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【时音1对1】 2-1导数的概念及其运算 【高中数学】


2016/1/6

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●课程标准 1.导数概念及其几何意义 (1)通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡 到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道 瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵. (2)通过函数图象直观地理解导数的几何意义.

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2.导数的运算 (1)能根据导数定义,求函数 y= c, y=x,y= x2, y 1 = , y= x的导数. x (2)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的 四则运算法则求简单函数的导数, (理)能求简单的复合函 数 (仅限于形如 f(ax+ b))的导数. (3)会使用导数公式表.

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3.导数在研究函数中的应用 (1)结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调 性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求 不超过三次的多项式函数的单调区间.

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(2)结合函数的图象,了解函数在某点取得极值的必 要条件和充分条件;会用导数求不超过三次的多项式函 数的极大值、极小值,以及闭区间上不超过三次的多项 式函数最大值、最小值;体会导数方法在研究函数性质 中的一般性和有效性.

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4.生活中的优化问题举例. 例如,通过使利润最大、用料最省、效率最高等优 化问题,体会导数在解决实际问题中的作用.

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5. (理 )定积分与微积分基本定理 (1)通过实例 (如求曲边梯形的面积、 变力做功等 ),从 问题情境中了解定积分的实际背景;借助几何直观体会 定积分的基本思想,初步了解定积分的概念. (2) 通过实例 (如变速运动物体在某段时间内的速度 与路程的关系 ),直观了解微积分基本定理的含义.

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●命题趋势 (1)求导数及切线方程. (2)用导数研究函数的单调性, 求函数的极值与最值. (3)已知函数的单调性或值域等讨论字母参数. (4)导数的综合应用. (5)(理 )定积分与微积分基本定理的应用.

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●备考指南 1.熟练掌握导数的定义及运算法则 主要包括理解导数的定义及几何意义,熟记求导公 式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则,并能运 用上述公式与法则进行求导计算 . 导数的几何意义是重 点必考内容,要熟练掌握求解曲线在某点或经过某点的 切线问题.

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2.熟练掌握导数的应用 主要包括利用导数确定函数的单调性、求函数的极 值与最值、 求字母参数的值或取值范围 . 特别要注意能用 导数的方法解决一些函数性质的综合性问题 .

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3. (理 )掌握定积分的概念、性质,掌握微积分基本 定理,会用定积分解决一些平面曲线围成的平面图形的 面积和变速运动的路程及变力作功等几何与物理问题.

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第 一 节

导数的概念及运算

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重点难点 重点: 导数的概念、公式及运算法则,导数的应用 难点: ①导数的定义 ②复合函数的导数及积商的导数公式

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知识归纳 一、导数及有关概念 1.函数的平均变化率 一般地,已知函数 y=f(x), x0、 x1 是定义域内不同 的两点,记 Δx= x1- x0, Δy= y1- y0= f(x1)-f(x0)=f(x0 f?x0+ Δx?-f?x0? Δy + Δx)-f(x0),则当 Δx≠ 0 时,商 = Δx . Δx 称作函数 y=f(x)从 x0 到 x1 的平均变化率.

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2. (1)平均速度 设物体运动路程与时间的关系是 s=f(t),在 t0 到 t0 + Δt 这 段 时 间 内 , 物 体 运 动 的 平 均 速 度 是 v0 = Δs f?t0+ Δt?-f?t0? = Δt . Δt

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(2)瞬时速度 设物体运动路程与时间的关系是 s=f(t),当 Δt 趋近 于 0 时, 函数 f(t)在 t0 到 t0+ Δt 这段时间内的平均变化率 Δs f?t0+ Δt?-f?t0? = 趋近于常数,我们把这个常数称为 t0 Δt Δt 时刻的瞬时速度.

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3.导数 设函数 y=f(x)在 x0 处及其附近有定义,当自变量在 x= x0 附近改变量为 Δx 时, 函数值相应地改变量 Δy= f(x0 Δy + Δx)-f(x0).如果当 Δx 趋近于 0 时,平均变化率 = Δx f?x0+ Δx?-f?x0? 趋近于一个常数 l,那么常数 l 称为函数 Δx

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f(x)在点 x0 处的瞬时变化率.函数在点 x0 处的瞬时变化 率通常称为 f(x)在 x= x0 处的导数,又称函数 f(x)在 x= x0 处可导.

