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2017年中考数学真题汇编:圆(带答案)


2017 年浙江中考真题分类汇编(数学):专题 11 圆
一、单选题
1、(2017·金华)如图,在半径为 13cm 的圆形铁片上切下一块高为 8cm 的弓形铁片,则弓形弦 AB 的 长为( )

A、10cm B、16cm C、24cm D、26cm 2、 (2017?宁波)如图,在 Rt△ABC 中,∠A=90°,BC= AC 相切于 D、E 两点,则 的长为 ( ) .以 BC 的中点 O 为圆心的圆分别与 AB、

A、 B、 C、 D、

3、 (2017·丽水) 如图, 点 C 是以 AB 为直径的半圆 O 的三等分点, AC=2, 则图中阴影部分的面积是 (



A、 B、 C、 D、 4、(2017·衢州)运用图形变化的方法研究下列问题:如图,AB 是⊙O 的直径,CD,EF 是⊙O 的弦, 且 AB∥CD∥EF,AB=10,CD=6,EF=8。则图中阴影部分的面积是( )

A、 B、 C、 D、

二、填空题

5、(2017?杭州)如图,AT 切⊙O 于点 A,AB 是⊙O 的直径.若∠ABT=40°,则∠ATB=________.

6、(2017?湖州)如图,已知在 ,则

中,

.以

为直径作半圆

,交

于点

.若

的度数是________度.

7、(2017·台州)如图,扇形纸扇完全打开后,外侧两竹条 AB,AC 的夹角为 120°,AB 长为 30cm,则 弧 BC 的长为________cm(结果保留 )

8、(2017?绍兴)如图,一块含 45°角的直角三角板,它的一个锐角顶点 A 在⊙O 上,边 AB,AC 分别 与⊙O 交于点 D,E.则∠DOE 的度数为________.

9、 (2017·嘉兴) 如图, 小明自制一块乒乓球拍, 正面是半径为 (阴影部分)粘贴胶皮,则胶皮面积为________.





, 弓形

10、(2017?湖州)如图,已知 切;在射线 以 为圆心, 为半径的圆与 上取点 ,以 为圆心,

,在射线

上取点

,以

为圆心的圆与 上取点

相 ,

为半径的圆与 ;在射线 ,则

相切;在射线 上取点 ,以

为半径的圆与 相切.若

相切; 的半径为

为圆心,

的半径长是________.

11、(2017·衢州)如图,在直角坐标系中,⊙A 的圆心 A 的坐标为(-1,0),半径为 1,点 P 为直线 上的动点,过点 P 作⊙A 的切线,切点为 Q,则切线长 PQ 的最小值是________

三、解答题

12、(2017?湖州)如图, 切于点 ,交 于点

为 .已知

的直角边 ,

上一点,以 .

为半径的

与斜边



(1)求

的长;

(2)求图中阴影部分的面积. 13、(2017·台州)如图,已知等腰直角△ABC,点 P 是斜边 BC 上一点(不与 B,C 重合),PE 是△ABP 的外接圆⊙O 的直径

(1)求证:△APE 是等腰直角三角形; (2)若⊙O 的直径为 2,求 的值

14、 (2017·衢州)如图, AB 为半圆 O 的直径,C 为 BA 延长线上一点, CD 切半圆 O 于点 D。 连结 OD, 作 BE⊥CD 于点 E,交半圆 O 于点 F。已知 CE=12,BE=9

(1)求证:△COD∽△CBE; (2)求半圆 O 的半径 的长

15、(2017·丽水)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=Rt∠,以 BC 为直径的⊙O 交 AB 于点 D,切线 DE 交 AC 于点 E.

(1)求证:∠A=∠ADE; (2)若 AD=16,DE=10,求 BC 的长. 16、(2017?温州)如图,已知线段 AB=2,MN⊥AB 于点 M,且 AM=BM,P 是射线 MN 上一动点, E,D 分别是 PA,PB 的中点,过点 A,M,D 的圆与 BP 的另一交点 C(点 C 在线段 BD 上),连结 AC, DE.

(1)当∠APB=28°时,求∠B 和 (2)求证:AC=AB. (3)在点 P 的运动过程中

的度数;

①当 MP=4 时,取四边形 ACDE 一边的两端点和线段 MP 上一点 Q,若以这三点为顶点的三角形是直角 三角形,且 Q 为锐角顶点,求所有满足条件的 MQ 的值; ②记 AP 与圆的另一个交点为 F, 将点 F 绕点 D 旋转 90°得到点 G, 当点 G 恰好落在 MN 上时, 连结 AG, CG,DG,EG,直接写出△ACG 和△DEG 的面积之比.

