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山东省青岛第五十八中2016届高三12月月考数学(理)试题


保密★启用前

2015—2016 学年第一学期单元测试 高三数学(理)试卷
2015.12 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷为选择题,共 50 分;第Ⅱ卷为非选择 题,共 100 分,满分 150 分,考试时间为 120 分钟。 2.第Ⅰ卷共 3 页,每小题有一个正确答案,请将选出的答案标号(A、B、C、D) 涂在答题卡上。第Ⅱ卷共 3 页,将答案用黑色签字笔(0.5mm)写在答题纸上。

第Ⅰ卷(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题列出的四个选项中,有 一项是符合题目要求的. 1.已知全集为 R,集合 A={ x | ( ) ? 1 },B={ x | x ? 2 }, A ? CR B =(
x

1 2

)

A. [0, 2]

B. [0, 2)

C. (1, 2)

D. (1, 2] )

2 2 2.命题“若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 且 b ? 0 ”的逆否命题是( 2 2 A.若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 且 b ? 0 2 2 C.若 a ? 0 且 b ? 0 ,则 a ? b ? 0

2 2 B.若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 2 2 D.若 a ? 0 或 b ? 0 ,则 a ? b ? 0

3.偶函数 f ? x ? 在 ? 0, 2? 上递减,则 a ? f ?1? , b ? f ? log 1

? ?

2

? 1? 2? log ? ? , c? f ? 2 ? 4? 2 ? ? ?
D.
2

大小为 ( A. c ? a ? b

) B. a ? c ? b
2

C. b ? a ? c
2

a?b?c

4.平面直角坐标系内,若曲线 C : x ? y ? 2ax ? 4ay ? 5a ? 4 ? 0 上所有的点均在第 二象限内,则实数 a 的取值范围为( A. ?? ?,?2? B. ) C. ?1,??? D. ?2,???

?? ?,?1?

5.在空间给出下面四个命题(其中 m、n 为不同的两条直线,α 、β 为不同的两个平面 ①m⊥α ,n∥α ? m⊥n ③m∥n,n⊥β ,m∥α ? α ⊥β ④m∩n=A,m∥α ,m∥β ,n∥α ,n∥β ? α ∥β 其中正确的命题个数有( )
第1页 共 22 页

②m∥n,n∥α ? m∥α

高三数学(理)试卷

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

6.为了得到函数 y ? 3cos 2 x 图象,只需把函数 y ? 3sin ? 2 x ?

? ?

??

? 图象上所有点( 6?



? 个单位长度 12 ? C.向左平行移动 个单位长度 12
A.向右平行移动

B. 向右平行移动 D. 向左平行移动

? 个单位长度 6

? 个单位长度 6

7.已知锐角 ? 的终边上一点 P ( sin 40? , 1 ? cos 40? ) ,则 ? 等于( A. 100 B. 20 0 C. 70 0 D. 80 0



8.三棱锥 D ? ABC 中, AB ? BC ? 1 , AD ? 2 , BD ? 5 , AC ? 2 , BC ? AD ,
则三棱锥的外接球的表面积( A. 5 ? B. ) C. 6 ? D. 9 ?

9 ? 4

2 2 9.过点 P ?2 3, ?2 的直线与圆 x ? y ? 4 有公共点,则该直线倾斜角的范围是( )

?

?

A. ? 0,

? ?

??
? 6?

B. ?0, ? ? 3?

? ??

C. ?0, ? ? 6?

? ??

D. ? 0,

? ?

??
3? ?

10.对任意 x ? ? 0, ( )

? ?

??

的是 ? ,不等式 sin x ? f ? x ? ? cos x ? f ? ? x ? 恒成立,则下列不等式错误 .. 2?

A. f ?

?? ? ?? ? ?? 2f ? ? ?3? ?4? ?? ? ? ? 2 cos1? f ?1? ?4?

B. f ?

?? ? ? ? ? cos?? f ?1? ?3?

C. f ?

D. f ?

6 ?? ? ?? ? f? ? ?? ?4? 2 ?6?
共 100 分)

第Ⅱ卷(非选择题

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.若向 量 a,b 的夹角为 150? , a ? 3, b ? 4,则 2a ? b ? ___________. 12.函数 y ?

ln 2 x ? 1 ?

1 的定义域是________. 2? x


13.△ ABC 的面积为 10 3 ,且 AB=5, AC=8,则 BC 等于

高三数学(理)试卷

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14.已知偶函数 f ? x ? 满足 f ( x ? 1) ? ?

1 , 且当 x ??0,1? 时, f ? x ? ? x , 若区间 ? ?1,3? f ( x)

上,函数 g ? x ? ? f ? x ? ? kx ? k 有 3 个零点,则实数 k 的取值范围是_________.

