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高二数学椭圆1


高二数学椭圆

本周课题:椭圆 本周重点:椭圆的定义、标准方程、性质 本周难点:定义和性质的应用 本周内容: 1. 椭圆定义 我们把平面内与两个定点 F1、 F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆, 这两个 定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫椭圆的焦距。 2. 椭圆的标准方程:

形式一: 说明:此方程表示的椭圆焦点在

x 轴上,焦点是 F1(-c,0)、F2(c,0),其中 c2=a2-b2

形式二: 说明:①此方程表示的椭圆焦点在 y 轴上,焦点是 F1(0,-c),F2(0,c),其中 c2=a2-b2. ②两种形式中,总有 a>b>0; ③两种形式中,椭圆焦点始终在长轴上; ④a,b,c 始终满足 c2=a2-b2; ⑤遇到形如 Ax2+By2=C,只要 A、B、C 同号,且 A≠B 就是椭圆方程, 推导:建立直角坐标系 xOy,使 x 轴经过点 F1、F2,并且 O 与线段 F1F2 的中点重合。 设 M(x,y)是椭圆上任意一点,椭圆的焦距为 2c(c>0),那么焦点 F1、F2 的坐标分别是(-c, 0),(c,0). 又设 M 与 F1 和 F2 的距离的和等于常数 2a. 由椭圆定义,椭圆就是集合 P={M||MF1|+|MF2|=2a}

因为

所以得: 整理得:(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) 由椭圆的定义可知:2a>2c,即 a>c,故 a2-c2>0

令 a2-c2=b2,其中 b>0,代入上式整理得: 3. 椭圆的性质

由椭圆方程 (1)范围:

研究椭圆的性质

从标准方程得出 形中 (2)对称性:

,即有-a≤x≤a,-b≤y≤b,可知椭圆落在 x=± a,y=± b 组成的矩

把方程中的 x 换成-x 方程不变, 图象关于 y 轴对称, y 换成-y 方程不变, 图象关于 x 轴对称。 把 x,y 同时换成-x,-y 方程也不变,图象关于原点对称。 如果曲线具有关于 x 轴对称, 关于 y 轴对称和关于原点对称中的任意两种, 则它一定具有第 三种对称。 原点叫椭圆的对称中心,简称中心。x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴。从椭圆的方程中直接可以 看出它的范围,对称和截距。 (3)顶点:椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点。

在椭圆

的方程里, 令 y=0 得 x=± a, 因此椭圆和 x 轴有两个交点 A1(-a, 0), A2(a,

0),它们是椭圆

的顶点。

令 x=0 得 y=± b,因此椭圆和 y 轴有两个交 B1(0,-b),B2(0,b),它们也是椭圆 的顶点。因此椭圆共有四个顶点:A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)加两焦点 F1(-c,0),F2(c,0)共有六 个特殊点。 A1A2 叫椭圆的长轴,B1B2 叫椭圆的短轴。长分别为 2a,2b a,b 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长,椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。 (4)离心率: 发现长轴相等,短轴不同,扁圆程度不同。这种扁平性质由什么来决定呢?

定义式:

,范围:0<e<1,考察椭圆形状与 e 的关系。

e→0,c→0,椭圆变圆,直至成为极限位置圆,此时也可认为圆为椭圆在 e=0 时的特例。 e→1,c→a,椭圆变扁,直至成为极限位置线段 F1F2,此时也可认为椭圆在 e=1 时的特例。 4. 椭圆的第二定义 一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个(0,1)内常数 e,那么这个点的轨迹 叫做椭圆。其中定点叫做焦点,定直线叫做准线,常数 e 就是离心率。

椭圆的准线方程:

对于

, 相对于左焦点 F1(-c,0)对应着左准线 l1:

; 相对于右焦点 F2(c,0)

对应着右准线 l2 :

,相对于下焦点 F1(0 , -c) 对应着下准线: l1 :

;相对于上焦点 F2(0,c)对应着上准线 l2:

.