17、(2017?温州)如图,在△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90°,⊙O(圆心 O 在△ABC 内部)经过 B、C 两点,交 AB 于点 E,过点 E 作⊙O 的切线交 AC 于点 F.延长 CO 交 AB 于点 G,作 ED∥AC 交 CG 于点 D

(1)求证:四边形 CDEF 是平行四边形; (2)若 BC=3,tan∠DEF=2,求 BG 的值. 18、(2017?杭州)如图,已知△ABC 内接于⊙O,点 C 在劣弧 AB 上(不与点 A,B 重合),点 D 为弦 BC 的中点,DE⊥BC,DE 与 AC 的延长线交于点 E,射线 AO 与射线 EB 交于点 F,与⊙O 交于点 G,设 ∠GAB=ɑ,∠ACB=β,∠EAG+∠EBA=γ ,

(1)点点同学通过画图和测量得到以下近似数据: ɑ 30° 40° 50° 60° β 120° 130° 140° 150° γ 150° 140° 130° 120° 猜想:β 关于 ɑ 的函数表达式,γ 关于 ɑ 的函数表达式,并给出证明:

(2)若 γ =135°,CD=3,△ABE 的面积为△ABC 的面积的 4 倍,求⊙O 半径的长. 19、(2017?宁波)有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形. (1)如图 1,在半对角四边形 ABCD 中,∠B= ∠D,∠C= ∠A,求∠B 与∠C 的度数之和;

(2)如图 2,锐角△ABC 内接于⊙O,若边 AB 上存在一点 D,使得 BD=BO.∠OBA 的平分线交 OA 于点 E,连结 DE 并延长交 AC 于点 F,∠AFE=2∠EAF.

求证:四边形 DBCF 是半对角四边形; (3)如图 3,在(2)的条件下,过点 D 作 DG⊥OB 于点 H,交 BC 于点 G.当 DH=BG 时,求△BGH 与△ ABC 的面积之比.

20、(2017·金华)(本题 10 分) 如图,已知:AB 是⊙O 的直径,点 C 在⊙O 上,CD 是⊙O 的切线, AD⊥CD 于点 D.E 是 AB 延长线上一点,CE 交⊙O 于点 F,连结 OC,AC.

(1)求证:AC 平分∠DAO. (2)若∠DAO=105°,∠E=30°. ①求∠OCE 的度数. ②若⊙O 的半径为 2 ,求线段 EF 的长.

答案解析部分
一、单选题 1、【答案】C 【考点】勾股定理的应用,垂径定理的应用 【解析】【解答】解:∵OB=13cm,CD=8cm; ∴OD=5cm; 在 RT△BOD 中, ∴BD= = =12(cm)

∴AB=2BD=24(cm) 【分析】首先先作 OC⊥AB 交点为 D,交圆于点 C,根据垂径定理和勾股定理求 AB 的长。 2、【答案】B 【考点】直角三角形斜边上的中线,勾股定理,正方形的判定,切线的性质,弧长的计算 【解析】【解答】解: ∵O 为 BC 中点.BC=2 ∴OA=OB=OC= . .

又∵AC、AB 是⊙O 的切线, ∴OD=OE=r.OE⊥AC,OD⊥AB, ∵∠A=90°. ∴四边形 ODAE 为正方形. ∴∠DOE=90°. ∴(2r)2+(2r)2= ∴r=1. ∴弧 DE= 故答案为 B. = = . .

【分析】根据 O 为 BC 中点.BC=2

.求出 OA=OB=OC=

;再根据 AC、AB 是⊙O 的切线,得出四

边形 ODAE 为正方形;由勾股定理求出 r 的值,再根据弧长公式得出弧 DE 的长度. 3、【答案】A 【考点】扇形面积的计算 【解析】【解答】解:连接 OC,∵点 C 是以 AB 为直径的半圆 O 的三等分点, ∴∠ABC=30°,∠BOC=120°, 又∵AB 为直径, ∴∠ACB=90°, 则 AB=2AC=4,BC= 则 S 阴=S 扇形 BOC-S△BOC= 故选 A. 【分析】连接 OC,S 阴=S 扇形 BOC-S△BOC , 则需要求出半圆的半径,及圆心角∠BOC;由点 C 是以 AB , = .