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Δy 一般地,函数 y=f(x)的导数 f ′ (x)= li m Δx→ 0 Δx f?x+ Δx?-f? x? = li m . Δx Δx→ 0 如果 f(x)在开区间 (a,b)内每一点 x 都是可导的,则 称 f(x)在区间 (a, b)内可导.在区间 (a, b)内,f ′ (x)构 成一个新的函数,我们把这个函数称为函数 f(x)的导函 dy 数,简称为导数,f ′ (x)也记作 . dx

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4.导数的几何意义:函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f ′(x0),就是曲线 y=f(x)在点 P(x0, y0)处的 切线的 斜率. 导数的物理意义:物体的运动方程 s=s(t)在点 t0 处 的导数 s′ (t0),就是物体在 t0 时刻的 瞬时速度.

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5.利用导数求曲线的切线方程 (1)求出函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f ′ (x0); (2)根据直线的点斜式方程,得切线方程为 y- y0=f ′ (x0)(x- x0).

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二、求导数的方法 1.常用的导数公式 C′= 0(C 为常数); (xm)′= mxm-1(x>0,m≠ 0 且 m∈ Q); (xn)′= nxn- 1(n∈ N+) (sinx)′=cosx; (cosx)′=- sinx;

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(ex)′= ex, 1 (a )′= a lna;(lnx)′= ; x
x x

1 (logax)′= . xlna 1 1 特别 f(x)= 时,f ′(x)=- 2, x x f(x)= x时, f ′ (x)= . 2 x 1

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2.两个函数的四则运算的导数 (f± g)′= f ′± g′; (fg)′= f ′ g+fg′,特别 (cf)′=cf ′(c 为常数 ); f ′ g- fg′ f ( )′= (g≠ 0). g g2 3.复合函数的导数 y′ x= y′u· ux′(其中 u 是 x 的函数 )

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误区警示 1.导数公式 (1)要注意公式的适用范围.如 (xn)′= nxn-1 中,n∈ N+,若 n∈ Q 且 n≠0,则应有 x>0. (2)注意公式不要用混, 如(ax)′= axlna, 而不是(ax)′ = xa
x-1

?u ? u′ .还要特别注意(uv)′≠ u′ v′,?v ?′≠ . ? ? v′

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2. 深刻理解“函数在一点处的导数”、 “ 导函数”、 “导数 ”的区别与联系 (1)函数在一点处的导数 f ′ (x0)是一个常数,不是变 量.

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(2) 函数的导数,是针对某一区间内任意点 x 而言 的.函数 f(x)在区间 (a, b)内每一点都可导,是指对于区 间 (a,b)内的每一个确定的值 x0,都对应着一个确定的导 数 f ′ (x0).根据函数的定义,在开区间 (a, b)内就构成 了一个新的函数,就是函数 f(x)的导函数 f ′ (x). (3)函数 y= f(x)在点 x0 处的导数 f ′ (x0)就是导函数 f ′ (x)在点 x= x0 处的函数值,即 f ′ (x0)= f ′ (x)|x= x0.

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3.运用复合函数的求导法则 y′x= y′ u· u′x,应注 意以下几个问题 (1)分清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复 合而成,适当选定中间变量; (2) 分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求 导,而其中特别要注意的是中间变量的导数,求导后要 . 把中间变量转换成自变量的函数. ...............

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4.要正确区分曲线 y= f(x)在点 P 处的切线,与过点 P 的曲线 y= f(x)的切线. [例 1] 已知曲线方程为 y= x2, (1)求过 A(2,4)点且与曲线相切的直线方程; (2)求过 B(3,5)点且与曲线相切的直线方程.

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解析: (1)∵ A(2,4)在 y= x2 上, 由 y= x2 得 y′= 2x,∴ y′ |x=2= 4. 因此所求直线的方程为 y- 4= 4(x- 2), 即 4x- y- 4= 0.

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(2)方法 1:设过 B(3,5)与曲线 y=x2 相切的直线方程 为 y- 5=k(x-3),即 y=kx+ 5- 3k.
?y= kx+ 5- 3k ? 由? 2 ? y = x ?

