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江西省南昌市三校(南昌一中、南昌十中、南铁一中)2017届高三第四次联考(文数)


江西省南昌市三校(南昌一中、南昌十中、南铁一中)2017 届 高三第四次联考
数学(文科)
考试时间:120 分钟 试卷总分:150 分 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.在复平面内,复数 A. 第四象限

2?i ( i 是虚数单位)对应的点位于( 1? i
B. 第三象限 C. 第二象限

) D.第一象限

2.设集合 U ? ?0,1, 2,3, 4,5? , A ? ?1, 2? , B ? x ? Z | x ? 5 x ? 4 ? 0 ,则 CU ? A ? B ? ?
2

?

?



) B.?5? C.?1,2,4? D.?0, 4,5?

A.?0,1,2,3?

3. 等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 已知 a2 a5 ? 2a3 , 且 a4 与 2a7 的等差中项为 ( ) B.31 ) C.33 D.36

5 , 则 S5 ? 4

A.29

4 .下列命题中正确的是(

A.若 ? ? ? ,则 sin ? ? sin ? ; B.命题: “ ?x ? 1, x ? 1 ”的否定是“ ?x ? 1, x ? 1”;
2 2

C.直线 ax ? y ? 2 ? 0 与 ax ? y ? 4 ? 0 垂直的充要条件为 a ? ?1 ; D.“若 xy ? 0 ,则 x ? 0 或 y ? 0 ”的逆否命题为“若 x ? 0 或 y ? 0 ,则 xy ? 0 ” 5.已知 a ? 1, b ? A.

?

?

? ? ? ? ? 2 , 且 a ? (a ? b ) ,则向量 a 与向量 b 的夹角为(
B.

)

? 6

? 4

C.

? 3

D.

2? 3

6.右图是一个几何体的三视图,其中俯视图中的曲线为四分之一圆,则该几何 体的表面积为( )

1

A.3

B.3 ?

?
2

C. 4 )

D.4 ?

?
2

7.执行如图所示的算法,则输出的结果是( A.1 B.

4 3

C.

5 4

D .2

8.为得到函数 y ? ? sin 2 x 的图象,可将函数 y ? sin ? 2 x ? 的图象( )

? ?

??
? 3?

A.向左平移 C.向右平移

? ?
3

个单位 个单位

3

6 2? D.向右平移 个单位 3

B.向左平移

?

个单位

9.已知直线 l : kx ? y ? 2 ? 0 ( k ? R )是圆 C :

x2 ? y 2 ? 6x ? 2 y ? 9 ? 0 的对称轴,过点 A(0, k ) 作圆 C 的一
条切线,切点为 B ,则线段 AB 的长为( A. 2 B. 2 2 ) C. 3 D. 2 3

10.已知函数 f ( x) ? lg x , a ? b ? 0 , f ( a ) ? f (b) ,则 B. 5 C. 2 ? 3

a2 ? b2 的最小值等于( a?b
D. 2 3 .



A. 2 2 11. 已知定义在 ? 0, ( )

? ?

??

? 上的函数 f ? x ? , f ' ? x ? 为其导数,且 f ? x ? ? f ' ? x ? tan x 恒成立,则 2?

A. 3 f ?

?? ? ?? ? ?? 2f ? ? ?4? ?3?

B. 2 f ?

?? ? ?? ? ?? f ? ? ?6? ?4? ?? ? 2 f ? ?? sin1 ?6?

C. 3 f ?

?? ? ?? ? ?? f ? ? ?6? ?3?

D. f ?1? ?

12.在等腰梯形 ABCD 中, AB / / CD ,且 AB ? 2, AD ? 1, CD ? 2x ,其中 x ? ? 0,1? , 以 A, B 为焦点且过点 D 的双曲线的离心率为 e1 ,以 C , D 为焦点且过点 A 的椭圆的离心率 为 e2 ,若对任意 x ? ? 0,1? ,不等式 t ? e1 ? e2 恒成立,则 t 的最大值是( A. 3 B. 5 C.2
2



D. 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.曲线 y ? 2 x ? ln x 在点(1,2)处的切线方程是 .

14. 如果一条直线与一个平面平行,那么称此直线与平面构成一个“平面线面组”.在一个长 方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是
Co

.