为直径的半圆 O 的三等分点,可得∠ABC=30°,∠BOC=120°,从而可解答. 4、【答案】A 【考点】垂径定理的应用,扇形面积的计算 【解析】【解答】解:作 GH⊥AB,交 CD 于 G,交 EF 于 H,连接 OC、OD、OE、OF. ∵⊙O 的直径 AB=10,CD=6,EF=8,且 AB‖CD‖EF, ∴OG⊥CD,OH⊥EF, ∴∠COG=∠DOG,∠EOH=∠FOH, ∴OE=OF=OC=OD=5,CG=3,EH=4, ∴OG=4,OH=3, ∵AB‖CD‖EF, ∴S△OCD=S△BCD , S△OEF=S△BEF ,

∴S 阴影=S 扇形 ODC+S 扇形 OEF=S 半圆= 故答案是: π.

π×52=

π.

【分析】 作 GH⊥AB,交 CD 于 G,交 EF 于 H,连接 OC、OD、OE、OF.由 AB‖CD‖EF,可得 OG⊥CD,OH ⊥EF,∠COG=∠DOG,∠EOH=∠FOH, S△OCD=S△BCD , S△OEF=S△BEF 二、填空题 5、【答案】50° 【考点】三角形内角和定理,切线的性质 【解析】【解答】解:∵AT 切⊙O 于点 A,AB 是⊙O 的直径, ∴∠BAT=90°, ∵∠ABT=40°, ∴∠ATB=50°, 故答案为:50° 【分析】根据切线的性质和三角形内角和定理即可求出答案. 6、【答案】140 【考点】等腰三角形的性质,圆周角定理 【解析】【解答】解:连接 AD(如图), ∵AB 为⊙O 的直径, ∴AD⊥BC, 又∵AB=AC,∠BAC=40°, ∴∠BAD=20°,∠B=70°, ∴弧 AD 度数为 140°. 故答案为 140. , 所以 S 阴影=S 扇形 ODC+S 扇形 OEF=S 半圆= π×52= π.

【分析】 连接 AD, 根据直径所对的圆周角为直角, 可知 AD⊥BC, 然后根据等腰三角形三线合一的性质, 可知 AD 平分∠BAC,可得∠BAD=20°,然后求得∠B=70°,再根据同弧所对的圆周角等于其所对圆心角 的一半,从而得出答案. 7、【答案】20 【考点】弧长的计算 【解析】【解答】解:依题可得:弧 BC 的长= 【分析】根据弧长公式即可求得. 8、【答案】90° 【考点】圆心角、弧、弦的关系 【解析】【解答】解:∠DAE 与∠DOE 在同一个圆中,且所对的弧都是 则∠DOE=2∠DAE=2×45°=90°. 故答案为 90°. 【分析】运用圆周角与圆心角的关系即可解答. 9、【答案】(32+48π)cm? 【考点】扇形面积的计算 【解析】【解答】解:连接 OA,OB, , = =20 .

因为弧 AB 的度数是 90°, 所以圆心角∠AOB=90°, 则 S 空白=S 扇形 AOB-S△AOB= S 阴影=S 圆-S 空白=64 -( 故答案为(32+48π)cm? 【分析】先求出空白部分的面积,再用圆的面积减去空白的面积就是阴影部分的面积.连接 OA,OB,则 S
空白=S 扇形 AOB-S△AOB

=

(cm2),

)=32+48 (cm2)。

, 由弧 AB 的度数是 90°,

可得圆心角∠AOB=90°,即可解答. 10、【答案】512 【考点】含 30 度角的直角三角形,切线的性质,探索数与式的规律 【解析】【解答】解:如图,连接 O1A1,O2A2,O3A3, ∵⊙O1,⊙O2,⊙O3,……都与 OB 相切, ∴ O1A1⊥OB, 又∵∠AOB=30°,O1A1=r1=1=20. ∴OO1=2, 在 Rt△OO2A2 中, ∴OO1+O1O2=O2A2. ∴2+O2A2=2O2A2.

∴O2A2=r2=2=21. ∴OO2=4=22, …… 依此类推可得 OnAn=rn=2=2n-1. ∴O10A10=r10=2=210-1=29=512. 故答案为 512.

