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高一数学课后习题解答


人教版高一数学课后答案 第一章 集合与函数概念
1.1 集合
1.1.1 集合的含义与表示
练习(第 5 页) 1.用符号“ ? ”或“ ? ”填空: (1)设 A 为所有亚洲国家组成的集合,则:中国_______ A ,美国_______ A , 印度_______ A ,英国_______ A ;
(2)若 A ? {x | x2 ?

x} ,则 ?1 _______ A ; (3)若 B ? {x | x2 ? x ? 6 ? 0} ,则 3 _______ B ; (4)若 C ? {x ? N |1 ? x ? 10} ,则 8 _______ C , 9.1 _______ C . 1. (1)中国 ? A ,美国 ? A ,印度 ? A ,英国 ? A ; 中国和印度是属于亚洲的国家,美国在北美洲,英国在欧洲. (2) ?1 ? A (3) 3 ? B
2 A ? { x | x ? x ? { 0 ,. } 1} 2 B ? { x | x ? x? 6 ? 0 } ? {? 3 . } ,2

9.1? N . (4) 8 ? C , 9.1 ? C 2.试选择适当的方法表示下列集合:
(1)由方程 x ? 9 ? 0 的所有实数根组成的集合;
2

(2)由小于 8 的所有素数组成的集合; (3)一次函数 y ? x ? 3 与 y ? ?2 x ? 6 的图象的交点组成的集合; (4)不等式 4 x ? 5 ? 3 的解集. 2.解: (1)因为方程 x ? 9 ? 0 的实数根为 x1 ? ?3, x2 ? 3 ,
2

所以由方程 x ? 9 ? 0 的所有实数根组成的集合为 {?3,3} ;
2

(2)因为小于 8 的素数为 2,3,5,7 , 所以由小于 8 的所有素数组成的集合为 {2,3,5,7} ;

(3)由 ?

?y ? x ? 3 ?x ? 1 ,得 ? , ? y ? ?2 x ? 6 ?y ? 4

即一次函数 y ? x ? 3 与 y ? ?2 x ? 6 的图象的交点为 (1, 4) ,

第 1 页 共 29 页

所以一次函数 y ? x ? 3 与 y ? ?2 x ? 6 的图象的交点组成的集合为 {(1, 4)} ; (4)由 4 x ? 5 ? 3 ,得 x ? 2 , 所以不等式 4 x ? 5 ? 3 的解集为 {x | x ? 2} .

1.1.2 集合间的基本关系
练习(第 7 页)
1.写出集合 {a, b, c} 的所有子集. 1.解:按子集元素个数来分类,不取任何元素,得 ? ; 取一个元素,得 {a},{b},{c} ; 取两个元素,得 {a, b},{a, c},{b, c} ; 取三个元素,得 {a, b, c} , 即集合 {a, b, c} 的所有子集为 ?,{a},{b},{c},{a, b},{a, c},{b, c},{a, b, c} . 2.用适当的符号填空: (1) a ______ {a, b, c} ; (3) ? ______ {x ? R | x2 ? 1 ? 0} ; (5) {0} ______ {x | x2 ? x} ; 2. (1) a ?{a, b, c} (2) 0 ?{x | x 2 ? 0} (2) 0 ______ {x | x 2 ? 0} ; (4) {0,1} ______ N ; (6) {2,1} ______ {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0} .

a 是集合 {a, b, c} 中的一个元素;
{x |x2 ? 0 ? { ; } 0}
方程 x ? 1 ? 0 无实数根, {x ? R | x2 ? 1 ? 0} ? ? ;
2

(3) ? ? {x ? R | x2 ? 1 ? 0} (4) {0,1} (5) {0}

N

(或 {0,1} ? N )

{ 0 , 1} 是自然数集合 N 的子集,也是真子集;
2 {x | x ? x} { 0 ,; ? 1}

{x | x2 ? x} (或 {0} ? {x | x 2 ? x} )
2
2

(6) {2,1} ? {x | x ? 3x ? 2 ? 0} 3.判断下列两个集合之间的关系:

方程 x ? 3x ? 2 ? 0 两根为 x1 ? 1, x2 ? 2 .

(1) A ? {1, 2, 4} , B ? {x | x是 8 的约数} ; (2) A ? {x | x ? 3k , k ? N} , B ? {x | x ? 6 z, z ? N} ; (3) A ? {x | x是 4 与10 的公倍数,x ? N? } , B ? {x | x ? 20m, m ? N? } .

第 2 页 共 29 页

3.解: (1)因为 B ? {x | x是 8 的约数} ? {1, 2, 4,8} ,所以 A

B;

(2)当 k ? 2 z 时, 3k ? 6 z ;当 k ? 2 z ? 1 时, 3k ? 6 z ? 3 , 即 B 是 A 的真子集, B

A;

(3)因为 4 与 10 的最小公倍数是 20 ,所以 A ? B .

1.1.3 集合的基本运算
练习(第 11 页)
1.设 A ? {3,5,6,8}, B ? {4,5,7,8} ,求 A ? B, A ? B . 1.解: A ? B ? {3,5,6,8} ? {4,5,7,8} ? {5,8} ,

A ? B ? {3,5,6,8} ? {4,5,7,8} ? {3, 4,5,6,7,8} .
2.设 A ? {x | x2 ? 4 x ? 5 ? 0}, B ? {x | x2 ? 1} ,求 A ? B, A ? B . 2.解:方程 x ? 4 x ? 5 ? 0 的两根为 x1 ? ?1, x2 ? 5 ,
2

方程 x ? 1 ? 0 的两根为 x1 ? ?1, x2 ? 1 ,
2

得 A ? {?1,5}, B ? {?1,1} , 即 A ? B ? {?1}, A ? B ? {?1,1,5} . 3.已知 A ? {x | x是等腰三角形} , B ? {x | x是直角三角形} ,求 A ? B, A ? B . 3.解: A ? B ? {x | x是等腰直角三角形} ,

A ? B ? {x | x是等腰三角形或直角三角形}.
4.已知全集 U ? {1, 2,3, 4,5,6,7} , A ? {2, 4,5}, B ? {1,3,5,7} , 求 A ? (痧 ),( UB

U

A) ? ( U B) .

