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广东省高州市南塘中学2011届高三11月月考(数学文


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广东省高州市南塘中学 2011 届高三年级 11 月月考 数 学 试 题 ( 文)
一、选择题(本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分) . 1. 若集合 M={ x |-3<x<1, x∈R },={ x |-1≤x≤2, x∈Z }, M∩N= N 则 ( ) A.{0} B.{-1,0} C.{-1,0,1} D.{-2,-1,0, 1,2} 2.命题“若 x < 1 ,则 ? 1 < x < 1 ”的逆否命题是
2


2



A.若 x ≥ 1 ,则 x ≥ 1 或 x ≤ ?1
2

B.若 ? 1 < x < 1 ,则 x < 1 D.若 x ≥ 1 或 x ≤ ?1 ,则 x ≥ 1
2

C.若 x > 1 或 x < ?1 ,则 x > 1
2

3.设集合 M = { x | 0 < x ≤ 3} , N = { x | 0 < x ≤ 2} ,那么“ a ∈ M ”是“ a ∈ N ”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件



4.已知向量 a, b 不共线, c = k a + b , d = a ? b ,如果 c ∥ d ,那么

r r

r

r r

u r

r r

r

u r





r r

u r u r

r r

u r u r

A.k=1 且 c 与 d 同向 C.k=-1 且 c 与 d 同向 3π 3 5.sin( -x)= ,则 cos2x 的值为 2 5 A.7 25 14 B. 25

B.k=1 且 c 与 d 反向 D.k=-1 且 c 与 d 反向 ( C.16 25 19 D. 25 ( ) )

6.在△ABC 中,角 A,B 均为锐角,且 cosA>sinB,则△ABC 的形状是 A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 7.若曲线 y = x 2 + ax + b 在点 (0, b) 处的切线方程是 x ? y + 1 = 0 ,则 A. a = 1, b = 1 C. a = 1, b = ?1
2





B. a = ?1, b = 1 D. a = ?1, b = ?1 ( )

8.已知 f(x)=lg( x +1-ax)是一个奇函数,则实数 a 的值是 A.1 B.-1 C.10 D.±1

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9.已知函数 f(x)的部分图象如图所示,则 f(x)的解析式可能为 A.f(x)=2sin( + ) 2 6 B.f(x)= 2sin(4x+ ) 4 C.f(x)=2sin( - ) 2 6 D.f(x)= 2sin(4x- ) 4





x π

π

x π

π

10.设 a = ( a1 , a2 ), b = (b1 , b2 ) ,定义一种向量积:a ? b =(a1b1,a2b2) .已知点 P (θ ,sin θ ) ,

r

r

r

r

ur r uuu ur uuu r r π 1 r m =?2,2?, =? 3 ,0?, Q 在 y=f x) ( 的图象上运动, 满足 OQ = m ? OP + n (其 ? ? n ? ? 点 ? ? ? ?
中 O 为坐标原点) ,则 y=f(x)的最大值 A 及最小正周期 T 分别为 A.2,π B.2,4π 1 C. ,4π 2 1 D. ,π 2 ( )

二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) . 11.函数 y =

log 1 (3 x ? 2) 的定义域是________________
2

r r r r , , 12.已知 a =(3,2) b(-1,2)( a +λ b )⊥ b ,则实数 λ=________.
13.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 B=60°,C=75°,a=4, 则 b=________. 14.一元二次方程 ax 2 + 2 x + 1 = 0,(a ≠ 0) 有一个正根和一个负根的充要条件是 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) . 15. (满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,设 S 为△ABC 的面积,满足

S=

3 2 (a + b 2 ? c 2 ) 。 4

(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 sin A + sin B 的最大值。

16. (满分12分) 已知向量 a = (sin θ ,?2) 与 b = (1, cos θ ) 互相垂直,其中 θ ∈ (0, (1)求 sin θ 和 cos θ 的值; (2)求函数 f ( x ) = cos 2 x + tan θ sin x ( x ∈ R ) 的值域。

π
2

).

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17.(分 14 分) 已知双曲线 C :

x2 y2 3 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 的离心率为 3 ,右准线方程为 x = 。 2 a b 3

(1)求双曲线 C 的方程; (2)已知直线 x ? y + m = 0 与双曲线 C 交于不同的两点 A,B,且线段 AB 的中点在圆

x 2 + y 2 = 5 上,求 m 的值.