? x ? 0, y ?1 ? 15.已知不等式组 ? x ? y ? 0, 则z ? 的最大值为 x ?1 ? 4 x ? 3 y ? 12, ?
16.已知函数 y ? f ? x ? , x ? R ,给出下列结论: ①若对于任意 x1 , x2 ? R 且 x1 ? x2 ,都有 数;



f ( x2 ) ? f ? x1 ? ? 0 ,则 f ? x ? 为 R 上的减函 x2 ? x1

②若 f ? x ? 为 R 上的偶函数,且在 ? ??,0 内是减函数, f ? ?2? ? 0 ,则 f ? x ? ? 0 的 解集为 ? ?2, 2 ? ③若 f ? x ? 为 R 上的奇函数,则 y ? f ( x) f ( x ) 也是 R 上的奇函数; ④ t 为常数,若对任意的 x 都有 f ( x ? t ) ? f ( x ? t ) ,则 f ? x ? 的图象关于 x ? t 对称, 其中所有正确的结论序号为 .

?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分)某校高一某班的某次数学测试成绩(满分为 100 分)的茎叶图和频率 分布直方图都受了不同程度的破坏,但可见部分,如图,据此解答下列问题:

(1)求分数在[50,60]的频率及全班人数; (2)求分数在[80,90]之间的频数,并计算频率分布直方图中[80,90]间的矩形的高.

3

18. (本小题满分 12 分)在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,且 a2 是 a1 与 a3 ? 1的等差中项. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足 bn ?

n(n ? 1)an ? 1 ,(n ? N * ) .求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . n(n ? 1)

19.(本小题满分 12 分)在△ ABC 中,角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,已知

1 cos 2 A ? ? , c ? 3 , sin A ? 6 sin C . 3
(1)求 a 的值; (2)若角 A 为锐角,求 b 的值及△ ABC 的面积.

20. (本小题满分 12 分)已知矩形 ABCD 中, AB ? 2 ,AD ? 5 , E ,F 分别在 AD ,BC 上, 且 AE ? 1 ,BF ? 3 ,沿 EF 将四边形 AEFB 折成四边形 A' EFB ' ,使点 B ' 在平面 CDEF 上的 射影 H 在直线 DE 上,且 EH ? 1.
B'
A E D

A'

E B F C

H

D

F

C

(1)求证: A' D∥平面 B ' FC ; (2)求 C 到平面 B' HF 的距离. 21. (本小题满分 12 分)已知点 F 是拋物线 C : y2 ? 2 px ? p ? 0? 的焦点, 若点 M ? x0 ,1? 在

C 上, 且 MF ?
(1)求 p 的值;

5 x0 . 4

(2) 若直线 l 经过点 Q ? 3, ?1? 且与 C 交于 A, B (异于 M )两点, 证明: 直线 AM 与直线 BM 的斜率之积为常数. 22. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ?

1 ? a ln x ? a ? 0, a ? R ? . x

(1)若 a ? 1 ,求函数 f ? x ? 的极值和单调区间; (2)若在区间 ? 0, e? 上至少存在一点 x0 ,使得 f ? x0 ? ? 0 成立,求实数 a 的取值范围.