4.解:显然 ? B ? {2, 4,6} , ? A ? {1,3,6,7} , U U 则 A ? (? B) ? {2, 4} , (痧A) ? ( U B) ? {6} . U U

1.1 集合
习题 1.1 (第 11 页) 1.用符号“ ? ”或“ ? ”填空: A组

第 3 页 共 29 页

(1) 3

2 _______ Q ; 7

(2) 3 ______ N ;

2

(3) ? _______ Q ;

(4) 2 _______ R ; 1. (1) 3 ? Q (3) ? ? Q (5) 9 ? Z

(5) 9 _______ Z ; (6) ( 5)2 _______ N . (2) 3 ? N
2

2 7

2 3 是有理数; 7

32 ? 9 是个自然数;

? 是个无理数,不是有理数; (4) 2 ? R
9 ? 3 是个整数;
(6) ( 5)2 ? N

2 是实数;
是个自然数. ( 52 ? 5 )

2.已知 A ? {x | x ? 3k ? 1, k ? Z } ,用 “ ? ”或“ ? ” 符号填空: (1) 5 _______ A ; (2) 7 _______ A ; (3) ?10 _______ A . 2. (1) 5 ? A ; (2) 7 ? A ; (3) ?10 ? A . 当 k ? 2 时, 3k ? 1 ? 5 ;当 k ? ?3 时, 3k ? 1 ? ?10 ; 3.用列举法表示下列给定的集合: (1)大于 1 且小于 6 的整数; (2) A ? {x | ( x ? 1)( x ? 2) ? 0} ; (3) B ? {x ? Z | ?3 ? 2 x ? 1 ? 3} . 3.解: (1)大于 1 且小于 6 的整数为 2,3, 4,5 ,即 {2,3, 4,5} 为所求; (2)方程 ( x ? 1)( x ? 2) ? 0 的两个实根为 x1 ? ?2, x2 ? 1,即 {?2,1} 为所求; (3)由不等式 ?3 ? 2 x ? 1 ? 3 ,得 ?1 ? x ? 2 ,且 x ? Z ,即 {0,1, 2} 为所求. 4.试选择适当的方法表示下列集合: (1)二次函数 y ? x2 ? 4 的函数值组成的集合;

2 的自变量的值组成的集合; x (3)不等式 3x ? 4 ? 2 x 的解集.
(2)反比例函数 y ? 4.解: (1)显然有 x ? 0 ,得 x ? 4 ? ?4 ,即 y ? ?4 ,
2 2

得二次函数 y ? x2 ? 4 的函数值组成的集合为 { y | y ? ?4} ;

2 的自变量的值组成的集合为 {x | x ? 0} ; x 4 4 (3)由不等式 3x ? 4 ? 2 x ,得 x ? ,即不等式 3x ? 4 ? 2 x 的解集为 {x | x ? } . 5 5
(2)显然有 x ? 0 ,得反比例函数 y ? 5.选用适当的符号填空: (1)已知集合 A ? {x | 2 x ? 3 ? 3x}, B ? {x | x ? 2} ,则有:

?4 _______ B ;

?3 _______ A ; { 2 } _______ B ;
第 4 页 共 29 页

B _______ A ;

(2)已知集合 A ? {x | x2 ?1 ? 0} ,则有:

1 _______ A ; {? 1} _______ A ;

? _______ A ; {1 ? 1} , _______ A ;

(3) {x | x是菱形} _______ {x | x是平行四边形} ; _______ {x | x是等边三角形} . {x |x是等腰三角形 } 5. (1) ?4 ? B ;

?3 ? A ; { 2 } B ;

B

A;

2 x ? 3 ? 3x ? x ? ?3 ,即 A ? {x | x ? ?3}, B ? {x | x ? 2} ;
(2) 1 ? A ;

{? 1} A ; ?

A ; {1 ? 1}A ; , =

A ? {x | x2 ?1 ? 0} ? {?1,1} ;
(3) {x | x是菱形}

{x | x是平行四边形} ;

菱形一定是平行四边形,是特殊的平行四边形,但是平行四边形不一定是菱形;

{x | x是等边三角形} {x | x是等腰三角形} .
等边三角形一定是等腰三角形,但是等腰三角形不一定是等边三角形. 6.设集合 A ? {x | 2 ? x ? 4}, B ? {x | 3x ? 7 ? 8 ? 2 x} ,求 A ? B, A ? B . 6.解: 3x ? 7 ? 8 ? 2 x ,即 x ? 3 ,得 A ? {x | 2 ? x ? 4}, B ? {x | x ? 3} , 则 A ? B ? {x | x ? 2} , A ? B ? {x | 3 ? x ? 4} . 7.设集合 A ? {x | x是小于 9 的正整数} , B ? {1, 2,3}, C ? {3, 4,5,6} ,求 A ? B ,

A ? C , A ? (B ? C) , A ? (B ? C) .
7.解: A ? {x | x是小于 9 的正整数} ? {1, 2,3, 4,5,6,7,8} , 则 A ? B ? {1, 2,3} , A ? C ? {3, 4,5, 6} , 而 B ? C ? {1, 2,3, 4,5,6} , B ? C ? {3} , 则 A ? ( B ? C ) ? {1, 2,3, 4,5,6} ,

A ? ( B ? C ) ? {1, 2,3, 4,5,6,7,8} .
8.学校里开运动会,设 A ? {x | x是参加一百米跑的同学} ,

B ? {x | x是参加二百米跑的同学} , C ? {x | x是参加四百米跑的同学} ,
第 5 页 共 29 页

学校规定,每个参加上述的同学最多只能参加两项,请你用集合的语言说明这项规定, 并解释以下集合运算的含义: (1) A ? B ; (2) A ? C . 8.解:用集合的语言说明这项规定:每个参加上述的同学最多只能参加两项, 即为 ( A ? B) ? C ? ? . (1) A ? B ? {x | x是参加一百米跑或参加二百米跑的同学} ; (2) A ? C ? {x | x是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学} . 9.设 S ? {x | x是平行四边形或梯形} , A ? {x | x是平行四边形} , B ? {x | x是菱形} , ,求 B ? C , ?A B , ?S A . C ? { x | 是矩形 } x 9.解:同时满足菱形和矩形特征的是正方形,即 B ? C ? {x | x是正方形} , 平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类,而邻边相等的平行四边形就是菱形, 即 ?A B ? {x | x是邻边不相等的平行四边形} ,

?S A ? {x | x是梯形}.
10.已知集合 A ? {x | 3 ? x ? 7}, B ? {x | 2 ? x ? 10} ,求 ?R ( A ? B) , ?R ( A ? B) ,

(?R A) ? B , A ? (?R B) .
10.解: A ? B ? {x | 2 ? x ? 10} , A ? B ? {x | 3 ? x ? 7} ,

?R A ? {x | x ? 3, 或x ? 7} , ?R B ? {x | x ? 2, 或x ? 10},
得 ?R ( A ? B) ? {x | x ? 2, 或x ? 10} ,

?R ( A ? B) ? {x | x ? 3, 或x ? 7} , (?R A) ? B ? {x | 2 ? x ? 3, 或7 ? x ? 10} , A ? (?R B) ? {x | x ? 2, 或3 ? x ? 7或x ? 10} .
B组
1.已知集合 A ? {1, 2},集合 B 满足 A ? B ? {1, 2} ,则集合 B 有 1. 4 个.

