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黑龙江省大庆实验中学2016届高三考前仿真模拟数学(文)试题 Word版含答案


2016 年大庆实验中学[来源:学科网] 文科数学仿真模拟试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求

的.) 1 1.已知集合 A ? {x| lgx ? 0} , B ={x | ? x ? 3} ,则 A ? B ? ( ) 2 1 A. (0,3] B. (1, 2] C. (1,3] D. [ ,1] 2
2.命题“ ?x0 ? (0, ??),lnx0 A. C.

? x0 ? 1”的否定(



??? ??? ? 3.如右图,向量 oz1 对应的复数是 z1 ,向量 oz2 对应的复数是 z2 , z 则 z ? z1 ? 2 的共轭复数为( ) i

?x0 ? (0, ??),lnx0 ? x0 ? 1 ?x ? (0, ??), lnx ? x ? 1

B. ?x0 ? (0, ??),lnx0 ? x0 ? 1 D. ?x ? (0, ??),lnx ? x ? 1

A. 6 ? 4i B. 6 ? 4i C. 3 ? 2i D. 3 ? 2i 2) , b ? (?3 , 2) ,若 ka ? b 与 a 垂直,则实数 k 值为( 4. 已知平面向量 a ? (1 , ) 1 11 A. ? B. C. 11 D. 19 5 9 5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝 才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人走 378 里路,第一天健步行走,从第二天起 脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了 6 天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为( ) A. 24 里 B. 12 里 C. 6 里 D. 3 里 6 .如图, 一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则这个四棱锥的体积为 ( ) A. 2

3

B. 4

C.

4 3

D.

2 5 3

7. 某市重点中学奥数培训班共有 14 人,分为两个小组,在一次阶段考试中两个小组成 绩的茎叶图如图所示,其中甲组学生成绩的平均数是 88,乙组学生成绩的中位数是 89, 则 m ? n 的值是( )

A.10

8. 已知函数 y ? f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,当 x ? ? ??,0? 时, f ? x ? 为减函数,
0.3 若a ? f 2 , b ? f ? log 1 4 ? , c ? f ? log2 5? ,则 a , b , c 的大小关系是(
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B.11

C.12

D.13

? ?

? ?

?

A. a ? b ? c

? c B. ? b ? a
2

) D. a ? c ? b

C. c ? a ? b

9. 已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上, ?ABC 是边长为 1 的正三角形, SC 为球 O 的直径,且 SC ? 2 ,则此棱锥的体积为( ) A.

2 2

B.

2 3

C.

3 6

D.

2 6

10.已知 sin ? 离等于 A.

?

? ,则 f ( ) 2 4

3 ? ,且 ? ? ( , ? ) ,函数 f (x) ? sin(? x? ? )(? ? 0) 的图像的相邻两条对称轴之间的距 5 2 ? 的值为( )
B.

?

3 5

11.函数 f ( x) = ln x + A.

(0, ??)
???? ?

1 2 x + ax 存在与直线 3x ? 2
B.

4 5

C.

3 5

D. ?

4 5
) D.

y ? 0 平行的切线,则实数 a 的取值范围是( (2, ??) (??,1]

(??, 2)

C.

12. 已知双曲线 C :

两点,且 AF2 ? ? F2 B (? ? 0) .若在 ?AF 中, ?F1 AB 1B 平方的值为( ) A. 5 ? 2 2 B. 5 ? 2 2

x2 y 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的左右焦点分别为 F , A, B 为双曲线上横坐标均为正数的 2 1, F 2 a b ????
C. 6 ? 2 D. 6 ? 2

? 90? , | F1 B |? 2 | AB | ,则双曲线 C 的离心率的

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

本卷包括必考题和选考题两部分.第 13-21 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第 22-24 题 为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上.) 13.抛物线 x ? 2 y 2 的焦点坐标为 .
?x ? y ? 0 ? 14.已知 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0 ,则 z ? ?2 x ? y 的最大值是 ?y ?1 ?
.

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15.在 ?ABC 中, AD ? BC ,垂足为 D , AD 在 ?ABC 的内部,且 BD : DC : AD ? 2 : 3 : 6 ,则 . ?BAC ? 16.已知 为 .

f (x) ? sinx ? 1, g (x) ? me x , x ? [0, ? ] ,若 f (x) ? g(x) 恒成立,则 m 的取值范围

三、解答题( 本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. (本小题满分 12 分) 数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an?1 ? 3an ? 2n .
n (Ⅰ)求证数列 an ? 2 是等比数列;
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?

?

