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2014中考数学圆综合题(含答案)-1


2013 寒假班

周老师初三数学 圆 专题训练
A

五、垂径定理径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
C

D O A B
C B O E D

推论 1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧 (3)(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧

以上共 4 个定理, 简称 2 推 3 定理: 此定理中共 5 个结论中, 只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论, 即① ③ CE

AB 是直径

② AB

? CD

? DE

④ 弧 BC

? 弧 BD

⑤ 弧

AC ? 弧 AD 中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。

推论 2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。即:在⊙ O 中,∵
E F O D A C

AB ∥ CD ∴弧 AC ? 弧 BD

六、圆心角定理圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。 此定理也称 1 推 3 定理,即上述四个结论中,只要知道其中的 1 个相等,则可以推出其它的 3 个结论,即:① ?AOB ②

? ?DOE ;

AB ? DE ;③ OC ? OF

;④ 弧 BA

? 弧 BD
B O

C

B

七、圆周角定理

A

1、圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即:∵ ?AOB 和 ?ACB 是弧

D

C

AB 所对的圆心角和圆周角∴ ?AOB ? 2?ACB

B

O A

2、圆周角定理的推论: 推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧; 即:在⊙ O 中,∵ ?C 、 ?D 都是所对的圆周角 ∴ ?C
B

C

? ?D

O

A

推论 2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径。 即:在⊙ O 中,∵

AB 是直径

或∵ ?C

? 90?

∴ ?C

? 90?



AB 是直径
C

推论 3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 即:在△

ABC 中,∵ OC ? OA ? OB ∴△ ABC 是直角三角形或 ?C ? 90?

B
C

O
D

A

此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。 八、圆内接四边形圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。 即 : 在 ⊙

O

中 , ∵ 四 边 形

A B C是 D

内 接 四 边 形



?C ? ?BAD ? 180?

B A E

?B ? ?D ? 180? ?DAE ? ?C
九、切线的性质与判定定理
O

(1)切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线;
M A N

两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可 即:∵ MN

? OA 且 MN 过半径 OA 外端∴ MN 是⊙ O 的切线

(2)性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图)推论 1:过圆心垂直于切线的直线必过切点 推论 2:过切点垂直于切线的直线必过 圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理:①过圆心;②过切点;③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

虽然社会上把中考气氛搞的风声鹤唳异常紧张,但当考完一场后,你会感觉到,这些考试和平常的考试没有什么显著异样。 1

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周老师初三数学 圆 专题训练

十、切线长定理 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即:∵ PA 、 PB 是的两条切线 ∴ PA

? PB PO 平分 ?BPA
P

B

O

十一、圆幂定理(1)相交弦定理:圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等。 即:在⊙ O 中,∵弦

A

AB 、 CD 相交于点 P ,∴ PA ? PB ? PC ? PD
B O P C A

D

(2)推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

即:在⊙ O 中,∵直径

AB ? CD ,∴ CE 2 ? AE ? BE
C B O E D A

(3) 切割线定理: 从圆外一点引圆的切线和割线, 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 即: 在⊙ O 中, ∵ PA 是切线, PB 是割线∴

PA2 ? PC ? PB

(4) 割线定理: 从圆外一点引圆的两条割线, 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 (如上图) 。 即:在⊙ O 中,∵ PB 、 PE 是割线 ∴ PC ? PB 十二、两圆公共弦定理 圆公共弦定理:两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。
A

? PD ? PE
D P C

A E O B

如图: O1O2 垂直平分 十三、圆的公切线

AB 。即:∵⊙ O1 、⊙ O2 相交于 A 、 B 两点

∴ O1O2 垂直平分

AB

O1

O2

B

两圆公切线长的计算公式:
A B O1

(1)公切线长: Rt ?O1O2C 中, AB 2 ? CO12 ?

