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2016-2017 学年高中数学 第三章 不等式 3.3.1 基本不等式课后演 练提升 北师大版必修 5
一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.若 0<a<1,0<b<1,且 a≠b,则 a+b,2 ab,a +b 2ab 中最小的一个是( A.a +b C.2ab 解析: 由基本不等式得 ∴a+b>2 ab. 又∵0<a<1,0<b<1, ∴ab<1,∴ ab<1,∴2 ab· ab<2 ab, 即 2ab<2 ab.又 2ab<a +b ,∴2ab 最小. 答案: C 3 +3 x+y 2.设 M= ,N=( 3) ,P=3 2 A.P<N<M C.P<M<N
x y x y xy
2 2 2 2 2 2,

)

B.2 ab D.a+b

a+b
2

> ab,

(其中 0<x<y),则 M、N、 P 的大小顺序是( B.N<P<M D.M<N<P

)

3 +3 x+y x y x+y x+y 解析: 由基本不等式知 > 3 ·3 = 3 =( 3) ,即 M>N.又∵ > xy, 2 2 而( 3)
x+y

=3

x+y
2

>3

xy

,即 N>P,

∴M>N>P. 答案: A 3.已知 a≥0,b≥0,且 a+b=2,则( 1 A.ab≤ 2 C.a +b ≥2 解析: ∵a+b=2, ∴(a+b) =4,即 a +b +2ab=4, 又∵a +b ≥2ab, ∴2(a +b )≥4, ∴a +b ≥2. 答案: C 4.已知 a、b∈(0,+∞)且 a+b=1,则下列各式恒成立的是( )
1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

) 1 B.ab≥ 2 D.a +b ≤3
2 2

A.

1

ab

≥8

1 1 B. + ≥4

a b
1

1 C. ab≥ 2 解析: ∵a>0,b>0,a+b=1,

D.

a2+b2 2

1 ≤

1 1 b a ∴ + =1+ + +1≥4,当且仅当 a=b 时,等号成立.故选 B.

a b

a b

答案: B 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.某厂产值第二年比第一年增长 p%,第三年比第二年增长 q%,又这两年的平均增长率 为 s%,则 s 与

p+q
2

的大小关系为__________.
2

解析: 由题意可得(1+p%)(1+q%)=(1+s%) , 由基本不等式得(1+p%)(1+q%) ≤?

??1+p%?+?1+q%??2, ? 2 ? ?

?1+p%?+?1+q%? ∴1+s%≤ , 2 从而可得 s≤ 答案: s≤

p+q
2 2

.

p+q

?2 1? 6.若对 x>0,y>0 有(x+2y)? + ?≥m 恒成立,m 的取值范围是________. ?x y?
x x 4y ?2 1? 解析: (x+2y)? + ?=2+ + +2

?x y?

y

?x 4y? =4+? + ?≥4+2 ?y
x?
∴m≤8. 答案: m≤8

x 4y · =8, y x

三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.已知 x,y 为正实数,且 x+4y=1,求 xy 的最大值. 解析: ∵x,y 为正实数, 1 1?x+4y?2 1 ∴x·y= x·4y≤ ? ?= , 4 4? 2 ? 16 1 1 当且仅当 x=4y 即 x= ,y= 时取等号. 2 8

2

1 即 xy 的最大值为 . 16 8.设 a、b、c 都是正数,求证: + + 证明: ∵a、b、c 都是正数,∴ 、 ∴

bc ca ab ≥a+b+c. a b c bc ca ab 、 也都是正数. a b c

bc ca ca ab bc ab + ≥2c, + ≥2a, + ≥2b, a b b c a c

?bc ca ab? 三式相加得 2? + + ?≥2(a+b+c), ?a
b c?


bc ca ab + + ≥a+b+c. a b c

? 尖子生题库 ?☆☆☆ 9.(10 分)已知 a,b,c 为不等正实数,且 abc=1. 1 1 1 求证: a+ b+ c< + + .

a b c
1

1 1 证明: ∵ + ≥2

a b
1

ab

=2 c, 1 =2 b

1

b c

1 + ≥2

bc

1 1 =2 a, + ≥2

c a

ac

?1 1 1? ∴2? + + ?≥2( a+ b+ c), ?a b c?
1 1 1 即 + + ≥ a+ b+ c.

a b c

∵a,b,c 不全相等, 1 1 1 ∴ a+ b+ c< + + .

a b c

3


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