准线的位置关系:

焦点到准线的距离

其上任意点 P(x,y)到准线的距离;(分情况讨论) 点评:(1)从上面的探索与分析可知,椭圆的第二定义与第一定义是等价的,它是椭圆两种 不同的定义方式。 (2)椭圆的准线方程有两条,这两条准线在椭圆外部,与短轴平行,且关于短轴对称。 5. 焦半径公式

设 M(x0,y0)是椭圆

的一点 r1 和 r2 分别是点 M 与点 F1(-c,0),F2(c,

0)的距离,那么(左焦半径)r1=a+ex0,(右焦半径)r2=a-ex0,其中 e 是离心率。

推导:

同理有焦点在 y 轴上的椭圆的焦半径公式:

6. 参数方程 问题:如图,以原点 O 为圆心,分别以 a,b(a>b>0)为半径作两个图,点 B 是大圆半径 OA 与小圆的交点,过点 A 作 NA⊥OX 垂足为 N,过点 B 作 BM⊥AN,垂足为 M,求当半径 OA 绕点 O 旋转时点 M 的轨迹的参数方程。 解答:设 A 的坐标为(x,y),∠NOA=φ,取 φ 为参数,那么

也就是

,这就是所求点 A 的轨迹的参数方程,



发现它可化为

,说明 A 的轨迹是椭圆。

椭圆的参数方程 本周例题: 例 1 求适合下列条件的椭圆的标准方程:

,注意:φ 角不是角∠NOM

(1)两个焦点的坐标分别是(-4,0),(4,0),椭圆上一点 P 到两焦点距离之和等于 10;

(2)两个焦点的坐标分别是(0,-2),(0,2),并且椭圆经过点

解:(1)因为椭圆的焦点在 x 轴上,所以设它的标准方程为

∵2a=10,2c=8∴a=5,c=4,∴b2=a2-c2=52-42=9 所以所求椭圆的标准方程为

(2) 因 为 椭 圆 的 焦 点 在 y 轴 上 , 所 以 设 它 的 标 准 方 程 为

由椭圆的定义知:

又 c=2,∴b2=a2-c2=6 所以所求椭圆方程为 例 2 已知 B、C 是两个定点,|BC|=6,且△ABC 的周长等于 16,求顶点 A 的轨迹方程。 分析:在解析几何里,求符合某种条件的点的轨迹方程,要建立适当的坐标系,而选择坐标 系的原则,通常欲使得到的曲线方程形式简单。 在右图中,由△ABC 的周长等于 16,|BC|=6 可知,点 A 到 B、C 两点的距离之和是常数, 即|AB|+|AC|=16-6=10,因此,点 A 的轨迹是以 B、C 为焦点的椭圆,据此可建立坐标系,使 x 轴经过点 B、C,原点 O 与 BC 的中点重合。 由已知 |AB|+|AC|+|BC|=16 , |BC|=6 ,有 |AB|+|AC|=10 ,即点 A 的轨迹是椭圆,且 2c=6 , 2a=16-6=10,∴c=3,a=5,b2=52-32=16 但当点 A 在直线 BC 上,即 y=0 时,A、B、C 三点不能构

成三角形,所以点 A 的轨迹方程是 说明:求出曲线后,要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意,如果有不符合题意 的点,就在所得方程后注明限制条件; 例 3 如图,已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为 2,从这个圆上任意一点 P 向 x 轴作垂 线段 PP',求线段 PP'中点 M 的轨迹。

解:设点 M 的坐标为(x,y),点 P 的坐标为(x0,y0),则 x=x0,

因为 P(x0,y0)在圆 x2+y2=4 上,所以

①将 x0=x,y0=2y 代入方程①

得 x2+4y2=4 即

所以点 M 的轨迹是一个椭圆。(如图)

说明:①本题在求点 M(x,y)的轨迹方程时,不是直接建立关于 x,y 之间关系的方程,而 是先寻找 x,y 与中间变量 x0,y0 之间的关系,利用已知关于 x0,y0 之间关系的方程,得到关于 x,y 之间关系的方程。这种利用中间变量求点的轨迹方程的方法是解析几何中常用的方法。 ②如果求得点的轨迹的方程形式与椭圆的标准方程相同,那么这个轨迹是椭圆。 ③由本题结论可以看到,将圆按照某个方程均匀地压缩(拉长),可以得到椭圆。