集合 B 满足 A ? B ? A ,则 B ? A ,即集合 B 是集合 A 的子集,得 4 个子集.

2.在平面直角坐标系中,集合 C ? {( x, y) | y ? x} 表示直线 y ? x ,从这个角度看, 集合 D ? ?( x, y ) | ?

? ?

?2 x ? y ? 1 ? ? 表示什么?集合 C , D 之间有什么关系? ? x ? 4 y ? 5?
第 6 页 共 29 页

2.解:集合 D ? ?( x, y ) | ?

?

?

?2 x ? y ? 1 ? ? 表示两条直线 2 x ? y ? 1, x ? 4 y ? 5 的交点的集合, ? x ? 4 y ? 5?

即 D ? ? ( x, y ) | ?

? ?

?2 x ? y ? 1 ? ? ? {(1,1)},点 D(1,1) 显然在直线 y ? x 上, ? x ? 4 y ? 5?

得D

C.

3.设集合 A ? {x | ( x ? 3)( x ? a) ? 0, a ? R} , B ? {x | ( x ? 4)( x ? 1) ? 0} ,求 A ? B, A ? B . 3.解:显然有集合 B ? {x | ( x ? 4)( x ? 1) ? 0} ? {1, 4} , 当 a ? 3 时,集合 A ? {3} ,则 A ? B ? {1,3, 4}, A ? B ? ? ; 当 a ? 1 时,集合 A ? {1,3} ,则 A ? B ? {1,3, 4}, A ? B ? {1} ; 当 a ? 4 时,集合 A ? {3, 4} ,则 A ? B ? {1,3, 4}, A ? B ? {4} ; 当 a ? 1 ,且 a ? 3 ,且 a ? 4 时,集合 A ? {3, a} , 则 A ? B ? {1,3, 4, a}, A ? B ? ? . 4.已知全集 U ? A ? B ? {x ? N | 0 ? x ? 10} , A ? (? B) ? {1,3,5,7} ,试求集合 B . U 4.解:显然 U ? {0,1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10} ,由 U ? A ? B , 得 ? B ? A ,即 A ? (痧B) ? U U

U

B ,而 A ? (? B) ? {1,3,5,7} , U

得 ? B ? {1,3,5,7} ,而 B ? 痧( U B) , U U 即 B ? {0, 2, 4, 6,8.9,10} .

第一章

集合与函数概念

1.2 函数及其表示
1.2.1 函数的概念
练习(第 19 页)
1.求下列函数的定义域: (1) f ( x ) ?

1 ; 4x ? 7

(2) f ( x) ? 1 ? x ? x ? 3 ?1 .

1.解: (1)要使原式有意义,则 4 x ? 7 ? 0 ,即 x ? ?

7 , 4

第 7 页 共 29 页

得该函数的定义域为 {x | x ? ? } ; (2)要使原式有意义,则 ?

7 4

?1 ? x ? 0 ,即 ?3 ? x ? 1 , ?x ? 3 ? 0

得该函数的定义域为 {x | ?3 ? x ? 1} . 2.已知函数 f ( x) ? 3x 2 ? 2 x , (1)求 f (2), f (?2), f (2) ? f (?2) 的值; (2)求 f (a), f ( ?a), f (a) ? f ( ?a) 的值. 2.解: (1)由 f ( x) ? 3x 2 ? 2 x ,得 f (2) ? 3 ? 22 ? 2 ? 2 ? 18 , 同理得 f (?2) ? 3? (?2)2 ? 2 ? (?2) ? 8 , 则 f (2) ? f (?2) ? 18 ? 8 ? 26 , 即 f (2) ? 18, f (?2) ? 8, f (2) ? f (?2) ? 26 ; (2)由 f ( x) ? 3x 2 ? 2 x ,得 f (a) ? 3? a2 ? 2 ? a ? 3a2 ? 2a , 同理得 f (?a) ? 3 ? (?a)2 ? 2 ? (?a) ? 3a2 ? 2a , 则 f (a) ? f (?a) ? (3a2 ? 2a) ? (3a2 ? 2a) ? 6a 2 , 即 f (a) ? 3a2 ? 2a, f (?a) ? 3a2 ? 2a, f (a) ? f (?a) ? 6a 2 . 3.判断下列各组中的函数是否相等,并说明理由: (1)表示炮弹飞行高度 h 与时间 t 关系的函数 h ? 130t ? 5t 和二次函数 y ? 130 x ? 5x2 ;
2

(2) f ( x) ? 1 和 g ( x) ? x0 . 3.解: (1)不相等,因为定义域不同,时间 t ? 0 ; (2)不相等,因为定义域不同, g ( x) ? x0 ( x ? 0) .

1.2.2 函数的表示法
练习(第 23 页)
1.如图,把截面半径为 25cm 的圆形木头锯成矩形木料,如果矩形的一边长为 xcm , 面积为 ycm ,把 y 表示为 x 的函数. 1.解:显然矩形的另一边长为 502 ? x2 cm ,
2

第 8 页 共 29 页

y ? x 502 ? x2 ? x 2500 ? x2 ,且 0 ? x ? 50 ,
即 y ? x 2500 ? x 2 (0 ? x ? 50) . 2.下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好?请你为剩下的那个图象写出一件事. (1)我离开家不久,发现自己把作业本忘在家里了,于是返回家里找到了作业本再上学; (2)我骑着 车一路匀速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间; (3)我出发后,心情轻松,缓缓行进,后来为了赶时间开始加速.
离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离

O

时间

O

时间

O

时间

O

时间

(A)

(B)

(C)

(D)

2.解:图象(A)对应事件(2) ,在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化; 图象(B)对应事件(3) ,刚刚开始缓缓行进,后来为了赶时间开始加速; 图象(D)对应事件(1) ,返回家里的时刻,离开家的距离又为零; 图象(C)我出发后,以为要迟到,赶时间开始加速,后来心情轻松,缓缓行进. 3.画出函数 y ?| x ? 2 | 的图象. 3.解: y ?| x ? 2 |? ?

