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【考前三个月】2015高考数学(江苏专用文科)高考必会题型:专题三 函数与导数 第8练


第8练

函数性质在运用中的巧思妙解

题型一 直接考查函数的性质 例1 “a≤0”是“函数 f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的________条件.

破题切入点 首先找出 f(x)在(0,+∞)递增的等价条件,然后从集合的观点来研究充要条件. 答案 充要 解析 当 a=0 时,f(x)=|(ax-1)x|=|x|在区间(0,+∞)上单调递增; 当 a<0 时,结合函数 f(x)=|(ax-1)x|=|ax2-x|的图象知函数在(0,+∞)上单调递增,如图(1) 所示;

当 a>0 时,结合函数 f(x)=|(ax-1)x|=|ax2-x|的图象知函数在(0,+∞)上先增后减再增,不符 合条件,如图(2)所示. 所以,要使函数 f(x)=|(ax-1)x|在(0,+∞)上单调递增只需 a≤0. 即“a≤0”是“函数 f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的充要条件. 题型二 函数性质与其他知识结合考查

例 2 函数 y=f(x)的图象如图所示,在区间[a,b]上可找到 n(n≥2)个不同的数 x1,x2,?,xn, f?x1? f?x2? f?xn? 使得 = =?= ,则 n 的取值范围为________. x1 x2 xn 破题切入点 从已知的比值相等这一数量关系出发,找图象上的表示形式,再找与原函数图

象的关系,进一步判断出结果. 答案 {2,3,4} 解析 过原点作直线与函数 y=f(x)的图象可以有两个、三个、四个不同的交点,因此 n 的取 值范围是{2,3,4}.
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题型三 对函数性质的综合考查 例 3 已知函数 f(x)=x2+aln x. (1)当 a=-2 时,求函数 f(x)的单调递减区间; 2 (2)若函数 g(x)=f(x)+ 在[1,+∞)上单调,求实数 a 的取值范围. x 破题切入点 (1)直接根据 f′(x)<0 确定单调递减区间. (2)g(x)在[1,+∞)上单调,则 g′(x)≥0 或 g′(x)≤0 在[1,+∞)上恒成立. 解 (1)由题意知,函数的定义域为(0,+∞), 2 2?x+1??x-1? 当 a=-2 时,f′(x)=2x- = , x x 故 f(x)的单调递减区间是(0,1). a 2 (2)由题意得 g′(x)=2x+ - 2,函数 g(x)在[1,+∞)上是单调函数. x x ①若 g(x)为[1,+∞)上的单调增函数,则 g′(x)≥0 在[1,+∞)上恒成立, 2 即 a≥ -2x2 在[1,+∞)上恒成立, x 2 设 φ(x)= -2x2, x ∵φ(x)在[1,+∞)上单调递减, ∴φ(x)max=φ(1)=0,∴a≥0. ②若 g(x)为[1,+∞)上的单调减函数, 则 g′(x)≤0 在[1,+∞)上恒成立,不可能. ∴实数 a 的取值范围为[0,+∞). 总结提高 (1)函数单调性的等价结论: 设 x1、 x2∈[a, b]则(x1-x2) [f(x1)-f(x2)]>0? f?x1?-f?x2? >0 x1-x2

f?x1?-f?x2? ?f(x)在[a,b]上递增.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0? <0?f(x)在[a,b]上递减. x1-x2 (2)判断单调性时还可根据四则运算法则:若 f(x)和 g(x)都是增函数,则 f(x)+g(x)也是增函数, -f(x)是减函数,复合函数单调性根据内函数和外函数同增异减的法则. (3)求函数的单调性问题还可以求导. (4)函数奇偶性的前提是定义域关于原点对称. (5)任何一个函数都可以写成一个奇函数加上一个偶函数. f?x?+f?-x? f?x?-f?-x? f?x?+f?-x? f?x?-f?-x? 如 f(x)= + , 为偶函数,而 为奇函数. 2 2 2 2 (6)求函数的单调性要注意先研究定义域.

