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24-2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义


2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(第 1 课时)

教材分析
本节内容是必修 4 第二章第 4 节的第 1 课时,平面向量的数量积是继向量的加法,减法,数乘等线性 运算之后又一新的运算,也是高中数学的一个重要概念,是前面知识的延续,又是学好后续知识的基础, 起承上启下的作用. 此外它在数学、 物理等学科中的广泛应用. 本节课的主要学习任务

是通过物理中“功” 的事例抽象出平面向量数量积的概念,在此基础上探究数量积的性质与运算律,使学生体会类比的思想方 法,进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力.数量积的概念既有长度又有角度,既有形又有数,是 代数、几何与三角的最佳结合点,不仅应用广泛,而且很好的体现了数形结合的数学思想,使得数量积的 概念成为本节课的核心概念,自然也是本节课教学的重点.

课时分配
本节内容用 1 课时的时间完成,主要探讨平面向量数量积的概念、性质及运算律.

教学目标
重点:平面向量数量积的概念,性质、运算律的发现与论证. 难点:平面向量数量积的定义及运算率的理解,平面向量数量积的应用. 知识点:平面向量数量积的概念,性质、运算律. 能力点:通过对平面向量数量积性质及运算律的探究,培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能 力. 教育点:通过本节课的学习,激发学生学习数学的兴趣和善于发现、勇于探索的精神,体会学习的快 乐,体会各学科之间是密不可分的.培养学生思考问题认真严谨的学习态度. 自主探究点:有关向量数量积的性质及运算律的证明. 考试点:①考查向量数量积运算;②有关向量夹角的计算;③应用向量解决垂直问题. 易错易混点:向量的数量积与实数的乘法的区别. 拓展点:向量在几何中证明垂直的应用.

教具准备 课堂模式

多媒体课件、直尺 学案导学

一、 创设情境、引入课题
任意两个向量都可以进行加减运算,并且两个向量的和与差仍是一个向量,我们自然地会想到:两个 向量是否可以进行乘法运算呢?如果能,其运算结果是什么呢? 思考: 1. 如右图, 一个物体在力 F 的作用下产生位移 s , 且力 F 与位移 s 的夹角为 ? , 那么力 F 所做的功 W 是多少? 结论: W = F s cos ?

2.功是一个标量,它由力和位移两个向量所确定,数学上,我们把“功”称为向量 F 与 s 的“数量 积” .一般地,对于非零向量 a 与 b 的数量积是指什么?
1

【设计意图】由旧知识引出新内容,同时联系物理学和数学,理解具体和一般的关系.

二、探究新知
1.平面向量数量积的定义 已知两个非零向量 a 与 b ,我们把数量 a b cos ? 叫做 a 与 b 的数量积(inner product)(或内积) ,记作

a? b ,即 a ?b = a b cos ? ,其中 ? 是 a 与 b 的夹角.
特别强调: 两个向量 a ,b 的数量积与代数中两个数 a, b 的乘积 ab 是两码事, 但表面看来又有点相似, 因此要注意两个向量 a 与 b 的数量积是记作 a? b ,中间的实心小圆点不能省略,也不能把实心小圆点用乘 号“×”代替,写成 a ? b . 思考 1:对于两个非零向量 a 与 b ,其数量积 a? b 是一个数量,那么它何时为正数?何时为负数?何 时为零?

b = a b cos ? , 结论: a ?
当 cos? ? 0 ,即 0 ? ? ? 90 时, a ? b > 0;
? ?

当 cos? ? 0 ,即 ? ? 90 时, a ? b = 0;
?

当 cos? ? 0 ,即 90 ? ? ? 180 时, a ? b < 0.
? ?

思考 2:零向量与任一向量的数量积是多少? 结论:我们规定,零向量与任一向量的数量积为 0. 2.投影的定义 对于两个非零向量 a 与 b ,设其夹角为 ? , b cos ? 叫做向量 b 在 a 方向上的投影.

如上图所示, OB1 ? b cos ? ,即有向线段 OB1 的数量为 b cos ? . 特别强调:向量的投影是一个数量. 思考 1:向量 b 在 a 方向上的投影 b cos ? 一定是正数吗?向量 a 在 b 方向上的投影是什么? 结论:b cos ? 不一定是正数, 其正负取决于 cos ? , 即 ? 的取值. 向量 a 在 b 方向上的投影是 a cos ? .

b = a b cos ? 的几何意义是什么? 思考 2:根据投影的概念,数量积 a ?
结论:数量积 a? b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 方向上的投影 b cos ? 的乘积,或等于 b 的长度 b 与 a 在

b 方向上的投影 a cos ? 的乘积.
2

【设计意图】使学生从感性到理性去认知数量积的定义.通过对概念的认识、分析和探究,使学生加 深理解,掌握相关的几何意义并加深对投影的认识. 3.平面向量数量积的运算性质 思考 1:设 a 与 b 都是非零向量,若 a ? b ,则 a? b 等于多少?反之成立吗? 结论: a ? b ? a? b?0 思考 2:当 a 与 b 同向时, a? b 等于什么?当 a 与 b 反向时, a? b 等于什么?特别地, a? a 等于什么?