? x ? 2, x ? 2 ,图象如下所示. ?? x ? 2, x ? 2

4.设 与 A

, A ? {x | x是锐角 B ? {0,1} ,从 A 到 B 的映射是“求正弦” }, 中元素 60 相对应
?

的 么? 4.解:因为 sin 60 ?
?

B 中的元素是什么?与 B 中的元素

2 相对应的 A 中元素是什 2

3 3 ? ,所以与 A 中元素 60 相对应的 B 中的元素是 ; 2 2 2 2 ? ,所以与 B 中的元素 相对应的 A 中元素是 45 . 2 2
第 9 页 共 29 页

因为 sin 45 ?
?

1.2 函数及其表示 习题 1.2(第 23 页) 1.求下列函数的定义域: (1) f ( x ) ? (3) f ( x) ?

3x ; x?4 6 ; x ? 3x ? 2
2

(2) f ( x) ? (4) f ( x) ?

x2 ;
4? x . x ?1

1.解: (1)要使原式有意义,则 x ? 4 ? 0 ,即 x ? 4 , 得该函数的定义域为 {x | x ? 4} ; (2) x ? R , f ( x) ?

x 2 都有意义,

即该函数的定义域为 R ;
2 (3)要使原式有意义,则 x ? 3x ? 2 ? 0 ,即 x ? 1 且 x ? 2 ,

得该函数的定义域为 {x | x ? 1且x ? 2} ; (4)要使原式有意义,则 ?

?4 ? x ? 0 ,即 x ? 4 且 x ? 1 , x ?1 ? 0 ?

得该函数的定义域为 {x | x ? 4且x ? 1} . 2.下列哪一组中的函数 f ( x ) 与 g ( x) 相等? (1) f ( x) ? x ? 1, g ( x) ? (3) f ( x) ? x 2 , g ( x) ?

x2 ?1 ; x

(2) f ( x) ? x2 , g ( x) ? ( x )4 ;

3

x6 .
x2 ?1 的定义域为 {x | x ? 0} , x

2.解: (1) f ( x) ? x ? 1 的定义域为 R ,而 g ( x) ?

即两函数的定义域不同,得函数 f ( x ) 与 g ( x) 不相等; (2) f ( x) ? x 的定义域为 R ,而 g ( x) ? ( x ) 4 的定义域为 {x | x ? 0} ,
2

即两函数的定义域不同,得函数 f ( x ) 与 g ( x) 不相等; (3)对于任何实数,都有 3 x6 ? x2 ,即这两函数的定义域相同,切对应法则相同, 得函数 f ( x ) 与 g ( x) 相等. 3.画出下列函数的图象,并说出函数的定义域和值域.

第 10 页 共 29 页

(1) y ? 3x ; (2) y ? 3.解: (1)

8 ; (3) y ? ?4 x ? 5 ; (4) y ? x2 ? 6x ? 7 . x

定义域是 (??, ??) ,值域是 (??, ??) ; (2)

定义域是 (??,0) ? (0, ??) ,值域是 (??,0) ? (0, ??) ;

(3)

定义域是 (??, ??) ,值域是 (??, ??) ;

第 11 页 共 29 页

(4)

定义域是 (??, ??) ,值域是 [?2, ??) .
2 4.已知函数 f ( x) ? 3x ? 5x ? 2 ,求 f (? 2) , f (?a) , f (a ? 3) , f (a) ? f (3) .

4.解:因为 f ( x) ? 3x ? 5x ? 2 ,所以 f (? 2) ? 3? (? 2)2 ? 5 ? (? 2) ? 2 ? 8 ? 5 2 ,
2

即 f (? 2) ? 8 ? 5 2 ; 同理, f (?a) ? 3? (?a)2 ? 5 ? (?a) ? 2 ? 3a2 ? 5a ? 2 , 即 f (?a) ? 3a2 ? 5a ? 2 ;

f (a ? 3) ? 3? (a ? 3)2 ? 5 ? (a ? 3) ? 2 ? 3a2 ? 13a ? 14 ,
即 f (a ? 3) ? 3a 2 ? 13a ? 14 ;

f (a) ? f (3) ? 3a2 ? 5a ? 2 ? f (3) ? 3a2 ? 5a ? 16 ,
即 f (a) ? f (3) ? 3a2 ? 5a ? 16 . 5.已知函数 f ( x) ?

x?2 , x?6

(1)点 (3,14) 在 f ( x ) 的图象上吗? (2)当 x ? 4 时,求 f ( x ) 的值; (3)当 f ( x) ? 2 时,求 x 的值. 5.解: (1)当 x ? 3 时, f (3) ?

3? 2 5 ? ? ? 14 , 3?6 3

即点 (3,14) 不在 f ( x ) 的图象上; (2)当 x ? 4 时, f (4) ?

4?2 ? ?3 , 4?6
第 12 页 共 29 页

即当 x ? 4 时,求 f ( x ) 的值为 ?3 ; (3) f ( x) ?

x?2 ? 2 ,得 x ? 2 ? 2( x ? 6) , x?6 即 x ? 14 .

6.若 f ( x) ? x2 ? bx ? c ,且 f (1) ? 0, f (3) ? 0 ,求 f (?1) 的值. 6.解:由 f (1) ? 0, f (3) ? 0 , 得 1,3 是方程 x ? bx ? c ? 0 的两个实数根,
2

即 1 ? 3 ? ?b,1? 3 ? c ,得 b ? ?4, c ? 3 , 即 f ( x) ? x2 ? 4x ? 3 ,得 f (?1) ? (?1)2 ? 4 ? (?1) ? 3 ? 8 , 即 f (?1) 的值为 8 . 7.画出下列函数的图象: (1) F ( x) ? ?

?0, x ? 0 ; 1, x ? 0 ?

(2) G(n) ? 3n ? 1, n ?{1, 2,3} .

7.图象如下:

8.如图,矩形的面积为 10 ,如果矩形的长为 x ,宽为 y ,对角线为 d , 周长为 l ,那么你能获得关于这些量的哪些函数?

8.解:由矩形的面积为 10 ,即 xy ? 10 ,得 y ?

10 10 ( x ? 0) , x ? ( y ? 0) , x y

第 13 页 共 29 页

由对角线为 d ,即 d ?

x 2 ? y 2 ,得 d ? x 2 ?

100 ( x ? 0) , x2

由周长为 l ,即 l ? 2 x ? 2 y ,得 l ? 2 x ?

