标系与参数方程 16. (2015?湖北) 在直角坐标系 xOy 中, 以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已

知直线 l 的极坐标方程为 ρ(sinθ﹣3cosθ)=0,曲线 C 的参数方程为

( t 为参数) ,

l 与 C 相交于 A,B 两点,则|AB|= . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (11 分) (2015?湖北)某同学用“五点法”画函数 f(x)=Asin (ωx+φ) (ω>0,|φ|< 填入了部分数据,如表: )在某一个周期内的图象时,列表并

ωx+φ x

0

π



0 5 0 Asin(ωx+φ) ﹣5 (1)请将上表数据补充完整,填写在相应位置,并直接写出函数 f(x)的解析式; (2) 将 y=f (x) 图象上所有点向左平行移动 θ (θ>0) 个单位长度, 得到 y=g (x) 的图象. 若 y=g(x)图象的一个对称中心为( ,0) ,求 θ 的最小值.

18. (12 分) (2015?湖北)设等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}的公 比为 q,已知 b1=a1,b2=2,q=d,S10=100. (1)求数列{an},{bn}的通项公式 (2)当 d>1 时,记 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

3

19. (12 分) (2015?湖北) 《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四 棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马 P﹣ABCD 中,侧棱 PD⊥底面 ABCD,且 PD=CD,过棱 PC 的中点 E,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F,连接 DE,DF,BD,BE. (1)证明:PB⊥平面 DEF.试判断四面体 DBEF 是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角 (只需写出结论) ;若不是,说明理由; (2)若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为 ,求 的值.

20. (12 分) (2015?湖北)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 A,B 两种奶制品.生产 1 吨 A 产品需鲜牛奶 2 吨,使用设备 1 小时,获利 1000 元;生产 1 吨 B 产品需鲜牛奶 1.5 吨,使 用设备 1.5 小时,获利 1200 元.要求每天 B 产品的产量不超过 A 产品产量的 2 倍,设备每 天生产 A,B 两种产品时间之和不超过 12 小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量 W(单位: 吨)是一个随机变量,其分布列为 W 12 15 18 P 0.3 0.5 0.2 该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利 Z(单位: 元)是一个随机变量. (1)求 Z 的分布列和均值; (2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求 3 天中至少有 1 天的最大获利超过 10000 元 的概率.

21. (14 分) (2015?湖北)一种画椭圆的工具如图 1 所示.O 是滑槽 AB 的中点,短杆 ON 可绕 O 转动,长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接,MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动,且 DN=ON=1,MN=3,当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时,带动 N 绕 O 转动,M 处的笔尖 画出的椭圆记为 C, 以 O 为原点, AB 所在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设动直线 l 与两定直线 l1:x﹣2y=0 和 l2:x+2y=0 分别交于 P,Q 两点.若直线 l 总与 椭圆 C 有且只有一个公共点,试探究:△ OPQ 的面积是否存在最小值?若存在,求出该最 小值;若不存在,说明理由.

4

22. (14 分) (2015?湖北)已知数列{an}的各项均为正数,bn=n(1+ ) an(n∈N+) ,e 为自 然对数的底数. (1)求函数 f(x)=1+x﹣e 的单调区间,并比较(1+ ) 与 e 的大小;
x n

n

(2)计算





,由此推测计算

的公式,并给出证明;

(3)令 cn=(a1a2…an)

,数列{an},{cn}的前 n 项和分别记为 Sn,Tn,证明:Tn<eSn.

答案: 607 604+3 3 1、 解:i =i =i =﹣i, 它的共轭复数为:i. 故选:A. 2、 解:由题意,这批米内夹谷约为 1534×

≈169 石,

3、

故选:B. n 解:已知(1+x) 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等, 可得 ,可得 n=3+7=10.

5

(1+x) 的展开式中奇数项的二项式系数和为:

10

=2 .