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1 1 1.已知函数 f(x)为奇函数,且当 x≥0 时,f(x)= x -a,则 f(log3 )=________. 2 3 +2 013 1 答案 2 015×2 014 解析 由题意,可知函数 f(x)为奇函数, 1 所以 f(0)= 0 -a=0, 3 +2 013 1 解得 a= ,所以当 x≥0 时, 2 014 1 1 f(x)= x - . 3 +2 013 2 014 1 1 所以 f(log32)= - 3log32+2 013 2 014 1 1 1 = - =- . 2 015 2 014 2 015×2 014 1 从而 f(log3 )=f(-log32) 2 1 =-f(log32)= . 2 015×2 014 2.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3 时,f(x)=x.则 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2 013)=________. 答案 337 解析 ∵f(x+6)=f(x),∴T=6. ∵当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2)2, 当-1≤x<3 时,f(x)=x, ∴f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1, f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1, f(6)=f(0)=0, ∴f(1)+f(2)+?+f(6)=1, ∴f(1)+f(2)+?+f(6)=f(7)+f(8)+?+f(12) =?=f(2 005)+f(2 006)+?+f(2 010)=1, 2 010 ∴f(1)+f(2)+?+f(2 010)=1× =335. 6 而 f(2 011)+f(2 012)+f(2 013) =f(1)+f(2)+f(3)=2, ∴f(1)+f(2)+?+f(2 013)=335+2=337. 3.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)=x2,若对任意的 x∈[-2- 2,2+ 2], 不等式 f(x+t)≤2f(x)恒成立,则实数 t 的取值范围是________.
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答案 (-∞,- 2] 解析 设 x<0,则-x>0. f(-x)=(-x)2, 又∵f(x)是奇函数, ∴f(x)=-x2. ∴f(x)在 R 上为增函数,且 2f(x)=f( 2x). ∴f(x+t)≤2f(x)=f( 2x)?x+t≤ 2x 在[-2- 2,2+ 2]上恒成立, ∵x+t≤ 2x?( 2-1)x≥t, 要使原不等式恒成立,只需( 2-1)(-2- 2)≥t ?t≤- 2即可. 4.(2013· 天津改编)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若 实数 a 满足 f(log2a)+f(loga)≤2f(1),则 a 的取值范围是________. 1 ? 答案 ? ?2,2? 解析 由题意知 a>0,又 log 2 a=log2a 1=-log2a.


1

∵f(x)是 R 上的偶函数,
1

∴f(log2a)=f(-log2a)=f(log 2 a),
1

∵f(log2a)+f(log 2 a)≤2f(1), ∴2f(log2a)≤2f(1),即 f(log2a)≤f(1). 又∵f(x)在[0,+∞)上递增, ∴|log2a|≤1,-1≤log2a≤1, 1 ? ∴a∈? ?2,2?. 5.函数 y=f(x-1)的图象关于直线 x=1 对称,当 x∈(-∞,0)时,f(x)+xf′(x)<0 成立,若 a
1 1 1 1 =20.2· f(20.2),b=ln 2· f(ln 2),c=(log 2 )· f(log 2 ),则 a,b,c 的大小关系是________. 4 4

答案 b>a>c 解析 因为函数 y=f(x-1)的图象关于直线 x=1 对称, 所以 y=f(x)关于 y 轴对称. 所以函数 y=xf(x)为奇函数. 因为[xf(x)]′=f(x)+xf′(x),
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所以当 x∈(-∞,0)时,[xf(x)]′=f(x)+xf′(x)<0, 函数 y=xf(x)单调递减, 从而当 x∈(0,+∞)时,函数 y=xf(x)单调递减.
1 1 因为 1<20.2<2,0<ln 2<1,log 2 =2, 4 1 1 从而 0<ln 2<20.2<log 2 , 4

所以 b>a>c. 6.已知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足以下三个条件: ①对于任意的 x∈R,都有 f(x+4)=f(x); ②对于任意的 x1,x2∈R,且 0≤x1<x2≤2,都有 f(x1)<f(x2); ③函数 y=f(x+2)的图象关于 y 轴对称. 则 f(4.5),f(6.5),f(7)的大小关系是______________. 答案 f(4.5)<f(7)<f(6.5) 解析 由已知得 f(x)是以 4 为周期且关于直线 x=2 对称的函数. 1 1 所以 f(4.5)=f(4+ )=f( ), 2 2 f(7)=f(4+3)=f(3),

5 5 f(6.5)=f(4+ )=f( ). 2 2 又 f(x)在[0,2]上为增函数. 所以作出其在[0,4]上的图象知 f(4.5)<f(7)<f(6.5). 7.已知函数 f(x)是 R 上的偶函数,若对于 x≥0,都有 f(x+2)=-f(x),且当 x∈[0,2)时,f(x) =log8(x+1),则 f(-2 013)+f(2 014)的值为________. 1 答案 3 解析 当 x≥0 时,有 f(x+2)=-f(x), 故 f(x+4)=f((x+2)+2)=-f(x+2)=f(x). 由函数 f(x)在 R 上为偶函数, 可得 f(-2 013)=f(2 013),
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故 f(2 013)=f(4×503+1)=f(1), f(2 014)=f(4×503+2)=f(2). 1 而 f(1)=log8(1+1)=log82= , 3 f(2)=f(0+2)=-f(0)=-log81=0. 1 所以 f(-2 013)+f(2 014)= . 3
? ?a,a≤b, 8.对于任意实数 a,b,定义 min{a,b}=? 设函数 f(x)=-x+3,g(x)=log2x,则 ?b,a>b. ?