O1O2 2 ? CO2 2 ;

C O2

(2)外公切线长: CO2 是半径之差; 内公切线长: CO2 是半径之和 。
C

十四、圆内正多边形的计算
O

(1)正三角形

在⊙ O 中△

ABC 是正三角形,有关计算在 Rt ?BOD 中进行: OD : BD : OB ? 1: 3 : 2 ;

B

D

A

B O

C

(2)正四边形同理,四边形的有关计算在 Rt ?OAE 中进行, OE : AE : OA ? 1:1: 2 : 3)正六边形同理,六边形的有关计算在 Rt ?OAB 中进行, AB : OB : OA ? 1: 十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式

A

E

D

3:2 .
A

O

B

1、扇形:(1)弧长公式: l

?

n? R n? R 2 1 ? lR ;(2)扇形面积公式: S ? 180 360 2
O S

A

l

虽然社会上把中考气氛搞的风声鹤唳异常紧张,但当考完一场后,你会感觉到,这些考试和平常的考试没有什么显著异样。 2

B

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周老师初三数学 圆 专题训练 :扇形面积

n :圆心角 R :扇形多对应的圆的半径

l :扇形弧长 S

数学中考圆综合题 1.如图,△ ABC 中,以 BC 为直径的圆交 AB 于点 D,∠ACD=∠ABC.(1)求证:CA 是圆的切线; (2)若点 E 是 BC 上一点,已知 BE=6,tan∠ABC=

2 5 ,tan∠AEC= ,求圆的直径. 3 3

1T 连接 AD. (1)弦长 AB 等于 ▲ (结果保留根号); (2)当∠D=20°时,求∠BOD 的度数;

2T

2 如图,已知 AB 是⊙O 的弦,OB=2,∠B=30°,C 是弦 AB 上的任意一点(不与点 A、B 重合),连接 CO 并延长 CO 交于⊙O 于点 D,

(3)当 AC 的长度为多少时,以 A、C、D 为顶点的三角形与以 B、C、O 为顶点的三角形相似?请写出解答过程. 3. 如图右,已知直线 PA 交⊙0 于 A、B 两点,AE 是⊙0 的直径.点 C 为⊙0 上一点,且 AC 平分∠PAE,过 C 作 CD⊥PA,垂足为 D。(1)求 证:CD 为⊙0 的切线;2)若 DC+DA=6,⊙0 的直径为 l0,求 AB 的长度.

3T 4 4.(已知四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形,以 AB 为直径在正方形内作半圆,P 是半圆上的动点(不与点 A、B 重合),连接 PA、PB、 PC、PD. (1)如图①,当 PA 的长度等于 ▲ 时,∠PAB=60°; 当 PA 的长度等于 ▲ 时,△PAD 是等腰三角形; (2)如图②,以 AB 边所在直线为 x 轴、AD 边所在直线为 y 轴,建立如图所示的直角坐标系(点 A 即为原点 O),把△PAD、△PAB、△PBC 的面积分别 记为 S1、S2、S3.坐标为(a,b),试求 2 S1 S3-S22 的最大值,并求出此时 a,b 的值.

6.(11 金华)如图,射线 PG 平分∠EPF,O 为射线 PG 上一点,以 O 为圆心,10 为半径作⊙O,分别与∠EPF 的两边相交于 A、B 和 C、 D,连结 OA,此时有 OA//PE(1)求证:AP=AO;(2)若 tan∠OPB= D、O)构造四边形,则能构成菱形的四个点为 ▲

1 2

,求弦 AB 的长;(3)若以图中已标明的点(即 P、A、B、C、 ▲ 或 ▲ 或 ▲ .

,能构成等腰梯形的四个点为

虽然社会上把中考气氛搞的风声鹤唳异常紧张,但当考完一场后,你会感觉到,这些考试和平常的考试没有什么显著异样。 3

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周老师初三数学 圆 专题训练

⌒ 7. 如图, BD 是⊙O 的直径, OA⊥OB, M 是劣弧 AB 上一点, 过点 M 点作⊙O 的切线 MP 交 OA 的延长线于 P 点, MD 与 OA 交于 N 点. 1) 求证:PM=PN;(2)若 BD=4,PA= 3 AO,过点 B 作 BC∥MP 交⊙O 于 C 点,求 BC 的长. 2

8T 8.如图,点 P 为△ABC 的内心,延长 AP 交△ABC 的外接圆于 D,在 AC 延长线上有一点 E,满足 AD =AB·AE,求证:DE 是⊙O 的切线.
2

9 .如图,以线段 AB 为直径的⊙ O 交线段 AC 于点 E ,点 M 是 ? AE 的中点, OM 交 AC 于点 D , ?BOE ? 60 °, cos C

?