15. 定 义 在 区 间 [a, b] 上 的 连 续 函 数 y ? f ( x) , 如 果 ?? ? [a, b] , 使 得 . 下列函数中: f (b) ? f (a) ? f '(? )(b ? a) ,则称 ? 为区间 [a, b] 上的“中值点”

1 ① f ( x) ? 3x ? 2 ;② f ( x) ? x2 ? x ? 1 ;③ f ( x) ? ln( x ? 1) ;④ f ( x) ? ( x ? )3 2
在区间 [ 0 , 1 上“中值点”多于一个的函数序号为 ] . (写出所有 满足条件函数序号) ..

三、解答题:本大题 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分)

在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别 a, b, c, f ? x ? ? 2sin ? x ? A? cos x ? sin ? B ? C ? ? x ? R? , 函数 f ? x ? 的图象关于点 ? (I)当 x ? ? 0,

?? ? , 0 ? 对称. ?6 ?

? ?

??

? 时,求 f ? x ? 的值域; 2?

(II)若 a ? 7 且 sin B ? sin C ?

13 3 ,求△ABC 的面积。 14

17. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 为直角梯形,AD//BC,∠ADC=90° , 平面 PAD⊥底面 ABCD,Q 为 AD 的中点,M 是 棱 PC 上的点,PA=PD=2,BC=

P

M D Q C B

1 AD=1,CD= 3 . 2

(Ⅰ)求证:平面 PQB⊥平面 PAD; A
高三数学(理)试卷 第5页 共 22 页

(Ⅱ)设 PM=t MC,若二面角 M-BQ-C 的平面角的 大小为 30° ,试确定 t 的值.

18. ( 本 题 满 分 12 分 ) 各 项 均 为 正 数 的 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 已 知 点

? an , an ?1 ? ? n ? N ? ? 在函数 y ? 3x 的图象上,且 S3 ? 26.
(I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II) 在 an与an?1 之间插入 n 个数, 使这 n ? 2 个数组成公差为 dn 的等差数列, 求数列 ? 的前 n 项和 Tn .

?1? ? ? dn ?

19. (本题满分 12 分)某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后,发现 一天中环境综合污染指数 f ( x ) 与时间 x (小时)的关系为 f ( x ) ?
1 4 ? sin( x ) ? a ? a 2 , 3 36

3 x ? [0,24] ,其中 a 是与气象有关的参数,且 a ? [0, ] ,若用每天 f ( x ) 的最大值为当天 4
的综合污染指数,记作 M ( a ) (1)令 t ?

4 ? sin( x ) , x ? [0,24] ,试求 t 的取值范围 3 36

(2)试求函数 M ( a ) 。 (3)市政府规定每天的综合污染指数不得超过 2 ,试问目前该市的污染指数是否超标?

20.(本小题满分 13 分)

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x2 y 2 2 已知椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率 e ? ,直线 y ? x ? 1 经过椭圆 C 的左焦点. a b 2
(I)求椭圆 C 的方程; (II)若过点 M ? 2,0? 的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点,设 P 为椭圆上一点,且满足向量

uur uu u r uu u r ,求实数 t 的取值范围. OA ? OB ? tOP (其中 O 为坐标原点)

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ln ? ax ? 1? ?

x3 ? x 2 ? ax ? a ? R ? . 3

(I)若 x ? 2为f ? x ? 的极值点,求实数 a 的值; (II)若 y ? f ? x ? 在?4, ? ?? 上为增函数,求实数 a 的取值范围; (III)当 a ? ?1 时,方程 f ?1 ? x ? ?

?1 ? x ?
3

3

b ? 有实根,求实数 b 的最大值. x

高三数学(理)试卷

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保密★启用前

2015—2016 学年第一学期单元测试 高三数学(理)参考答案
2015.12 注意事项: 1.本答案只作参考之用;具体评分标准由阅卷老师制定。 2.“尽信书,不如无书” ,希望同学们不唯答案为是,积极思考出更出色的解答。

一、选择题 (1-5) B D A D C (6-10)D C C B D 二、填空题 11. 2 12. ?1,2? ? ? 2, ??? 13.7 或 129 14.
1 1 ?k? 4 2

15、①



三、解答题
16.

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17.解: (I)∵AD // BC,BC=

1 AD,Q 为 AD 的中点, 2

∴四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD // BQ . ∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即 QB⊥AD.