,得: x2- kx+3k-5=0.

Δ= k2- 4(3k- 5)= 0,整理得 (k-2)(k-10)=0, ∴ k= 2 或 k=10. 所求的直线方程为:2x-y- 1=0,或 10x- y- 25= 0.

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方法 2:设切点 P 的坐标为 (x0, y0), 由 y= x2 得 y′= 2x,∴ y′ | x=x0= 2x0, 5- y0 由已知 kPB= 2x0,即 = 2x0, 3- x0 将 y0= x2 0代入上式整理得: x0= 1 或 x0= 5, ∴切点坐标为 (1,1), (5,25), ∴所求直线方程为 2x- y- 1= 0,10x- y- 25= 0.

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[例 2] 已知函数 f(x)= ax3+ bx2- 3x 在 x=± 1 处取 得极值,若过点 A(0,16)作曲线 y= f(x)的切线,求切线方 程. 在求切线方程时很容易将 A(0,16)理解为曲线 y=f(x) 上的一点,得出如下错解: ∵ f ′ (x)= 3ax2+ 2bx- 3,k= f ′(0)=- 3, ∴切线方程为 y- 16=- 3x,即 3x+ y- 16=0.

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正解: f ′(x)=3ax2+ 2bx- 3, 由题意 ± 1 是方程 f ′(x)=0 的根, 2b 1 ∴- = 0,- =- 1,故 a= 1,b= 0. 3a a 曲线方程为 y=x3- 3x,点 A(0,16)不在曲线上. 设切点为 M(x0, y0),则 y0= x3 0- 3x0. ∵ f ′ (x0)= 3(x2 0- 1), ∴切线方程为 y- y0= 3(x2 0- 1)(x- x0).

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∵点 A(0,16)在切线上,
3 2 ∴ 16- (x0 - 3x0)= 3(x0 -1)(0- x0),

化简得 x3 0=- 8,解得 x0=- 2. ∴切点为 M(- 2,- 2),切线方程为 9x- y+ 16 = 0.

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1.复合函数求导法 复合函数求导时,可依据“从外到内层层剥皮”的 方法. [例 1] 求函数
? π? y= sin?2x+ ?的导数. 3? ?

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π 解析: 第一步,将函数看作 y=sinu 与 u= 2x+ 的 3 复合函数. 第二步,将 y 对 u 求导,将 u 对 x 求导,再相乘, π 并把 u 用 2x+ 替换. 3
? π? ∵ (sinu)′= cosu,?2x+ ?′ = 2, 3? ? ? π? ∴ y′ = 2cos?2x+ ?. 3? ?
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2.对函数求导时,一要熟记基本导数公式,特别是 积、商、对数的导数公式要记准,二要遵循先化简后求 导的原则. 3.求过某点的曲线的切线时,要先判断该点是否在 曲线上,然后依据不同情况有针对性的解答.

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导数的概念

f? 1?-f? 1-2x? [例 1] 设 f(x)为可导函数, 且满足lim 2x x→ 0 =- 1,则过曲线 y= f(x) 上点 (1 , f(1)) 处的切线斜率为 ( ) A. 2 C. 1 B.-1 D.-2

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f? 1?- f? 1- 2x? f? 1- 2x?- f? 1? 解析: lim =lim =- 1, 2 x - 2x x→ 0 x→ 0 即 y′ |x=1=- 1, 则 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为- 1,故选 B.
答案:B

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f? x0- k?-f? x0? ( 文 ) 若 f ′ (x0)= 2 ,则 lim 的值为 2 k k→ 0 ________;

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解析: 令- k=Δx,则 k=- Δx, f? x0+ Δx?-f? x0? ∴原式= lim -2Δx Δx→ 0 f? x0+ Δx?-f? x0? 1 1 =- lim =- f ′ (x0)=- 1. 2Δx→ 0 Δx 2
答案:-1

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f? a+ Δx?- f? a- Δx? ( 理 ) 若 f ′(a) = A ,则 lim = Δ x Δx→ 0 ________.

