向量的加法运算

复习回顾

1. 向量的定义：既有大小又有方向的量. 向量的表示：向量可用有向线段来表示. 2.零向量：长度为零的向量. 单位向量： 长度等于1个单位的向量. 3.共线(平行）向量： 方向相同或相反的非零向量. 4.相等向量: 长度相等且方向相同的向量.

新 知
1.向量加法的定义: 求两个向量和的运算叫做向量的加法.

2. 向量加法的三角形法则： ? ? 已知非零向量 a 、 b ，在平面内任取一点A，作
? AB ? a ， BC ? b，则向量 AC 叫做 a 与
记作

b 的和，

? a

a ? b ，即 a ? b ? AB ? BC ? AC .
a?b ?
A
C

? b

? a

b
B

首尾相接，首尾连 两个向量的和仍是一个向量

（向量的三角形法则可以扩展到求 多个向量的和向量（封闭三角 形））。

3.向量加法的平行四边形法则：
以同一点O为起点的两个已知向量

? ? OACB，则以O为起点的对角线 OC 就是 a与 b 的
A

? a

? 、b

为邻边作

和.

? a
? b

a?b
? b
B

C

O

起点相同连对角 两种加法法则在本质上是一致的

应 用
作法1：

例1.如图，已知向量 a 、 b，求作向量 a ? b . ? A A O b O

? a

a?b

a?b

B

B

C

? 在平面内任取一点O，作 OA ? a ，AB ? b .则 OB ? a ? b .

作法2：

? 在平面内任取一点O，作 OA ? a ，OB ? b .以OA、OB为邻边
作 OACB，连接OC，则 OC ? OA ? OB ? a ? b .

? ? 练习1.如图，已知 a 、b ，用向量加法的三角形法则 ? ?
作出 a ? b .
(1)

? b

(2)

? a

(3)

? a

? a

? b
C

? b
B

a?b
A

C A

a?b
B
B

a?b
A

C

? ? 练习2.如图，已知 a 、b ，用向量加法的平行四边形 ? ? 法则作出 a ? b .
? b

? a
? ? a ?b
C

B

O

A

用三角形法则和平行四边形法则求作两个向
量的和向量，其作图特点：

三角形法则：首尾相接连端点； 平行四边形法则：起点相同连对角.

探究二：向量加法的代数运算性质 1：零向量0与任一向量a可以相加吗？
规定：a＋0=0＋a=a， 2：若向量a与b为相反向量，则a＋b等于 什么？反之成立吗？

a与b 为相反向量 a＋b=0 3：若向量a与b同向，则向量a＋b的方向 如何？若向量a与b反向，则向量a＋b的 方向如何？

4：考察下列各图，|a＋b|与|a|＋|b|的 大小关系如何？|a＋b|与|a|－|b|的大小 关系如何？ a
C
a

a＋ b A

ｂ

ｂ
a＋b

ｂ
a
B
a＋b

|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a与b同向时取等号； |a＋b|≥||a|－|b||，当且仅当a与b反向时取等号.

探 究

实数的加法满足交换律与结合律.那么，向量
的加法是否也有类似的运算律呢？ 类比猜想： 2.向量加法的结合律：

1.向量加法的交换律：

a ? b ?b ? a
?D b
A

? a

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c)
C

? a

B

? b

A

? ? ? ? c ? ?b ? c c a ?b ?? ?C ? aa b B b

D

应 用

例2.化简：

C A B

（1）BC ?

AB ? AB ? BC ? AC

? （2） DB ? CD ? BC ? DB ? BC ? CD ? 0
（3）AB ? DF ? CD ? BC ? FA

? ? AB ? BC ? CD ? DF ? FA ? 0

实际应用
例3.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如 图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5km/h的速度向垂直于 对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； (2)求船实际航行的速度大小与方向. 解：（1）如图所示. AB 表示水速， AD 表示船速， 以AD、AB为邻边作 ABCD，则 AC 表示船实际航行的速度. C D (2)在Rt△ABC中， AB ? 2, BC ? 5,
A

所以

AC ?

AB ? BC

2

2

? 2 2 ? 5 2 ? 29
A B

tan∠CAB=2.5

由计算器得：∠CAB≈68°

答：船实际航行的速度大小为 间的夹角约为68°.

29 km/h，方向与水的流速

练习3.设向量

? ? a 表示“向东走6km”， b 表示“向北
6 2km a ? b 的方向 a ? b =________;

走6km”，则

东偏北45° 是_____________

? b

B

C

O

? a

A

巩固练习
1.向量 ( AB ? MB) ? (BO ? BC) ? OM ? _________ AC .

2.在矩形ABCD中，AC 等于（ D ）
A. BC ? BA C. AD ? CD B. AB ? DA D. AD ? DC C ） C. 2 2 D.
2

? ? ? 3.已知正方形ABCD的边长为1， AB ? a， BC ? b ， AC ? c ，

? ? ? 则 a ? b ? c 的模为（
A. 0 B. 3

4.下列说法：
? ①在△ABC中，必有 AB ? BC ? CA ? 0 ；

? ②若 AB ? BC ? CA ? 0 ，则A、B、C为一个三角形的
三个顶点； ③若 a、b均为非零向量，则 a ? b 与 相等. 其中正确的个数为（ B ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

a?b

一定

自主小结
1.向量加法的定义及运算法则； 2.向量模的不等式； 3.向量加法的交换律、结合律.