20 ( x ? 0) , x

另外 l ? 2( x ? y) ,而 xy ? 10, d 2 ? x2 ? y 2 ,
2 2 2 2 得 l ? 2 ( x ? y ) ? 2 x ? y ? 2 xy ? 2 d ? 20 (d ? 0) ,

即 l ? 2 d 2 ? 20 (d ? 0) . 9.一个圆柱形容器的底部直径是 dcm ,高是 hcm ,现在以 vcm / s 的速度向容器内注入某种溶液.求溶 液内溶液的高度 xcm 关于注入溶液的时间 ts 的函数解析式,并写出函数的定义域和值域. 9.解:依题意,有 ? ( ) x ? vt ,即 x ?
2

3

d 2

4v t, ?d2

显然 0 ? x ? h ,即 0 ?

4v h? d 2 t ? h ,得 0 ? t ? , ?d2 4v

h? d 2 ] 和值域为 [0, h] . 得函数的定义域为 [0, 4v
10.设集合 A ? {a, b, c}, B ? {0,1} ,试问:从 A 到 B 的映射共有几个? 并将它们分别表示出来. 10.解:从 A 到 B 的映射共有 8 个.

? f (a) ? 0 ? f (a) ? 0 ? f (a) ? 0 ? f (a) ? 0 ? ? ? ? 分别是 ? f (b) ? 0 , ? f (b) ? 0 , ? f (b) ? 1 , ? f (b) ? 0 , ? f (c ) ? 0 ? f (c ) ? 1 ? f (c ) ? 0 ? f (c ) ? 1 ? ? ? ? ? f (a) ? 1 ? f (a) ? 1 ? f (a) ? 1 ? f (a) ? 1 ? ? ? ? ? f (b) ? 0 , ? f (b) ? 0 , ? f (b) ? 1 , ? f (b) ? 0 . ? f (c ) ? 0 ? f (c ) ? 1 ? f (c ) ? 0 ? f (c ) ? 1 ? ? ? ?

B组
1.函数 r ? f ( p ) 的图象如图所示. (1)函数 r ? f ( p ) 的定义域是什么? (2)函数 r ? f ( p ) 的值域是什么? (3) r 取何值时,只有唯一的 p 值与之对应?
第 14 页 共 29 页

1.解: (1)函数 r ? f ( p ) 的定义域是 [?5,0] ? [2,6) ; (2)函数 r ? f ( p ) 的值域是 [0, ??) ; (3)当 r ? 5 ,或 0 ? r ? 2 时,只有唯一的 p 值与之对应. 2.画出定义域为 {x | ?3 ? x ? 8, 且x ? 5} ,值域为 { y | ?1 ? y ? 2, y ? 0} 的一个函数的图象.

(1)如果平面直角坐标系中点 P( x, y) 的坐标满足 ?3 ? x ? 8 , ?1 ? y ? 2 ,那么其中哪些点不能在图象 上? (2)将你的图象和其他同学的相比较,有什么差别吗? 2.解:图象如下, (1)点 ( x, 0) 和点 (5, y ) 不能在图象上; (2)省略.

3.函数 f ( x) ? [ x] 的函数值表示不超过 x 的最大整数,例如, [?3.5] ? ?4 , [2.1] ? 2 . 当 x ? (?2.5,3] 时,写出函数 f ( x ) 的解析式,并作出函数的图象.

??3, ? 2.5 ? x ? ?2 ??2, ? 2 ? x ? ?1 ? ??1, ? 1 ? x ? 0 ? 3.解: f ( x) ? [ x] ? ?0, 0 ? x ? 1 ?1, 1 ? x ? 2 ? ?2, 2 ? x ? 3 ?3, x ? 3 ?
图象如下

第 15 页 共 29 页

4. 如图所示, 一座小岛距离海岸线上最近的点 P 的距离是 2km , 从点 P 沿海岸正东 12km 处有一个城镇.

(1)假设一个人驾驶的小船的平均速度为 3km / h ,步行的速度是 5km / h , t (单位: h )表示他从小岛 到城镇的时间, x (单位: km )表示此人将船停在海岸处距 P 点的距离.请将 t 表示为 x 的函数. (2)如果将船停在距点 P 4km 处,那么从小岛到城镇要多长时间(精确到 1h )? 4.解: (1)驾驶小船的路程为 x2 ? 22 ,步行的路程为 12 ? x , 得t ?

x 2 ? 22 12 ? x , (0 ? x ? 12) , ? 3 5 x 2 ? 4 12 ? x , (0 ? x ? 12) . ? 3 5
第 16 页 共 29 页

即t ?

(2)当 x ? 4 时, t ?

42 ? 4 12 ? 4 2 5 8 ? ? ? ? 3 (h) . 3 5 3 5

第一章

集合与函数概念
1.3 函数的基本性质

1.3.1 单调性与最大(小)值
练习(第 32 页)
1.请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系.

1.答:在一定的范围内,生产效率随着工人数量的增加而提高,当工人数量达到某个数量时,生产效率 达到最大值,而超过这个数量时,生产效率随着工人数量的增加而降低.由此可见,并非是工人 越多,生产效率就越高. 2.整个上午 (8 : 00 ? 12 : 00) 天气越来越暖,中午时分 (12 : 00 ? 13: 00) 一场暴风雨使天气骤然凉爽了许 多.暴风雨过后,天气转暖,直到太阳落山 (18 : 00) 才又开始转凉.画出这一天 8 : 00 ? 20 : 00 期间气温 作为时间函数的一个可能的图象,并说出所画函数的单调区间. 2.解:图象如下

[8, 12] 是递增区间, [12,13] 是递减区间, [13,18] 是递增区间, [18, 20] 是递减区间.

第 17 页 共 29 页

3.根据下图说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,函数是增函数还是减函数.

3.解:该函数在 [?1, 0] 上是减函数,在 [0, 2] 上是增函数,在 [2, 4] 上是减函数, 在 [4,5] 上是增函数. 4.证明函数 f ( x) ? ?2 x ? 1在 R 上是减函数. 4.证明:设 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 , 因为 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?2( x1 ? x2 ) ? 2( x2 ? x1 ) ? 0 , 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 所以函数 f ( x) ? ?2 x ? 1在 R 上是减函数. 5.设 f ( x ) 是定义在区间 [ ?6,11] 上的函数.如果 f ( x ) 在区间 [?6, ?2] 上递减,在区间 [ ?2,11] 上递增,画 出 f ( x ) 的一个大致的图象,从图象上可以发现 f (?2) 是函数 f ( x ) 的一个 5.最小值. .