18. (满分 14 分) 如图,扇形 AOB 中, ∠AOB = 60° , OA = 2 ,在弧 AB 上有一动点 P ,过 P 作 PC ∥OB 交 OA 于 C ,设 ∠AOP = θ , (1)求 ∠CPO, ∠OCP 及 OC 的长(可用 θ 表示); (2)求 ?POC 面积的最大值及此时 θ 的值。

A C P

θ

O

B

19. (满分 14 分) 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。 某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元。该建筑 物每年的能源消耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x(单位:cm)满足关系: C(x)=

k (0 ≤ x ≤ 10), 若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元。设 f ( x) 为隔 3x + 5

热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和。 (1)求 k 的值及 f ( x ) 的表达式。 (2)隔热层修建多厚时,总费用 f ( x ) 达到最小,并求最小值。

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20. (满分 14 分) 已知函数 f ( x ) = ln x ? ax +

1? a ? 1(a ∈ R ) ( x > 0) x

(1)当 a = ?1 时,求曲线 y = f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (2)当 0 ≤ a ≤

1 时,讨论 f ( x ) 的单调性 2

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参考答案 一、选择题 1.B 解析:因为集合 N={-1,0,1,2},所以 M∩N={-1,0}. 2.D 3.B 4.D 解析:∵ c ∥ d 且 a, b 不共线,∴存在唯一实数 λ 使 c = λ d ,∴ k a + b = λ a ? λ b ,
?k=λ, ? ∴? ? ?1=-λ,

r

u r

r r

r

u r

r r

r

r

∴?

?k=-1, ? ? ?λ=-1.

故选 D.

5.A 6.C 解析:cosA=sin( -A)>sinB, -A,B 都是锐角,则 -A>B,A+B< ,C> . 2 2 2 2 2 7.A 解析:∵

π

π

π

π

π

y′ = 2 x + a

x=0

=a

,∴ a = 1 , (0, b) 在切线 x ? y + 1 = 0 ,∴ b = 1
2 2

8.D 解析:据题意知:f(x)+f(-x)=lg( x +1-ax)+lg( x +1+ax)=0, 2 2 2 2 2 2 2 即 lg[( x +1) -(ax) ]=lg[(1-a )x +1]=0,即(1-a )x =0,而 x 不恒为 0, 2 则必有 1-a =0?a=±1,代入检验,函数定义域均关于原点对称. ,由函数的最大值为 2 知 A=2,又由函数图象知 9.A 解析:设函数 f(x)=Asin(ωx+φ) 5π 2π 1 π 该函数的周期 T=4×( - )=4π,所以 ω= ,将点(0,1)代入得 φ= ,所 3 3 2 6 1 π 以 f(x)=2sin( x+ ) . 2 6 , , 10.C 解析:设 Q(x ,y ) OQ =(x ,y ) OP = (θ ,sin θ ) ,∵ OQ = m ? OP + n

r uuu

r uuu

r uuu

ur

r uuu

r

1 ? 1? ?π ? ?π ? ∴(x ,y )=?2, ? ? (θ ,sin θ ) +? ,0?= (2θ , sin θ ) +? ,0?= ? 2? ?3 ? ?3 ? 2 (2θ +

π 1

, sin θ ) , 3 2

π ? ? x = 2θ + 3 1 1 x π ? ∴? ? y = sin( ? ) ,所以最大值为 ,周期为 4π. 2 2 2 6 ? y = 1 sin θ ? ? 2
二、填空题 11. ( ,1]

2 3

r r r r r r r r r2 1 12.∵( a +λ b )⊥ b ,∴( a +λ b )· b = a · b +λ b =1+5λ=0,∴λ=- . 5
4 a b b = 得 = ,解得 b=2 6. 13.易知 A=45°,由正弦定理 sinA sinB sin45° sin60°

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14.a<0 三、解答题 15.解: (1)由题意可知, S =

1 3 π ab sin C = × 2ab cos C ? tan C = 3 ? C = ; 2 4 3

sin A + sin B = sin A + sin(π ? C ? A) = sin A + sin( 2π ? A) (2) 3 = sin A + 3 cos A + 1 sin A = 3sin( A + π ) ≤ 3 2 2 6
当△ABC 为等边三角形的时候 sin A + sin B 取得最大值

3。

16.解: (1)∵ a 与 b 互相垂直,则 a ? b = sin θ ? 2 cos θ = 0 ,即 sin θ = 2 cos θ ,代入

sin 2 θ + cos 2 θ = 1 得 sin θ = ±

2 5 5 , cos θ = ± , 5 5

又 θ ∈ (0,

π
2

) ,∴ sin θ =

2 5 5 , cos θ = . 5 5
2

(2) f ( x ) = cos 2 x + 2sin x = 1 ? 2sin x + 2 sin x = ?2(sin x ? ) +
2

1 2

3 2

Q x ∈ R,∴ sin x ∈ [?1,1] ,当 sin x =
值 ?3 。所以,值域为 [ ?3, ]

1 3 , f ( x ) 有最大值 ;当 sin x = ?1 , f ( x ) 有最小 2 2

3 2

? a2 3 ? = ? 3 ,解得 a = 1, c = 3 ,∴ b 2 = c 2 ? a 2 = 2 , 17. (1)由题意,得 ? c ?c = 3 ?a ?
∴所求双曲线 C 的方程为 x ?
2

y2 = 1. 2

(2)设 A.B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,线段 AB 的中点为 M ( x0 , y0 ) ,

