kl800.com省心范文网

【三维设计】2015届高考数学一轮复习 第一节 平面向量的概念及其线性运算课件 理 新人教A版


第一节

平面向量的概念及其线性运算

1.向量的有关概念
(1)向量:既有大小,又有 方向 的量叫向量;向量 的大小叫做向量的 模 .

(2)零向量:长度为 0 的向量,其方向是任意的.
(3)单位向量:长度等于1 个单位 的向量.
(4)平行向量:方向相同或 相反 的非零向量,又叫共线 向量,规定:0与任一向量共线.

(5)相等向量:长度相等且 方向 相同的向量.

(6)相反向量:长度相等且 方向 相反的向量.

2.向量的线性运算
向量 运算

定义

法则(或几何意义)

运算律

(1)交换律:a+b 加法

求两个向量和
的运算

三角形 法则

= b+a ;
(2)结合律:(a+b) a+(b+c) +c=___________

平行四边形 法则

向量 运算

定义

法则(或几何意义)

运算律

求a与b的相反向量 减法 -b的和的运算叫 做a与b的差

a- b = a+ (-b) 三角形 法则 |λ||a|

(1)|λa|= ; (λμ) a; (2)当λ>0时,λa的方向与 相同 求实数λ与向量a的 (λ+μ)a= 数乘 a的方向 ;当λ<0时 λa+μa ; 积的运算 ,λa的方向与a的方向 相反 λ(a+b)= ;当λ=0时,λa=0 λa+λb __________

λ(μ a)=

3.共线向量定理

向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 λ,使得 b=λa .

1.作两个向量的差时,要注意向量的方向是指向被减向量 的终点; 2.在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”,否则 λ 可能
不存在,也可能有无数个;
3.要注意向量共线与三点共线的区别与联系.

[试一试]
1.若向量 a 与 b 不相等,则 a 与 b 一定 A.有不相等的模 C.不可能都是零向量 B.不共线 D.不可能都是单位向量 ( )

答案:C 2.若菱形 ABCD 的边长为 2,则| AB - CB + CD |=________.

解析:| AB - CB + CD |=| AB + BC + CD |=| AD |=2.

答案:2

1.向量的中线公式 1 若 P 为线段 AB 的中点, O 为平面内一点, 则 OP = ( OA + OB ). 2 2.三点共线等价关系

OA +t OB A, P, B 三点共线? AP =λ AB (λ≠0)? OP =(1-t)·
(O 为平面内异于 A,P,B 的任一点,t∈R)? OP =xOA +yOB (O 为平面内异于 A,P,B 的任一点,x∈R,y∈R,x+y=1).

[练一练]

1.D 是△ABC 的边 AB 上的中点,则向量 CD 等于 1 A.- BC + BA 2 1 C. BC - BA 2 1 B.- BC - BA 2 1 D. BC + BA 2

(

)

答案:A

2.已知 a 与 b 是两个不共线向量,且向量 a+λb 与-(b-3a) 共线,则 λ=________.

解析:由题意知 ? 1 ?k=3, ? ?λ=-1. 3 ?

? ?λ=-k, a+λb=k[-(b-3a)],所以? ? ?1=3k,

解得

1 答案:-3

1.给出下列命题: ①若|a|=|b|,则 a=b;
②若 A,B,C,D 是不共线的四点,则 AB = DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件; ③若 a=b,b=c,则 a=c;

④a=b 的充要条件是|a|=|b|且 a∥b; ⑤若 a∥b,b∥c,则 a∥c.

其中正确命题的序号是 A.②③ C.③④ B.①② D.④⑤

(

)

解析:①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定 相同. ②正确.∵ AB = DC ,∴| AB |=| DC |且 AB ∥ DC , 又 A,B,C,D 是不共线的四点, ∴四边形 ABCD 为平行四边形; 反之,若四边形 ABCD 为平行四边形,

则 AB ∥ DC 且| AB |=| DC |,因此, AB = DC . ③正确.∵a=b,∴a,b 的长度相等且方向相同, 又 b=c,∴b,c 的长度相等且方向相同, ∴a,c 的长度相等且方向相同,故 a=c. ④不正确.当 a∥b 且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到 a= b, 故|a|=|b|且 a∥b 不是 a=b 的充要条件, 而是必要不充分条件. ⑤不正确.考虑 b=0 这种特殊情况. 综上所述,正确命题的序号是②③.故选 A .

2.设 a0 为单位向量,①若 a 为平面内的某个向量,则 a=|a|a0; ②若 a 与 a0 平行,则 a=|a|a0;③若 a 与 a0 平行且|a|=1,则 a=a0.上述命题中,假命题的个数是 A. 0 B.1 C. 2 ( D.3 )

解析:向量是既有大小又有方向的量,a 与|a|a0 的模相同,但 方向不一定相同,故①是假命题;若 a 与 a0 平行,则 a 与 a0 的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时 a=-|a|a0, 故②③也是假命题.综上所述,假命题的个数是 3.
答案:D

[类题通法]
平面向量中常用的几个结论

(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性.

