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2018高考数学一轮复习第8章平面解析几何第1节直线的倾斜角与斜率直线的方程教师用书文北师大版


第八章
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平面解析几何
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[重点关注] 综合近 5 年全国卷高考试题,我们发现高考命题在本章呈现以下规律: 1.从考查题型看:一般有 2 个客观题,1 个解答题;从考查分值看,在 22 分左右.基 础题主要考查对基础知识和基本方法的掌握程度,中档题主要考查运算能力和逻辑推理能 力,难题考查综合应用能力. 2.从考查知识来看:主要考查直线的方程、圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系、 圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的定义、标准方程及性质、直线与圆锥曲线的位置关系、 圆锥曲线的综合应用.突出对数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论 思想以及探究、创新能力的考查. 3.从命题思路上看: (1)直线方程与其他知识相结合. (2)圆的方程的求解以及直线与圆的位置关系,弦长以及参数的求解. (3)对圆锥曲线的考查,大多以圆锥曲线的性质为依托,结合运算推理来解决,要求能 够比较熟练地运用性质进行有关数值、代数式的运算及推理. (4)对于直线与圆锥曲线的位置关系的考查, 大多数是将直线与圆锥曲线方程联立求解, 还有求三角形面积的值、线段的长度、直线方程、参数值,以及定点、定值、最值以及探究 性问题等.
1

[导学心语] 1.抓主线,构建知识体系:对直线、圆及圆锥曲线的基本定义、标准方程和相关性质 应熟练掌握,如对直线与圆锥曲线的位置关系的解法及解题思想应灵活掌握. 2.依托基础知识,强化思想方法训练:直线、圆及圆锥曲线是数与形结合的完美载体, 要熟练运用坐标法和“数形结合”思想, 另外, 函数与方程的思想是本章学习的另一个重点, 应加强运用. 3.加强纵横联系,强化综合应用意识:在知识的交汇处命题,已成为高考的一大亮点, 尤其应加强该部分知识与向量、函数、方程及不等式间的内在联系,同时解题中立足通性、 通法、淡化技巧以达到优化解题思路,简化解题过程的目的. 4.突出重点,热点考查内容的复习:如弦长问题,对称问题,定值(点)问题、范围问 题,开放和探索性问题及向量与解析几何的综合应用问题等等.

第一节
[考纲传真]

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素.2.

理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置 的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数 的关系.

1.直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①定义:在平面直角坐标系中,对于一条与 x 轴相交的直线 l,把 x 轴(正方向)按逆时 针方向绕着交点旋转到和直线 l 重合所成的角, 叫作直线 l 的倾斜角. 当直线 l 与 x 轴平行 时,它的倾斜角为 0°. ②倾斜角的范围为 0°≤α <180°. (2)直线的斜率 ①定义:一条直线的倾斜角 α 的正切值叫作这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表 示,即 k=tan_α ,倾斜角是 90°的直线斜率不存在. ②斜率公式:经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为 k= 2.直线方程的五种形式 名称 点斜式 方程 适用范围 不含直线 x=x0
2

y2-y1 . x2-x1

y-y0=k(x-x0)

斜截式 两点式 截距式 一般式

y=kx+b y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1 x y + =1 a b Ax+By+C=0,A2+B2≠0

不含垂直于 x 轴的直线 不含直线 x=x1(x1≠x2)和直线 y=y1(y1≠y2) 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 平面内所有直线都适用

1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.( (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.( ) ) )

(3)过定点 P0(x0,y0)的直线都可用方程 y-y0=k(x-x0)表示.(

(4)经过任意两个不同的点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1) =(x-x1)(y2-y1)表示.( )

[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√ 2.(教材改编)直线 3x-y+a=0(a 为常数)的倾斜角为( A.30° C.150° B [直线的斜率为 k=tanα = 3, B.60° D.120° )

又因为 0°≤α <180°,则 α =60°.] 3.(2014·福建高考)已知直线 l 过圆 x +(y-3) =4 的圆心,且与直线 x+y+1=0 垂直,则直线 l 的方程是( A.x+y-2=0 C.x+y-3=0 D
2 2 2 2

) B.x-y+2=0 D.x-y+3=0

[圆 x +(y-3) =4 的圆心为点(0,3), 又因为直线 l 与直线 x+y+1=0 垂直, 所以

直线 l 的斜率 k=1.由点斜式得直线 l:y-3=x-0,化简得 x-y+3=0.] 4.直线 l:ax+y-2-a=0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等,则实数 a=________. 【导学号:66482370】 1 或-2 [令 x=0,则 l 在 y 轴上的截距为 2+a;令 y=0,得直线 l 在 x 轴上的截距 2 为 1+ .