(Ⅱ)记 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,求 Sn . 18.(本小题满分 12 分) 某学校团委组织了“文明出行,爱我中华”的知识竞赛,从参加考试的学生中抽出 60 名学生,将其 成绩(单位:分)整理后,得到如下频率分布直方图(其中分组区间为 [40,50) , [50,60) ,?, [90,100] ).

(Ⅰ)求成绩在 [70,80) 的频率,并补全此频率分布直方图; (Ⅱ)求这次考试平均分的估计值; (Ⅲ)若从成绩在 [40,50) 和 [90,100] 的学生中任选两人,求他们的成绩在同一分组区间的概率.

19.(本小题满分 12 分) 如图甲,⊙ O 的直径 AB

? 2 ,圆上两点 C, D 在直径 AB 的两侧,使 ?CAB ? ? , ?DAB ? ?
4

起,使两个半圆所在的平面互相垂直(如图乙) , F 为 BC 的中点, E 为 AO 的中点. P 为 AC 的动点,根据图乙 解答下列各题:

3

.沿直径 AB 折

(Ⅰ)求三棱锥 D ? ABC 的体积. (Ⅱ)在线段 BD 上是否存在一点 G ,使得 FG ∥平面 ACD ?若存在,试确定点 G 的位置;若不存在,请说明理 由. 20. (本小题满分 12 分) 已知圆 M : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1,圆 N : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 9 ,动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切, 圆心 P 的轨迹为曲线 C . (Ⅰ)求 C 的方程. ( Ⅱ ) 若 直 线 y ? k( x? 1) 与 曲 线 C 交 于 R, S 两 点 , 问 是 否 在 ?OTS ? ?OTR ? 若存在,请说明理由. 21. (本小题满分 12 分)
2

x 轴上存在一点 T

,使得当 k 变动时总有

设函数 f ? x ? ? ax ln x ? b ? x ? 1? , ? x ? 0 ? ,曲线 y ? f ? x ? 过点 e, e ? e ? 1 ,
2

?

?

且在点 ?1, 0 ? 处的切线方程为 y ? 0 . (Ⅰ)求 a, b 的值; (Ⅱ)证明:当 x ? 1 时, f ? x ? ? ? x ? 1? ;
2

(Ⅲ)若当 x ? 1 时, f ? x ? ? m ? x ? 1? 恒成立,求实数 m 的取值范围.
2

请考生在第 22、23、24 三题中选定一题作答,并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑,按 所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, A , B 是⊙ O 上的两点,P 为⊙ O 外一点,连结 PA ,PB 分别交⊙ O 于点 C ,D ,且 AB ?AD ,连结 BC 并延长至 E ,使∠ PEB ? ∠ PAB . (Ⅰ)求证: PE ? PD ; (Ⅱ)若 AB ? EP ? 1 ,且 ?BAD ? 120? ,求 AP . 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

4 2 ,直线 l 的极坐标方程为 ? ? . 1 ? sin 2 ? 2 sin ? ? cos ? (Ⅰ)写出曲线 C1 与直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)设 Q 为曲线 C1 上一动点,求 Q 点到直线 l 距离的最小值.

在直角坐标系 xoy 中,以原点 o 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线 C1 的极坐标方程为
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?2 ?

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 f ( x) ? 2 | x ? 2 | ? | x ? 1| (Ⅰ)求不等式 f ( x) ? 6 的解集; (Ⅱ)设 m, n, p 为正实数,且 m ? n ? p ? f (2) ,求证: mn ? np ? pm ? 3 .
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2016 年大庆实验中学 文科数学仿真模拟试题答案
一、DCBAC CCBDD DB 14.-1 15.

? 16. [1, ??) 4 a ? 3an ? 2n 有, an?1 ? 2n?1 ? 3(an ? 2n ) ,又 a1 ? 2 ? 3 , 三、17.(1)由 n?1
1 二、13. ( , 0) 8

? 2 n 是以 3 位首项,3 为公比的等比数列 3n ?1 1 ? 2n ?1 ? (2) Tn ? 2 2 18. (Ⅰ)由题意得成绩在 [70,80) 的频率为 1 ? (0.005 ? 0.015 ? 0.020 ? 0.030 ? 0.005) ?10 ? 0.25 ,
所以
n

?a

?