1.3.2 单调性与最大(小)值
练习(第 36 页)
1.判断下列函数的奇偶性: (1) f ( x) ? 2 x ? 3x ; (2) f ( x) ? x ? 2x
4 2 3

x2 ? 1 (3) f ( x) ? ; x

(4) f ( x) ? x ? 1 .
2 4 2

1.解: (1)对于函数 f ( x) ? 2 x ? 3x ,其定义域为 (??, ??) ,因为对定义域内 每一个 x 都有 f (? x) ? 2(? x) ? 3(? x) ? 2 x ? 3x ? f ( x) ,
4 2 4 2

第 18 页 共 29 页

所以函数 f ( x) ? 2 x4 ? 3x2 为偶函数; (2)对于函数 f ( x) ? x3 ? 2x ,其定义域为 (??, ??) ,因为对定义域内 每一个 x 都有 f (? x) ? (? x)3 ? 2(? x) ? ?( x3 ? 2 x) ? ? f ( x) , 所以函数 f ( x) ? x3 ? 2x 为奇函数; (3)对于函数 f ( x) ?

x2 ? 1 ,其定义域为 (??,0) ? (0, ??) ,因为对定义域内 x

(? x) 2 ? 1 x2 ? 1 ?? ? ? f ( x) , 每一个 x 都有 f (? x) ? ?x x
所以函数 f ( x) ?

x2 ? 1 为奇函数; x

(4)对于函数 f ( x) ? x2 ? 1 ,其定义域为 (??, ??) ,因为对定义域内 每一个 x 都有 f (? x) ? (? x)2 ? 1 ? x2 ? 1 ? f ( x) , 所以函数 f ( x) ? x2 ? 1 为偶函数. 2.已知 f ( x ) 是偶函数, g ( x) 是奇函数,试将下图补充完整.

2.解: f ( x ) 是偶函数,其图象是关于 y 轴对称的;

g ( x) 是奇函数,其图象是关于原点对称的.

第 19 页 共 29 页

习题 1.3
A组
1.画出下列函数的图象,并根据图象说出函数 y ? f ( x) 的单调区间,以及在各单调区间 上函数 y ? f ( x) 是增函数还是减函数. (1) y ? x2 ? 5x ? 6 ; 1.解: (1) (2) y ? 9 ? x2 .

函数在 (??, ) 上递减;函数在 [ , ??) 上递增; (2)

5 2

5 2

函 2.证明:





(??, 0) 上递增;函数在 [0, ??) 上递减.

(1)函数 f ( x) ? x ? 1
2

在 (??, 0) 上是减函数;

(2)函数 f ( x ) ? 1 ?

1 在 x

(??, 0) 上是增函数.

2 . 证 明 :( 1 ) 设

x1 ? x2 ? 0
第 20 页 共 29 页





f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x12 ? x22 ? ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ,
由 x1 ? x2 ? 0, x1 ? x2 ? 0 ,得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,所以函数 f ( x) ? x2 ? 1 在 (??, 0) 上是减函数; (2)设 x1 ? x2 ? 0 ,而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

1 1 x1 ? x2 , ? ? x2 x1 x1 x2

由 x1 x2 ? 0, x1 ? x2 ? 0 ,得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,所以函数 f ( x ) ? 1 ?

1 在 (??, 0) 上是增函数. x

3.探究一次函数 y ? mx ? b( x ? R) 的单调性,并证明你的结论. 3.解:当 m ? 0 时,一次函数 y ? mx ? b 在 (??, ??) 上是增函数; 当 m ? 0 时,一次函数 y ? mx ? b 在 (??, ??) 上是减函数, 令 f ( x) ? mx ? b ,设 x1 ? x2 , 而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? m( x1 ? x2 ) , 当 m ? 0 时, m( x1 ? x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 得一次函数 y ? mx ? b 在 (??, ??) 上是增函数; 当 m ? 0 时, m( x1 ? x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 得一次函数 y ? mx ? b 在 (??, ??) 上是减函数. 4.一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢,之后随着药力的减退,心率再次 慢慢升高.画出自服药那一刻起,心率关于时间的一个可能的图象(示意图). 4.解:自服药那一刻起,心率关于时间的一个可能的图象为

5.某汽车租赁公司的月收益 y 元与每辆车的月租金 x 元间的关系为

y??

x2 ? 162 x ? 21000 ,那么,每辆车的月租金多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多 50

第 21 页 共 29 页

少?

x2 ? 162 x ? 21000 , 5.解:对于函数 y ? ? 50
当x??

162 1 2 ? (? ) 50

, ? 4050 时, ymax ? 307050 (元)

即每辆车的月租金为 4050 元时,租赁公司最大月收益为 307050 元. 6.已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x(1 ? x) .画出函数 f ( x ) 的图象,并求出函数的解析式. 6.解:当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,而当 x ? 0 时, f ( x) ? x(1 ? x) , 即 f (? x) ? ? x(1 ? x) ,而由已知函数是奇函数,得 f (? x) ? ? f ( x) , 得 ? f ( x) ? ? x(1 ? x) ,即 f ( x) ? x(1 ? x) , 所以函数的解析式为 f ( x) ? ?

? x(1 ? x), x ? 0 . ? x(1 ? x), x ? 0

B组
1.已知函数 f ( x) ? x2 ? 2x , g ( x) ? x2 ? 2x ( x ?[2, 4]) . (1)求 f ( x ) , g ( x) 的单调区间; (2)求 f ( x ) , g ( x) 的最小值. 1.解: (1)二次函数 f ( x) ? x2 ? 2x 的对称轴为 x ? 1 , 则函数 f ( x ) 的单调区间为 (??,1),[1, ??) , 且函数 f ( x ) 在 (??,1) 上为减函数,在 [1, ??) 上为增函数, 函数 g ( x) 的单调区间为 [2, 4] , 且函数 g ( x) 在 [2, 4] 上为增函数; (2)当 x ? 1 时, f ( x)min ? ?1, 因为函数 g ( x) 在 [2, 4] 上为增函数, 所以 g ( x)min ? g (2) ? 2 ? 2 ? 2 ? 0 .
2

2.如图所示,动物园要建造一面靠墙的 2 间面积相同的矩形熊猫居室,如果可供建造围墙的材料总长是 30m ,那么宽 x (单位: m )为多少才能使建造的每间熊猫居室面积最大?每间熊猫居室的最大面积 是多少?
第 22 页 共 29 页

2.解:由矩形的宽为 x m ,得矩形的长为

30 ? 3 x m ,设矩形的面积为 S , 2

30 ? 3x 3( x 2 ? 10 x) ?? 则S ? x , 2 2
当 x ? 5 时, Smax ? 37.5 m2 , 即宽 x ? 5 m 才能使建造的每间熊猫居室面积最大, 且每间熊猫居室的最大面积是 37.5 m2 . 3.已知函数 f ( x ) 是偶函数,而且在 (0, ??) 上是减函数,判断 f ( x ) 在 (??, 0) 上是增函数还是减函数,并 证明你的判断. 3.判断 f ( x ) 在 (??, 0) 上是增函数,证明如下: 设 x1 ? x2 ? 0 ,则 ? x1 ? ? x2 ? 0 , 因为函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上是减函数,得 f (? x1 ) ? f (? x2 ) , 又因为函数 f ( x ) 是偶函数,得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 所以 f ( x ) 在 (??, 0) 上是增函数.