例 4 已知 F 是椭圆 25x2+16y2=400 在 x 轴上方的焦点, Q 是此椭圆上任意一点, 点P分 所成的比为 2,求动点 P 的轨迹方程。

解:把已知椭圆方程变为 ∵a2=25,b2=16

从而焦点 F 的坐标为(0,3),设点 P 坐标为(x,y),Q 点的坐标为(x1,y1)





由P分

所成比为 2,得

∴x1=3x,y1=3y-6 代入①得: 225x2+144y2-576y+176=0 例 5 求椭圆 16x2+25y2=400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标 解:把已知方程化成标准方程

因此,椭圆的长轴的长和短轴的长分别为 2a=10,2b=8,离心率 为 F1(-3,0),F2(3,0),椭圆的四个顶点是 A1(-5,0),A2(5,0),B1(0,-4),B2(0,4)

,两个焦点分别

例 6 椭圆 的距离。

上有一点 P,它到椭圆的左准线距离为 10,求点 P 到椭圆的右焦点

解:椭圆

的离心率为

,根据椭圆的第二定义得,

点 P 到椭圆的左焦点距离为 10e=8 再根据椭圆的第一定义得,点 P 到椭圆的右焦点的距离为 20-8=12

例 7 椭圆 椭圆方程。 解:由椭圆的焦半径公式,得

,其上一点 P(3,y)到两焦点的距离分别是 6.5 和 3.5,求

所求椭圆方程为

例 8 已知椭圆 围。

上的点 P(x,y),求

的取值范

解:

例 9 已知椭圆

与 x 轴的正半轴交于 A,0 是原点,若椭圆上存在一

点 M,使 MA⊥MO,求椭圆离心率的取值范围。

解 : A(a,0) , 设 M 点 的 坐 标 为

, 由 MA ⊥ MO 得

化简得

所以 本周练习题: 1. 已知椭圆的一个焦点将长轴分为 两段,求其离心率。

解:由题意, 2. 求下列椭圆的焦点坐标与准线方程

(1)

(2)2x2+y2=8

答案:(1)焦点坐标 F1(-8,0),F2(8,0);准线方程

(2)焦点坐标 F1(0,-2),F2(0,2);准线方程

3. 已知椭圆的两条准线方程为 y=± 9,离心率为

,求此椭圆的标准方程。

答案:

4. 椭圆 差数列,求证:x1+x2=8

,上不同三点 A(x1,y1),

,C(x2,y2)与焦点 F(4,0)的距离成等

证明:由题意,得

5. 求椭圆

的内接矩形面积的最大值。

答案: 高二数学周末练习

1. 已知椭圆

,P 为椭圆上一点,且

,则点 P 的坐标为(

)

A. (2,3)

B.

C. )

D.

2. k 为何值时,直线 y=kx+2 和椭圆 2x2+3y2=6 相交(

A.

B.

C.

D.

3. 若直线 y=x+t 与椭圆

相交于 A,B 两点,当 t 变化时,|AB|的最大值为(

)

A. 2

B

C.

D.

4. F(c,0)为椭圆

的右焦点,F 与椭圆上的点的距离最大值为 M,最小值为 m,

则椭圆上与 F 点距离等于

的点是(

)

A.

B.

C. (0,± b)

D. 不存在

5. P 为椭圆

上的动点,作 PD⊥x 轴,D 是垂足,则 PD 中点轨迹方程是(

)

A.

B.

C.

D.

6. 被椭圆

内一点 P(2,1)平分的弦的斜率为______

7. 若直线 4x-3y+12=0 过椭圆

的一个焦点, 离心率为

, 则椭圆方程为____

8. F1,F2 是椭圆

上的两个焦点,P 是椭圆上任意一点,则|PF1|· |PF2|的最大值为

_____,||PF1|-|PF2||的最大值为____

9. M 是椭圆

上一点,F1,F2,是椭圆的两个个焦点,I 是△MF1F2 的内心,延长

MI 交 F1F2 于 N,则|MI|:|IN|=____

10. 在椭圆 椭圆离心为_____ 参考答案: 1.B 2.A 3.C

中,左顶点,上顶点,右焦点,分别为 A,B,F,若 AB⊥BF,则

4.C

5.A

6.

