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2013届南京高三数学一模试卷


2013 年南京市高三数学第一次调研考试
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在相应的位置上) 1? i 1.已知复数 z ? ?i ,则 的虚部为 z 2.设集合 ? x, y ? x 2 ? y 2 ? 1 , ? x, y ? y ? ln x ,则 A∩B 的子集的个数是 3.已知点 A 和点 B 分别为椭圆 C: x 2

? 角的正弦值为

?

? ?

?

y2 ? 1(a ? 0) 的左顶点和上顶点,若直线 AB 的倾斜 a2

1 ,则 a = 2 4.如图,运行右边的算法流程,当输出的 y 值为 11 时,则对
应输入的 x 值为 5.某中学青年教师、 中年教师和老年教师的人数比例 4﹕5: 1, 其中青年教师有 120 人,现采用分层抽样的方法从这所学校 抽取容量为 30 的教师样本以了解教师的工作压力情况,则每 位老年教师被抽到的概率为

开始

输入 x

1 1 6.设 x ? 0 ,则 " ? x ? 3? ? ? ? ? 2" 是 " ? x ? 3? ? ? ? ? 2" 的 ? ? ? ? ?2? ?4?
条件 7. 用 max?a, b? 表 示 a, b 两 数 中 的 最 大 值 ; 若 函 数

x

x

Y Y

x≤-2

N Y
x≤2

y=2x-4

Y Y

N Y

f ( x) ? max ?lg x , lg x ? t ?的图像关于直线 x ? ?2 对称,则
t 的值为 8

y=x3

y=x+6

?a n ?

输入 y

为 等 差 数 列 , sn 为 其 前

n

项 和 , 若
开始

1 1 , s m ? (m ? n) ,则 s n ? m = m n 9.已知 m,n,l 是互不重合的直线,α ,β 是互不重合的平面,有下列命题: ①.若直线 l 上有两个不同的点到平面α 的距离相等,则 l ∥ ? ; ②.设 m,n 是两条异面直线,若 m ? ? , n ∥ ?,l ? m, l ? n ,则 l ? ? ; ③.若 m ? ? , m ? n ,则 n ∥ ? ; sn ?

④.若 m,n 是两条异面直线,且 m,n 都平行于平面α 和平面β ,则α 和β 相互平行; ⑤.若在平面α 内有不共线的四点到平面β 的距离相等,则α ∥β ; 其中所有真命题的序号是 10.已知 AB、MN 为圆 C: ? x ? 2 ? ? y ? 9 的两条相互垂直的弦,垂足为 R ?3, a ? ,若四
2 2

边形 ABMN 的面积的最大值为 14,则 a= 11.O 是△ABC 外接圆的圆心,AB=1,AC=2,且 AO ? x AB? 则△ABC 的边长 BC=
? ?

4? x ? AC?x ? R, 且x ? 0? , 8

1 /4

9b ? 2 2 ?a , a ? a 3 ? 4ab3 ? 12.设 a,b 是正实数,记 G ? ? ,则 G 的最大值是 9b 9b 2 ? ,a ? 3 ? a 3 ? 4ab3 a ? 4ab3 ?
13.若有 0 ? ? ? ? ? ? ?

?
2

,则 tan ? ?
2

4 cos? cos ? 2 ? ?tan? ? 3 tan ? ? 的最小值是 tan? sin(? ? ? )

14.设函数 ht ( x) ? 3tx ? 2t 2 ,若有且仅有一个正实数 x0,使得 h4 ( x0 ) ? ht ( x0 ) 对任意的正实 数 t 成立,则 x0= 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
? ? 5? 5? ? ? 15.(本小题满分 14 分)设向量 a ? ? sin(x ? ), cos(x ? ) ? , b ? ? cos(? ? ), sin/(? ? ) ? 若函数 ? ? ? ? 6 6 ? 3 3 ? ? ?

3

f ( x ) ? a ? b (0 ? ? ?

? ?

?
2

)在x ? ?

?
3

处取得最大值。

(1)求函数 f(x)在 ?0, ? ?上的单调递增区间; (2)已知 A 为△ABC 的内角,若 f ( A) ?