复习参考题
A组
1.用列举法表示下列集合: (1) A ? {x | x ? 9} ;
2

(2) B ? {x ? N |1 ? x ? 2} ; (3) C ? {x | x ? 3x ? 2 ? 0}.
2

1.解: (1)方程 x ? 9 的解为 x1 ? ?3, x2 ? 3 ,即集合 A ? {?3,3} ;
2

(2) 1 ? x ? 2 ,且 x ? N ,则 x ? 1, 2 ,即集合 B ? {1, 2};
第 23 页 共 29 页

(3)方程 x ? 3x ? 2 ? 0 的解为 x1 ? 1, x2 ? 2 ,即集合 C ? {1, 2} .
2

2.设 P 表示平面内的动点,属于下列集合的点组成什么图形? (1) {P | PA ? PB} ( A, B是两个定点) ; (2) {P | PO ? 3cm} (O是定点) . 2.解: (1)由 PA ? PB ,得点 P 到线段 AB 的两个端点的距离相等, 即 {P | PA ? PB} 表示的点组成线段 AB 的垂直平分线; (2) {P | PO ? 3cm} 表示的点组成以定点 O 为圆心,半径为 3cm 的圆. 3.设平面内有 ?ABC ,且 P 表示这个平面内的动点,指出属于集合

{P | PA ? PB} ? {P | PA ? PC}的点是什么.
3.解:集合 {P | PA ? PB} 表示的点组成线段 AB 的垂直平分线, 集合 {P | PA ? PC} 表示的点组成线段 AC 的垂直平分线, 得 {P | PA ? PB} ? {P | PA ? PC}的点是线段 AB 的垂直平分线与线段 AC 的 垂直平分线的交点,即 ?ABC 的外心. 4.已知集合 A ? {x | x2 ? 1}, B ? {x | ax ? 1} .若 B ? A ,求实数 a 的值. 4.解:显然集合 A ? {?1,1} ,对于集合 B ? {x | ax ? 1} , 当 a ? 0 时,集合 B ? ? ,满足 B ? A ,即 a ? 0 ; 当 a ? 0 时,集合 B ? { } ,而 B ? A ,则 得 a ? ?1 ,或 a ? 1 , 综上得:实数 a 的值为 ?1, 0 ,或 1 . 5.已知集合 A ? {( x, y) | 2 x ? y ? 0} , B ? {( x, y) | 3x ? y ? 0} , C ? {( x, y) | 2 x ? y ? 3} ,求 A ? B ,

1 a

1 1 ? ?1 ,或 ? 1 , a a

A ? C , ( A ? B) ? ( B ? C ) .
5.解:集合 A ? B ? ?( x, y ) | ?

? ?

?2 x ? y ? 0? ? ? {(0, 0)} ,即 A ? B ? {(0,0)} ; ?3x ? y ? 0 ? ?2 x ? y ? 0 ? ? ? ? ,即 A ? C ? ? ; ?2 x ? y ? 3 ?

集合 A ? C ? ?( x, y ) | ?

?

?

集合 B ? C ? ?( x, y ) | ?

? ?

?3x ? y ? 0? 3 9 ? ? {( , ? )} ; 5 5 ?2 x ? y ? 3?
第 24 页 共 29 页

则 ( A ? B) ? ( B ? C ) ? {(0, 0), ( , ? )} . 6.求下列函数的定义域: (1) y ? (2) y ?

3 5

9 5

x?2? x?5 ;
x?4 . | x | ?5 ?x ? 2 ? 0 ,即 x ? 2 , x?5? 0 ?

6.解: (1)要使原式有意义,则 ?

得函数的定义域为 [2, ??) ;

(2)要使原式有意义,则 ?

?x ? 4 ? 0 ,即 x ? 4 ,且 x ? 5 , ?| x | ?5 ? 0

得函数的定义域为 [4,5) ? (5, ??) . 7.已知函数 f ( x ) ?

1? x ,求: 1? x
(2) f (a ? 1)(a ? ?2) .

(1) f (a) ? 1(a ? ?1) ; 7.解: (1)因为 f ( x ) ?

1? x , 1? x 1? a 1? a 2 ?1 ? 所以 f ( a ) ? ,得 f (a) ? 1 ? , 1? a 1? a 1? a 2 即 f (a) ? 1 ? ; 1? a 1? x (2)因为 f ( x ) ? , 1? x 1 ? ( a ? 1) a ?? 所以 f (a ? 1) ? , 1? a ?1 a?2 a 即 f ( a ? 1) ? ? . a?2

8.设 f ( x) ?

1 ? x2 ,求证: 1 ? x2
(2) f ( ) ? ? f ( x ) .

(1) f (? x) ? f ( x) ;

1 x

1 ? x2 8.证明: (1)因为 f ( x) ? , 1 ? x2
所以 f (? x) ?

1 ? ( ? x) 2 1 ? x 2 ? ? f ( x) , 1 ? ( ? x) 2 1 ? x 2

第 25 页 共 29 页

即 f (? x) ? f ( x) ; (2)因为 f ( x) ?