频率分布直方图如图所示; (Ⅱ)由题意可得这次考试平均分的估计值为:

x ? 45 ? 0.05 ? 55 ? 0.15 ? 65 ? 0.20 ? 75 ? 0.25 ? 85 ? 0.30 ? 95 ? 0.05 ? 72.5 ; (Ⅲ)由题意可得,成绩在 [40,50) 的人数为 60 ? 0.005 ?10 ? 3 ,记他们分别是 a, b, c ,成绩在 [90,100] 的人数为
60 ? 0.005 ?10 ? 3 ,记他们分别是 A, B, C ,则从成绩在 [40,50) 和 [90,100] 的学生中任选两人的结果分别是 ( A, B),( A, C ),( A, a),( A, b),( A, c),( B, C),( B, a),( B, b),( B, c),(C, a), (C , b),(C , c), ( a, b) , ( a, c) , (b, c) ,共 15 种,事件他们的成绩在同一分组区间的结果是 ( A, B),( A, C ) , ( B, C ) , (a, b), (a, c), (b, c) ,共 6 种, 6 ? 0.4 . 所以所求事件的概率为 P ? 15
19.解: (1)在图甲中,已知 AB 是圆 O 的直径,∴AD⊥BD,AC⊥BC, 则 AB=2,∠DAB= 则 S△ABD= AD ? BD= 由∠CAB= ,则有 AD= . ,BD= ,

,则 OC⊥AB,OC= AB=1.

在图乙中,已知平面 ABC⊥平面 ABD,平面 ABC∩平面 ABD=AB,OC⊥AB, 则有 OC⊥平面 ABD, 则 VD﹣ABC=VC﹣ABD= = = .

(2)存在线段 BD 的中点 G,使得 FG∥平面 ACD, 理由如下:取 BD 中点 G,连结 FG, 由 F,G 分别是 BC,BD 的中点, 则 FG∥CD,由 FG 不在平面 ACD 内,CD?平面 ACD,则 FG∥平面 ACD.

20.解: (1)圆 M 的圆心为 M ? ?1,0? , 半径 r1 ? 1; 圆 N 的圆心 N ?1,0? , 半径 r2 ? 3. 设圆 P 的圆心为 P ? x, y ? , 半径为 R. 因为圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切, 所以 PM ? PN ? R ? r 1 ?r 2 ?R?r 1 ?r 2 ? 4. 由椭圆的定义可知,曲线 C 是以 M , N 为左右焦点,长半轴长为 2,短半轴为 3 的椭圆(左顶点除外) ,其方程为

x2 y 2 ? ? 1 ? x ? ?2 ? . 4 3 (2)假设存在 T ? t ,0 ? 满足 ?OTS ? ?OTR .设 R ? x1 , y1 ? , S ? x2 , y2 ?

? 8k 2 x ? x ? ? ? ? 1 2 3 ? 4k 2 ? y ? k ? x ? 1? 2 2 2 2 联立 ? 得 ? 3+4k ? x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0 ,由韦达定理有 ? ①, 2 2 2 ? ? x x ? 4k ? 12 ?3 x ? 4 y ? 12 ? 0 1 2 ? 3 ? 4k 2 ? 其中 ? ? 0 恒成立, y y2 由 ?OTS ? ?OTR (显然 TS , TR 的斜率存在),故 kTS ? kTR ? 0 即 1 ? ? 0 ②, x1 ? t x2 ? t
由 R, S 两点在直线 y ? k ? x ?1? 上,将 y1 ? k ? x1 ?1? , y2 ? k ? x2 ?1? 代入②得

2 x1 x2 ? ? t ? 1?? x1 ? x2 ? ? 2t ? k ? x1 ? 1?? x2 ? t ? ? k ? x2 ? 1?? x1 ? t ? k ? ? ?0, = ? ? x1 ? t ?? x2 ? t ? ? x1 ? t ?? x2 ? t ?
即 2x1x2 ? ?t ?1?? x1 ? x2 ? ? 2t =0 ③ 将①代入③有:

8k 2 ? 24 ? ? t ? 1? 8k 2 ? 2t ? 3 ? 4k 2 ? 3+4k
2

?

要使得④与 k 的取值无关,当且仅当“ t ? 4 “时成立, 21.(Ⅰ)解: f ? ? x ? ? 2ax ln x ? ax ? b, ? x ? 0 ? ,

6t ? 24 ? 0 ④, 3 ? 4k 2

综上所述存在 T ? 4,0 ? ,使得当 k 变化时,总有 ?OTS ? ?OTR .

? f ?(1) ? a ? b ? 0 , f (e) ? ae 2 ? b(e ? 1) ? a (e 2 ? e ? 1) ? e 2 ? e ? 1 ? a ? 1 , b ? ?1 .
(Ⅱ)证明: f ( x) ? x ln x ? x ? 1 ,
2

设 g ( x) ? x ln x ? x ? x , ( x ? 1) , g ?( x) ? 2 x ln x ? x ? 1
2 2

由 g ? ? x ? ? ? 2 ln x ? 1 ? 0 ,? g ?( x) 在 ?1, ?? ? 上单调递增,

? g ?( x) ? g ?(1) ? 0 ,? g ( x) 在 ?1, ?? ? 上单调递增,? g ( x) ? g (1) ? 0 .? f ( x) ? ( x ? 1) 2 .
(Ⅲ)解:设 h( x) ? x ln x ? x ? m( x ? 1) ? 1 , ( x ? 1) , h?( x) ? 2 x ln x ? x ? 2m( x ? 1) ? 1 ,
2 2

?