7.

8. a2,2c

9.

10.

高二数学周末练习

1. 如果双曲线 ( )

上一点 P 到它的右焦点的距离是 8, 那么 P 到它的右准线距离是

(A)10

(B)

(C)

(D)

2. 若椭圆 P 是两条曲线的一个交点,则|PF1|· |F2|=( )

有相同的焦点 F1、 F2,

(A)m-a

(B)

(C)m2-a2

(D)

3. 设 F1 和 F2 为双曲线 的面积是( )

的两个焦点,点 P 在双曲线上∠F1PF2=60° ,则△F1PF2

(A)

(B)

(C)

(D)

4. 若曲线 是( )

是焦点在 y 轴上的双曲线,则 α 的取值范围

(A)

(B)

(C)

(D)

5. a=(2,-3,5),b=(-3,1,-4),a+b,a-b 为( A. (-1,-2,1)(-5,4,-9) C. (-1,-2,1)(-5,-4,9)

)

B. (-1,2,-1)(5,-4,9) D. (-1,-2,1)(5,-4,9) )

6. A(1,1,-2),B(1,1,1),则线段 AB 长度为( A. 1 B. 3/2 C. 2 D3

7. 垂直于同一直线的两条直线的位置关系是( (A)平行 (B)相交或平行

) (D)平行或相交或异面

(C)平行或异面

8. 已知 F1、F2 是双曲线

的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直

线与双曲线的左支交于 A、B 两点,若△ABF2 是正三角形,那么该双曲线的离心率等于_____

9. 已知双曲线与椭圆 ____

共焦点,它们的离心率之和为

,则此双曲线的方程为

10. a=(2,-2,-3),b=(2,0,4),则 a 与 b 夹角为_______

答案:1.D 2.C 3.C 4.C 5.D 6.D 7.D 高二数学周末练习

1. 下列命题正确的个数是( ①两条直线可以确定一个平面

)

②一条直线和一个点可以确定一个平面 ③经过空间三点能确定一个平面或无数个平面 ④空间三条直线两两平行,且不在同一平面内,则它们可以确定三个平面 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

2. 椭圆 A. 相同的长、短轴 C. 相同的离心率 B. 相同的焦点 D. 相同的顶点 )

具有(

)

3. 在空间内,下列命题正确的是( A. 各边长相等的四边形是菱形

B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C. 两对角线相等的四边形是矩形 D. 一组对边平行,另一组对边不平行的四边形是梯形

4. 已知 P 是椭圆 是( )

上的一点,F1 和 F2 是焦点,且∠F1PF2=30° ,△PF1F2 的面积

A.

B.

C.

D.

5. 如图,平面 α∩平面 β=l,A,B∈α,C∈β, 定平面 γ,则平面 β、γ 的交线必通过( A. 点 A B. 点 B )

,直线 AB∩l=D,过 A,B,C 三点确

C. 点 C,但不通过点 D

D. 点 C 和点 D

6. A,B,C 表示不同的点,a,l 表示不同的直线,α,β 表示不同的平面,下列推理错误的 是( ) A. B. C. D.

7. 若方程表示

椭圆,则 k 的取值范围是______

8. 若椭圆的一个顶点与两个焦点恰好是一个等边三角形的三个顶点,则椭圆的离心率是 ____

9. 设 AB 是过椭圆 的长为_____

的一个焦点 F 的弦,且直线 AB 的倾斜角为 60° ,则弦 AB

10. 已知在椭圆 为_____ 答案: 1.A 2.C 3.D

上找一点 P,使它到直线 x+2y+18=0 的距离最小,则 P 的坐标

4.B

5.D

6.C

7. (-6,-1)∪(-1,4)

8.

9.

10.


高二数学椭圆1

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