9

4、

故选:D. 解:正态分布密度曲线图象关于 x=μ 对称,所以 μ1<μ2,从图中容易得到 P(X≤t)≥P (Y≤t) . 故选:C.

5、

解:由 a1,a2,…,an∈R,n≥3. 运用柯西不等式,可得: (a1 +a2 +…+an﹣1 ) (a2 +a3 +…+an )≥(a1a2+a2a3+…+an﹣1an) , 若 a1,a2,…,an 成等比数列,即有
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

=

=…=


2

则(a1 +a2 +…+an﹣1 ) (a2 +a3 +…+an )=(a1a2+a2a3+…+an﹣1an) , 即由 p 推得 q, 但由 q 推不到 p,比如 a1=a2=a3=…=an=0,则 a1,a2,…,an 不成等比数列. 故 p 是 q 的充分不必要条件. 故选:A. 6、 解:由于本题是选择题,可以常用特殊法,符号函数 sgnx= ,f(x)是

R 上的增函数,g(x)=f(x)﹣f(ax) (a>1) , 不妨令 f(x)=x,a=2, 则 g(x)=f(x)﹣f(ax)=﹣x, sgn[g(x)]=﹣sgnx.所以 A 不正确,B 正确, sgn[f(x)]=sgnx,C 不正确;D 正确; 对于 D,令 f(x)=x+1,a=2, 则 g(x)=f(x)﹣f(ax)=﹣x﹣1,

sgn[f(x)]=sgn(x+1)=



6

sgn[g(x)]=sgn(﹣x﹣1)=



﹣sgn[f(x)]=﹣sgn(x+1)=

;所以 D 不正确;

7、

故选:B. 解:分别作出事件对应的图象如图(阴影部分) : P1:D(0, ) ,F( ,0) ,A(0,1) ,B(1,1) ,C(1,0) , 则阴影部分的面积 S1=1×1﹣ S2=1×1﹣2× =1﹣ = , =1﹣ = ,

S3=1× +

dx= + lnx|

= ﹣ ln = + ln2,

∴S2<S3<S1, 即 P2<P3<P1, 故选:B.

8、

解:由题意,双曲线 C1:c =a +b ,e1= ;

2

2

2

双曲线 C2:c′ =(a+m) +(b+m) ,e2=

2

2

2





=



=



9、

∴当 a>b 时,e1<e2;当 a<b 时,e1>e2, 故选:D. 2 2 解:∵A={(x,y)|x +y ≤1,x,y∈Z}={(0,0) , (0,1) , (0,﹣1) , (1,0) , (﹣ 1,0) ,

7

B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z}={(0,0) , (0,1) , (0,2) , (0,﹣1) , (0,﹣ 2) , (1,0) , (1,1) , (1,2) (1,﹣1) , (1,﹣2) (2,0) , (2,1) , (2,2) (2, ﹣1) , (2,﹣2) , (﹣1,﹣2) , (﹣1,﹣1) , (﹣1,0) , (﹣1,1) , (﹣1,2) , (﹣2, ﹣2) , (﹣2,﹣1) , (﹣2,0) , (﹣2,1) , (﹣2,2)} ∵A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A, (x2,y2)∈B}, ∴A⊕B={(0,0) , (0,1) , (0,2) , (0,﹣1) , (0,﹣2) , (1,0) , (1,1) , (1, 2) (1,﹣1) , (1,﹣2) (2,0) , (2,1) , (2,2) , (2,﹣1) , (2,﹣2) , (﹣1,﹣ 2) , (﹣1,﹣1) , (﹣1,0) , (﹣1,1) , (﹣1,2) , (﹣2,﹣2) , (﹣2,﹣1) , (﹣2, 0) , (﹣2,1) , (﹣2,2) , (﹣2,3) , (﹣2,﹣3) , (0,﹣3) , (2,﹣3) , (﹣1,3) , (﹣1,﹣3) , (1,3) , (2, 3) , (0,3) , (3,﹣1) , (3,0) (3,1) , (3,2) , (3,﹣2) (﹣3,2) (﹣3,1) , (1, ﹣3) , (﹣3,﹣1) , (﹣3,0) , (﹣3,﹣2)}共 45 个元素 故选:C. 10、 解:∵[t]=1,∴t∈[1,2) , 2 2 又∵[t ]=2,∴t ∈[2,3) , ∴t∈[ , ) , 2 4 又 t ∈[2,3) ,∴t ∈[4,9) , 4 ∴[t ]=4, ∴正整数 n 的最大值 4 故选:B. 11、 解:由 ⊥ ,得 ? =0,即 ?( )=0, ∵| ∴ |=3, .

