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高二数学(理科)第二学期期末考试试卷


高二数学(理科)第二学期期末考试试卷 2 学科
满分 150 分 姓名: 一、选择题:(每小题 5 分,共 50 分.)
2
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考试时间 120 分钟 班级: 得分: ( D. ? 2 或 2 学科网 ( )学科网 )学科网

1.若复数 Z ? ( x ? 4) ? ( x ? 2)i 为纯虚数,则实

数的值为 A. ? 2 B.0 C.2

2.椭圆 x2 ? my 2 ? 1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为 A.

3.已知 m, n 是两条不同直线,? , ? , ? 是三个不同平面,下列命题中正确的是( B. 若? ? ? , ? ? ? , 则?‖ ? 学科网 C. 若m‖? , n‖ ? , 则?‖ ? D. 若m ? ? , n ? ? , 则m‖ n 学科网 (

1 4

B.

1 2

C. 2

D.4 学科网 )A. 若m‖? , n‖? , 则m‖ n

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线”的 4. “ a ? 0且b ? 0 ”是“方程 a b
A.充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件学科网 D. 既不充分也不必要条件学科网

)学科网

5.下列四个函数中,图像如右图所示的只能是 A. y ? x ? lg x 学科网



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B. y ? x ? lg x 学科网 C. y ? ? x ? lg x 学科网

D. y ? ? x ? lg x 学科网 6.已知空间四边形 OABC ,其对角线为 OB, AC , M , N 分别是边

OA, CB 的中点,点 G 在线段 MN 上,且使 MG ? 2GN ,用向量
OA, OB, OC 表示向量 OG 是
A.OG ? OA ? OB ? OC 网 C. OG ? OA ? OB ? OC
a b



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1 6

1 3

1 3

B.OG ? OA ? OB ? OC

1 6

1 3

2 3

学科

2 3

2 3

D. OG ? OA ? OB ? OC

1 2

2 3

2 3

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7.设 a ? 0, b ? 0. 若 3是3 与3 的等比中项,则

1 1 ? 的最小值为 a b

1

A. 8

B. 4

C. 1

D.

1 4 学科网

8 . 利 用 数 学 归 纳 法 证 明 “ (n ? 1)(n ? 2) ? ? ? (n ? n) ? 2 n ?1? 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1), n ? N * ” 时 , 从 “ n ? k ” 变 到 “ n ? k ? 1 ”时,左边应增乘的因式是 A. 2 k ? 1 B. ( )学科网

2k ? 1 2k ? 3 ( 2k ? 1)( 2k ? 2) C. D. 学科网 k ?1 k ?1 k ?1 2 3 9.点 P 在曲线 y ? x ? x ? 上移动时,过点 P 的切线的倾斜角的取值范围是 ( )学科网 3
A. [0, ? ] B. ?0,

? ?? ? 4? ?

C. ?

?? ? ? , ? ?4 2 ?

D. ? ,? ? ?4 ? 学科网

? 3?

?

10. 如图, 平面 ? ? 平面 ? , ?

? ? l , DA ? ? ,BC ? ? , 且 DA ? l 于 A ,BC ? l 于 B ,AD ? 4 ,BC ? 8, AB ? 6 ,

点 P 是平面 ? 内不在 l 上的一动点, 记 PD 与平面 ? 所成角为 ?1 , PC 与平面 ? 所成角为 ?2 。 若 ?1 ? ?2 ,则 ( A.6 B.12 C.18 二、填空题:(每小题 5 分,共 25 分.) 学科网

?PAB 的面积的最大值是

) D.24 学科网
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11.已知 a ? (2, ?1,3), b ? (?4, 2, x) , 且 a // b , 则 x ?

.学科网科网

1 12 .在平行六面体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,若 AB, AD, AA 1 两两所成的角都为 60 ? ,且它们的长都为 ,则 AC1 的长
为 .学科网

13.设 f ( x ) 是偶函数,若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线的斜率为 1,则该曲线在点 (?1, f (?1)) 处的切线的斜 率为 .学科网

2 2 14.由“若直角三角形两直角边长分别为 a、b,则其外接圆半径 r = a ? b ” 类比可得“若三棱锥三条侧棱两两垂 2 直, 侧棱长分别为 a、b、c,则其外接球半径 r = 学科网

15.给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB ,它们的夹角为 90 。如图所示,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上变动.若 OC ? xOA ? yOB, 其中 x, y ? R ,则 x ? y 的 最大值是=________. 学科网 学科网 三、解答题:(共 75 分)
?

?

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16.(10 分)计算: (4 ? 3i )( 5 ? 4i ) ?

5i 2?i

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2

学科
17.(12 分)(1)2 个女生与 4 个男生排在一起,女生必须在一起,可以有多少种不同的方法? (2)1 名老师和 4 名同学排成一排照相,若老师不站两端,则不同的排法有多少种?