(2)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解 题时不要把它与函数图像的平移混为一谈.
a a (3) 是与a同向的单位向量,- 是与a反向的单位向量. |a| |a|

[典例]

(1)如图,在正六边形 ABCDEF ( B. BE D. CF )

中, BA + CD + EF = A.0 C.AD

(2)(2013· 江苏高考)设 D,E 分别是△ABC 的边 AB,BC 1 2 上的点,AD= AB,BE= BC.若 DE =λ1 AB +λ2 AC (λ1,λ2 2 3 为实数),则 λ1+λ2 的值为________.

[解析]

(1) 如 图 , ∵ 在 正 六 边 形

ABCDEF 中, CD = AF , BF = CE , ∴ BA + CD + EF = BA + AF + EF = BF + EF = CE + EF = CF . 1 2 1 2 (2) 由题意 DE = DB + BE = AB + BC = AB + 2 3 2 3 1 2 ( BA + AC )=- AB + AC , 6 3 1 2 1 所以 λ1=- ,λ2= ,即 λ1+λ2= . 6 3 2 1 [答案] (1)D (2) 2

注意三角形法 则的应用!

1 若(2)条件变为:若 AD=2 DB ,CD =3 CA +λ CB ,则 λ=________.
解析:∵ CD = CA +AD, CD = CB + BD , ∴2CD = CA + CB +AD+ BD . 又∵AD=2 DB , 1 ∴2CD = CA + CB + AB 3 1 CA CB = + + ( CB - CA ) 3 2 4 1 2 2 = CA + CB .∴ CD = CA + CB ,即 λ= . 3 3 3 3 3

2 答案: 3

[类题通法]

在向量线性运算时, 要尽可能转化到平行四边形或三角 形中,运用平行四边形法则、三角形法则,利用三角形中位 线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知向 量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.

[针对训练] 若 A,B,C,D 是平面内任意四点,给出下列式子:

① AB + CD = BC + DA;② AC + BD = BC + AD ; ③ AC - BD = DC + AB .其中正确的有 A.0 个 B. 1 个 C.2 个 D.3 个 ( )

解析:①式的等价式是 AB - BC = DA - CD ,左边= AB +
CB ,右边= DA+ DC ,不一定相等;②式的等价式是 AC - BC = AD- BD , AC + CB = AD AD+ DB = AB 成立;③式

的等价式是 AC - DC = AB + BD , AD = AD 成立.
答案:C

[典例]

设两个非零向量 a 与 b 不共线,

(1)若 AB =a+b, BC =2a+8b, CD =3(a-b), 求证:A,B,D 三点共线. [ 解] (1)证明: ∵ AB = a+b,BC =2a+8b,CD =3(a-b),
∴ BD = BC + CD = 2a+ 8b + 3(a - b)= 2a + 8b + 3a - 3b= 5(a+b)= 5 AB . ∴ AB , BD 共线,

又∵它们有公共点 B , ∴A , B ,D 三点共线.

证明点共线时注意两 向量必须有公共点!

(2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线.

解:∵ka+b 与 a+kb 共线, ∴存在实数 λ,使 ka+b=λ (a+kb), 即 ka+b=λ a+λkb. ∴(k -λ)a=(λk -1)b. ∵a,b 是不共线的两个非零向量, ∴k -λ= λk -1=0, ∴k 2- 1=0.∴k =±1.

[类题通法]
1.共线向量定理及其应用

(1)可以利用共线向量定理证明向量共线,也可以由向量共 线求参数的值.
(2)若 a,b 不共线,则 λa+μb=0 的充要条件是 λ=μ=0, 这一结论结合待定系数法应用非常广泛.

2.证明三点共线的方法
若 AB =λ AC ,则 A、B、C 三点共线.

[针对训练]

已知 a,b 不共线,OA =a,OB =b,OC =c,OD =d,OE =e,设 t∈R,如果 3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实 数 t 使 C,D,E 三点在一条直线上?若存在,求出实数 t 的值,若不存在,请说明理由.

解:由题设知,CD =d-c=2b-3a,CE =e-c=(t-3)a+ tb,C,D,E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数 k, 使得 CE =k CD ,即(t-3)a+tb=-3ka+2kb,

整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b. 因为 a,b
? ?t-3+3k=0, 不共线,所以有? ? ?t-2k=0,

6 解之得 t=5. 6 故存在实数 t=5使 C,D,E 三点在一条直线上.

[课堂练通考点]

1.给出下列命题: ①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量. ②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小. ③λa=0(λ为实数),则λ必为零. ④λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.
其中错误的命题的个数为 A.1 B. 2 C.3 D.4 ( )

解析:①错误,两向量共线要看其方向而不是起点或终点. ②正确, 因为向量既有大小, 又有方向, 故它们不能比较大小, 但它们的模均为实数,故可以比较大小. ③错误,当 a=0 时,不论 λ 为何值,λa=0. ④错误,当 λ=μ=0 时,λa=μb=0,此时,a 与 b 可以是任 意向量.故选 C .