【分析】 根据圆的切线性质,和 Rt 三角形中 30°角所对的直角边等于斜边的一半;可知 OO1=2;同样可知 O1O2=2,OO2=2+2=22;……OOn=2n;OnAn=rn=2=2n-1;因此可得第 10 个⊙O10 的半径. 11、【答案】2 【考点】点到直线的距离,勾股定理的应用,解直角三角形 【解析】【解答】解:连接 AP,依题可得:要使 PQ 最小,只要 AP 最小即可,即 AP 垂直直线, 设直线与 x 轴交于 C(4,0),与 y 轴交于 B(0,3), 在 Rt△COB 中, ∵CO=4,BO=3, ∴AB=5, ∴sinA= = ,

在 Rt△CPA 中, ∵A(-1,0),

∴AC=5, ∴sinA= ∴PA=3, 在 Rt△QPA 中, ∵QA=1,PA=3, ∴PQ= = =2 = =

【分析】要使 PQ 最小,只要 AP 最小即可,即 AP 垂直直线,求出直线与坐标轴的交点坐标,再根据锐角 三角函数 sinA= 三、解答题 12、【答案】(1)解:在 Rt△ABC 中,AB= ∵BC⊥OC ∴BC 是⊙O 的切线 又∵AB 是⊙O 的切线 ∴BD=BC= ∴AD=AB-BD= (2)解:在 Rt△ABC 中,sinA= ∴∠A=30°. ∵AB 切⊙O 于点 D. ∴OD⊥AB. ∴∠AOD=90°-∠A=60°. ∵ ∴ =tanA=tan30°. = . = = . = =2 . = = = , 从而求出 PA,再根据勾股定理求出 PQ 即可。

∴OD=1. S 阴影= = .

【考点】勾股定理,切线的性质,扇形面积的计算,解直角三角形 【解析】 【分析】 (1) 在 Rt△ABC 中, 利用勾股定理求出 AB 的长, 然后根据切线的判定证出 BC 为切线, 然后可根据切线长定理可求解. (2)在 Rt△ABC 中,根据∠A 的正弦求出∠A 度数,然后根据切线的性质求出 OD 的长,和扇形圆心角的 度数,再根据扇形的面积公式可求解. 13、【答案】(1)证明:∵△ABC 是等腰直角三角形, ∴∠C=∠ABC=45°, ∴∠PEA=∠ABC=45° 又∵PE 是⊙O 的直径, ∴∠PAE=90°, ∴∠PEA=∠APE=45°, ∴ △APE 是等腰直角三角形. (2)解:∵△ABC 是等腰直角三角形, ∴AC=AB, 同理 AP=AE, 又∵∠CAB=∠PAE=90°, ∴∠CAP=∠BAE, ∴△CPA≌△BAE, ∴CP=BE, 在 Rt△BPE 中,∠PBE=90°,PE=2, ∴PB2+BE2=PE2,

∴CP2+PB2=PE2=4. 【考点】全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,勾股定理,圆心角、弧、弦的关系,等腰 直角三角形 【解析】【分析】(1)根据等腰直角三角形性质得出∠C=∠ABC=∠PEA=45°,再由 PE 是⊙O 的直径, 得出∠PAE=90°,∠PEA=∠APE=45°,从而得证. (2)根据题意可知,AC=AB,AP=AE,再证△CPA≌△BAE,得出 CP=BE,依勾股定理即可得证. 14、【答案】(1)解:∵CD 切半圆于点 D,OD 为⊙O 的半径, ∴CD⊥OD, ∴∠CDO=90°, ∵BE⊥CD 于点 E, ∴∠E=90°. ∵∠CDO=∠E=90°,∠C=∠C, ∴△COD∽△CBE. (2)解:∵在 Rt△BEC 中,CE=12,BE=9, ∴CE=15, ∵△COD∽△CBE, ∴ 即 ∴r= . , ,

【考点】切线的性质,相似三角形的判定与性质 【解析】【分析】(1)根据 CD 切半圆于点 D,BE⊥CD 于点 E,得出∠CDO=∠E=90°,根据三角形两个角 对应相等的两个三角形相似得出△COD∽△CBE. (2)根据(1)中△COD∽△CBE,得出 , 从而求出半径。

15、【答案】(1)证明:连结 OD,∵DE 是⊙O 的切线, ∴∠ODE=90°, ∴∠ADE+∠BDO=90°, ∵∠ACB=90°, ∴∠A+∠B=90°, 又∵OD=OB, ∴∠B=∠BDO, ∴∠ADE=∠A.