函数 h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是________. 答案 1 解析 依题意,h(x)=?
? ?log2x,0<x≤2, ?-x+3,x>2. ?

当 0<x≤2 时,h(x)=log2x 是增函数; 当 x>2 时,h(x)=3-x 是减函数, ∴h(x)在 x=2 时,取得最大值 h(2)=1. 9.(2013· 江苏)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数.当 x>0 时,f(x)=x2-4x,则不等式 f(x)>x 的 解集用区间表示为________________. 答案 (-5,0)∪(5,+∞) 解析
2 ? ?x -4x,x≥0 由已知得 f(0)=0,当 x<0 时,f(x)=-f(-x)=-x -4x,因此 f(x)=? 2 ?-x -4x,x<0 ? 2

? ? ?x≥0 ?x<0 不等式 f(x)>x 等价于? 2 或? 2 , ? ? ?-x -4x>x ?x -4x>x,

解得:x>5 或-5<x<0. 10.已知函数 y=f(x),x∈R,有下列 4 个命题: ①若 f(1+2x)=f(1-2x),则 f(x)的图象关于直线 x=1 对称; ②y=f(x-2)与 y=f(2-x)的图象关于直线 x=2 对称; ③若 f(x)为偶函数,且 f(2+x)=-f(x),则 f(x)的图象关于直线 x=2 对称; ④若 f(x)为奇函数,且 f(x)=f(-x-2),则 f(x)的图象关于直线 x=1 对称. 其中正确命题的序号为________. 答案 ①②④ 1+2x+1-2x 解析 =1,故函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,故①正确;对于②,令 t 2 =x-2,则问题等价于 y=f(t)与 y=f(-t)图象的对称问题,显然这两个函数的图象关于直线 t
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=0 对称,即函数 y=f(x-2)与 y=f(2-x)的图象关于直线 x-2=0 即 x=2 对称,故②正确; 由 f(x+2)=-f(x),可得 f(x+4)=-f(x+2)=f(x),我们只能得到函数的周期为 4,即只能推得 函数 y=f(x)的图象关于直线 x=4k(k∈Z)对称,不能推得函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对 -x+x+2 称, 故③错误; 由于函数 f(x)为奇函数, 由 f(x)=f(-x-2), 可得 f(-x)=f(x+2), 由于 2 =1,可得函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,故④正确. 11.设函数 f(x)对任意的 a,b∈R,都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,且当 x>0 时,f(x)>1. (1)求证:f(x)是 R 上的增函数; (2)若 f(4)=5,解不等式 f(3m2-m-2)<3. (1)证明 方法一 设 x1<x2, ∴Δx=x2-x1>0,∴f(Δx)>1, ∴f(x2)=f(x1+Δx)=f(x1)+f(Δx)-1>f(x1), ∴f(x)是 R 上的增函数. 方法二 ∵f(0+0)=f(0)+f(0)-1,∴f(0)=1, ∴f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)-1=1, ∴f(-x)=2-f(x).设 x1<x2,∴x2-x1>0, ∴f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-1 =f(x2)+2-f(x1)-1=f(x2)-f(x1)+1>1, ∴f(x2)-f(x1)>0,∴f(x2)>f(x1), ∴f(x)是 R 上的增函数. (2)解 f(4)=f(2)+f(2)-1=5,∴f(2)=3, ∴f(3m2-m-2)<3=f(2). 又由(1)的结论知 f(x)是 R 上的增函数, 4 ∴3m2-m-2<2,∴-1<m< . 3 12.已知函数 f(x)=a· 2x+b· 3x,其中常数 a,b 满足 ab≠0. (1)若 ab>0,判断函数 f(x)的单调性; (2)若 ab<0,求 f(x+1)>f(x)时 x 的取值范围. 解 (1)当 a>0,b>0 时,任意 x1,x2∈R,x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)=a(2 -2 ∵2 <2 3 <3
x1 x2 x1 x2 x1 x1 x2

)+b(3 -3
x2

x1

x2

).

,a>0?a(2 -2
x1 x2

)<0,
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,b>0?b(3 -3

)<0,

∴f(x1)-f(x2)<0,函数 f(x)在 R 上是增函数. 当 a<0,b<0 时,同理,函数 f(x)在 R 上是减函数. (2)f(x+1)-f(x)=a· 2x+2b· 3x>0, 3?x a 当 a<0,b>0 时,? ?2? >-2b, a - ?; 则 x>log1.5? ? 2b? 3?x a ? a? 当 a>0,b<0 时,? ?2? <-2b,则 x<log1.5?-2b?. a 故 a<0,b>0 时,x∈(log1.5(- ),+∞); 2b a a>0,b<0 时,x∈(-∞,log1.5(- )). 2b

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