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(四川 重庆版 第03期)2014届高三数学 名校试题分省分项汇编 专题12 概率和统计 理


四川,重庆版(第 03 期)-2014 届高三名校数学(理)试题分省分项汇编 专题 12 概率和统计
一.基础题组 1. 【四川省眉山市高 2014 届第一次诊断性考试数学(理) 】以下茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一 次英语听力测试中的成绩(单位:分) ,已知甲组数据的中位数为 15,乙组数据的平均数为 16.8,则 x, y 的值分别为( A. 5,2 ) B.5

,5 C. 8,5 D.8,8

2. 【四川省眉山市高 2014 届第一次诊断性考试数学(理) 】节日里某家前的树上挂了两串彩灯,这两串 彩灯的第一次闪亮相互独立, 若接通电后的月秒内任一时刻等可能发生, 然后每串彩灯在 4 秒内间隔闪亮, 那么这两串彩灯同时通电后它们第一次闪亮的时刻相差不超过 1 秒的概率是( A. )

5 16

B.

9 16

C.

1 4

D.

7 16

3. 【成都石室中学 2014 届高三上期“一诊”模拟考试(二) (理) 】在区间 ? ?1, 2? 上随机取一个实数 x , 则事件“ 1 ? 2 ? 2 ”发生的概率为______.
x

1

4. 【四川省内江市高 2014 届第三次模拟考试数学(理) 】对于以下结论: ①.对于 y ? f ( x) 是奇函数,则 f (0) ? 0 ; ②.已知 p :事件 A、B 是对立事件; q :事件 A、B 是互斥事件;则 p 是 q 的必要但不充分条件; ③.

ln 5 ln 3 1 ? ? ( e 为自然对数的底); 5 3 e
? ?

④.若 a ? (1, 2) , b ? (0, ?1) ,则 b 在 a 上的投影为 ⑤.若随机变量 ? ? B(10, 0.4) ,则 E? ? 4 . 其中,正确结论的序号为___________________.

?

?

2 5 ; 5

5. 【四川省资阳市高 2014 届高三上期第二次诊断考试数学(理) 】某班有男生 36 人,女生 18 人,用分 层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为 9 的样本,则抽取的女生人数为( (A)6 【答案】C 【解析】 试题分析: (B)4 (C)3 (D)2 )

9 ?18 ? 3 ,选 C. 36 ? 18
2

考点:分层抽样. 6.【四川省资阳市高2014届高三上期第二次诊断考试数学(理) 】将一根长为3m的木棒随机折成三段,折 成的这三段木棒能够围成三角形的概率是( (A)
7 8

) (C)
1 4

(B)

3 8

(D)

1 8

二.能力题组 1. 【成都石室中学 2014 届高三上期“一诊”模拟考试(二) (理) 】 (本小题满分 12 分)某调查公司在一 服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名驾驶员进行 询问调查,将他们在某段高速公路的车速(km/t)分成六段:

[60,65),[65,70), [70, 75), [75,80),[80,85), [85,90) 后得到如图 4 的频率分布直方图.问: (1)求这 40
辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值.(2)若从车速在 [60, 70) 的车辆中任抽取 2 辆,求抽出的 2 辆 车中车速在 [65, 70) 的车辆数 ? 的分布列及其均值(即数学期望) .

3

(2)首先看随机变量可以取哪些值?从图中可知,这 40 辆车中,车速在 [60, 65) 的车辆数为:

m1 ? 0.01? 5 ? 40 ? 2 辆,车速在 [65, 70) 的车辆数为: m2 ? 0.02 ? 5 ? 40 ? 4 辆.所以 ? ? 0, 1, 2 .显
然这是一个超几何分布,由此可得其分布列及期望. 试题解析: (1)众数的估计值为最高的矩形的中点,即众数的估计值等于 77.5 ???????????. (2 分)

4

考点:1、统计基础知识;2、随机变量的分布列及期望 3、超几何分布.

2. 【成都石室中学 2014 届高三上期“一诊”模拟考试(一) (理) 】(本小题满分 12 分)某高中为了推进 新课程改革,满足不同层次学生的需求,决定从高一年级开始,在每周的周一、周三、周五的课外活动期 间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座,每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加 任何一门科目的辅导讲座,也可以放弃任何一门科目的辅导讲座。 (规定:各科达到预先设定的人数时称 为满座,否则称为不满座)统计数据表明,各学科讲座各天的满座的概率如下表:

根据上表: (Ⅰ)求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率; (Ⅱ)设周三各辅导讲座满座的科目数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列和数学期望.

5

【解析】

所以随机变量 ? 的分布列如下:

?
P
故 E? ? 0?