(2)解:连结 CD,∵∠ADE=∠A, ∴AE=DE, ∵BC 是⊙O 的直径,∠ACB=90°. ∴EC 是⊙O 的切线,∴DE=EC, ∴AE=EC. 又∵DE=10, ∴AC=2DE=20, 在 Rt△ADC 中,DC= 设 BD=x, 在 Rt△BDC 中,BC2=x2+122, 在 Rt△ABC 中,BC2=(x+16)2-202, .

∴x2+122=(x+16)2-202,解得 x=9, ∴BC= .

【考点】切线的性质 【解析】【分析】(1)连结 OD,根据切线的性质和同圆的半径相等,及圆周角所对的圆周角为 90°,得 到相对应的角的关系,即可证明;(2)由(1)中的∠ADE=∠A 可得 AE=DE;由∠ACB=90°,可得 EC 是⊙O 的切线,由切线长定理易得 DE=EC,则 AC=2DE,由勾股定理求出 CD;设 BD=x,再可由勾股 定理 BC2= x2+122=(x+16)2-202,可解出 x 的值,再重新代入原方程,即可求出 BC. 16、【答案】(1)解:∵MN⊥AB,AM=BM, ∴PA=PB, ∴∠PAB=∠B, ∵∠APB=28°, ∴∠B=76°, 如图 1,连接 MD,

∵MD 为△PAB 的中位线, ∴MD∥AP, ∴∠MDB=∠APB=28°, ∴ =2∠MDB=56°;

(2)证明:∵∠BAC=∠MDC=∠APB, 又∵∠BAP=180°﹣∠APB﹣∠B,∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠B, ∴∠BAP=∠ACB, ∵∠BAP=∠B, ∴∠ACB=∠B, ∴AC=AB; (3)解:①如图 2,记 MP 与圆的另一个交点为 R,

∵MD 是 Rt△MBP 的中线, ∴DM=DP, ∴∠DPM=∠DMP=∠RCD, ∴RC=RP, ∵∠ACR=∠AMR=90°, ∴AM2+MR2=AR2=AC2+CR2 ∴12+MR2=22+PR2 , ,

∴12+(4﹣PR)2=22+PR2 ∴PR= ∴MR= , ,



Ⅰ.当∠ACQ=90°时,AQ 为圆的直径, ∴Q 与 R 重合, ∴MQ=MR= ;

Ⅱ.如图 3,当∠QCD=90°时,

在 Rt△QCP 中,PQ=2PR= ∴MQ= ;



Ⅲ.如图 4,当∠QDC=90°时,

∵BM=1,MP=4, ∴BP= ∴DP= , BP= ,

∵cos∠MPB= ∴PQ= ∴MQ= , ;

=



Ⅳ.如图 5,当∠AEQ=90°时,

由对称性可得∠AEQ=∠BDQ=90°, ∴MQ= ; 或 或 ; .

综上所述,MQ 的值为

②△ACG 和△DEG 的面积之比为 理由:如图 6,∵DM∥AF, ∴DF=AM=DE=1, 又由对称性可得 GE=GD, ∴△DEG 是等边三角形, ∴∠EDF=90°﹣60°=30°, ∴∠DEF=75°=∠MDE, ∴∠GDM=75°﹣60°=15°, ∴∠GMD=∠PGD﹣∠GDM=15°, ∴GMD=∠GDM, ∴GM=GD=1,

过 C 作 CH⊥AB 于 H,

由∠BAC=30°可得 CH= ∴CG=MH= ∴S△ACG= ∵S△DEG= ﹣1, CG×CH= ,

AC=

AB=1=MG,AH=





∴S△ACG:S△DEG= 【考点】圆的综合题



【解析】【分析】(1)根据三角形 ABP 是等腰三角形,可得∠B 的度数,再连接 MD,根据 MD 为△PAB 的中位线,可得∠MDB=∠APB=28°,进而得到 =2∠MDB=56°;(2)根据∠BAP=∠ACB,∠BAP=

∠B,即可得到∠ACB=∠B,进而得出 AC=AB;(3)①记 MP 与圆的另一个交点为 R,根据 AM2+MR2=AR2=AC2+CR2 , 即可得到 PR= ,MR= ,再根据 Q 为直角三角形锐角顶点,分

四种情况进行讨论:当∠ACQ=90°时,当∠QCD=90°时,当∠QDC=90°时,当∠AEQ=90°时,即可求得 MQ 的值为 或 或 ; ②先判定△DEG 是等边三角形, 再根据 GMD=∠GDM, 得到 GM=GD=1, AC=1=MG,即可得到 CG=MH= ﹣1,进而得出

过 C 作 CH⊥AB 于 H,由∠BAC=30°可得 CH= S△ACG= CG×CH= ,再根据 S△DEG=

,即可得到△ACG 和△DEG 的面积之比.