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f? a+ Δx?- f? a?+f? a?-f? a- Δx? 解析: 原式= lim Δx Δx→ 0 f? a+ Δx?- f? a? f? a-Δx?- f? a? = lim + lim Δ x - Δx - Δx→ 0 Δx→ 0 = A+ A=2A.

答案:2A

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导数的几何意义

[例 2] (文)已知函数 f(x)=2x3+ax 与 g(x)=bx2+c 的图象都过点 P(2,0),且在点 P 处有公共切线,则 f(x)= ______,g(x)=________.

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解析: ∵f(x)=2x3+ ax 的图象过点 P(2,0), ∴ a=- 8,∴f(x)= 2x3-8x, ∴ f ′ (x)= 6x2- 8. ∵ g(x)= bx2+c 的图象过点 P(2,0),∴ 4b+c= 0. 又 g′ (x)= 2bx, g′(2)= 4b=f ′(2)=16, ∴ b= 4,∴ c=- 16,∴g(x)= 4x2- 16. 综上可知,f(x)= 2x3- 8x, g(x)=4x2-16.
答案:2x3-8x 4x2-16

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(理)函数 f(x)= |x|(1+x)在点 x=0 处是否有导数?若 有,求出来,若没有,说明理由 .
?x+ x2 ? 解析:f(x)=? 2 ? - x - x ?

?x≥0? 的图象如图所示, ?x<0?

显然在点 x=0 处曲线的切线不存在, 故 f(x)在 x=0 处导数不存在.

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(文)设曲线 y= ax2 在点 (1,a)处的切线与直线 2x- y- 6= 0 平行,则 a 等于( A. 1 1 C.- 2 ) 1 B. 2 D.- 1

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解析: ∵ y= ax2,∴ y′=2ax,∴y′ |x=1=2a. ∵切线与直线 2x- y- 6=0 平行, ∴ 2a= 2,∴ a= 1.

答案:A

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(理)曲线

? π π? y= xsinx 在点?- , ?处的切线与 ? 2 2?

x 轴、直

线 x= π 所围成的三角形的面积为 ( π2 A. 2 C. 2π2 B.π2

)

1 D. (2+ π)2 2

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解析:∵ y′= sinx+ xcosx,∴ y′ |x=-π =- 1,∴曲
2

线 y= xsinx

? π π? 在点?- , ?处的切线方程为 ? 2 2?

y=- x,所围

π2 成的三角形的面积为 .故选 A. 2
答案:A

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点评: 求曲线在某点处的切线方程,应先求该点处 的导数值,得到切线斜率.再写出切线方程 .

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导数公式及运算法则

[ 例 3]

( 文 ) 设 f0(x) = sinx , f1(x) = f0′(x) , f2(x) = )

f1′(x),?,fn+1(x)=fn′(x),n∈ N,则 f2011(x)等于( A. sinx C. cosx B.- sinx D.-cosx

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解析: f0(x)=sinx, f1(x)= f0′(x)=(sinx)′= cosx, f2(x)= f1′(x)=(cosx)′=- sinx, f3(x)= f2′(x)=(- sinx)′=- cosx, f4(x)= f3′(x)=(- cosx)′ = sinx, ∴ 4 为最小正周期,∴ f2011(x)=f3(x)=- cosx.
答案:D

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( 理 ) 已知 f0(x) = cosx , f1(x) = f ′ 0(x) , f2(x) =- f ′1(x),f3(x)=f ′2(x)?,fn+1(x)= (- 1)nf ′n(x),n∈ N*, 则 f2011(x)=( A. sinx C. cosx ) B.- sinx D.- cosx

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解析: f1(x)=- sinx, f2(x)= cosx, f3(x)=- sinx, f4(x) = cosx, f5(x)=- sinx?, 故 fn(x)的周期为 2,∵ 2011= 2× 1005+ 1, ∴ f2011(x)= f1(x)=- sinx,故选 B.
答案:B

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(文)(1)(2011· 黄山期末)已知 f(x)=x2+ 3xf ′(2), 则 f ′(2)= ________. x x x (2)函数 y= cos (sin - cos )的导数为 ________. 2 2 2

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解析: (1)∵ f ′(x)=2x+3f ′ (2), ∴ f ′ (2)= 4+ 3f ′ (2), ∴ f ′ (2)=- 2.