0

1

2

3

4

5

1 48

1 8

7 24

1 3

3 16

1 24

1 1 7 1 3 1 8 ? 1? ? 2? ? 3? ? 4? ? 5? ? ?????????12 分 48 8 24 3 16 24 3
6

考点:1、独立事件同时发生的概率;2、随机变量的分布列及其期望. 3. 【四川省内江市高 2014 届第三次模拟考试数学(理) 】某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用 ? 表 示,椐统计,随机变量 ? 的概率分布如下:

?
p (1)求 a 的值和 ? 的数学期望;

0 0.1

1 0.3

2 2a

3 a

(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的概 率.

4. 【四川省内江市高 2014 届第三次模拟考试数学(理) 】在每年的春节后,某市政府都会发动公务员参与 到植树活动中去.为保证树苗的质量,该市林管部门在植树前,都会在植树前对树苗进行检测.现从甲乙两 种树苗中各抽测了 10 株树苗的高度,量出树苗的高度如下(单位:厘米) : 甲: 37, 21,31, 20, 29,19,32, 23, 25,33 乙: 10,30, 47, 27, 46,14, 26,10, 44, 46
7

(1)根据抽测结果,完成答题卷中的茎叶图,并根据你填写的茎叶图,对甲、乙两种树苗的高度作比较, 写出两个统计结论; (2)设抽测的 10 株甲种树苗 高度平均值为 x ,将这 10 株树苗的高度依次输入按程序框图进行的运算,问 .... 输出的 S 大小为多少?并说明 S 的统计学意义.





1 2 3 4

【答案】 (1)茎叶图: 甲 乙

9 1 0 4 0 9 5 3 1 0 2 6 7 1 2 3 7 3 0 4 4 6 6 7

统计结论: ①.甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度; ②.甲种树苗比乙种树苗长得更整齐; ③.甲种树苗的中位数为 27 ,乙种树苗的中位数为 28.5 ; ④.甲种树苗的高度基本上是对称的,而且大多数集中在均值附近,乙种树苗的高度分布较为分散. (在以上结论中,写两个即可) (2) S ? 35 , S 表示 10 株甲树苗高度的方差,是描述树苗高度离散程度的量.

S 值越小,表示长得越整齐, S 值越大,表示长得越参差不齐.

8

(2) x ?

37 ? 21 ? 31 ? 20 ? 29 ? 19 ? 32 ? 23 ? 25 ? 33 ? 27 ???????8 分 10

S ? 35 ??????????????????????????????10 分

S 表示 10 株甲树苗高度的方差,是描述树苗高度离散程度的量. S 值越小,表示长得越整齐, S 值越大,表示长得越参差不齐. ??????12 分
考点:统计及样本数据的基本数字特征. 5. 【四川省眉山市高 2014 届第一次诊断性考试数学(理) 】(12 分)某工厂有 25 周岁以上(含 2S 周岁)工 人 300 名,25 周岁以下工人 200 名为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法, 从中抽取了 100 名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25 周岁以上(含 25 周 岁)” 和 “25 周岁以下” 分为两组, 再将两组工人的日平均生产件数分成 5 组: [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100), 分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图。 (1)求样本中“25 周岁以上(含 25 周岁)组”抽取的人数、日生产量平均数; (2) 若“25 周岁以上组”中日平均生产 90 件及 90 件以上的称为“生产能手” ; “25 周岁以下组”中日 平均生产不足 60 件的称为“菜鸟” 。从样本中的“生产能手”和”菜鸟”中任意抽取 2 人,求这 2 人日平 均生产件数之和 X 的分布列及期望。(“生产能手”日平均生产件数视为 95 件, “菜鸟”日平均生产件数 视为 55 件)。
9

试题解析:(Ⅰ)由已知得,样本中有 25 周岁以上组工人 100 ?

300 ? 60 名 ??? ? 4 分 500
??? ??? 5 分

样本中“25 周岁以上(含 25 周岁)组”的日生产量平均数为

55 ? 0.05 ? 65 ? 0.35 ? 75 ? 0.35 ? 85 ? 0.2 ? 95 ? 0.05 ? 73.5

10

6. 【四川省绵阳市高 2014 届第二次诊断性考试数学(理) 】 (本题满分 12 分)据《中国新闻网》10 月 21 日报道,全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点,一时间“英语考试该如何改”引起广 泛关注.为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法,某媒体在该地 区选择了 3600 人调查,就是否“取消英语听力”的问题,调查统计的结果如下表: 调查人群 态度 应该取消 2100 人 600 人 应该保留 120 人 无所谓