故答案为:9. 12、 解:函数 f(x)的定义域为:{x|x>﹣1}. f(x)=4cos =2sinx
2

cos(

﹣x)﹣2sinx﹣|ln(x+1)| ﹣|ln(x+1)|

=sin2x﹣|ln(x+1)|, 分别画出函数 y=sin2x,y=|ln(x+1)|的图象, 由函数的图象可知,交点个数为 2. 所以函数的零点有 2 个. 故答案为:2.

8

13、 解:设此山高 h(m) ,则 BC= h, 在△ ABC 中,∠BAC=30°,∠CBA=105°,∠BCA=45°,AB=600. 根据正弦定理得 = ,

解得 h=100 (m) 故答案为:100 . 14、 解: (1)∵圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0) , ∴圆心的横坐标 x=1,取 AB 的中点 E, ∵|AB|=2,∴|BE|=1, 则|BC|= ,即圆的半径 r=|BC|= , ∴圆心 C(1, ) , 2 2 则圆的标准方程为(x﹣1) +(y﹣ ) =2, 2 2 故答案为: (x﹣1) +(y﹣ ) =2. (2)∵圆心 C(1, ) ,∴E(0, ) , 又∵|AB|=2,且 E 为 AB 中点, ∴A(0, ﹣1) ,B(0, +1) , 2 2 ∵M、N 在圆 O:x +y =1 上, ∴可设 M(cosα,sinα) ,N(cosβ,sinβ) , ∴|NA|= = = = = |NB|= = ,

9

= = ,



=

=

=



同理可得 ∴ ﹣ + =

=



,①成立, = = ﹣( +( )=2,②正确. )= ,③正确.

故答案为:①②③. 15、 解:由切割线定理可知:PA2=PB?PC,又 BC=3PB, 可得 PA=2PB, 在△ PAB 与△ PAC 中,∠P=∠P,∠PAB=∠PCA(同弧上的圆周角与弦切角相等) , 可得△ PAB∽△PAC, ∴ = = .

故答案为: .

16、 解:由 ρ(sinθ﹣3cosθ)=0,得 y﹣3x=0,
2 2

由 C 的参数方程为

( t 为参数) ,两式平方作差得:x ﹣y =﹣4.

联立

,得

,即



∴A( ∴|AB|= 故答案为: 17、

) ,B(

) , .

. .数据补全如下表:

解: (1)根据表中已知数据,解得 A=5,ω=2,φ=﹣ ωx+φ x 0 π 2π

10

Asin(ωx+φ)

0

5

0

﹣5 ) .

0

且函数表达式为 f(x)=5sin(2x﹣ (2)由(Ⅰ)知 f(x)=5sin(2x﹣

) ,得 g(x)=5sin(2x+2θ﹣

) .

因为 y=sinx 的对称中心为(kπ,0) ,k∈Z. 令 2x+2θ﹣ =kπ,解得 x= ,k∈Z. ,0)成中心对称,令 . = ,

由于函数 y=g(x)的图象关于点( 解得 θ= 18、

,k∈Z.由 θ>0 可知,当 K=1 时,θ 取得最小值 ,

解: (1)设 a1=a,由题意可得

解得

,或


n﹣1



时,an=2n﹣1,bn=2





时,an= (2n+79) ,bn=9?


n﹣1

(2)当 d>1 时,由(1)知 an=2n﹣1,bn=2 ∴cn= = ,



∴Tn=1+3? +5? ∴ Tn=1? +3? ∴ Tn=2+ + ∴Tn=6﹣ + .

