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创新设计】(北师大版)2015届高考数学一轮精品第7篇 步骤规范练


步骤规范练——立体几何
(建议用时:90 分钟) 一、选择题 1.(2014· 榆林模拟)一个几何体的主视图和左视图如图所示,则这个几何体的俯 视图不可能是 ( ).

解析

∵该几何体的主视图和左视图都是正方形,∴其可能为正方体或底面

直径与高相等的圆柱或底面是等腰直角三角形且其腰长等于高的直三棱柱, 但

不可能是一个底面矩形长与宽不相等的长方体.∴选 D . 答案 D

2.(2013· 豫西五校联考)如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图,A,B,C 是展开图上的三点,则在正方体盒子中,∠ABC 的值为 ( ).

A.30° C.60° 解析

B.45° D.90°

[来源:学科网]

还原正方体,如图所示,连接 AB,BC,AC,可得△ABC 是正三角形,

则∠ABC=60° .

答案

C

3.(2013· 浙江五校联盟联考)关于直线 l,m 及平面 α,β,下列命题中正确的是 ( A.若 l∥α,α∩β=m,则 l∥m B.若 l∥α,m∥α,则 l∥m C.若 l⊥α,l∥β,则 α⊥β D.若 l∥α,m⊥l,则 m⊥α 答案 C ( ). ).

4.若直线 m 平面 α,则条件甲:直线 l∥α 是条件乙:l∥m 的 A.充分不必要条件 C.充要条件 解析 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

若 l∥α,m α,不一定有 l∥m;若 l∥m,m α,则 l α 或 l∥α,因

而甲?/ 乙,乙?/ 甲. 答案 D

5.(2014· 宜春模拟)一个棱长为 2 的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体 的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A.7 47 C. 6 22 B. 3 23 D. 3 ( ).

解析

1 1 依题意可知该几何体的直观图如图所示,其体积为 23 - 2× 3 × 2

23 ×1×1×1= 3 . 答案 D ( ).

6.(2013· 温州二模)下列命题正确的是 A.若平面 α 不平行于平面 β,则 β 内不存在直线平行于平面 α B.若平面 α 不垂直于平面 β,则 β 内不存在直线垂直于 平面 α C.若直线 l 不平行于平面 α,则 α 内不存在直线平行于直线 l D.若直线 l 不垂直于平面 α,则 α 内不存在直线垂直于直线 l 答案 B

7.(2014· 潍坊模拟)设 m,n 是两条不同直线,α,β 是两个不同的平面,下列命 题正确的是 A.m∥α,n∥β,且 α∥β,则 m∥n B.m⊥α,n⊥β,且 α⊥β,则 m⊥n C .m⊥α,n β,m⊥n,则 α⊥β D.m α,n α,m∥β,n∥β,则 α∥β 解析 A 中的直线 m,n 也有可能异面,所以不正确.B 正确.C 中 α,β 不 ( ).

一定垂直,错误.D 中当 m,n 相交时,结论成立,当 m,n 不相交时,结论 不成立.所以选 B. 答案 B ).

8.一个几何体的三视图如图所示,那么此几何体的侧面积(单位:cm2)为(

A.48 C.80 解析

B.64 D.120

据三视图知,该几何体是一个正四棱锥(底面边长为 8 cm),直观图如图,PE 为侧面△PAB 的边 AB 上的高, 且 PE=5 cm.∴此几何体的侧面积是 S=4S△PAB 1 =4×2×8×5=80 (cm2). 答案 C

9.(2014· 合肥一模)如图,在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 AB1,BC1 的中点,则下列结论不成 立的是 A.EF 与 BB1 垂直 B.EF 与 BD 垂直 C.EF 与 CD 异面 D.EF 与 A1C1 异面 ( ).

解析

连接 B1C,AC,则 B1C 交 BC1 于 F,且 F 为 B1C 的中点,又 E 为 AB1

1 的中点,所以 EF 綊2AC, 而 B1B⊥平面 ABCD,所以 B1B⊥AC, 所以 B1B⊥EF,A 正确; 又 AC⊥BD,所以 EF⊥BD,B 正确; 1 显然 EF 与 CD 异面,C 正确;由 EF 綊2AC,AC∥A1C1, 得 EF∥A1C1.故不成立的选项为 D. 答案 D

10.(2013· 广州二模)一个几何体的三视图如图所示,其中主视图和左视图是腰长 为 4 的两个全等的等腰直角三角形,若该几何体的所有顶点在同一球面上, 则该球的表面积是 ( ).