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x x x (2)∵y= cos (sin - cos ) 2 2 2 x x 2x = cos sin - cos 2 2 2 1 1 = sinx- (1+cosx) 2 2 1 1 = (sinx-cosx)- , 2 2 1 2 π ∴ y′ = (cosx+ sinx)= sin(x+ ). 2 2 4

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2 π 答案: (1)- 2 (2)y′= sin(x+ ) 2 4

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(理)求下列函数的导数: x+ x5+ sinx (1)y= ; x2 (2)y=(x+ 1)(x+ 2)(x+ 3);
? x? 2x (3)y=- sin ?1- 2cos ?; 2? 4?

1 1 (4)y= + ; 1- x 1+ x ex+ 1 (5)y= x . e -1
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x + x5+sinx 解析: (1)∵ y= =x x2 ∴ y′ =(x 3 =- x 2
- 5 2 - 3 2

1 2



3 2

+ x3+ x 2sinx,


)′+ (x3)′+(x 2sinx)′
- - -

+ 3x2- 2x 3sinx+ x 2cosx.

(2)∵y=(x2+3x+ 2)(x+3)= x3+ 6x2+ 11x+ 6, ∴ y′ = 3x2+12x+ 11.

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x? x? 1 (3)∵y=- sin ?- cos ?= sinx, 2? 2? 2
?1 ? 1 ∴ y′ =? sinx ?′= cosx. 2 ?2 ?

1+ x+1- x 1 1 2 (4)y= + = = , 1- x 1+ x ? 1- x??1+ x? 1-x
? 2 ? - 2? 1- x?′ 2 ? ? y′=? = 2 2. ?′= 1 - x ? 1- x? ? 1- x? ? ?

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? ex+ 1?′? ex- 1?-?ex+1??ex-1?′ (5)y′= ? ex- 1?2 ex· ? ex- 1?-? ex+ 1? · ex -2ex = = x x 2 2. ? e -1? ? e -1?

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综合问题

[例 4]

x2 (文)已知曲线 y= - 3lnx 的一条切线的斜率 4

1 为 ,则切点的坐标为________. 2

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x 3 解析: ∵ y′= - , 2 x x 3 1 ? 2 ? ? - = ?x - x- 6= 0 ∴?2 x 2 ,即? , ? ?x>0 ? ?x>0
? ? 9 得 x= 3,故切点坐标为?3, - 3ln3?. 4 ? ? ? ? 9 答案:?3, -3ln3? 4 ? ?

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(理)已知函数 f(x)= x3+ x- 16. (1)求曲线 y= f(x)在点 (2,- 6)处的切线的方程; (2)直线 l 为曲线 y= f(x)的切线,且经过原点,求直 线 l 的方程及切点坐标; 1 (3)如果曲线 y= f(x)的某一切线与直线 y=- x + 3 4 垂直,求切点坐标与切线的方程.

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解析: (1)∵ f ′(x)=3x2+1, ∴ f(x)在点 (2,- 6)处的切线的斜率为 k= f ′ (2)= 13. ∴切线的方程为 y= 13x-32.

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(2)解法 1:设切点为 (x0, y0), 则直线 l 的斜率为 f ′(x0)= 3x2 0+ 1,
3 ∴直线 l 的方程为 y= (3x2 + 1)( x - x ) + x 0 0 0+ x0- 16,

又∵直线 l 过原点 (0,0),
2 3 ∴ 0= (3x0 + 1)(- x0)+ x0 + x0- 16,

整理得, x3 0=- 8,∴ x0=- 2,∴ y0=- 26, k= 13. ∴直线 l 的方程为 y= 13x,切点坐标为(- 2,-26).

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解法 2:设直线 l 的方程为 y= kx,切点为 (x0, y0), y0-0 x3 0+ x0- 16 则 k= = , x x0-0 0
3 x 0+ x0- 16 2 又∵ k= f ′ (x0)= 3x0+ 1,∴ = 3x2 0+ 1, x0

解之得, x0=-2,∴y0=- 26, k= 13. ∴直线 l 的方程为 y= 13x,切点坐标为(- 2,-26).