1 ,求 4

? A ? ? ? 的值。 f? ? ? 2 ?

16.(本小题满分 14 分)如图,在四面体 A-BCD 中,有 CB=CD,平面 ABD⊥平面 BCD,点 E、F 分别为 BD,AB 的中点,MN∥平面 ABD。求证: (1)平面 ABD⊥平面 EFC; B (2)直线 MN∥直线 GH。

E

M D G N

F

C
2 /4

H

A

17. 本小题满分 14 分) ( 已知某品牌汽车的市场需求量 y1(万辆) 市场供应量 y 2 (万辆) , , 与市场价格 x(万元∕辆)之间分别近似地满足下列的关系: y1 ? 10 ? 2 log 2 (4 x ? 32) 和 当 此时的需求量称为平衡需求量。 y 2 ? 2 x ? 12 ; y1 ? y 2 时的市场价格称为市场平衡价格, (1)求平衡价格和平衡需求量; (2)科学研究表明,汽车尾气的排放不但污染环境,加速全球变暖,而且过多的私家车增 加了城市交通的压力,加大了能源的消耗;某政府为倡导低碳型生活方式,决定对该品牌 汽车的销售征收附加税,每售出一辆该产品的汽车征收 2 万元的附加税,试求新的市场平 衡价格和平衡需求量。

18. (.本小题满分 16 分) 已知圆 M x ? y ? 2tx ? 6t ? 10 ? 0 , 椭圆 C:
2 2

x2 y2 (a>b>0) , ? ?1 a2 b2

若椭圆 C 与 x 轴的交点 A(5, y 0 ) 到其右准线的距离为

10 ;点 A 在圆 M 外,且圆 M 上的点 3

和点 A 的最大距离与最小距离之差为 2。 (1)求圆 M 的方程和椭圆 C 的方程; (2)设点 P 为椭圆 C 上任意一点,自点 P 向圆 M 引切线,切点分别为 A、B,请试着去 求 PA? PB 的取值范围; (3)设直线系 M: x cos? ? ( y ? 3) sin? ? 1(? ? R) ;求证:直线系 M 中的任意一条直线 l 恒与定圆相切,并直接写出三边都在直线系 M 中的直线上的所有可能的等腰直角三角形 的面积。
? ?

3 /4

19.(本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? ( x ? ax ? bx ? 3) ? e ,其中 a、b、c ? R 。
3 2 cx

(1)当 c ? 1 时,若 x ? 0 和 x ? 1都是 f ( x) 的极值点,试求 f ( x) 的单调递增区间; (2)当 c ? 1 时,若 3a ? 2b ? 7 ? 0 ,且 x ? 1不是 f ( x) 的极值点,求出 a 和 b 的值; (3)当 c ? 0 且 a ? b ? 10 时,设函数 h( x) ? f ( x) ? 3 在点 M (1, h(1)) 处的切线为 l ,若 l
2

在点 M 处穿过函数 h(x ) 的图像(即动点在点 M 附近沿曲线 y ? h(x) 运动,经过点 M 时, 从 l 的一侧进入另一侧),求函数 y ? h(x) 的表达式。

20.(本小题满分 16 分)设正项数列 ?d n ?的前 n 项和为 s n , ?M ? 0 , ?n ? N ? , s n ? M 恒 若 对 成立,则称 ?d n ?为收敛数列。已知数列 ?a n ?为等差数列,a1 ? 2 ,公差 d 为质数; ?bn ?为 等比数列, b1 ? 1 ,公比 q 的倒数为正偶数,且满足 a 2 ? a3 ? a 4 ? a5 ? (1)求数列 ?a n ?和 ?bn ?的通项公式; (2)是判断数列 ?a n ? bn ?是否为收敛数列?若是,请证明;若不是请说明理由; (3)设 c n ?

1 1 1 ? ? 。 b3 b4 b5

dn (n ? N ? ) ,试判断数列 ?c n ?是否为收敛数列?若是,请 (1 ? d1 )(1 ? d 2 ) ? (1 ? d n )

证明;若不是请说明理由。

4 /4


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