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诱导公式训练


诱导公式训练题
π ? sin? ? 2+θ? -cos?π-θ? 1.已知 tan θ=2,则 等于( π ? ? sin ? -θ?-sin?π-θ? 2 A.2 B.-2 C.0 2 D. 3 ).

解析

π ? sin? ? 2+θ? -cos ?π-θ? cos θ+cos θ 2 = = =-2. 故选 B. π

? cos θ-sin θ 1-tan θ sin ? - θ - sin ? π - θ ? ?2 ? ).

π 1 π 2.已知 sin?α- ? = ,则 cos ? +α? 的值等于( ? 4? 3 ?4 ? A. 2 2 3 -2 3 B. 3 1 C. 3 1 D.- 3

解析

π ? ?π ? π?? cos? ?4+α? =cos?2+? α-4 ??

π 1 =-sin?α- ?=- . ? 4? 3 3.若 f (sin x)=3-cos 2x,则 f(cos x)=( A.3-cos 2x C.3+cos 2x 解析 ). B.3-s in 2x D.3+sin 2x

?π ?? f (cos x)=f? ?sin ?2-x??=3-cos (π-2x)=3+cos 2x.

3π ? ?π ? cos(π+α)=________. 4.化简 sin(π+α)cos? ? 2 +α ?+sin ?2+α ?· 解析 π 2 2 原式=sin αcos? +α? -cos αcos α=-sin α-cos α=-1. ?2 ?

cos?-585° ? 5.计算 的值等于________. sin 495° +sin?-570° ? 解析 cos 585° 原式= sin?360° +135° ?-sin?360° +210° ?

2 - - cos 45° cos 225° 2 = = = = 2-2. sin 135° -sin 210° sin?90° +45° ?-sin?180° +30° ? 2 1 + 2 2 7 sin?2π-α?cos? α- π ? ? tan?3π-α? 2 ? 6.化简 + . 3 ? sin ?3π+α?cos?2π+α? sin ?π-α?sin? π - α ?2 ? ?2 ? 解 3 ? tan(3π-α)=-tan α, sin(π-α)=sin α, sin(2π-α)=-sin α, cos(2π+α)=cos α, sin? ?2π-α?

=-cos α,

7 ? π ?7 ? ? ? cos? ?α- 2π? =cos?2π-α? =cos?4π-2 -α ? π ? ?3 ? =cos? ?2+α? =-sin α,sin?2π+α? =-cos α, 所以,原式= -tan α -sin α· ?-sin α? + sin α· ?-cos α? -cos α· cos α
2

1 sin2 α 1-sin α cos2 α = 2 - 2 = = 2 =1. cos α cos α cos2 α cos α 7.若 f (cos x)=cos2x,则 f(sin 15° ) 的值为( A.- 解析 3 2 B. 3 2 1 C.- 2 1 D. 2 3 . 2 ).

∵f (cos x)=cos 2x,∴f (sin 15° ) =f(cos 75° ) =cos 150° =-cos 30° =-

8.若 sin (180° +α)+cos (90° +α)=-a,则 cos (270° -α)+2sin (360° -α)的值是 A.- 解析 2a 3 3a B.- 2 2a C. 3 3a D. 2

a 由已知得 sin α= , 2

a 3a ∴cos (270° -α)+2sin (360° -α)=-sin α-2sin α=-3× =- . 2 2 9.计算 sin2 1° +sin2 2° +sin2 3° +…+sin2 89° =________. 解析
2

原式=sin 1° +sin 2° +…+sin 44° +sin 45° +cos 44° +…+cos 1°
2 2 2 2

2

2

2

2

2

2

=(sin 1° +cos 1° )+(sin 2° +cos 2° )+…+sin 45° =1+1+…+

? 2?2 =44+1=89. ?2? 2 2

10.已知锐角 α 终边上一点 A 的坐标为(2sin 3,-2cos 3),则角 α 的弧度数为________. 解析
? ?sin α=-cos 3, ? ? cos α=sin 3, ?

π ? ∵3∈? ?2,π?,∴sin 3>0,cos 3<0. 即 α 的终边在第一象限. π ? π ? π? π ? π? ∴cos α=cos ? ?2-3?=cos ?3-2?. 又∵3-2∈?0,2?,∴α=3- 2. 11.已知△ABC 的三个内角分别为 A ,B ,C,求证: (1)cos A =-cos (B +C);(2)sin 证明 B +C A =cos . 2 2

(1)∵A +B +C=π,∴A =π-(B +C),

∴cos A =cos [π-(B +C)]=-cos (B +C). (2)∵A +B +C=π,∴ B +C π A B +C π A A = - ,∴sin =sin ? - ?=cos . ? ? 2 2 2 2 2 2 2

π π? 12 . ( 创 新 拓 展 ) 是 否 存 在 角 α 和 β , 当 α ∈ ? ?-2,2? , β ∈ (0 , π) 时 , 等 式 π ? ? -β ?sin?3π-α?= 2cos? ? ? 2 ? 同时成立?若存在,则求出 α 和 β 的值;若不存在,请说明理 ? 3cos?-α?=- 2cos?π+β? ? 由. 解 π π 存在 α= ,β= 使等式同时成立.理由如下: 4 6

π ? ? -β? ?sin ?3π-α?= 2cos? ? 2 由? 得, ? ? 3cos?-α?=- 2cos?π+β?

?sin α= 2sin β, 两式平方相加得, ? ? 3cos α= 2cos β,
1 2 sin2 α+3cos 2 α=2,得到 sin2 α= ,即 sin α=± . 2 2 π π? π π π 3 因为 α∈? ?-2,2?,所以 α=4或 α=-4. 将 α=4代入 3cos α= 2cos β,得 cos β= 2 ,由于 β π ∈(0,π),所以 β= . 6 π 1 将 α=- 代入 sin α= 2sin β,得 sin β=- ,由于 β∈(0,π),这样的角 β 不存在.综上可知, 4 2 π π 存在 α= ,β= 使等式同时成立. 4 6


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