复习回顾
1. 向量的定义:既有大小又有方向的量. 向量的表示:向量可用有向线段来表示. 2.零向量:长度为零的向量. 单位向量: 长度等于1个单位的向量. 3.共线(平行)向量: 方向相同或相反的非零向量. 4.相等向量: 长度相等且方向相同的向量.
新 知
1.向量加法的定义: 求两个向量和的运算叫做向量的加法.
2. 向量加法的三角形法则: ? ? 已知非零向量 a 、 b ,在平面内任取一点A,作
? AB ? a , BC ? b,则向量 AC 叫做 a 与
记作
b 的和,
? a
a ? b ,即 a ? b ? AB ? BC ? AC .
a?b ?
A
C
? b
? a
b
B
首尾相接,首尾连 两个向量的和仍是一个向量
(向量的三角形法则可以扩展到求 多个向量的和向量(封闭三角 形))。
3.向量加法的平行四边形法则:
以同一点O为起点的两个已知向量
? ? OACB,则以O为起点的对角线 OC 就是 a与 b 的
A
? a
? 、b
为邻边作
和.
? a
? b
a?b
? b
B
C
O
起点相同连对角 两种加法法则在本质上是一致的
应 用
作法1:
例1.如图,已知向量 a 、 b,求作向量 a ? b . ? A A O b O
? a
a?b
a?b
B
B
C
? 在平面内任取一点O,作 OA ? a ,AB ? b .则 OB ? a ? b .
作法2:
? 在平面内任取一点O,作 OA ? a ,OB ? b .以OA、OB为邻边
作 OACB,连接OC,则 OC ? OA ? OB ? a ? b .
? ? 练习1.如图,已知 a 、b ,用向量加法的三角形法则 ? ?
作出 a ? b .
(1)
? b
(2)
? a
(3)
? a
? a
? b
C
? b
B
a?b
A
C A
a?b
B
B
a?b
A
C
? ? 练习2.如图,已知 a 、b ,用向量加法的平行四边形 ? ? 法则作出 a ? b .
? b
? a
? ? a ?b
C
B
O
A
用三角形法则和平行四边形法则求作两个向
量的和向量,其作图特点:
三角形法则:首尾相接连端点; 平行四边形法则:起点相同连对角.
探究二:向量加法的代数运算性质 1:零向量0与任一向量a可以相加吗?
规定:a+0=0+a=a, 2:若向量a与b为相反向量,则a+b等于 什么?反之成立吗?
a与b 为相反向量 a+b=0 3:若向量a与b同向,则向量a+b的方向 如何?若向量a与b反向,则向量a+b的 方向如何?
4:考察下列各图,|a+b|与|a|+|b|的 大小关系如何?|a+b|与|a|-|b|的大小 关系如何? a
C
a
a+ b A
b
b
a+b
b
a
B
a+b
|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当a与b同向时取等号; |a+b|≥||a|-|b||,当且仅当a与b反向时取等号.
探 究
实数的加法满足交换律与结合律.那么,向量
的加法是否也有类似的运算律呢? 类比猜想: 2.向量加法的结合律:
1.向量加法的交换律:
a ? b ?b ? a
?D b
A
? a
(a ? b) ? c ? a ? (b ? c)
C
? a
B
? b
A
? ? ? ? c ? ?b ? c c a ?b ?? ?C ? aa b B b
D
应 用
例2.化简:
C A B
(1)BC ?
AB ? AB ? BC ? AC
? (2) DB ? CD ? BC ? DB ? BC ? CD ? 0
(3)AB ? DF ? CD ? BC ? FA
? ? AB ? BC ? CD ? DF ? FA ? 0
实际应用
例3.长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输.如 图所示,一艘船从长江南岸A点出发,以5km/h的速度向垂直于 对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度; (2)求船实际航行的速度大小与方向. 解:(1)如图所示. AB 表示水速, AD 表示船速, 以AD、AB为邻边作 ABCD,则 AC 表示船实际航行的速度. C D (2)在Rt△ABC中, AB ? 2, BC ? 5,
A
所以
AC ?
AB ? BC
2
2
? 2 2 ? 5 2 ? 29
A B
tan∠CAB=2.5
由计算器得:∠CAB≈68°
答:船实际航行的速度大小为 间的夹角约为68°.
29 km/h,方向与水的流速
练习3.设向量
? ? a 表示“向东走6km”, b 表示“向北
6 2km a ? b 的方向 a ? b =________;
走6km”,则
东偏北45° 是_____________
? b
B
C
O
? a
A
巩固练习
1.向量 ( AB ? MB) ? (BO ? BC) ? OM ? _________ AC .
2.在矩形ABCD中,AC 等于( D )
A. BC ? BA C. AD ? CD B. AB ? DA D. AD ? DC C ) C. 2 2 D.
2
? ? ? 3.已知正方形ABCD的边长为1, AB ? a, BC ? b , AC ? c ,
? ? ? 则 a ? b ? c 的模为(
A. 0 B. 3
4.下列说法:
? ①在△ABC中,必有 AB ? BC ? CA ? 0 ;
? ②若 AB ? BC ? CA ? 0 ,则A、B、C为一个三角形的
三个顶点; ③若 a、b均为非零向量,则 a ? b 与 相等. 其中正确的个数为( B ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
a?b
一定
自主小结
1.向量加法的定义及运算法则; 2.向量模的不等式; 3.向量加法的交换律、结合律.