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高考理科第一轮复习练习(3.7正弦定理和余弦定理)


课时提升作业(二十三)
一、选择题 1.在△ABC 中,若 b=2asinB,则 A 等于( ) (A)30 °或 60° (B)45°或 60° (C)120°或 60° (D)30°或 150° 2.(2013·黄山模拟)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, asinAsinB+bcos A= ( (A)2 (C) 3.在△ABC 中,cos =
2 2

a,则 的值为

) (B)2 (D) (a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边),则△ABC 的形状为 ( )

(A)等边三角形 (C)等腰三角形或直角三角形

(B)直角三角形 (D)等腰直角三角形
2 2

4.(2013·宝鸡模拟)若△ABC 的内角 A,B,C 所对的边 a,b,c 满足(a+b) -c =4,且 C=60°,则 ab 的值为( (A) (B)8-4 (C)1 (D) )

)

5.若满足条件 C=60°,AB= (A)(1, (C)( ) ,2)

,BC=a 的△ABC 有两个,那么 a 的取值范围是( (B)( , )

(D)(1,2) BD, BC=2BD,则 sinC 的值为( )

6.(2013· 萍乡模拟)如图,在△ABC 中,D 是边 AC 上的点,且 AB=AD,2AB=

(A) (C) 二、填空题

(B) (D)

7.(2013·北京模拟)在△ABC 中,B= ,AC=1,AB=

,则 BC 的长为

. + 的值

8.(2013·南昌模拟)在锐 角三角形 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 + =6cosC,则 是 . ·

9.(2013·哈尔滨模拟)在△ABC 中,设角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cosC= ,

= ,a+b=9,则

c= 三、解答题

.

10.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 csinA=acosC. (1 )求角 C 的大小. (2)求 sinA-cos(B+ )的最大值,并求取得最大值时角 A,B 的大小. .

11.(2013·陕西师大附中模拟)在△ABC 中,a,b,c 分别为三个内角 A,B,C 的对边,锐角 B 满足 sinB= (1)求 sin2B+cos (2)若 b=
2

的值.

,当 ac 取最大值时,求 cos(A+ )的值. = .

12.(能力挑战题)在△ABC 中,A,B,C 为三个内角,a,b,c 为三条边, <C< 且 (1)判断△ABC 的形状. (2)若| + |=2,求 · 的取值范围.

答案解析 1.【解析】选 D.由已知得 sinB=2sinAsinB, 又∵A,B 为△ABC 的内角, 故 sinB≠0,故 sinA= , ∴A=30°或 150°. 2.【解析】选 D.由正弦定理得 sin AsinB+sinBcos A= 所以 sinB(sin A+cos A)= 故 sinB= sinA,所以 =
2 2 2 2

sinA,

sinA, .

3.【思路点拨】将等式利用倍角公式及正弦定理转化为角的关系,再将 sinA 化为 sin(B+C) 展开可解. 【解析】选 B.由已知及正弦定理得 2sinCcos =sinA+sinC, 即 sinC(1+cosB)=sinA+sinC, 故 sinCcosB=sinA=sin(B+C), 即 sinCcosB=sinBcosC+cosBsinC, 即 sinBcosC=0. 又∵sinB≠0,∴cosC=0, ∴C= ,∴△ABC 为直角三角形. 【方法技巧】三角形形状判断技巧
2

三角形形状的判断问题是正、余弦定理应用的一个重要题型,也是高考的热点问题.其基本技巧就是利用 正、余弦定理实现边角互化,有时要利用三角恒等变换公式结合三角形中角的关系正确判断三角形的形状. 4.【解析】选 A.依题意得 两式相减得 2ab=4-ab,得 ab= . 5.【解析】选 C.由正弦定理得 = ,

∴a=2sinA. ∵C=60°,∴0°<A<120°. 又∵△ABC 有两个,如图所示: ∴asin 60°< 即 <a<2. <a,

6.【解析】选 D.设 BD=a,则由题意可得:BC=2a,AB=AD= a, 在△ABD 中,由余弦定理得: cosA= = = ,

所以 sinA=

=

. = ,

在△ABC 中,由正弦定理得

所以

=

,

解得 sinC= ,故选 D. 7.【解析】设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边为 a,b,c. 由已知 B= ,AC=b=1,AB=c= = ∴sinC= ,得 sinC= . = , ,

又 0<C<π, ∴C= 或 . =2;

若 C= ,则 A= ,此时 a=

若 C=

,则 A=π-

- = ,

此时 A=B= ,故 a=b=1. 答案:1 或 2 8.【思路点拨】利用特值代入法或将切函数化为弦函数,利用正、余弦定理解题. 【解析】方法一:取 a=b=1,则 cosC= , 由余弦定理得 c =a +b -2abcosC= ,∴c=
2 2 2

, .

在 如图所示的等腰三角形 ABC 中,可得 tanA=tanB= 又 sinC= ,tanC=2 ,∴ + =4.

方法二:由 + =6cosC, 得
2

=6·
2 2

,

即 a +b = c , ∴ = 答案:4 9.【解析】由 即 ab=20. 又 a+b=9,故 c =a +b -2abcosC=a +b - ab =(a+b) - ab=9 - ×20=36, 故 c=6. 答案:6 10.【解析】(1)由正弦定理得 sinCsinA=sinAcosC. 因为 0<A<π,所以 sinA>0. 从而 sinC=cosC. 又 sinC≠0,故 c osC≠0, 所以 tanC=1, ∵0<C<π,∴C= . (2)方法一:由(1)知,B= -A,
2 2 2 2 2 2 2

+

=tanC( =

+ =

) =4.

·

= 得 abcosC= ,

于是 =

sinA-cos(B+ )=

sinA-cos (π-A)

sinA+cosA=2sin(A+ ).

因为 0<A< , 所以 <A+ < 综上所述, .从而当 A+ = ,即 A= 时,2sin(A+ )取最大值 2. sinA-cos(B+ )的最大值为 2,此时 A= ,B= .

方法二:由(1)知,A=π-(B+ ) 于是 sinA-cos(B+ )= sin(B+ )-cos(B+ )=2sin(B+ ). .

因为 0<B< ,所以 <B+ <

从而当 B+ = ,即 B= 时,2sin(B+ )取最大值 2. 综上所述, sinA-cos(B+ )的最大值为 2,此时 A= ,B= . ,∴cosB= . =2sinBcosB+

11.【解析】(1 )∵锐角 B 满足 sinB= ∵sin2B+cos =2× × +
2

=2sinBcosB+ = . = ,

(2)∵cosB=
2 2

∴ ac=a +c -2≥2ac-2, ∴ac≤3,当且仅当 a=c= ∴ac 取到最大值时,cosA= = , 时,ac 取到最大值, = =

∴sinA=

=

=

,

∴cos(A+ )=cosAcos -sinAsin = × × = = . 及正弦定理得:

12.【解析】(1)由

sinB=sin 2C, ∴B=2C 或 B+2C=π. 当 B=2C 时,由 <C< 得, π<B<π, ∴B+C>π(不合题意),∴B+2C=π, 又 A+B+C=π, ∴A+(π-C)=π,∴A=C, ∴△ABC 为等腰三角形. (2)∵|
2 2

+

| =2,

∴a +c +2accosB=4. ∵a=c,∴cosB= 而 cosB=-co s 2C, ∴ <cosB<1,∴1<a < , 又 ∴ < 即所求 · · · =ac·cosB=a · <1, 的取值范围是( ,1).
2 2

,

=2-a ,

2


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