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3.1.1空间向量及其线性运算


数学是智能的一种形式,利用这种形式,我们可以 把现实世界中的种种对象,置之于数量概念的控制之 下 ——霍维逊

在《数学4(必修)》中,为了解决平面 上有关点、直线的位置关系和度量问题, 我们引入了平面向量及其运算。

复习回顾:平面向量 既有大小又有方向的量。 1、定义: 几何表示法:用有向线段表示

字母表示法: ? ? ? 用小写字母 a, b, c? 表示, 或者用表示向量的有向线段的 ??? ??? ? ? 起点和终点字母表示 AB, CD 。 相等向量:长度相等且方向相同的向量
B A

D
C

2、平面向量的加法、减法与数乘运算

b
a
向量加法的三角形法则

b a
向量加法的平行四边形法则

a b a
向量减法的三角形法则

ka ka

(k>0) (k<0)

向量的数乘

3、平面向量的加法、减法与数乘运算律

加法交换律: 加法结合律: 数乘分配律:

a?b ?b?a (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) k (a ? b) ? k a+k b

那么能否进一步,扩大视野,将向量由平面 向空间推广,建立相应的运算及其性质,用 空间向量来研究空间有关点和直线、平面的 位置关系和度量问题呢? 1、如何将向量及其运算由平面向空间推广? 2、怎样用向量的方法解决空间图形的有关 问题?

第三章:空间向量与立体几何

在空间,我们把像位移、力、速度、加速度这样 既有大小又有方向的量,叫做空间向量。

我们已经学习过平面向量的运算及其性质,那么, 空间向量如何进行运算?它们具有什么性质?

学习目标:
1.了解空间向量的概念,掌握空间向量的线性运 算及其性质. 2.理解空间向量共线的充要条件.

自学指导
1、在空间中,单位向量、向量的模、相等向量、相反向 量等概念和平面向量中相对应的概念有何关系? 2、类比平面向量的和、差、数乘,你能得出空间向量 的和、差、数乘的意义吗? 3、空间向量的和、差、数乘,还适用平面向量的各种 运算律吗? 4、类比平面向量的共线定理,你能得出空间向量的共 线定理吗?

? 自学检测:P71 练习1(1)

与平面向量一样,空间向量也用有向线 段表示。凡是方向相同且长度相等的有 向线段都表示同一向量或者相等向量。 在空间中,单位向量、向量的模、相等 向量、相反向量等概念和平面向量中 相对应的概念都是一致的。

C

a b
O

+
A

b

B

空间向量的加法

OB ? OA ? AB

a
ka
ka

空间向量的减法

CA ? OA ? OC

(k>0)
空间向量的数乘

(k<0)

同样,空间向量的加法和数乘运算 满足如下运算律:
加法交换律

a?b ? b?a
(a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

加法结合律 数乘分配律

k (a ? b) ? k a+k b

加法结合律: (a ? b) ? c ? a ? (b ? c)
O O

a
C
A

a b
A

+

c
C

b

B

c

b

B

c

如果表示空间向量的有向线段所在的直线 互相平行或重合,那么这些向量叫做共线 向量或平行向量,向量a与b平行,记作 a∥b。

我们规定零向量与任意向量共线。
平面向量共线的充要条件在空间也是成立,即有:

共线向量定理:对空间任意两个向量a,b (a≠0) ,b与a共线的充要条件是存在实 数λ,使b=λa,

例1.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M是BB1的中点, 化简下列各式,并在图中标出化简得到的向量。 A1 (1)CB+BA1 B1 1 (2)AC+CB+ AA1 2 C1 M (3)AA1-AC-CB A C

B

例2 : 如图, 在长方体OADB ? CA' D ' B '中, OA ? 3, OB ? 4, OC ? 2, OI ? OJ ? OK ? 1, 点E, F分别 ? ? ? ' ' 是DB, D B 的中点, 设OI ? i , OJ ? j , OK ? k , ? ? ? 试用向量i , j , k 表示OE和OF.

分层训练
? 必做题
? 选做题

P71
P71

练习 1(2)(3) 2,
练习 3

? 作业:P82、习题3.1

1、 2

小结

类比思想

数形结合思想

平面向量
概念 定义 表示法 相等向量

空间向量
具有大小和方向的量

加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零 数乘:ka,k为正数,负数,零
运 算 律
加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律 加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律 k (a ? b) ? k a+k b

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律 k (a ? b) ? k a+k b

空间向量及其加减与数乘运算
平面向量 空间向量

概念 定义 表示法 相等向量

具有大小和方向的量
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则 数乘:ka,k为正数,负数,零
加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律

加法 减法 数乘 运算 运 算 律
共线 向量 定理

加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则 数乘:ka,k为正数,负数,零
加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律 (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律 k (a ? b) ? k a+k b

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c)
数乘分配律

k (a ? b) ? k a+kb
空间向量b与a (a≠0)共线 的充要条件是存在实数λ,使 b=λa,

b与a (a≠0)共线的充要 条件是存在实数λ,使b=λa,


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