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椭圆双曲线基础练习题


椭圆双曲线练习题答案
1.若 k ? R ,则“ k ? 3 ”是“方程 (A)充分不必要条件. (C)充要条件.

y2 x2 ? ? 1 表示双曲线”的( A ) k ?3 k ?3
(B)必要不充分条件. (D)既不充分也不必要条件.

x2 y2 4 4.已知双曲线 2- 2=1的一条渐近线方程为 y= x,则双

曲线的离心率为 (A ) a b 3
5 (A) 3 4 (B) 3 5 (C) 4 3 (D) 2

5.如果双曲线的两个焦点分别为 F1 (?3,0) 、 F2 (3,0) ,一条渐近线方程为 y ? 它的两条准线间的距离是( A. 6 3 B. 4 C ) C. 2 D.1

2 x ,那么

6.双曲线 mx 2 ? y 2 ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m ? A. ?

1 4

B. ?4

C. 4

D.

1 4

6.一看带参,马上戒备:有没有说哪个轴是实轴?没说,至少没有明说。分析一下,因 为等号后为常数“+” ,所以等号前为系数为“+”的对应实轴。y 的系数为“+” ,所以这个 双曲线是“立”着的。接下来排除 C、D 两过于扯淡的选项 —— 既然说是双曲线, x ”与 “
2 2

x2 y2 ? 2 ?1 2 2 b “y ” 的系数的符号就不能相同。在接下来是一个 “坑儿” 双曲线的标准形式是 a : y2 x2 ? 2 ?1 2 b 或a ( a, b ? 0 ) ,题目中的双曲线方程并不是标准形式,所以要变一下形儿,变成

?

x2 1 ? y2 ? 1 :1 ? 4 1/ | m | 。由题意,半虚轴长的平方:半实轴长的平方 = 4。即 | m | ,所以

m??


1 4 。选 A。当然,我们也可以不算,只利用半虚轴比半实轴长即可直接把答案 A 圈出

这个题的形式我们见的真是太多了,总结起来八个字: “没有坡度,只有陷阱” 。也就是 说,题目本身并不很难,但是它总在视觉上(不是知识上,是视觉上)给人挖“坑儿” 。一 般情况下, “坑儿”有三种:⑴ 不声明曲线是站着的还是躺着的;⑵ 该写在分母上的不往 分母上写;⑶ 该写成平方形式的不写成平方。

1 仔细品味这个题,选择支的选项并没有出现“ ?2 ”或“ 2 ”这样的支项,也就是说 ?
第⑶点并没有考察;第⑴点有所涉及,但似乎故意做了淡化,C、D 选项几乎是用眼睛扫一
1

2 2 2 2 下就排除了; 主要考察的还是第⑵点。 如果题目干项中将 mx ? y ? 1 ” “ mx ? y ? t “ 改成

1 (t 为非零常数),同时支项中出现“ ? 2”“ 2 ”这样的干扰项,那就三点兼顾了。 ” 、 ?
值得一提的是,在二次曲线中,还有一个“坑儿”需要引起注意:那就是“轴和半轴” 、

x2 y 2 ? 2 2 b “距和半距” 。例如:椭圆 a
距。

? a ? b ? 0?

中, a 是半长轴而非长轴, c 是半焦距而非焦

这些问题虽然很小,但同时也是眼高手低者们(包括我在内)比较爱犯的通病。我个人 认为,这个题其实是用来考察非智力因素的:就看细心不细心。

7.P 是双曲线

x 2 y2 - =1 的右支上一点,M、N 分别是圆(x+5)2+y2=4 和(x-5)2+y2 9 16

=1 上的点,则|PM|-|PN|的最大值为( D ) A. 6 B.7 C.8 D.9

解:设双曲线的两个焦点分别是 F1(-5,0)与 F2(5,0) ,则这两点正好是两圆的圆 心,当且仅当点 P 与 M、F1 三点共线以及 P 与 N、F2 三点共线时所求的值最大,此时 |PM|-|PN|=(|PF1|-2)-(|PF2|-1)=10-1=9 故选 B 8.曲线

x2 y2 x2 y2 ? ? 1(m ? 6) 与曲线 ? ? 1(5 ? m ? 9) 的 10 ? m 6 ? m 5?m 9?m
(B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同

(A)焦距相等 【解析】由

x2 y2 ? ? 1(m ? 6) 知 该 方 程 表 示 焦 点 在 x 轴 上 的 椭 圆 , 由 10 ? m 6 ? m

x2 y2 ? ? 1(5 ? m ? 9) 知该方程表示焦点在 y 轴上的双曲线,故只能选择答案 A。 5?m 9?m
【点评】 本题考查了椭圆和双曲线方程及各参数的几何意义, 同时着重考查了审题能力即参 数范围对该题的影响。 9.若双曲线

1 x2 ? y 2 ? 1上的点到左准线的距离是到左焦点距离的 ,则 m = ( C) 3 m

(A)

1 2
2

(B)

3 2

(C)

1 8

(D)

9 8

y2 10.过双曲线 M: x ? 2 ? 1的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l ,若 l 与双曲线 M 的两条渐近线分 b

2

别相交于 B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线 M 的离心率是 ( A. 10 B. 5 C.