17、【答案】(1)解:连接 CE,

∵在△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90°, ∴∠B=45°, ∵EF 是⊙O 的切线, ∴∠FEC=∠B=45°,∠FEO=90°, ∴∠CEO=45°, ∵DE∥CF, ∴∠ECD=∠FEC=45°, ∴∠EOC=90°, ∴EF∥OD, ∴四边形 CDEF 是平行四边形; (2)解:过 G 作 GN⊥BC 于 M,

∴△GMB 是等腰直角三角形, ∴MB=GM, ∵四边形 CDEF 是平行四边形, ∴∠FCD=∠FED, ∵∠ACD+∠GCB=∠GCB+∠CGM=90°, ∴∠CGM=∠ACD, ∴∠CGM=∠DEF, ∵tan∠DEF=2, ∴tan∠CGM= ∴CM=2GM, ∴CM+BM=2GM+GM=3, ∴GM=1, ∴BG= GM= . =2,

【考点】平行四边形的判定与性质,切线的性质,解直角三角形 【解析】【分析】(1)连接 CE,根据等腰直角三角形的性质得到∠B=45°,根据切线的性质得到∠FEC= ∠B=45°,∠FEO=90°,根据平行线的性质得到∠ECD=∠FEC=45°,得到∠EOC=90°,求得 EF∥OD,于 是得到结论;(2)过 G 作 GN⊥BC 于 N,得到△GMB 是等腰直角三角形,得到 MB=GM,根据平行四 边形的性质得到∠FCD=∠FED,根据余角的性质得到∠CGM=∠ACD,等量代换得到∠CGM=∠DEF,根据 三角函数的定义得到 CM=2GM,于是得到结论. 18、【答案】(1)解:β=α +90°,γ =﹣α +180° 连接 OB,

∴由圆周角定理可知:2∠BCA=360°﹣∠BOA, ∵OB=OA, ∴∠OBA=∠OAB=α , ∴∠BOA=180°﹣2α , ∴2β=360°﹣(180°﹣2α ), ∴β=α +90°, ∵D 是 BC 的中点,DE⊥BC, ∴OE 是线段 BC 的垂直平分线, ∴BE=CE,∠BED=∠CED,∠EDC=90° ∵∠BCA=∠EDC+∠CED, ∴β=90°+∠CED, ∴∠CED=α , ∴∠CED=∠OBA=α , ∴O、A、E、B 四点共圆, ∴∠EBO+∠EAG=180°, ∴∠EBA+∠OBA+∠EAG=180°, ∴γ +α =180° (2)解:当 γ =135°时,此时图形如图所示,

∴α =45°,β=135°, ∴∠BOA=90°,∠BCE=45°, 由(1)可知:O、A、E、B 四点共圆, ∴∠BEC=90°, ∵△ABE 的面积为△ABC 的面积的 4 倍, ∴ ∴ , ,

设 CE=3x,AC=x, 由(1)可知:BC=2CD=6, ∵∠BCE=45°, ∴CE=BE=3x, ∴由勾股定理可知:(3x)2+(3x)2=62 , x= , ,AC= , ,

∴BE=CE=3

∴AE=AC+CE=4 在 Rt△ABE 中,

由勾股定理可知:AB2=(3 ∴AB=5 ,

)2+(4

)2



∵∠BAO=45°, ∴∠AOB=90°,

在 Rt△AOB 中,设半径为 r, 由勾股定理可知:AB2=2r2 ∴r=5, ∴⊙O 半径的长为 5. 【考点】余角和补角,三角形的面积,勾股定理,圆的综合题 【解析】【分析】(1)由圆周角定理即可得出 β=α +90°,然后根据 D 是 BC 的中点,DE⊥BC,可知∠ EDC=90°,由三角形外角的性质即可得出∠CED=α ,从而可知 O、A、E、B 四点共圆,由圆内接四边形 的性质可知: ∠EBO+∠EAG=180°, 即 γ =﹣α +180°; (2) 由 (1) 及 γ =135°可知∠BOA=90°, ∠BCE=45°, ∠BEC=90°,由于△ABE 的面积为△ABC 的面积的 4 倍,所以 ,根据勾股定理即可求出 AE、AC ,