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x (3)∵切线与直线 y=- + 3 垂直, 4 ∴切线的斜率 k= 4. 设切点坐标为 (x0, y0),则 f ′ (x0)= 3x2 0+ 1= 4,
? ?x0= 1 ∴ x0=± 1,∴? ? ?y0=- 14 ? ?x0=- 1 ,或? ? ?y0=- 18

.

∴切点坐标为 (1,- 14)或 (- 1,- 18),切线方程 为 y= 4x- 18 或 y= 4x- 14.

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(2011· 茂名一模)设函数 f(x)= g(x)+ x2, 曲线 y= g(x) 在点 (1, g(1))处的切线方程为 y= 2x+ 1, 则曲线 y= f(x) 在点 (1, f(1))处切线的斜率为( A. 4 C. 2 ) 1 B.- 4 1 D.- 2

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? 解析:∵f(x)=g(x)+x2,∴f ′(x)=g′(x)+2x, ? ∴f ′(1)=g′(1)+2,由条件知,g′(1)=2,∴f ′(1) =4,故选A. ? 答案:A

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一、选择题 1 3 1.(文 )(2011· 龙岩质检 )f ′(x)是 f(x)= x + 2x+ 1 的 3 导函数,则 f ′(- 1)的值是 ( A. 1 C. 3
[答案] C

)

B. 2 D. 4

[解析] ∵f ′(x)=x2+2,∴f ′(-1)=3.

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(理)(2011· 青岛质检 )设 f(x)= xlnx, 若 f ′ (x0)= 2, 则 x0= ( ) B. e D. ln2

A. e2 ln2 C. 2
[答案] B

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[解析 ] f ′(x)= 1+lnx,∴ f ′(x0)= 1+ lnx0= 2, ∴ lnx0= 1,∴x0= e,故选 B.

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2.(文 )(2010· 柳州、贵港、钦州模拟 )已知直线 y= kx + 1 与曲线 y= x3+ ax+ b 相切于点 (1,3),则 b 的值为 ( ) A. 3 C. 5
[答案] A

B.- 3 D.- 5

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[解析 ] 由条件知 (1,3)在直线 y= kx+ 1 上,∴ k= 2. 又 (1,3)在曲线 y= x3+ ax+b 上,∴ a+b= 2, ∵ y′ = 3x2+a,∴ 3+ a=2,∴a=- 1,∴b= 3.

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(理)(2011· 皖南八校联考 )直线 y= kx+ b 与曲线 y= x3 + ax+ 1 相切于点 (2,3),则 b 的值为 ( A.- 3 C.- 15
[答案] C

)

B. 9 D.- 7

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[解析 ]

将点(2,3)分别代入曲线 y= x3+ ax+1 和直

线 y= kx+ b,得 a=- 3,2k+b= 3. 又 k= y′|x=2=(3x2-3)|x=2= 9, ∴ b= 3- 2k=3- 18=- 15.

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3. (文)(2011· 信阳高中月考 )已知二次函数 f(x)的图象 如图所示,则其导函数 f ′ (x)的图象大致形状是( )

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[答案] B

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[解析 ] 因为二次函数在(-∞,0)上递增,在(0,+ ∞ )上递减,所以其导函数在(-∞,0)上大于 0,在(0, +∞ )上小于 0,故选 B.

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(理)若函数 f(x)= x2+ bx+ c 的图象的顶点在第二象 限,则函数 f ′(x)的图象是 ( )

[答案] C

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[解析 ]

2? ? 4 c - b b ? 由题意可知? - , ? ? 在第二象限 4 ? ? 2

? b ?-2<0 ?? 2 4 c - b ? >0 ? 4

? b>0,又 f ′(x)= 2x+b,故选 C.

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4.(2010· 黑龙江省哈三中)已知 当 y′= 2 时, x 等于 ( π A. 3 π C. 4
[答案] C

? π? y= tanx,x∈?0, ?, 2? ?

) 2 B. π 3 π D. 6

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[ 解析 ]

?sinx ? cos2x+sin2x ?′= y′ = (tanx)′ = ? = 2 cos x cos x ? ?

1 1 2 2 = 2,∴ cos x= ,∴cosx=± , cos2x 2 2
? π? π ? ? ∵ x∈ 0, ,∴ x= . 2? 4 ?

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