?

由(Ⅱ)中知 x ln x ? ( x ? 1) ? x ? 1 ? x( x ? 1) ,? x ln x ? x ? 1 ,
2 2

? h?( x) ? 3( x ? 1) ? 2m( x ? 1) ? ? 3 ? 2m ?? x ? 1? ,

3 时, h ?( x) ? 0 ,? h( x) 在 [1, ??) 单调递增,? h( x) ? h(1) ? 0 ,成立. 2 3 ②当 3 ? 2m ? 0 即 m ? 时, h? ? x ? ? 2 x ln x ? ?1 ? 2m ?? x ? 1? 2
①当 3 ? 2m ? 0 即 m ?

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当 x ? ?1, x0 ? 时, h? ? x ? 单调递减,则 h?( x) ? h?(1) ? 0 ,? h( x) 在 ?1, x0 ? 上单调递减? h( x) ? h(1) ? 0 ,不成立. 综上, m ?

(h?( x))? ? 2 ln x ? 3 ? 2m ,令 ? h? ? x ? ?? ? 0 ,得 x0 ? e

2 m ?3 2

?1,

3 . 2

22.(1)证明:连结 DC , 因为 ?PCE ? ?ACB ? ?ADB , ?PCD ? ?ABD , 又因为 AB ? AD , 所以 ?ABD ? ?ADB , 所以 ?PCE ? ?PCD . 由已知 ?PEB ? ?PAB , ?PDC ? ?PAB , 所以 ?PEC ? ?PDC , 且 PC ? PC ,所以 ?PEC ? ?PDC , 所以 PE ? PD . (2) 解: 因为 ?ACB ? ?PBA , ?BAC ? ?PAB
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所以 ?ABC ∽ ?APB , 则 AB
2 2

? AP ? AC ? AP ( AP ? PC), 所以 AP ? AB ? AP ? PC ? PD ? PB ? PD (PD ? BD)
2 2 2 又因为 PD ? AB , AB ? 1 , 所以 AP ? 2 AB ? AB ? BD ?

3,

2 ? 6 . 2 2 2 23.解: (Ⅰ) C1 : x ? 2 y ? 2 , l : 2 y ? x ? 4
所以 AP2 ? 2 ?

3 . 所以 AP ?

(Ⅱ)设 Q

?

2 cos ? ,sin ? ,则点 Q 到直线 l 的距离

?

2sin(? ? ) ? 4 2 4 d? ? ? 3 3 3 ? ? ? 2 3 当且仅当 ? ? ? 2k? ? ,即 ? ? 2 k? ? ( k ? Z )时,Q 点到直线 l 距离的最小值为 。 4 2 4 3 2 sin ? ? 2 cos ? ? 4
24. (1)解:不等式 2 | x ? 2 | ? | x ? 1|? 6 等价于不等式组
? x ? ?1, ? ?1≤x≤2, ? x ? 2, 或? 或? 解不等式组,得 ?1 ? x≤2 或 2 ? x ? 3 , ? ??3x ? 3 ? 6, ?? x ? 5 ? 6, ?3x ? 3 ? 6,

?

所以不等式 2 | x ? 2 | ? | x ? 1|? 6 的解集为 ?x | ?1 ? x ? 3? .

(m ? n ? p)2 ? m2 ? n2 ? p2 ? 2mn ? 2np ? 2mp ? 9 , (2)证明:∵m ? n ? p ? 3 ,∴
∵m,n,p 为正实数,∴由均值不等式,得 m 2 ? n 2≥2mn (当且仅当 m ? n 时取等号) , 2 2 2 2 n ? p ≥2np (当且仅当 n ? p 时取等号) , p ? m ≥2 pm (当且仅当 p ? m 时取等号) ,

∴m2 ? n2 ? p2≥mn ? np ? pm (当且仅当 m ? n ? p 时取等号) ,

∴ (m ? n ? p)2 ? m2 ? n2 ? p2 ? 2mn ? 2np ? 2 pm ? 9≥3mn ? 3np ? 3 pm , ∴mn ? np ? pm≤3 (当且仅当 m ? n ? p 时取等号) .

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