kl800.com省心范文网

曲率及其计算公式


§3.9 曲 率
一、弧微分
有向弧段的值、弧微分公式

二、曲率及其计算公式
曲率、曲率的计算公式

三、曲率圆与曲率半径
曲率圆曲率半径

一、弧微分
有向弧段 M0 M 的值 s(简称为弧s) : s 的绝对值等于这弧段的长度,当有向弧段的方向与曲线的

正向一致时s>0,相反时s<0. 显然,弧 s 是 x 的函数:s?s(x),而且s(x)是x的单调增加函 数. y y (

M0

s>0

M

M

s<0

M0

O

x0

x

x

O

x

x0

x

下面来求s(x)的导数及微分. 设x , x+ Dx 为(a,b)内两个邻近的点 ,它们在曲线 y?f(x)上的对应点为M,M?,并设对应于x的增量Dx ,弧 s 的增 量为Ds,于是

(

? Ds ? ? MM ? ? ? ? ?? ? Dx ? ? Dx ? ?
2

2

2 2 ? MM ? ? | MM ? | ? ? MM ? ? ? ( Dx ) ? ( Dy ) ? ? ?? ?? 2 | MM ? | ? ( Dx ) 2 | MM ? | ? (Dx) ? ?

(

2

2

2

2 ? MM ? ? ? ? Dy ? ? ?? ? ? ?1 ? ? ? ? ? | MM ? | ? ? ? Dx ? ?
2

Ds ? MM ? ? ?? ? ? Dx ? | MM ? | ?

(

(

y M? Ds

2

? ? Dy ? 2 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? Dx ? ?

(

M0
O x0

M

Dy

Dx
x x+Dx x

Ds ? MM ? ? ?? ? ? ? |? Dx ? | MM

2

? ? Dy ? 2 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? Dx ? ?

(

Dy | MM ? | | MM ? | ?y?, ? lim 因为 lim ?1, 又 lim Dx?0 Dx Dx ?0 | MM ? | M ?? M | MM ? | ds 2 因此 ?? 1 ? y? . dx ds ds ? 1 ? y?2 . 由于s?s(x)是单调增加函数,从而 >0, dx dx

于是 ds ? 1 ? y?2 dx.这就是弧微分公式.

(

(

二、曲率及其计算公式
观察曲线的弯曲线程度与切线的关系:

M1

M2 N2 )j

N1

可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均 弯曲程度,

设曲线C是光滑的,曲线 线C上从点M 到点M ?的弧 为Ds ,切线的转角为D a . y M0 O M a
Da 为弧段 MM ? 的平均曲率. 我们称 K ? Ds 曲率: Da 为曲线C在点M处的曲率. 我们称 K ? lim Ds ?0 Ds da Da da K? lim ? 在 存在的条件下 . Ds ?0 Ds ds ds

C M? Ds Da a+Da x

s


?

平均曲率:

曲率的计算公式:
K? da . ds

设曲线的直角坐标方程是y?f(x),且f(x)具有二阶导数. 因为tan a ?y ? ,所以
da y ?? y ?? da ? sec a ?y??, ? , 2 2 dx dx 1 ? tan a 1 ? y ? y ?? 于是 da ? dx.又知 ds? 1 ? y ? 2 dx. 1 ? y?2
2

从而,有
| y ?? | K? . 2 32 (1 ? y ? )

| y ?? | K? 例1 计算等双曲线x y ?1在点(1,1)处的曲率. (1 ? y ? 2 ) 3 2



1 由y ? ,得 x

x 因此,y?|x?1??1,y??|x?1?2.

y???

1
2

,y???

2 x
3



曲线x y ?1在点(1,1)处的曲率为
| y ?? | 2 1 2 ? ? ? K? . 2 32 2 32 2 (1 ? y ? ) (1 ? (?1) ) 2

| y ?? | K? 2?bx?c 上哪一点处的曲率最大? 例2 抛物线y?ax (1 ? y ? 2 ) 3 2

解 由y?ax2?bx?c,得 y??2ax?b ,y???2a , 代入曲率公式,得
| 2a | | y ?? | ? K? . 2 32 [1 ? (2ax ? b) 2 ]3 2 (1 ? y ? ) b b 要使K 最大,只须2ax?b?0, 即 x?? 对应的点为 .而 x?? 2a 2a 抛物线的顶点.因此,抛物线在顶点处的曲率最大,最大曲率为

K?|2a| .