A

)

10 3

D.

5 2

11.已知双曲线

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2,P 是准线上一点,

且 P F1⊥P F2,|P F1| ? |P F2 |=4ab,则双曲线的离心率是 (A) 2 12.如果双曲线 (A)
4 6 3

(B)

3

(C)2

(D)3

x2 y2 ? =1 上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 2,那么点 P 到 y 轴的距离是 4 2

(B)

2 6 3

(C) 2 6

(D) 2 3

13.已知双曲线 程为 _____

x2 y 2 ? ? 1 ,则以双曲线中心为焦点,以双曲线左焦点为顶点的抛物线方 4 5

14.已知双曲线 C∶ 的半径是 (A)a
2 2 (D) a ? b

x2 y 2 ? ? 1(a >0,b>0),以 C 的右焦点为圆心且与 C 的渐近线相切的圆 a 2 b2

(B)b

(C) ab

x2 y 2 15. F1,F2 分别是双曲线 2 ? 2 的左、 设 右焦点, 若双曲线上存在点 A , ?F AF2 ? 90? 使 1 a b
且 AF ? 3 AF2 ,则双曲线的离心率为( 1 )

A.

5 2

B.

10 2

C.

15 2

D. 5 )

16.已知双曲线的离心率为 2 ,焦点是 (?4, , (4, ,则双曲线方程为( 0) 0)

x2 y 2 ? ?1 A. 4 12

x2 y 2 ? ?1 B. 12 4

x2 y 2 ? ?1 C. 10 6

x2 y 2 ? ?1 D. 6 10

17.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2,焦点到渐近线的距离为 6,则该双曲线的离心

3

率为

.3

2 18 . 设 P 为 双 曲 线 x ?

y2 ? 1 上 的 一 点 , F1,F2 是 该 双 曲 线 的 两 个 焦 点 , 若 12
) D. 24

| PF1 |:| PF2 |? 3: 2 ,则 △PF1F2 的面积为(
A. 6 3 B. 12 C. 12 3

19.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线中心在原点,焦点在 y 轴上,一条渐近线方程为

x ? 2 y ? 0 ,则它的离心率为

A. 5

B.

5 2

C. 3

D. 2

20.过双曲线

x2 y 2 ? ? 1 左焦点 F1 的直线交曲线的左支于 M ,N 两点, F2 为其右焦点, 4 3

则 MF2 ? NF2 ? MN 的值为______. 21.以双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是( 9 16
B. x ? y ? 10 x ? 16 ? 0
2 2



A. x ? y ?10x ? 9 ? 0
2 2

C. x ? y ? 10 x ? 16 ? 0
2 2 2 2

D. x ? y ? 10x ? 9 ? 0
2 2

22.以双曲线 x ? y ? 2 的右焦点为圆心,且与其右准线相切的圆的方程是( A. x ? y ? 4 x ? 3 ? 0
2 2



B. x ? y ? 4 x ? 3 ? 0
2 2

C. x ? y ? 4 x ? 5 ? 0
2 2

D. x ? y ? 4 x ? 5 ? 0
2 2

23.如图, F1 和 F2 分别是双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个 a2 b2

焦点, A 和 B 是以 O 为圆心,以 O F1 为半径的圆与该双曲线 左支的两个交点,且△ F2 AB 是等边三角形,则双曲线的离心 率为 (A) 3 (B) 5 (C)

5 2

(D) 1? 3
4

24.又曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,若 P 为其上一点,且 a 2 b2

|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为 B A.(1,3) 25.若双曲线 B. ?1,3? C.(3,+ ? ) D. ?3, ?? ?