1 ? x2 , 1 ? x2

1 1 ? ( )2 2 1 x ? 1 ? x ? ? f ( x) , 所以 f ( ) ? x 1 ? ( 1 )2 x2 ? 1 x 1 即 f ( ) ? ? f ( x) . x
9.已知函数 f ( x) ? 4 x2 ? kx ? 8 在 [5, 20] 上具有单调性,求实数 k 的取值范围. 9.解:该二次函数的对称轴为 x ?

k , 8

函数 f ( x) ? 4 x 2 ? kx ? 8 在 [5, 20] 上具有单调性,

k k ? 20 ,或 ? 5 ,得 k ? 160 ,或 k ? 40 , 8 8 即实数 k 的取值范围为 k ? 160 ,或 k ? 40 .
则 10.已知函数 y ? x ?2 , (1)它是奇函数还是偶函数? (2)它的图象具有怎样的对称性? (3)它在 (0, ??) 上是增函数还是减函数? (4)它在 (??, 0) 上是增函数还是减函数? 10.解: (1)令 f ( x) ? x ?2 ,而 f (? x) ? (? x)?2 ? x?2 ? f ( x) , 即函数 y ? x ?2 是偶函数; (2)函数 y ? x ?2 的图象关于 y 轴对称; (3)函数 y ? x ?2 在 (0, ??) 上是减函数; (4)函数 y ? x 在 (??, 0) 上是增函数.
?2

B组
1.学校举办运动会时,高一(1)班共有 28 名同学参加比赛,有 15 人参加游泳比赛,有 8 人参加田径比赛, 有 14 人参加球类比赛, 同时参加游泳比赛和田径比赛的有 3 人, 同时参加游泳比赛和球类比赛的有 3 人, 没有人同时参加三项比赛.问同时参加田径和球类比赛的有多少人?只参加游泳一项比赛的有多少人? 1.解:设同时参加田径和球类比赛的有 x 人,
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则 15 ? 8 ? 14 ? 3 ? 3 ? x ? 28 ,得 x ? 3 , 只参加游泳一项比赛的有 15 ? 3 ? 3 ? 9 (人) , 即同时参加田径和球类比赛的有 3 人,只参加游泳一项比赛的有 9 人. 2.已知非空集合 A ? {x ? R | x2 ? a} ,试求实数 a 的取值范围. 2.解:因为集合 A ? ? ,且 x ? 0 ,所以 a ? 0 .
2

3.设全集 U ? {1, 2,3, 4,5,6,7,8,9} , ? ( A ? B) ? {1,3} , A ? (? B) ? {2, 4} ,求集合 B . U U 3.解:由 ? ( A ? B) ? {1,3} ,得 A ? B ? {2, 4,5,6,7,8,9} , U 集合 A ? B 里除去 A ? (? B) ,得集合 B , U 所以集合 B ? {5, 6, 7,8,9} . 4.已知函数 f ( x) ? ?

? x( x ? 4), x ? 0 .求 f (1) , f (?3) , f (a ? 1) 的值. ? x( x ? 4), x ? 0

4.解:当 x ? 0 时, f ( x) ? x( x ? 4) ,得 f (1) ? 1? (1 ? 4) ? 5 ; 当 x ? 0 时, f ( x) ? x( x ? 4) ,得 f (?3) ? ?3 ? (?3 ? 4) ? 21 ;

?(a ? 1)(a ? 5), a ? ?1 . f (a ? 1) ? ? ?(a ? 1)(a ? 3), a ? ?1
5.证明:

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? ; 2 2 x ? x2 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 2 )? (2)若 g ( x) ? x ? ax ? b ,则 g ( 1 . 2 2 x ? x2 x ?x a ) ? a 1 2 ? b ? ( x1 ? x2 ) ? b , 5.证明: (1)因为 f ( x) ? ax ? b ,得 f ( 1 2 2 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ax1 ? b ? ax2 ? b a ? ? ( x1 ? x2 ) ? b , 2 2 2 x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 所以 f ( ; 2 2
(1)若 f ( x) ? ax ? b ,则 f ( (2)因为 g ( x) ? x ? ax ? b ,
2

得 g(

x1 ? x2 x ?x 1 ) ? ( x12 ? x2 2 ? 2 x1 x2 ) ? a( 1 2 ) ? b , 2 4 2 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 1 ? [( x12 ? ax1 ? b) ? ( x2 2 ? ax2 ? b)] 2 2 x ?x 1 ? ( x12 ? x2 2 ) ? a ( 1 2 ) ? b , 2 2

第 27 页 共 29 页

1 2 1 1 ( x1 ? x2 2 ? 2 x1 x2 ) ? ( x12 ? x2 2 ) ? ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 0 , 4 2 4 1 2 1 2 2 2 即 ( x1 ? x2 ? 2 x1 x2 ) ? ( x1 ? x2 ) , 4 2 x1 ? x2 g ( x1 ) ? g ( x2 ) )? 所以 g ( . 2 2
因为 6.(1)已知奇函数 f ( x ) 在 [ a, b] 上是减函数,试问:它在 [?b, ?a] 上是增函数还是减函数? (2)已知偶函数 g ( x) 在 [ a, b] 上是增函数,试问:它在 [?b, ?a] 上是增函数还是减函数? 6.解: (1)函数 f ( x ) 在 [?b, ?a] 上也是减函数, 证明 全月应纳税所得额 不超过 500 元的部分 税率 ( 0 0 ) 如下: 设 ?b ? x1 ? x2 ? ?a ,则 a ? ? x2 ? ? x1 ? b , 因 为 函 数 f ( x ) 在 [ a, b] 上 是 减 函 数 , 则

5 10 超过 500 元至 2000 元的部分 超过 2000 元至 5000 元的部分 15

f (? x2 ) ? f (? x1 ) ,
又因为函数 f ( x ) 是奇函数,则 ? f ( x2 ) ? ? f ( x1 ) ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 所以函数 f ( x ) 在 [?b, ?a] 上也是减函数; (2)函数 g ( x) 在 [?b, ?a] 上是减函数,证明如下: 设 ?b ? x1 ? x2 ? ?a ,则 a ? ? x2 ? ? x1 ? b , 因为函数 g ( x) 在 [ a, b] 上是增函数,则 g (? x2 ) ? g (? x1 ) , 又因为函数 g ( x) 是偶函数,则 g ( x2 ) ? g ( x1 ) ,即 g ( x1 ) ? g ( x2 ) , 所以函数 g ( x) 在 [?b, ?a] 上是减函数. 7.《中华人民共和国个人所得税》规定,公民全月工资、薪金所得不超过 2000 元的部分 不必纳税,超过 2000 元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算: 某人一月份应交纳此项税款为 26.78 元,那么他当月的工资、薪金所得是多少?

7.解:设某人的全月工资、薪金所得为 x 元,应纳此项税款为 y 元,则

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?0, 0 ? x ? 2000 ?( x ? 2000) ? 5%, 2000 ? x ? 2500 ? y?? ?25 ? ( x ? 2500) ?10%, 2500 ? x ? 4000 ?175 ? ( x ? 4000) ?15%, 4000 ? x ? 5000 ? 由该人一月份应交纳此项税款为 26.78 元,得 2500 ? x ? 4000 ,
25 ? ( x ? 2500) ?10% ? 26.78 ,得 x ? 2517.8 ,
所以该人当月的工资、薪金所得是 2517.8 元.

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