118

网 18.18.(12 分)设 x,y,z 为正实数,且 x+y+z=10,求 ?
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4 x

1 9 ? 的最小值,并求出取得最小值时 x,y,z 的值。 y z

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19. (13 分)如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 底面 ABC, PA ? AB, ?ABC ? 60? , ?BCA ? 90? , 点 D , E 分别在棱 PB, PC 上移动,且 DE // BC

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(1)当 D 为 PB 的中点时,求证: DE ? 平面PAC ;

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(2)设 PA=a,当 PE 为何值时,二面角 A ? DE ? P 为直二面角?
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20.(14 分)已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? bx 2 ? 2 x ? a , x ? 2 是 f ( x) 的一个极值点. 3
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(1)求 f ( x ) 的单调递增区间;

(2)若当 x ? [1, 3] 时, f ( x ) ? a ?
2
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2 恒成立,求 a 的取值范围. 3

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3

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21.(14 分)如图,已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦点和上顶点分别为 F1 、 F2 、 B , a 2 b2

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我们称 ?F1 BF2 为椭圆 C 的特征三角形.如果两个椭圆的特征三角形是相似的,则称这两个椭圆是“相似椭圆”,且三 角形的相似比即为 椭圆的相似比.
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x2 x2 y 2 ? y 2 ? 1 和 C2 : ? ? 1 ,判断 C1 与 C2 是否相似,如果相似则求出 C1 与 C2 的相似比,若不 4 16 4 相似请说明理由; ( 2)设短半轴长为 b 的椭圆 Cb 与椭圆 C1 相似,试问在椭圆 Cb 上是否存在两点 M 、 N 关于直线 l : y ? x ? 1 对称,,若存在求出 b 的范围,不存在说明理由.
(1)已知椭圆 C1 :
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4

答案:
一、选择题: 1 2 A A


3 D

4 A

5 B

6 A

7 B

8 C

9 C

10 B

二、填空题: 11. ? 6 三、解答题: 16. 17.

12.

6

13. ? 1

14.
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a2 ? b2 ? c2 2

15.

2

解:上式= 32 ? i ? i(2 ? i) ? 31? 3i
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5 2 解:(1)捆绑法:把 2 个女生看成一个元素, 不同排法共有 A5 A2 ? 240 种

4 1 4 1 (2)老师在中间三个位置上有 A3 种,其余 4 个位置上有 A4 种方法;所以共有 A3 A4 ? 72 种。

18.解: ( x ? y ? z )( ?

4 x

10 5 18 4 1 9 1 9 ? ) ? (2 ? 1 ? 3) 2 ? 36 当 x ? , y ? , z ? 5 时, ? ? 取得最小值 3 3 5 y z x y z

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19. 解:(1)? BC ? AC, BC ? PA, PA ? AC ? A,? BC ? 面PAC

? DE ? 面PAC 又? DE // BC,
(2)? ?AEP 是二面角 A ? DE ? P 的平面角,在 Rt ?PAC 中当 ?PEA ? 90 时, PE ? 20.解:(1) f ' ( x) ? x2 ? 2bx ? 2 .
?

2 7 a 7

∵ x ? 2 是 f ( x) 的一个极值点,
3 . 2

2 ∴ x ? 2 是方程 x ? 2bx ? 2 ? 0 的一个根,解得 b ?

令 f ' ( x) ? 0 ,则 x ? 3x ? 2 ? 0 ,解得 x ? 1 或 x ? 2 .
2

∴函数 y ? f ( x) 的单调递增区间为 (??, 1) , (2, +?) . (2)∵当 x ? (1, 2) 时 f ' ( x) ? 0 , x ? (2,3) 时 f ' ( x) ? 0 , ∴ f ( x ) 在(1,2)上单调递减, f ( x ) 在(2,3)上单调递增. ∴ f (2) 是 f ( x ) 在区间[1,3]上的最小值,且 f (2) ?

2 ?a . 3

若当 x ? [1, 3] 时,要使 f ( x ) ? a 2 ?
2 2 即 ? a ? a 2 ? ,解得 0 ? a ? 1 3 3 21.解: (1)椭圆 C1 与 C2 相似.

2 2 恒成立,只需 f (2) ? a 2 ? , 3 3

5

因为椭圆 C1 的特征三角形是腰长为 2,底边长为 2 3 的等腰三角形 而 C2 的特征三角形是腰长为 4,底边长为 4 3 的等腰三角形, 因此两个等腰三角形相似,且相似比为 1:2 (2)椭圆 Cb 的方程为:

x2 y2 ? ? 1(b ? 0) . 4b 2 b 2

假定存在,则设 M 、 N 所在直线为 y ? ? x ? t , MN 中点为 ? x0 , y0 ? .

? y ? ?x ? t ? 则 ? x2 ? 5x 2 ? 8xt ? 4(t 2 ? b 2 ) ? 0 . y2 ? 2 ? 2 ?1 b ? 4b
所以 5b ? t , x0 ?
2 2

? ? 64t 2 ? 80(t 2 ? b 2 ) ? 0

x1 ? x 2 4t t ? , y0 ? . 2 5 5
5 . 3
又中点 (

中点在直线 y ? x ? 1 上,所以有 t ? ?

4t t , ) 在椭圆内 5 5

5b 2 ? t 2 ?

25 5 ?b ? 9 3

6


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