+7? +5? +

+9? +7? +…+

+…+(2n﹣1)? +…+(2n﹣3)? ﹣(2n﹣1)?

, +(2n﹣1)? =3﹣ , ,

19、 解法 1) (1)因为 PD⊥底面 ABCD,所以 PD⊥BC, 由底面 ABCD 为长方形,有 BC⊥CD,而 PD∩CD=D, 所以 BC⊥平面 ABCD.而 DE?平面 PDC,所以 BC⊥DE. 又因为 PD=CD,点 E 是 PC 的中点,所以 DE⊥PC. 而 PC∩CB=C,所以 DE⊥平面 PBC.而 PB?平面 PBC,所以 PB⊥DE. 又 PB⊥EF,DE∩FE=E,所以 PB⊥平面 DEF. 由 DE⊥平面 PBC,PB⊥平面 DEF,可知四面体 BDEF 的四个面都是直角三角形, 即四面体 BDEF 是一个鳖臑, 其四个面的直角分别为∠DEB, ∠DEF, ∠EFB, ∠DFB. (2)如图 1,

11

在面 BPC 内,延长 BC 与 FE 交于点 G,则 DG 是平面 DEF 与平面 ACBD 的交线. 由(Ⅰ)知,PB⊥平面 DEF,所以 PB⊥DG. 又因为 PD⊥底面 ABCD,所以 PD⊥DG.而 PD∩PB=P,所以 DG⊥平面 PBD. 所以 DG⊥DF,DG⊥DB 故∠BDF 是面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的 平面角, 设 PD=DC=1,BC=λ,有 BD= , , .

在 Rt△ PDB 中,由 DF⊥PB,得∠DGF=∠FDB= 则 tan 所以 = =tan∠DPF= = = = ,解得

故当面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为

时,

=



(解法 2) (1)以 D 为原点,射线 DA,DC,DP 分别为 x,y,z 轴的正半轴,建立空间直角坐 标系.设 PD=DC=1,BC=λ, 则 D(0,0,0) ,P(0,0,1) ,B(λ,1,0) ,C(0,1,0) , E 是 PC 的中点,所以 E(0, , ) , 于是 =0,即 PB⊥DE. =(0, , ) , =(λ1,﹣1) ,点

又已知 EF⊥PB,而 ED∩EF=E,所以 PB⊥平面 DEF. 因 =(0,1,﹣1) , =0,则 DE⊥PC,所以 DE⊥平面 PBC.

由 DE⊥平面 PBC,PB⊥平面 DEF,可知四面体 BDEF 的四个面都是直角三角形, 即四面体 BDEF 是一个矩形, 其四个面的直角分别为∠DEB, ∠DEF, ∠EFB, ∠DFB. (2)由 PD⊥底面 ABCD,所以 =(0,0,1)是平面 ACDB 的一个法向量; =(﹣λ,﹣1,1)是平面 DEF 的一个法向量. ,

由(Ⅰ)知,PB⊥平面 DEF,所以

若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为 则运用向量的数量积求解得出 cos =

= ,

解得

.所以所以

=

=

12

故当面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为

时,

=



20、 (12 分) 解: (1)设每天 A,B 两种产品的生产数量分别为 x,y,相应的获利为 z,则有

,①如图 1,目标函数为:z=1000x+1200y.