b = a b cos 0 ? a b ; 结论:当 a 与 b 同向时, a ? b = a b cos ? ? ? a b ; 当 a 与 b 反向时, a ?
a ?a = a a cos 0 ? a ,所以 a ? a ?a .通常 a? a 记作 a 2 .
思考 3:设 a 与 b 都是非零向量,如何计算它们的夹角?
2

b = a b cos ? 可得 cos ? = 结论:由 a ?

a ?b ,再结合 ? ? ? 0, ? ? 可求出 ? . a b

思考 4: a ?b 与 a b 的大小关系如何?为什么?

b = a b cos ? ,因为 cos ? ? 1 ,所以 a ?b ? a b 结论: a ?
【设计意图】通过上述4个思考,在学生讨论交流的基础上,由教师进一步明晰数量积的性质,然后 再由学生利用数量积的定义给予证明,完成探究活动.这样设计体现了教师只是教学活动的引领者,而学 生才是学习活动的主体,让学生成为学习的研究者,不断地体验到成功的喜悦,激发学生参与学习活动的 热情. 4.平面向量数量积的运算律 ①发现数量积的运算律 教师引导学生回顾实数运算中有关的运算律,并类比得出数量积的运算律,体会不同运算的运算律不 尽相同,然后由学生自主完成下列表格: 在实数运算中 交换律 结合律 在向量运算中 (1) a? b ? b? a (2) a(b? c) ? (a? b)c 是否正确 ( ( ( ( ( ) ) ) ) )

ab ? ba
a(bc) ? (ab)c

(3) (?a)? b ? ? (a? b) ? a? (?b) 分配率 消去律

(a ? b)c ? ac ? bc ab ? bc(b ? 0) ? a ? c

(4) (a ? b)? c ? a? c ? b? c (5) a? b ? b? c(b ? 0) ? a ? c

【设计意图】通过类比、探究使学生得到数量积的运算律,进一步培养学生的逻辑思维和探究问题的 能力. 答案:(1)√;(2)×;(3)√;(4)√;(5)×. 对于上述表格,学生在处理的过程中(2)(5)出错率较高,需要老师着重分析: (2)这是因为 (a? b)c 表示一个与 c 共线的向量,而 a(b? c) 表示一个与 a 共线的向量,而 c 与 a 不一定 共线,所以 a(b? c) ? (a? b)c 一般不成立,即使 c 与 a 共线,此式也不一定成立.
3

(5) 如下图,均满足 a? b ? b? c ,但 a ? c .

②明晰数量积的运算律 已知向量 a 、 b 、 c 和实数 ? ,则: (1) a? b ? b? a; (2) (?a)? b ? ? (a? b) ? a? (?b) ; (3) (a ? b)? c ? a? c ? b? c. ③证明数量积的运算律 学生自主证明(1) (2), 同时对于(2),注意引导学生反思:当 ? ? 0 时,向量 a 与 ?a 、 b 与 ?b 的方向的关系,此时向量 ?a 与 b 、 ?b 与 a 的夹角与向量 a 与 b 的夹角相等吗? 教师分析证明 (3):如右图,在平面内任取一点 O,作 OA ? a ,

??? ?

???? ??? ? ??? ? AB ? b , OC ? c ,因为 a ? b (即 OB )在 c 方向上的投影等于 a 、

b 在 c 方向上的投影的和,即 a ? b cos ? ? a cos ?1 ? b cos ? 2 ,
所以 c a ? b cos ? ? c a cos ?1 ? c b cos ? 2 , 所以 c? (a ? b) ? c? a ? c? b, 所以 (a ? b)? c ? a? c ? b? c. 【设计意图】发现运算律、明晰运算律、证明运算律, 这样做不仅培养了学生推理论证的能力,同 时也增强了学生类比创新的意识,将知识的获得和能力的培养有机的结合在一起.

三、理解新知
1.对数量积的理解 平面向量的数量积是两个向量之间的运算,它与向量的加法、减法、数乘运算一样,也有明显的物理 背景和几何意义,同时还有一系列的运算性质,但与向量的线性运算不同的是:数量积的运算结果是数量 而不是向量.这个数量的大小不仅和向量 a 与 b 的模有关,还和它们的夹角有关,数量积运算结果的符号 取决于向量 a 与 b 的夹角. 2.灵活掌握平面向量数量积的性质 (1) a ? b ? a? b ? 0 ,既可以用来证明两向量垂直,也可以由垂直进行有关计算;
4

a = a 2 ? a 与 a ? a ?a 可用来求向量的模,以实现实数运算向向量运算的相互转化. (2) a ?
(3) cos ? =

2

a ?b 不仅可以用来直接计算两向量 a 、 b 的夹角,也可用来求直线的夹角(向量的夹角与 a b

向量所在直线的夹角有区别),还可利用夹角的取值情况建立方程或不等式用于求参数的值或范围.