4

数学(文科)参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 C 5 B 6 C 7 A 8 C 9 D 10 A 11 C 12 B

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. x-y+1=0 14. 48 15.3 16.①③

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分)某校高一某班的某次数学测试成绩(满分为 100 分)的茎叶图和频率 分布直方图都受了不同程度的破坏,但可见部分,如图,据此解答下列问题:

(1)求分数在[50,60]的频率及全班人数; (2)求分数在[80,90]之间的频数,并计算频率分布直方图中[80,90]间的矩形的高. 解析:(1)分数在[50,60]的频率为 0.008× 10=0.08. 2 由茎叶图知,分数在[50,60]之间的频数为 2,所以全班人数为 =25. . . . . . . . .5 分 0.08 (2)分数在[80,90]之间的频数为 25-2-7-10-2=4,频率分布直方图中[80,90]间的矩 4 形的高为 ÷ 10=0.016. . . . . . . . . . . . . .10 分 25 18.(本小题满分 12 分)在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,且 a2 是 a1 与 a3 ? 1的等差中项. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足 bn ?

n(n ? 1)an ? 1 ,(n ? N * ) .求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . n(n ? 1)

试题解析:(1)设等比数列 ?an ?的公比为 q ,
5

a2 是 a1 与 a3 ? 1 的等差中项,即有 a1 ? a3 ?1 ? 2a2 ,
即为 1 ? q 2 ? 1 ? 2q ,解得 q ? 2 , 即有 an ? a1q (2) bn ?
n?1

. . . . . . . . . . . .5 分 ? 2n?1 ;.

1 ? n?n ? 1?an 1 1 ? ?1 ? an ? ? 2n?1 ? ? ? ?, n?n ? 1? n?n ? 1? ? n n ?1?

数列 ?bn ?的前 n 项和

1 1 ? 1 ? 2n 1 1 ? 1 1 1 Sn ? 1 ? 2 ? 22 ? ? ? 2n?1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ?1? ? 2n ? ?? n n ?1? 1? 2 n ?1 n ?1 ? 2 2 3

?

?

. . . . . .12 分 19.(本小题满分 12 分)在△ ABC 中,角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,已知

1 cos 2 A ? ? , c ? 3 , sin A ? 6 sin C . 3
(1)求 a 的值; (2)若角 A 为锐角,求 b 的值及△ ABC 的面积. 试题解析: (1)在△ ABC 中,因为 c ? 3 , sin A ? 6 sin C ,

a c ? ,解得 a ? 3 2 . . . . . . . . . . . . . .5 分 sin A sin C 1 ? 2 (2)因为 cos 2 A ? 2 cos A ? 1 ? ? ,又 0 ? A ? , 3 2
由正弦定理 所以 cos A ?

3 6 , sin A ? . 3 3

由余弦定理 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ,得 b2 ? 2b ? 15 ? 0 , 解得 b ? 5 或 b ? ?3 (舍) , 所以 S?ABC ?

1 5 2 . . . . . . . . . . . . . .12 分 bc sin A ? 2 2

20. (本小题满分 12 分)已知矩形 ABCD 中, AB ? 2 ,AD ? 5 , E ,F 分别在 AD ,BC 上, 且 AE ? 1 ,BF ? 3 ,沿 EF 将四边形 AEFB 折成四边形 A' EFB ' ,使点 B ' 在平面 CDEF 上的 射影 H 在直线 DE 上,且 EH ? 1.

6

(1)求证: A' D∥平面 B ' FC ; (2)求 C 到平面 B' HF 的距离. .解: (1)证明:∵ AE ∥BF ,∴ A' E ∥B ' F ,又 A' E ? 平面 A' ED , B ' F ? 平面 A' ED , ∴ B ' F ∥平面 A' ED ,同理又 CF ∥ ED , CF ∥ 平面 A' ED 且 B ' F ? CF ? F , ∴平面 A' ED∥平面 B ' FC ,又 A' D ? 平面 A' ED ,∴ A' D∥平面 B ' FC .……6 分 (2)由题可知, B ' E ? 5 , EH ? 1,∵ B ' H ? 底面 EFCD ,∴ B ' H ? B ' E 2 ? EH 2 ? 2 , 又 B ' F ? 3 ,∴ HF ? B ' F 2 ? B ' H 2 ? 5 , FC ? AD ? BF ? 2S△HFC ? FC ? CD ? 2 ,

1 S△B ' HF ? B ' H ? HF ? 5 , 2
VC ? B ' HF ? VB '? HFC ,∴ S△B ' HF dC ? S△HFC ? B ' H ,

∴ dC ?