a

2 依题意 2+a=1+ ,解得 a=1 或 a=-2.]

a

5.(2017·西安模拟)过点 P(2,3),并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线 l 的方 程为________. 3 3x-2y=0 或 x-y+1=0 [当直线过原点时,方程为 y= x,即 3x-2y=0. 2
3

当直线 l 不过原点时,设直线方程为 - =1. 将 P(2,3)代入方程,得 a=-1, 所以直线 l 的方程为 x-y+1=0. 综上,所求直线 l 的方程为 3x-2y=0 或 x-y+1=0.]

x y a a

直线的倾斜角和斜率 (1) 直 线 x - ycosθ + 1 = 0(θ ∈ R) 的 倾 斜 角 α ________. (2)(2017·郑州模拟)若直线 l 过点 P(-3,2),且与以 A(-2,-3),B(3,0)为端点的 线段相交,则直线 l 的斜率的取值范围是________.

的取值范围是

? π 3π ? (1)? , ? 4 ? ?4

1? ? (2)?-5,- ? 3? ?

π [(1)当 θ =kπ + (k∈Z)时,cosθ =0,直线为 x 2

π +1=0,其倾斜角为 . 2 π 当 θ ≠kπ + (k∈Z)时,直线 l 的斜率为 2 1 tanα = ∈(-∞,-1]∪[1,+∞), cos θ 所以直线 l 的倾斜角的取值范围是?

?π ,π ?∪?π ,3π ?. ? ? ? 4 ? ?4 2? ?2

?π 3π ? 综上,α 的取值范围是? , ?. 4 ? ?4
-3-2 (2)因为 P(-3,2),A(-2,-3),B(3,0),则 kPA= =-5, -2-?-3?

4

kPB=

0-2 1 =- . 3-?-3? 3

1? ? 如图所示,当直线 l 与线段 AB 相交时,直线 l 的斜率的取值范围为?-5,- ?.] 3? ? [规律方法] 1.(1)任一直线都有倾斜角,但斜率不一定都存在;直线倾斜角的范围是 [0,π ),斜率的取值范围是 R. (2)正切函数在[0,π )上不单调,借助图像或单位圆数形结合,确定倾斜角 α 的取值 范围. 2.第(2)问求解要注意两点: (1)斜率公式的正确计算; 1 (2)数形结合写出斜率的范围,切莫误认为 k≤-5 或 k≥- . 3 [变式训练 1] (1)(2017·惠州质检)直线 l 经过点 A(1,2),在 x 轴上的截距的取值范 围是(-3,3),则其斜率 k 的取值范围是( ) 【导学号:66482371】 1 A.-1<k< 5 1 C.k> 或 k<1 5
2

1 B.k>1 或 k< 2 1 D.k> 或 k<-1 2

(2)直线 l 经过 A(3,1),B(2,-m )(m∈R)两点,则直线 l 的倾斜角 α 的取值范围是 ________. (1)D

?π π ? (2)? , ? ?4 2?
k

[(1)设直线的斜率为 k,则直线方程为 y-2=k(x-1),直线在 x

2 轴上的截距为 1- . 2 1 令-3<1- <3,解不等式得 k<-1 或 k> . k 2 1+m 2 (2)直线 l 的斜率 k= =1+m ≥1,所以 k=tanα ≥1. 3-2
2

5

π π ? π? 又 y=tanα 在?0, ?上是增函数,因此 ≤α < .] 2? 4 2 ? 求直线的方程

1 (1)过点 A(1,3),斜率是直线 y=-4x 的斜率的 的直线方程为________. 3 (2)若 A(1,-2),B(5,6),直线 l 经过 AB 的中点 M 且在两坐标轴上的截距相等,求直 线 l 的方程. (1)4x+3y-13=0 [设所求直线的斜率为 k,依题意

k=-4× =- .
又直线经过点 A(1,3),因此所求直线方程为

1 3

4 3

y-3=- (x-1),即 4x+3y-13=0.]
(2)法一:设直线 l 在 x 轴,y 轴上的截距均为 a. 由题意得 M(3,2). 2分

4 3

若 a=0,即 l 过点(0,0)和(3,2), 2 所以直线 l 的方程为 y= x,即 2x-3y=0. 3 若 a≠0,设直线 l 的方程为 + =1, 3 2 因为直线 l 过点 M(3,2),所以 + =1,8 分 5分

x y a a

a a

所以 a=5,此时直线 l 的方程为 + =1,即 x+y-5=0. 5 5 综上,直线 l 的方程为 2x-3y=0 或 x+y-5=0. 12 分

x y

法二:易知 M(3,2),由题意知所求直线 l 的斜率 k 存在且 k≠0,则直线 l 的方程为 y -2=k(x-3). 2分

2 令 y=0,得 x=3- ;令 x=0,得 y=2-3k.