四、运用新知
例 1.已知 a ? 5 , b ? 4 ,且 a 与 b 的夹角 ? ? 120 ,求 a? b.
?

【设计意图】本例及拓展变式 1,2 均由学生自主完成,然后教师进行答案的校对.其目的是通过计 算巩固对数量积定义的理解.

b = a b cos ? 解: a ?

? 5 ? 4 ? cos120? ? 1? ? 5? 4? ? ? ? ? 2? ? ?10
拓展变式 1:若 a ? 5 , b ? 4 ,且 a // b ,则 a? b 是多少?

b = a b ? 20 ;当 a 与 b 反向时, a ?b = ? a b ? ?20 . 答案:当 a 与 b 同向时, a ?
拓展变式 2:若 a ? 5 , b ? 4 ,且 a ? b ,则 a? b 是多少? 答案:因为 a ? b ,所以 a ? b = 0. 例 2.我们知道,对任意 a, b ? R ,恒有 (a ? b) ? a ? 2ab ? b , (a ? b)(a ? b) ? a ? b .对于任
2 2 2 2 2

意的向量 a , b ,是否也有下面类似的结论?

b?b ; (1) (a ? b) ? a ? 2a ?
2 2 2

(a ? b ) ? a ? b . (2) (a ? b)?
2 2

【设计意图】使学生体会实际解题中运算律的作用,比较向量运算与多项式乘法运算的异同.

(a ? b) 解:(1) (a ? b) ? (a ? b)?
2

= a? a + a? b ? b? a ? b? b 2 2 = a ? 2a? b?b (2) (a ? b)? (a ? b) ? a? a ? a? b ? b? a ? b? b = a 2 ? b2 ? 例 3.已知 a ? 6 , b ? 4 ,且 a 与 b 的夹角 60 ,求 (a ? 2b)? (a ? 3b) . 解: (a ? 2b)? (a ? 3b) = a? a ? a? b ? 6b? b
= a ? a b cos ? ? 6 b
2 ?
2 2

= 6 ? 6 ? 4 ? cos 60 ? 6 ? 4 = ?72 . 答案: a + b ?

2

? 拓展变式 3. 已知 a ? 6 , b ? 4 , a 与 b 的夹角 120 ,求 a + b .

? a + b ??? a + b ?

? a 2 ? 2a ?b ? b 2

? 62 ? 2 ? 6 ? 4 ? cos120? ? 42 ? 28 例 4.已知 a ? 3 , b ? 4 ,且 a 与 b 不共线. k 为何值时,向量 a ? kb 与 a ? kb 互相垂直?
【设计意图】学会利用数量积来解决有关垂直问题,体会运算律的优越性.
5

-4

解: a ? kb 与 a ? kb 互相垂直的条件是 ? a ? kb ?? ? a ? kb ? ? 0 ,即 a ? k b ? 0 .
2 2 2

因为 a ? 3 ? 9, b ? 4 ? 16 ,
2 2 2 2

所以 9 ? 16k 2 ? 0 ,

3 3 .也就是说,当 k ? ? 时, a ? kb 与 a ? kb 互相垂直. 4 4 拓展变式 4:若 a ? b ? 1 , a ? b , (2a ? 3b) ? (ka ? 4b) ,求 k 的值. 答案: k ? 6 .
所以 k ? ?

五、课堂小结
1.知识方面: (1)平面向量的数量积的定义; (2)平面向量数量积的几何意义; (3)平面向量数量积的重要性质及运算律; (4)平面向量数量积的运算律. 2.思想方法方面: 体会类比的数学思想和方法,进一步提高抽象概括、推理论证的能力. 【设计意图】通过课堂小结,使学生对本节的内容有一个完整、系统的认识,在培养概括能力的同时, 也对本节课的教学效果进行反馈.

六、布置作业
必做题:教材 P108 习题 2.4 A 组 1、2、3;B 组 1. 选做题:已知 a 与 b 都是非零向量,且 a ? 3b 与 7a ? 5b 垂直, a ? 4b 与 7a ? 2b 垂直求 a 与 b 的夹 角. 【设计意图】通过设计不同层次的作业既使学生掌握基础知识,又使学有余力的学生有所提高,从而 达到激发兴趣和“减负”的目的.

七、教后反思
1.教学设计亮点:通过创设情境引入引入新课,激发了学生的学习兴趣;以提问、猜想、讨论、变 式练习等方式让更多的学生主动参与进来,突出了学生在学习活动中的主体地位. 2.课堂教学不足之处:本节的知识容量有些大,为了完成教学任务,反而使得部分知识点落实不到 位,以致于学生在课下的压力颇大.

八、板书设计
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 一、创设情境引入新课 3. 4. 二、探究新知 1. 2. 三、运用新知 例 1. 例2 例 3. 例 4. 四、归纳小结 五、布置作业

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