1 , 2

? 的长度. BC ? 2 3 .(1)求 ? A 的度数;(2)求证:BC 是⊙ O 的切线;3)求 MD

9T 10. 如图,已知 AB 是⊙O 的直径,点 C 在⊙O 上,过点 C 的直线与 AB 的延长线交于点 P,AC=PC,∠COB=2∠PCB.(1)求证:PC 是⊙O 的 1 切线; (2)求证:BC= 2 AB;(3)点 M 是弧 AB 的中点,CM 交 AB 于点 N,若 AB=4,求 MN·MC 的值.

11 如图(1),两半径为 r 的等圆 ? 和?

O1 和 ? O2 相交于 M ,N 两点,且 ? O2 过点 O1 .过 M

点作直线

AB 垂直于 MN ,分别交 ? O1

O2 于 A,B 两点,连结 NA,NB (1)猜想点 O2 与 ? O1 有什么位置关系,并给出证明;(2)猜想 △NAB 的形状,并给出证
AB 不垂直于 MN ,且点 A,B 在点 M
的两侧,那么(2)中的结论是否成立,若成立请

明;3)如图(2),若过 M 的点所在的直线 给出证明.

11 12.如图 12,已知:边长为 1 的圆内接正方形

ABCD 中, P 为边 CD 的中点,直线 AP 交圆于 E 点.
ADP 与以 Q,C,P 为顶点的三角形相似.

(1)求弦 DE 的长.(2)若 Q 是线段 BC 上一动点,当 BQ 长为何值时,三角形

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12 13..(本小题满分 10 分)如图,⊙O 是 Rt△ABC 的外接圆,AB 为直径, ? ABC=30° ,CD 是⊙O 的切线,ED⊥AB 于 F, (1)判断△DCE 的形状;(2)设⊙O 的半径为 1,且 OF= 14

13

3 ?1 ,求证△DCE≌△OCB. 2

AB 经过 ? O 上的点 C ,并且 OA ? OB , CA ? CB , ? O 交直线 OB 于 E,D ,连接 EC,CD . (1)求证:直线 AB 是 ? O 的切线;(2)试猜想 BC,BD,BE 三者之间的等量关系,并加以证明; 1 (3)若 tan ?CED ? , ? O 的半径为 3,求 OA 的长. 2
如图 14,直线

5

⊙O 的半径 OD 经过弦 AB(不是直径)的中点 C,过 AB 的延长线上一点 P 作⊙O 的切线 PE,E 为切点,PE∥OD;延长直径 AG 交 PE 于点 H; (3)若 EF=2,FO=1,求 KE 的长.

直线 DG 交 OE 于点 F,交 PE 于点 K.(1)求证:四边形 OCPE 是矩形;(2)求证:HK=HG;

6

如图,直角坐标系中,已知两点 O(0,0) A(2,0),点 B 在第一象限且△OAB 为正三角形,△OAB 的外接圆交

y 轴的正半轴于点 C,过点
AB,AD 上的两

C 的圆的切线交 X 轴于点 D.(1)求 B,C 两点的坐标;(2)求直线 CD 的函数解析式;(3)设 E,F 分别是线段 个动点,且 EF 平分四边形

ABCD 的周长.试探究: △ AEF 的最大面积?

7

如图(18),在平面直角坐标系中,△ ABC 的边

2) , AB 在 x 轴上,且 OA ? OB ,以 AB 为直径的圆过点 C .若点 C 的坐标为 (0,

AB ? 5 ,A、B 两点的横坐标 xA , xB 是关于 x 的方程 x2 ? (m ? 2) x ? n ?1 ? 0 的两根.(1)求 m 、 n 的值;
(2)若 ?ACB 平分线所在的直线 l 交 x 轴于点 D , 试求直线 l 对应的一次函数解析式; (3 ) 过点 D 任作一直线 l ? 分别交射线 CA 、CB (点 C 除外)于点 M 、 N .则 1 ? 1 的是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.

CM

CN

8

如图,在 △ ABC 中 ?ACB

? 90? , D 是 AB 的中点,以 DC

为直径的 ?

O 交 △ ABC 的三边,交点分别是 G,F,E

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点. GE,CD 的交点为 M ,且 ME

? 4 6 , MD : CO ? 2 : 5 .(1)求证: ?GEF ? ?A .(2)求 ? O 的直径 CD 的长.

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