A.12π C.32π

B.24π D.48π

解析

该几何体的直观图如图所示,它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥,

其中底面 ABCD 是边长为 4 的正方形, 高为 CC1=4, 该几何体的所有顶点在 同一球面上,则球的直径为 AC1=4 3=2R,所以球的半径为 R=2 3 ,所以 球的表面积是 4πR2=4π×(2 3)2=48π. 答案 D
[来源:Zxxk.Com]

二、填空题

11.(2014· 苏锡常镇四市二调)设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平 面,给出下列命题: ①若 α∥β,m β,n α,则 m∥n;②若 α∥β,m⊥β,n∥α,则 m⊥n;③若 α⊥β,m⊥α,n∥β,则 m∥n;④若 α⊥β,m⊥α,n⊥β,则 m⊥n. 上面命题中,所有真命题的序号为________. 解析 ①只要画出两个平行平面,可以发现分别在两个平面内的直线是可以

异面的,即 m 与 n 可以异面,不一定平行;③满足条件的两条直线 m 和 n 也 可以相交或异面,不一定平行. 答案 ②④

12.(2013· 汉中模拟)某机器零件的俯视图是直径为 24 mm 的圆(包括圆心),主视 图和左视图完全相同,如图所示,则该机器零件的体积是________mm3(结果 保留 π).

解析

依题意,该机器零件可视为是从一个圆柱中挖去一个圆锥,因此该机

1 器零件的体积为 π×122×24-3×π×122×12=2 880π(mm3). 答案 2 880π

13.(2013· 新课标全国Ⅰ卷)已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点,AH∶HB=1∶2, AB⊥平面 α,H 为垂足,α 截球 O 所得截面的面积为 π,则球 O 的表面积为 ________.

解析

如图,设截面小圆的半径为 r,球的半径为 R,因为 AH∶HB=1∶2,

1 所以 OH=3R.由勾股定理,有 R2=r2+OH2,又由题意得 πr2=π,则 r=1, 9 9π ?1 ? 故 R2=1+?3R?2,即 R2=8.由球的表面积公式,得 S=4πR2= 2 . ? ? 答案 9 2π

14.正六棱锥 P-ABCDEF 中,G 为 PB 的中点,设三棱锥 D-GAC 的体积为 V1, 三棱锥 P-GAC 体积为 V2,则 V1∶V2=____ ____.

解析

设棱锥的高为 h,

1 1 V1=VD-GA C=VG-ADC=3S△ADC· 2h, 1 1 h V2=VP-GAC=2VP-ABC=VG-ABC=3S△ABC· 2. 又 S△ADC∶S△ABC=2∶1,故 V1∶V2=2∶1. 答案 2∶1

三、解答题 15.(2014· 济南一模)在如图的多面体中,AE⊥底面 BEFC,AD∥EF∥BC,BE 1 =AD=EF=2BC,G 是 BC 的中点.

(1)求证:AB∥平面 DEG; (2)求证:EG⊥平面 BDF. 证明 (1)∵AD∥EF,EF∥BC,∴AD∥BC.

又∵BC=2AD,G 是 BC 的中点,∴AD 綊 BG, ∴四边形 ADGB 是平行四边形,∴AB∥DG. ∵AB? 平面 DEG,DG 平面 DEG,∴AB∥平面 DEG.

(2)连接 GF,四边形 ADFE 是矩形, ∵DF∥AE,AE⊥底面 BEFC, ∴DF⊥平面 BCFE,EG 平面 BCFE,∴DF⊥EG. ∵EF 綊 BG, EF=BE, ∴四边形 BGFE 为菱形, ∴BF⊥EG, 又 BF∩DF=F, BF 平面 BFD,DF 平面 BFD,∴EG⊥平面 BDF. 16.(2014· 成都一模)如图,在五面体 ABCDEF 中,点 O 是矩形 ABCD 的对角线的 1 交点,△ABF 是等边三角形,棱 EF∥BC,且 EF=2BC.

(1)求证:EO∥面 ABF;

(2)若 EF=EO,证明:平面 EFO⊥平面 ABE.