3a x2 y 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)上横坐标为 的点到右焦点的距离大于 2 2 a b

它到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是( A.(1,2) B.(2,+ ? ) C.(1,5)

B

)

D. (5,+ ? )

26.设 a ? 1 ,则双曲线 A. ( 2, 2)

x2 y2 ? ? 1的离心率 e 的取值范围是( B ) a 2 (a ? 1)2
5) C. (2,

B. ( 2,5)

D. (2,5)

27.设椭圆 C1 的离心率为

5 ,焦点在 X 轴上且长轴长为 26.若曲线 C2 上的点到椭 13

圆 C1 的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为 A (A)
x2 y2 ? ?1 4 2 32

(B)

x2 y2 ? 2 ?1 132 5 x2 y2 ? 2 ?1 132 12

(C)

x2 y2 ? ?1 32 4 2

(D)

28.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的左、右焦点分别是 F1,F2 ,过 F1 作倾斜 a 2 b2

角为 30? 的直线交双曲线右支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为 ( B A. 6 ) B. 3 C. 2 D.
3 3

29.若双曲线 离心率是 D (A)3

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点到一条准线的距离之比为 3:2,则双曲线的 a2 b2

(B)5

(C) 3

(D) 5

5

30.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ( a >0,b >0)的一条渐近线为 y=kx(k >0),离心率 a 2 b2

e= 5k ,则双曲线方程为 C
(A)
x2 y2 - 2 =1 a2 4a

(B)

x2 y 2 ? ?1 a 2 5a 2 x2 y 2 (D) 2 ? 2 ? 1 5b b

x2 y 2 (C) 2 ? 2 ? 1 4b b

31.过双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右顶点为 A,右焦点为 F。过点 F 平行双曲线的一条渐 9 16
32 15

近线的直线与双曲线交于点 B,则△AFB 的面积为_______
32.设双曲线 率等于( C ) (A) 3 33.过双曲线 (B)2 (C) 5 (D) 6

x2 y 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相切,则该双曲线的离心 2 a b

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右顶点 A 作斜率为 ?1 的直线,该直线与双曲线的 a 2 b2 ??? 1 ??? ? ? 两条渐近线的交点分别为 B, C .若 AB ? BC ,则双曲线的离心率是 ( ) 2
w.w.w.k.s.5.u.c .o.m

A. 2

B. 3

C. 5

D. 10

34.双曲线

x2 y2 ? ? 1 的渐近线与圆 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 相切,则 r= 6 3
(B)2 (C)3 (D)6

(A) 3 答案:A

35.下列曲线中离心率为 6 的是 2 (A)

x2 y 2 ? ?1 2 4

(B)

x2 y 2 ? ?1 4 2

2 2 (C) x ? y ? 1

4

6

(D) x ? y ? 1
4 10

2

2

[解析]由 e ?

b2 3 b2 1 6 c2 3 得 2 ? ,1 ? 2 ? , 2 ? ,选 B a 2 a 2 a 2 2

6

36.设 F 和 F2 为双曲线 1

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的两个焦点, 若 F1,F2 , P(0, 2b) 是正 a 2 b2

三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 A.

3 2

B. 2

C.

5 2

D.3

答案:B

x2 y2 37.设双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的虚轴长为 2,焦距为 2 3 ,则双曲线的渐近线方 a b
程为( ) A y ? ? 2x 【答案】C 38.已知双曲线 B y ? ?2 x C y??

2 x 2

Dy??

1 x 2

x2 y2 ? ? 1(b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 、 F2 ,其一条渐近线方程为 2 b2

y ? x ,点 P( 3, y0 ) 在双曲线上.则 PF · PF2 = 1
A. -12 【答案】C 39.已知双曲线 C: 2 ? B. -2 C. 0 D. 4

x2 a

y2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点为 F ,过 F 且斜率为 3 的直线交 C b2
w.w.w.k.s.5. u.c.o.

于 A、B 两点,若 AF ? 4 FB ,则 C 的离心率为
m

A.

6 5

B.

7 5

C.

5 8

D.

9 5

解: 设双曲线 C: 2 ?

x2 a

y2 ? 1 的右准线为 l ,过 A、B 分 别 b2

作 AM ? l 于 M , BN ? l 于 N , BD ? AM 于D , 由 直 线 AB 的 斜 率为

3 , 知 直 线 AB 的 倾 斜 角为
1 | AB | , 2
第 二 定 义 有

60???BAD ? 60?,| AD |?
由 双 曲 线 的

? ??? ? 1 ??? | AM | ? | BN |?| AD |? (| AF | ? | FB |) e
7

?

? ??? ? 1 1 ??? | AB |? (| AF | ? | FB |) . 2 2 ??? 5 ??? ? ? 1 6 又? AF ? 4 FB ? ? 3 | FB |? | FB |? e ? e 2 5

故选 A

8


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