2.如图,已知 AB =a,AC =b,BD =3 DC , 用 a,b 表示 AD ,则 AD = 3 A.a+ b 4 1 1 C. a+ b 4 4 1 3 B. a+ b 4 4 3 1 D. a+ b 4 4 ( )

1 解析: ∵ CB = AB - AC =a-b, 又 BD =3 DC , ∴ CD = CB 4 1 1 1 3 = (a-b),∴ AD = AC + CD =b+ (a-b)= a+ b. 4 4 4 4
答案:B

3.(2013· 贵阳监测考试)已知向量 a,b,c 中任意两个都不共线, 但 a+b 与 c 共线,且 b+c 与 a 共线,则向量 a+b+c=( A. a C. c B. b D. 0 )

解析:依题意,设 a+b=mc,b+c=na,则有(a+b)-(b+c) =mc-na, 即 a-c=mc-na.又 a 与 c 不共线, 于是有 m=-1, n=-1,a+b=-c,a+b+c=0,选D .

4.(2013· “江南十校”联考)如图,在△ABC 中,∠A =60° ,∠A 的平分线交 BC 于 D,若 AB=4,且 1 AD=4 AC +λ AB (λ∈R),则 AD 的长为 A. 2 3 B. 3 3 C. 4 3
1 解析:因为 B,D,C 三点共线,所以有 +λ 4 3 =1,解得 λ= ,如图,过点 D 分别作 AC, 4 1 3 AB 的平行线交 AB, AC 于点 M, N, 则 AN = AC ,AM = AB , 4 4 答案:B 经计算得 AN=AM=3,AD=3 3.

( D. 5 3

)

5.在?ABCD 中, AB =a,AD=b, AN =3 NC ,M 为 BC 的 中点,则 MN =________(用 a,b 表示).
解析:由 AN =3 NC 得 4 AN =3 AC =3(a+b), 1 AM =a+2b,
? 1 ? 3 1 1 ? ? 所以 MN =4(a+b)- a+2b =-4a+4b. ? ?

1 1 答案:-4a+4b

6.设点 M 是线段 BC 的中点,点 A 在直线 BC 外, BC 2=16, | AB + AC |=| AB - AC |,则| AM |=________.

解析:由| AB + AC |=| AB - AC |可知, AB ⊥ AC ,则 AM 1 为 Rt△ABC 斜边 BC 上的中线,因此,| AM |=2| BC |=2.

答案:2


2015届高考数学一轮复习课时作业:21 平面向量的概念及...

2015届高考数学一轮复习课时作业:21 平面向量的概念及其线性运算_数学_高中教育_...【三维设计】2015届高考... 31页 2下载券 2015届高考数学(文)第一... 暂无...

...平面向量的概念及其线性运算]

【志鸿优化设计】2015届高考数学(人教版,文科)一轮总复习课时规范练21 平面向量的概念及其线性运算]_高中教育_教育专区。【志鸿优化设计】2015届高考数学(人教版,文...

...)平面向量的概念及其线性运算 理 北师大版

【创新方案】2015高考数学一轮复习(知识回扣+热点突破+能力提升)平面向量的概念...第一节 平面向量的概念及其线性运算 【考纲下载】 1.了解向量的实际背景. 2....

【三维设计】2016届高考数学大一轮复习精品讲义 第四章...

【三维设计】2016届高考数学大一轮复习精品讲义 第四章 平面向量、数系的扩充与...的引入第一节平面向量的概念及其线性运算 基础盘查一 向量的有关概念 (一)循...

...:第4篇 第1讲 平面向量的概念及其线性运算

【创新设计】2015年高考数学(人教A版,)一轮复习配套讲义:第4篇 第1平面向量的概念及其线性运算_高考_高中教育_教育专区。第1讲 [最新考纲] 1.了解向量...

【三维设计】2015届高考数学大一轮复习讲义 第十一章 ...

【三维设计】2015届高考数学大一轮复习讲义 第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布 苏教版_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第十一章 计数原理、概率、...

...高三数学一轮复习 4.1平面向量的概念及其线性运算精...

【全程复习方略】(文理通用)2015届高三数学一轮复习 4.1平面向量的概念及其线性运算精品试题_数学_高中教育_教育专区。平面向量的概念及其线性运算 (45 分钟 一、...

...第五章平面向量第一节平面向量的概念及其线性运算夯...

2018高三数学一轮复习第五章平面向量第一节平面向量的概念及其线性运算夯基提能作业本_数学_高中教育_教育专区。第一节 平面向量的概念及其线性运算 A 组 ...

...2015届高考数学一轮复习 6-1平面向量的概念及线性运...

【状元之路】(新课标 通用版)2015届高考数学一轮复习 6-1平面向量的概念线性运算检测试题(2)文_数学_高中教育_教育专区。【状元之路】 (新课标,通用版)2015...

...第一节 平面向量的概念与线性运算习题 理

【名师A计划】(全国通用)2017高考数学一轮复习 第四章 平面向量 第一节 平面向量的概念线性运算习题 _数学_高中教育_教育专区。第一节 [基础达标] 平面...

相关文档