S△HFC ? B ' H 2 ? 2 4 5 ? ? .………………12 分 S△B ' HF 5 5
2

21. (本小题满分 12 分)已知点 F 是拋物线 C : y ? 2 px ? p ? 0? 的焦点, 若点 M ? x0 ,1? 在

C 上, 且 MF ?
(1)求 p 的值;

5 x0 . 4

(2) 若直线 l 经过点 Q ? 3, ?1? 且与 C 交于 A, B (异于 M )两点, 证明: 直线 AM 与直线 BM 的斜率之积为常数.

p p 5 ,则 x0 ? ? x0 ,解得 x0 ? 2 p ,又点 M ? x0 ,1? 在 C 2 2 4 1 2 上, 代入 C : y ? 2 px ,得 2 px0 ? 1 ,解得 x0 ? 1, p ? .. . . . . . . . . . . . .4 分 2
解: (1)由抛物线定义知 MF ? x0 ? (2)由(1)得 M ?1,1? , C : y ? x ,当直线 l 经过点 Q ? 3, ?1? 且垂直于 x 轴时, 此时
2

A 3, 3 , B 3, ? 3 ,
7

?

? ?

?

则直线 AM 的斜率 k AM ?

3 ?1 ? 3 ?1 ,直线 BM 的斜率 k BM ? ,所以 2 2

k AM ?kBM ? ?

3 ?1 3 ? 1 1 ? ? ? .当直线 l 不垂直于 x 轴时, 设 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 2 2 2

则直线 AM 的斜率 k AM ?

y1 ? 1 y1 ? 1 1 ,同理直线 BM 的斜率 ? 2 ? x1 ? 1 y1 ? 1 y1 ? 1

kBM ?
且经过

1 1 1 1 ,设直线 l 的斜率为 k ? k ? 0? , ,? k AM ?kBM ? ? ? y2 ? 1 y1 ? 1 y2 ? 1 y1 y2 ? y1 ? y2 ? 1

1 .. . . . . . . . . . . . .12 分 2 1 22. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? ? a ln x ? a ? 0, a ? R ? . x
综上, 直线 AM 与直线 BM 的斜率之积为 ? (1)若 a ? 1 ,求函数 f ? x ? 的极值和单调区间; (2)若在区间 ? 0, e? 上至少存在一点 x0 ,使得 f ? x0 ? ? 0 成立,求实数 a 的取值范围.

. . . . . . . . . . . . . .5 分 f ? x ? 的单调递增区间为 ?1, ?? ? ,单调递减区间为 ? 0,1? . (2) f ? ? x ? ? ?

1 a ax ? 1 1 ? ? 2 ,且 a ? 0 ,令 f ? ? x ? ? 0 ,得到 x ? ,若在区间 ? 0, e? 上 2 x x x a

存在一点 x0 ,使得 f ? x0 ? ? 0 成立,即 f ? x ? 在区间 ? 0, e? 上的最小值小于 0.

8

1 ? 0 ,即 a ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 恒成立,即 f ? x ? 在区间 ? 0, e? 上单调递减, a 1 1 故 f ? x ? 在区间 ? 0, e? 上的最小值为 f ? e ? ? ? a ln e ? ? a , e e
当x? 由

1 1 1? ? ? a ? 0 ,得 a ? ? ,即 a ? ? ??, ? ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 分 e e e? ?

1 ? 0 ,即 a ? 0 时, a 1 ①若 e ? ,则 f ? ? x ? ? 0 对 x ? ? 0, e? 成立,所以 f ? x ? 在区间 ? 0, e? 上单调递减, a 1 1 则 f ? x ? 在区间 ? 0, e? 上的最小值为 f ? e ? ? ? a ln e ? ? a ? 0 , e e
当x? 显然, f ? x ? 在区间 ? 0, e? 上的最小值小于 0 不成立,

综上,由①②可知: a ? ? ??, ? ? ? ? e, ?? ? 符合题意. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分

? ?

1? e?

9


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