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概率中的一个有趣问题


生日巧合:概率中的一个有趣问题
上海市卢湾高级中学 赵杨柳

请你作一个调查,你们班的同学中,有没有生日相同的? 我敢打赌,你们班几乎可以肯定有生日相同的同学。这是为什么呢? 在一般人看来,一年有 365 天,两个人生日都要在这 365 天中的某一天, 似乎是很凑巧的事。 其实如果你班有 40 人, 至少有两人生日相同的可能性有 89%; 如果你班有

45 人,至少有两人生日相同的可能性达到 94%;如果你班有 50 人, 至少有两人生日相同的可能性达到 97%之多。 为了说明其理由,我们先来计算一下,50 个人的生日各不相同的概率是多 少? 由于每个同学都可能在一年 365 天中的任意一天出生,它的机会是等可能 的,有乘法原理可知 50 个同学的出生共有 36550 。而 50 个人的生日各不相同的 50 情况有 P365 。 (排列不重复! ) 即 50 人中生日各不相同的概率为 P 1 ? 3% ,所以 50 人中生日至少有两个相同 的概率为 P ? 1 ? P 1 ? 97% 假定每个人的生日在一年 365 天中的任意一天都是等可能的, 那么找 n 个人 (不超过 365 人),这 n 个人生日各不相同的概率(可能性)可用公式:
n P365 365(365 ? 1)(365 ? 2)...(365 ? n ? 1) 计算而出; P ? 1 ? n 365 365n

因而 n 个人至少有两人生日相同的概率为 Pn 365(365 ? 1)(365 ? 2)...(365 ? n ? 1) P(n) ? 1 ? 365n ? 1 ? 365 365n 从而可有计算机算出:
P(5) ? 3%; P(10) ? 25%; P(20) ? 41%; P25) ? 57% P(30) ? 71%; P(35) ? 81%; P(40) ? 89%; P(45) ? 94%; P(50) ? 97% P(50) ? 97.04%; P(55) ? 99.12%; P(70) ? 99.92%;

可以看出,当人数超过 55 人时,至少 2 人生日相同的概率就会超过 99%。 所以,如果一个班的学生超过 55 人,几乎可以肯定地说,一定有 2 人的生日相 同。

过去读 《红楼梦》 , 看到第 62 回 “憨湘云醉眠芍药裀, 呆香菱情解石榴裙” , 说宝玉、宝琴、平儿和邢岫烟四个人的生日是同一天,大太太和宝钗的生日是同 一天,袭人和黛玉的生日是同一天,觉得哪会那么巧,反正是小说嘛,也没当回 事。 现在看来, 贾府上上下下几百口, 四个人的生日相同, 也不是没有这种可能。 看来,曹雪芹绝不是信口开河,胡编乱造,说不定,这位旷世奇才还真懂得点儿 概率知识呢。 这个问题是概率论中的著名问题。 由于它的迷惑性很强, 不少人都为它打赌, 因而引出了不少轶事。 练一练: 1.一年 365 天,任意翻一本日历,正好翻到你生日的概率是______,是 2?月的 概率是____. 2.高三(5)班有 27 个同学,有两人生日月份相同的概率为______. 3、随机找两人,这两人同月出生的概率为 . 4.一个家庭中有 4 个孩子,则下列事件发生的可能性,正确的个数是( ). 1 4 ①P(全为男孩)= ; ②P(至少有一个女孩)= ; 5 5 1 3 1 ③P(2 男 2 女)= ; ④P(至少有 2 个女孩)= ; ⑤P(3 男 1 女)= . 5 5 4 A.0 B.1 C.2 D.3 5.中央电视台“幸运 52”栏目中的“百宝箱”互动环节,是一种竞猜游戏,游 戏规则如下:在 20 个商标中,有 5 个商标牌的背面注明一定的金额,其余商 标牌的背面是一张哭脸,若翻到哭脸,就不得奖.参与这个游戏的观众有三 次翻牌机会(翻过的牌不能再翻).某观众前两次翻牌均获得若干奖金,那 么他第三次翻牌获奖的机会是( ). 1 1 1 3 A. B. C. D. 4 5 6 20 答案: P2 1 1 28 1. , . 2. 1. 3、 1 ? 122 ? 4. A . 5. C 12 12 365 365


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