讨论: 1.直线上任一点的曲率等于什么? 提示:设直线方程为y=ax+b,则y? =a, y?? = 0.于是 | y ?? | K ? ? 0. 2 3 2 (1 ? y ? ) ? x ? j (t ) 2.若曲线由参数方程 ? 给出,那么曲率如何计算? ? y ? ? (t ) 提示:
| j ?(t )? ??(t ) ? j ??(t )? ?(t ) | K? . 2 2 32 [j ? (t ) ? ? ? (t )]

三、曲率圆与曲率半径
y D y=f(x) r M

曲线在M点的曲率半径
1 |DM|? ?r K

O 曲线在M点的曲率圆

x 曲线在M点的曲率中心

曲线在点M处的曲率K(K ?0)与曲线在点M处的曲率半径 r

有如下关系:

1 1 r? , K? . r K

例3 设工件表面的截线为抛物线y?0.4x 2.现在要用砂轮 磨削其内表面.问用直径多大的砂轮才比较合适?

y

y=0.4 x2

4

2

O

2

x

例3 设工件表面的截线为抛物线y?0.4x 2.现在要用砂轮 磨削其内表面.问用直径多大的砂轮才比较合适?

解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径. y??0.8x ,y???0.8, y?|x?0?0,y??|x?0?0.8. 把它们代入曲率公式,得
| y ?? | 2 1 2 ? ? K? . ?0.8. 2 3 2 ? 2 32 2 (1 ? y ? ) (1 ? (?1) ) 2

抛物线顶点处的曲率半径为
1 r ? ? 1.25. K

所以选用砂轮的半径不得超过1.25单位长,即直径不得超过 2.50单位长.


曲率的概念及计算公式

曲率的概念及计算公式_数学_自然科学_专业资料。曲率的概念及计算公式曲率的概念及计算公式 概念 来源:为了平衡曲线的弯曲程度。 平均曲率 ,这个定义描述了 AB 曲线...

平面弧长的计算

平面曲线的弧长与曲率 (一) 教学目的:掌握平面曲线的弧长与曲率 (二) 教学内容:平面曲线的弧长与曲率的计算公式. (1) 基本要求:掌握平面曲线的弧长计算公式. (...

曲率及曲率变化率

18m计算得到。 选择18m主要考虑车辆定距滤波。 选择18m主要考虑车辆定距滤波。 曲率可以通过测量20m正矢得到,简化近似公式为: 曲率可以通过测量20m正矢得到,...

缓和曲线曲率半径 的计算

缓和曲线曲率半径 的计算_交通运输_工程科技_专业资料。一个公式的推导所谓完整缓和曲线就是某段缓和曲线的一端与直线连接点的曲率半径必须 是无穷大(可用 10 的 ...

【微分几何】自由曲面的高斯曲率计算方法

【微分几何】自由曲面高斯曲率计算方法_数学_自然科学_专业资料。学校自由曲面...k2 y 2 ? ?1 (2) 这一公式定义了曲面在 P 点杜潘标线。 如果主曲率...

平面曲线的曲率

平面曲线的曲率_理学_高等教育_教育专区。知识点:平面曲线的曲率( 知识点:平面...2.2.2 曲率及其计算公式 1、曲率的定义 1 、曲率 是描述曲线局部性质(弯曲...

如何计算抛物线某点处的曲率和曲率半径

用物理方法计算抛物线某点处的曲率和曲率半径 用物理方法计算抛物线某点处的曲率和曲率半径 对于一般的弧来说,各点处曲率可能不同,但当弧上点 A 处的曲率不为...

2017考研数学(二)中如何计算曲率和曲率圆?

曲率的计算公式如下所示: K? y '' 2 ? ?1 ? ( y ') ? ? , 3/ 2 这个公式不容易记忆,但是如果熟悉曲率的定义和弧微分公式( ds ? 1 ? ( y '...

缓和曲线各参数计算公式

缓和曲线各参数计算公式_建筑/土木_工程科技_专业资料。用回旋线(放射螺旋型)作为缓和曲线。回旋线是一种曲率随曲线长度成比例变化的 曲线, 不仅可以使线形更加美观...

材料力学重点及其公式

3.1.1 中性层的曲率与弯矩的关系 1 ρ = M EI z (3-16) 式中, ρ ...3.1.2 横截面上各点弯曲正应力计算公式 σ= M y IZ (3-17) 式中,M 是...

曲率半径计算公式 | 曲率计算公式 | 曲率的概念及计算公式 | 曲率计算公式推导 | 地球曲率半径计算公式 | 曲率中心的计算公式 | 主曲率计算公式 | 空间曲率计算公式 |