的长度,从而可求出 AB 的长度,再由勾股定理即可求出⊙O 的半径 r; 19、【答案】(1)解:在半对角四边形 ABCD 中,∠B= ∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°, ∴3∠B+3∠C=360°. ∴∠B+∠C=120°. 即∠B 与∠C 的度数之和 120°. (2)证明:在△BED 和△BEO 中, . ∴△BED≌△BEO(SAS). ∴∠BDE=∠BOE. 又∵∠BCF= ∴∠BCF= ∠BOE. ∠BDE. ∠D,∠C= ∠A.

如下图,连结 OC. 设∠EAF= .则∠AFE=2∠EAF=2 .

∴∠EFC=180°-∠AFE=180°-2 . ∵OA=OC, ∴∠OAC=∠OCA= . ∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-2 . ∴∠ABC= ∠AOC= ∠EFC.

∴四边形 DBCF 是半对角四边形.

(3)解:如下图,作过点 OM⊥BC 于点 M. ∵四边形 DBCF 是半对角四边形, ∴∠ABC+∠ACB=120°. ∴∠BAC=60°. ∴∠BOC=2∠BAC=120°. ∵OB=OC ∴∠OBC=∠OCB=30°. ∴BC=2BM= ∵DG⊥OB, ∴∠HGB=∠BAC=60°. ∵∠DBG=∠CBA, ∴△DBG △CBA. BO= BD.



=

2=

.

∵DH=BG,BG=2HG. ∴DG=3HG. ∴ ∴ = = .

【考点】三角形内角和定理,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,含 30 度角的直角三角形, 相似三角形的判定与性质 【解析】 【分析】 (1) 在半对角四边形 ABCD 中, ∠B= 得出∠B 与∠C 的度数之和. (2 ) 如图连接 OC, 根据条件先证△BED≌△BEO, 再根据全等三角形的性质得出∠BCF= ∠BOE= ∠BDE; ∠D,∠C= ∠ A; 根据四边形的内角和为 360°,

设∠EAF= .则∠AFE=2∠EAF=2 得出∠EFC=180°-∠AFE=180°-2 ;再根据 OA=OC 得出∠OAC=∠ OCA= , 根据三角形内角和得出∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-2 ;从而得证. (3) 如下图,作过点 OM⊥BC 于点 M,由四边形 DBCF 是半对角四边形,得出∠ABC+∠ACB=120°,∠ BAC=60°.∠BOC=2∠BAC=120°;再由 OB=OC,得出∠OBC=∠OCB=30°.BC=2BM= 根据△DBG~△CBA 得出答案. 20、【答案】(1)解:∵直线与⊙O 相切, ∴OC⊥CD; 又∵AD⊥CD, BO= BD;

∴AD//OC, ∴∠DAC=∠OCA; 又∵OC=OA, ∴∠OAC=∠OCA, ∴∠DAC=∠OAC; ∴AC 平分∠DAO. (2)解:①∵AD//OC,∠DAO=105°, ∴∠EOC=∠DAO=105°; ∵∠E=30°, ∴∠OCE=45°. ②作 OG⊥CE 于点 G,可得 FG=CG, ∵OC=2 ,∠OCE=45°.

∴CG=OG=2, ∴FG=2; ∵在 RT△OGE 中,∠E=30°, ∴GE=2 , -2.

∴EF=GE-FG=2

【考点】平行线的判定与性质,三角形内角和定理,角平分线的性质,等腰三角形的性质,切线的性质 【解析】【分析】(1)利用了切线的性质,平行线的判定和性质,等边对等角,角平分线的判定即可得 证。 (2)①根据(1)得出的 AD//OC,从而得出同位角相等,再利用三角形的内角和定理即可求出答案;② 作 OG⊥CE 于点 G,可得 FG=CG,根据等边对等角得出 CG=OG=FG=2,在根据勾股定理得出 GE,从而求 出 EF=GE-FG.


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