又∵平面 PAD⊥平面 ABCD 且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴BQ⊥平面 PAD.∵BQ ? 平面 PQB,∴平面 PQB⊥平面 PAD. (II)∵PA=PD,Q 为 AD 的中点, ∴PQ⊥AD. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴PQ⊥平面 ABCD. 如图,以 Q 为原点建立空间直角坐标系. 则面 BQC 的法向量为 n ? (0,0,1) ;Q(0, 0, 0) ,P(0,0, 3) , B(0, 3,0) ,C(?1, 3,0) . 设 M ( x, y, z ) ,则 PM ? ( x, y, z ? 3) , MC ? (?1 ? x, 3 ? y, ? z) , ∵ PM ? tMC , ???6 分

?

???? ?

???? ?

???? ?

???? ?

? x ? t (?1 ? x) ? ∴ ? y ? t ( 3 ? y) , ? ? z ? 3 ? t (? z)



在平面 MBQ 中, QB ? (0, 3,0) , QM ? (? ∴ 平面 MBQ 法向量为 m ? ( 3,0, t ) .

??? ?

t ? ?x ? ? 1? t ? 3t ? ?y ? 1? t ? ? 3 ?z ? 1 ? t ?

???10 分

???? ?

t 3t 3 , , ), 1? t 1? t 1? t

??

高三数学(理)试卷

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? ?? n?m t 3 ∵二面角 M-BQ-C 为 30° , cos 30 ? ? ?? ? , ? 2 2 n m 3? 0?t
?

∴ t ? 3. 18.

19.[ 解](1)由 0 ? x ? 24 当



0?

?
36

x?


?
36

x ? 0 即 x ? 0 时 tmin ? 0

?

2? 3
x?

?
2

36

即 x ? 18 时 tmax ?

4 3

4 所以 t 的取值范围是 [0, ] 3
(2)令 g (t ) ? t ? a ? a 当a ? 当a ? , t ? [0, ]

?????????? 3 分

4 3

2 2 4 4 4 时,即 0 ? a ? 时, g (t )max ? g ( ) ? ? a ? a ? ? a ? a 3 3 3 3 3

2 2 3 时,即 ? a ? 时, 3 3 4

g(t )max ? g(0) ? 0 ? a ? a ? a ? a
0?a? 2 3 2 3 ?a? 3 4

?4 ? ?a? a 所以 M ( a ) ? ? 3 ? a? a ?

?????????? 7 分

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(3)当 a ? [ , ] 时,易知 M ( a ) 单调递增

2 3 3 4 2 3

所以 M ( a ) ? M ( ) ?

3 4

3?2 3 ?2 4

' 当 a ? [0, ) 时, M ( a ) ? ?1 ?

1 2 a

由 M ' (a ) ? 0 得 a ?

1 4

1 1 2 a ? [0, ) 时, M ' ( a ) ? 0 M ( a ) 单增;当 a ? ( , ) 时, M ' (a ) ? 0 M ( a ) 单减 4 4 3
所以函数 M ( a )max ? M ( ) ?

1 4

4 1 1 19 ? ? ? ?2 3 4 4 12

所以没有超标 ?????????? 12 分

答:目前该市的污染指数没有超标

20、解: (I)直线 y ? x ? 1 与 x 轴交点为 (?1,0) , c ? 1 …………………1 分

e?

c 2 , ?a ? 2, b ? 1 .……………………………3 分 ? a 2

x2 ? y 2 ? 1 .…………………………………………………… 4 分 故椭圆 C 的方程为 2
(Ⅱ)由题意知直线 AB 的斜率存在. 设 AB : y ? k ( x ? 2) ,

? y ? k ( x ? 2), ? 2 2 2 2 由 ? x2 得 (1 ? 2k ) x ? 8k x ? 8k ? 2 ? 0 . 2 ? ? y ? 1. ?2

? ? 64k 4 ? 4(2k 2 ? 1)(8k 2 ? 2) ? 0 , k 2 ?
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , P ( x, y ) ,

1 . 2

x1 ? x2 ?

8k 2 8k 2 ? 2 x x ? , …………………………………………………7 分 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

??? ? ??? ? ??? ? x1 ? x2 8k 2 ? ∵ OA ? OB ? tOP ,∴ ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? t ( x, y) , x ? , t t (1 ? 2k 2 )
y? y1 ? y2 1 ?4k ? [k ( x1 ? x2 ) ? 4k ] ? . t t t (1 ? 2k 2 )

∵点 P 在椭圆上,∴

(8k 2 )2 (?4k )2 ? 2 ?2, t 2 (1 ? 2k 2 )2 t 2 (1 ? 2k 2 )2

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∴ 16k 2 ? t 2 (1 ? 2k 2 )

………………………………………………………………11 分

t2 ?

16k 2 16 16 ? ? ? 4,则-2 ? t ? 2 , 2 1 1 ? 2k 2 ? 2 ?2 k2
…………… ……………13 分

∴ t 的取值范围是为 (?2,2) .

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