在校学生 社会人士

y人 z人

x人

已知在全体样本中随机抽取 1 人,抽到持“应该保留”态度的人的概率为 0.05. (Ⅰ)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取 360 人进行问卷访谈,问应在持“无所谓”态度 的人中抽取多少人? (Ⅱ)在持“应该保留”态度的人中,用分层抽样的方法抽取 6 人平均分成两组进行深入交流,求第一 组中在校学生人数 ξ 的分布列和数学期望. 360 【答案】 (I)应在“无所谓”态度抽取 720× =72 人; 3600 (Ⅱ)ξ 的分布列为: ξ P 1 2 3

1 5

3 5

1 5

Eξ =2.
【解析】

11

7. 【四川省成都七中高 2014 届高三“一诊”模拟考试数学(理) 】成都七中为绿化环境,移栽了银杏树 2 棵,梧桐树 3 棵。它们移栽后的成活率分别为

2 1 , 且每棵树是否存活互不影响,求移栽的 5 棵树中: 3 2

(1)银杏树都成活且梧桐树成活 2 棵的概率; (2)成活的棵树 ? 的分布列与期望.

12

(2) ? 可能的取值: 0,1, 2, 3,4,5 P (? ? 0) ? P ( A0 ) P ( B0 ) ? 同理: P (? ? 1) ?

1 72

7 19 25 ; P (? ? 2) ? ; P (? ? 3) ? ; 72 72 72

P (? ? 4) ?

2 1 ?????????????7 分 P (? ? 5) ? 9 18

∴ ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

4

5

1 72

7 72

19 72

25 72

2 9

1 18

????????????????10 分 ∴ E? ?

17 ????????????????????????????12 分 6

考点:1、古典概型;2、随机变量的分布列及其期望.

13

8. 【四川省内江六中高 2014 届第三次月考数学(理) 】 (本小题满分 12 分)某市职教中心组织厨师技能 大赛,大赛依次设基本功(初赛) 、面点制作(复赛) 、热菜烹制(决赛)三个轮次的比赛,已知某选手通 过初赛、复赛、决赛的概率分别是

3 2 1 , , 且各轮次通过与否相互独立. 4 3 4 x ?? ? ( x ? R) 是偶函数”为事件 D,求事件 D 发生的概 2

(I)设该选手参赛的轮次为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望; (Ⅱ)对于(I)中的 ? ,设“函数 f ( x) ? 3sin 率.

试题解析: (I) ? 可能取值为 1,2,3.

-------------------------------2 分

记“该选手通过初赛”为事件 A,“该选手通过复赛”为事件 B,

P(? ? 1) ? P( A) ? 1 ?

3 1 ? , 4 4

3 2 1 P(? ? 2) ? P( AB) ? P( A) P( B) ? ? (1 ? ) ? , 4 3 4

3 2 1 P(? ? 3) ? P( AB) ? P( A) P( B) ? ? ? . 4 3 2

--------------------------5 分

? 的分布列为:

?
P

1

2

3

1 4

1 4

1 2
-------------------------- 7 分
14

1 1 1 9 ? 的数学期望 E? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 4 4 2 4

(Ⅱ)当 ? ? 1 时, f ( x) ? 3sin 当 ? ? 2 时, f ( x) ? 3sin 当 ? ? 3 时, f ( x) ? 3sin ∴事件 D 发生的概率是

x ?1 ? 2

=3sin( x ? ) f ( x) 为偶函数; 2 2
f ( x) 为奇函数; f ( x) 为偶函数;

?

?

x?2 ? ? ? 3sin( x ? ? ) 2 2 x?3 ? 3 ? ? 3sin( x ? ? ) 2 2 2

3 . -----------------------------------12 分 4

考点:随机变量的分布列及期望.

9. 【四川省资阳市高 2014 届高三上期第二次诊断考试数学(理) 】 (本小题满分 12 分) 某中学举行了一 次“环保知识竞赛”活动. 为了了解本次竞赛学生成绩情况, 从中抽取了部分学生的分数 (得分取正整数, 满分为 100 分)作为样本(样本容量为 n)进行统计.按照 [50,60) ,[60,70) ,[70,80) ,[80,90) ,[90,100] 的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在 [50,60) , [90,100] 的数据) .

(Ⅰ)求样本容量 n 和频率分布直方图中 x、y 的值; (Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩是 80 分以上(含 80 分)的同学中随机抽取 3 名同学到市政广场参加 环保知识宣传的志愿者活动,设 ? 表示所抽取的 3 名同学中得分在 [80,90) 的学生个数,求 ? 的分布列及其 数学期望. 【答案】 (Ⅰ) n ? 50, y ? 0.004, x ? 0.030 . (Ⅱ) ? 的分布列为:

?
P

1
1 7

2
4 7

3
2 7

E? ?

15 . 7

15

16


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