? 2 y2 =1 ?x ? 由? 得 x 2 ? 2mx ? m 2 ? 2 = 0 (判别式 ? > 0 ), 2 ?x + y + m = 0 ?
∴ x0 =

x1 + x2 = m, y0 = x0 + m = 2m , 2
2

∵点 M ( x0 , y0 ) 在圆 x 2 + y 2 = 5 上,∴ m 2 + ( 2 m ) = 5 ,∴ m = ±1 . 18.解: (1)Q CP // OB,∴ ∠CPO = ∠POB = 60° ? θ ,∴ ∠OCP = 120° ,
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?OPC 中,

OC OP 2 sin(60° ? θ ) 4 = ,∴OC = = sin(60° ? θ ) sin(60° ? θ ) sin120° sin120° 3

(2) S =

1 1 4 4 OC ? OP ? sin θ = ? sin(60° ? θ ) ? 2 sin θ = sin θ sin(60° ? θ ) 2 2 3 3

= =

4 3 1 2 1 1 sin θ ( cos θ ? sin θ ) = 2sin θ cos θ ? sin 2 θ = sin 2θ + cos 2θ ? 2 2 3 3 3 3 2 3 1 1 2 1 2 1 ( sin 2θ + cos 2θ ) ? = sin(2θ + 30°) ? (或 = cos(2θ ? 60°) ? ) 2 3 2 3 3 3 3 3

因此,当 2θ + 30° = 90° ,即 θ = 30° 时, S max =

2 1 3 ? = 3 3 3

19.解: (1)设隔热层厚度为 x (cm) ,由题设,每年能源消耗费用为 C ( x ) = 再由 C (0) = 8 ,得 k = 40 , 因此 C ( x ) =

k . 3x + 5

40 ,而建造费用为 C1 ( x ) = 6 x 3x + 5

最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为

f ( x) = 20C ( x) + C1 ( x) = 20 ×
(2) f '( x ) = 6 ? 去) .

40 800 + 6x = + 6 x(0 ≤ x ≤ 10) 3x + 5 3x + 5

2400 2400 25 ,令 f '( x ) = 0 ,即 = 6 .解得 x = 5 , x = ? (舍 2 2 (3 x + 5) (3 x + 5) 3

当 0 < x < 5 时, f '( x ) < 0 , 当 5 < x < 10 时, f '( x ) > 0 , 故 x = 5 是 f ( x ) 的最小 值点,对应的最小值为 f (5) = 6 × 5 + 达到最小值 70 万元。 20. 解: 1)当 a = ?1 时 , f ( x ) = ln x + x + (

800 = 70 。即当隔热层修建 5cm 厚时, 总费用 15 + 5 2 ? 1 ( x > 0) ,则 f (2) = ln 2 + 2 , 又 x

f '( x) =

1 2 x2 + x ? 2 +1? 2 = , 则 曲 线 y = f ( x) 在 点 (2, f (2)) 处 的 切 线 斜 率 为 x x x2

f '(2) = 1 ,因此,切线方程为 y ? (ln 2 + 2) = x ? 2 ,即 y = x + ln 2
( 2 ) f '( x ) =

1 1 ? a ? ax 2 + x + a ? 1 ?a? 2 = ( x > 0) , 设 g ( x) = ?ax 2 + x + a ? 1 , 2 x x x

( x > 0) ,则 f '( x)与g ( x) 符号相同。
①若 a = 0 , g ( x ) = x ? 1, x > 0 ,

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当 x > 1 时, g ( x) > 0 ? f '( x) > 0 ? f ( x)在(1, +∞) 上单调递增; 当 x ≤ 1 时, g ( x) ≤ 0 ? f '( x) ≤ 0 ? f ( x)在(0,1] 上单调递减。 ②若 a ≠ 0 ,则 f '( x ) = 0 ? g ( x ) = 0 , 即 ? ax + x + a ? 1 = 0 ,解得 x1 = 1, x2 =
2

1 ?1 。 a

当a =

1 时, x1 = x2 = 1 , g ( x) ≤ 0 恒成立, 2

即 f '( x) ≤ 0 恒成立,因此 f ( x) 在 (0, +∞ ) 上单调递减; 当0 < a <

1 1 时, ? 1 > 1 。可列表如下: 2 a (0,1) 1 (1, ? 1) a 1 ( ? 1, +∞) a

x
f '( x)(与 g ( x) 符号
一致)

?


+


?


f ( x)

综上所述:当 a = 0 时, f ( x) 在 (0,1) 上单调递减,在 (1, +∞) 单调递增; 当a =

1 时, f ( x) 在 (0, +∞ ) 上单调递减; 2 1 1 1 当 0 < a < 时, f ( x) 在 (0,1) 和 ( ? 1, +∞) 上单调递减,在 (1, ? 1) 上单调递增。 2 a a

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