证明

(1)取 AB 的中点 M,连接 FM,OM.

∵O 为矩形 ABCD 的对角线的交点, 1 ∴OM∥BC,且 OM=2BC, 1 又 EF∥BC,且 EF=2BC, ∴OM=EF,且 OM∥EF, ∴四边形 EFMO 为平行四边形,∴EO∥FM, 又∵FM 平面 ABF,EO? 平面 ABF,∴EO∥平面 ABF. (2)由(1)知四边形 EFMO 为平行四边形, 又∵EF=EO,∴四边形 EFMO 为菱形,连接 EM,则有 FO⊥EM, 又∵△ABF 是等边三角形,且 M 为 AB 中点, ∴FM⊥AB,易知 MO⊥AB,且 MO∩MF=M, ∴AB⊥面 EFMO, ∴AB⊥FO.∵AB∩EM=M,∴FO⊥平面 ABE. 又∵FO 平面 EFO,∴平面 EFO⊥平面 ABE. 17.(2013· 安徽卷)如图,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠ BAD =60° .已知 PB=PD=2,PA= 6.

(1)证明:PC⊥BD; (2)若 E 为 PA 的中点,求三棱锥 P-BCE 的体积.

(1)证明

连接 AC,交 BD 于 O 点,连接 PO.

因为底面 ABCD 是菱形,所以 AC⊥BD,BO=DO. 由 PB=PD 知,PO⊥BD.再由 PO∩AC=O 知,BD⊥面 APC.因此 BD⊥PC.
学科网 ZXXK] [来源:

(2)解

因为 E 是 PA 的中点,

1 1 所以 VP-BCE=VC-PEB=2VC-PAB=2VB-APC. 由 PB=PD=AB=AD=2 知,△ABD≌△PBD. 因为∠BAD=60° ,
[来源:学科网]

所以 PO=AO= 3,AC=2 3,BO=1.又 PA= 6,PO2+AO2=PA2,即 PO 1 ⊥AC.故 S△APC=2PO· AC=3. 由(1)知,BO⊥面 APC,因此 VP-BCE 1 1 1 1 =2VB-APC=2×3· BO· S△APC=2. 18.(2013· 广东卷)如图 1,在边长为 1 的等边 三角形 ABC 中,D,E 分别是 AB, AC 上的点,AD=AE,F 是 BC 的中点,AF 与 DE 交于点 G.将△ABF 沿 AF 2 折起,得到如图 2 所示的三棱锥 A-BCF,其中 BC= 2 .

(1)证明:DE∥平面 BCF; (2)证明:CF⊥平面 ABF; 2 (3)当 AD=3时,求三棱锥 F-DEG 的体积 VFDEG.

(1)证明

在等边△ABC 中,AD=AE,

在折叠后的图形中,仍有 AD=AE,AB=AC, AD AE 因此 AB =AC,从而 DE∥BC. 因为 DE? 平面 BCF,BC 平面 BCF,

所以 DE∥平面 BCF. (2) 证明 在折叠前的图形中,因为△ABC 为等边三角形,BF=CF,所以 AF

1 2 ⊥BC,则在折叠后的图形中,AF⊥BF,AF⊥CF,又 BF=CF=2,BC= 2 ., 所以 BC2=BF2+CF2,所以 BF⊥CF. 又 BF∩AF=F,BF 平面 ABF,AF 平面 ABF, 所以 CF⊥平面 ABF. (3)解 由(1)知, 平面 DEG∥平面 BCF, 由(2)知 AF⊥BF, AF⊥CF, 又 BF∩CF
[来源:学#科#网]

=F,所以 AF⊥平面 BCF,所以 AF⊥平面 DEG,即 GF⊥平面 DEG. 在折叠前的图形中, 1 3 AB=1,BF=CF=2,AF= 2 . 2 AD 2 由 AD=3知 AB =3, DG AG AD 2 又 DG∥BF,所以 BF = AF = AB =3, 2 1 1 2 3 3 所以 DG=EG=3×2=3,AG=3× 2 = 3 , 3 所以 FG=AF-AG= 6 .故 V 三棱锥 FDEG=V 三棱锥 EDFG 1 1 1 ?1?2 3 3 ?3? · = =3×2DG· FG· GE=6· . ? ? 6 324


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