当 W=12 时,①表示的平面区域如图 1,三个顶点分别为 A(0,0) ,B(2.4,4.8) , C(6,0) . 将 z=1000x+1200y 变形为 当 x=2.4,y=4.8 时,直线 l: , 在 y 轴上的截距最大,

最大获利 Z=Zmax=2.4×1000+4.8×1200=8160. 当 W=15 时,①表示的平面区域如图 2,三个顶点分别为 A(0,0) ,B(3,6) ,C (7.5,0) . . 将 z=1000x+1200y 变形为 , 当 x=3,y=6 时,直线 l: 在 y 轴上的截 距最大, 最大获利 Z=Zmax=3×1000+6×1200=10200 . 当 W=18 时,①表示的平面区 域如图 3,四个顶点分别为 A(0,0) ,B(3,6) ,C(6,4) ,D(9,0) . 将 z=1000x+1200y 变形为: , 当 x=6,y=4 时,直线 l:y=﹣ 56x+z1200 在 y 轴上的截距最 大,最大获利 Z=Zmax=6×1000+4×1200=1080 0. 故最大获利 Z 的分布列为: Z 8160 10200 10800 P 0.3 0.5 0.2 因此,E(Z)=8160×0.3+10200×0.5+10800×0.2=9708

13

(2)由(Ⅰ)知,一天最大获 利超过 10000 元的概率 P1=P (Z >10000)=0.5+0.2=0.7, 由二项分布,3 天中至少有 1 天最大获利超过 10000 元的概 率为:

21、 解: (1)∵|OM|≤|MN|+|NO|=3+1=4,当 M,N 在 x 轴上时,等号成立, 同理|OM|≥|MN|﹣|NO|=3﹣1=2,当 D,O 重合,即 MN⊥x 轴时,等号成立. ∴椭圆 C 的中心为原点 O,长半轴长为 4,短半轴长为 2, 其方程为 .

(2)①当直线 l 的斜率 k 不存在时,直线 l 为:x=4 或 x=﹣4,都有 S△ OPQ= , ) ,
2

②直线 l 的斜率 k 存在时,直线 l 为:y=kx+m, (k
2 2



消去 y,可得(1+4k )x +8kmx+4m ﹣16=0,

∵直线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点, 2 2 2 2 2 2 ∴△=64k m ﹣4(1+4k ) (4m ﹣16)=0,即 m =16k +4,①, 由 ,可得 P( , ) ,同理得 Q( , ) ,

原点 O 到直线 PQ 的距离 d=

和|PQ|=

?|xP﹣xQ|,

可得 S△ OPQ= |PQ|d= |m||xP﹣xQ|= |m||

|=|

|②,

将①代入②得 S△ OPQ=|

|=8|

|,

当 k > 时,S△ OPQ=8(

2

)=8(1+

)>8,

14

当 0≤k < 时,S△ OPQ=8|

2

|=﹣8(

)=8(﹣1+

) ,

∵0≤k < 时,∴0<1﹣4k ≤1,

2

2

≥2,

∴S△ OPQ=8(﹣1+

)≥8,当且仅当 k=0 时取等号,

∴当 k=0 时,S△ OPQ 的最小值为 8, 综上可知当直线 l 与椭圆 C 在四个顶点处相切时, 三角形 OPQ 的面积存在最小值为 8.
x 22、(1)解:f(x)的定义域为(﹣∞,+∞) ,f′(x)=1﹣e . 当 f′(x)>0,即 x<0 时,f(x)单调递增; 当 f′(x)<0,即 x>0 时,f(x)单调递减. 故 f(x)的单调递增区间为(﹣∞,0) ,单调递减区间为(0,+∞) . x 当 x>0 时,f(x)<f(0)=0,即 1+x<e .



,得

,即

.①

(2)解:



=





由此推测:

=(n+1) .②

n

下面用数学归纳法证明②. (1)当 n=1 时,左边=右边=2,②成立. (2)假设当 n=k 时,②成立,即 .

当 n=k+1 时,

,由归纳假设可得

= ∴当 n=k+1 时,②也成立. 根据(1) (2) ,可知②对一切正整数 n 都成立. (3)证明:由 cn 的定义,②,算术﹣几何平均不等式,bn 的定义及①得 Tn=c1+c2+…+cn=



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=

= = = <ea1+ea2+…+ean=eSn. 即 Tn<eSn.

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