k

5分 8分

2 2 所以 3- =2-3k,解得 k=-1 或 k= . k 3

2 所以直线 l 的方程为 y-2=-(x-3)或 y-2= (x-3), 3 即 x+y-5=0 或 2x-3y=0. 12 分

[规律方法] 1.截距可正、可负、可为 0,因此在解与截距有关的问题时,一定要注意
6

“截距为 0”的情况,以防漏解. 2.求直线方程的方法主要有两种:直接法与待定系数法.运用待定系数法要先设出直 线方程,再根据条件求出待定系数.利用此方法,注意各种形式的适用条件,选择适当的直 线方程的形式至关重要. [变式训练 2] 求过点 A(-1,-3)且倾斜角等于直线 y=3x 的倾斜角的 2 倍的直线方 程. [解] 由已知设直线 y=3x 的倾斜角为 α ,2 分 则所求直线的倾斜角为 2α . ∵tanα =3, 2tan α 3 ∴tan2α = =- . 2 1-tan α 4 又直线经过点 A(-1,-3), 3 因此所求直线方程为 y+3=- (x+1),即 3x+4y+15=0. 4 12 分 8分 5分

直线方程的综合应 用 已知直线 l 过点 M(1,1),且与 x 轴,y 轴的正半轴分别相交于 A,B 两点,O 为坐标原点.求: (1)当|OA|+|OB|取得最小值时,直线 l 的方程; (2)当|MA| +|MB| 取得最小值时,直线 l 的方程. [解] (1)设 A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0).
2 2

x y 1 1 设直线 l 的方程为 + =1,则 + =1, a b a b b a ?1 1? 所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b)? + ?=2+ + ≥2+2 b a · =4,3 分 a b
5分

?a b?

a b

当且仅当 a=b=2 时取等号,此时直线 l 的方程为 x+y-2=0.

(2)设直线 l 的斜率为 k,则 k<0,直线 l 的方程为 y-1=k(x-1),

? 1 ? 则 A?1- ,0?,B(0,1-k),7 分 ?
k

?

1? 2 1 ? 2 2 2 2 2 2 所以 |MA| + |MB| =?1-1+ ? + 1 + 1 +(1 - 1+ k) = 2+ k + 2 ≥2+ 2

?

k?

k

k2· 2= 4. k

1

10 分 1 2 当且仅当 k = 2,即 k=-1 时,上式等号成立.

k

所以当|MA| +|MB| 取得最小值时,直线 l 的方程为 x+y-2=0.
2 2

2

2

12 分

[规律方法] 1.求解本题的关键是找出|OA|+|OB|与|MA| +|MB| 取得最小值的求法,
7

恰当设出方程的形式,利用均值不等式求解,但一定要注意等号成立的条件. 2.利用直线方程解决问题,为简化运算可灵活选用直线方程的形式.一般地,已知一 点通常选择点斜式;已知斜率选择斜截式或点斜式;已知截距选择截距式. [变式训练 3] 已知直线 l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a y=2a +4,当 0<a<2 时,直 线 l1,l2 与两坐标轴正半轴围成一个四边形,则当 a 为何值时,四边形的面积最小?
? ?ax-2y=2a-4, [解] 由? 2 2 ?2x+a y=2a +4, ?
2 2

得 x=y=2,2 分

∴直线 l1 与 l2 交于点 A(2,2)(如图).

易知|OB|=a +2,|OC|=2-a,5 分 则 S
四边形 OBAC

2

1 1 ? 1?2 15 2 2 =S△AOB+S△AOC= ×2(a +2)+ ×2(2-a)=a -a+4=?a- ? + ,a∈ 2 2 ? 2? 4

(0,2),10 分 1 ∴当 a= 时,四边形 OBAC 的面积最小. 2 12 分

[思想与方法] 1.求直线方程的两种常见方法: (1)直接法:根据已知条件选择恰当的直线方程形式,直接求出直线方程. (2)待定系数法:先根据已知条件设出直线方程,再根据已知条件构造关于待定系数的 方程(组),求出待定系数,从而求出直线方程. 2.5 种形式的直线方程都有不同的适用条件,当条件不具备时,要注意分类讨论思想 的应用. [易错与防范] 1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在;每条直线都有倾斜角,但不一定每条 直线都存在斜率. 2.根据斜率求倾斜角,一是要注意倾斜角的范围;二是要考虑正切函数的单调性. 3.应用截距式方程时要注意讨论直线是否过原点,截距是否为 0. 4.由一般式 Ax+By+C=0 确定斜率 k 时,易忽视判定 B 是否为 0.当 B=0 时,k 不存

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在;当 B≠0 时,k=- .

A B

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