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对一道向量填空题的几点思考


?

1 2?  

中学数 学研 究 

2 0 1 5第 9期 

所以   ∈[ e , 7 ] .  
“ 

相关 变量 求最值 的通 法 是 降元 , 若 降为 一 元 无 法 实 

当相关 变量 关 系用 不 等 式表 示 时 , 降元

难 度 增  大. 若 从 式子 的几何 意义 出发 , 则等 式 与不等 式 的表  示 区别仅仅 在 于线和 面 , 因此 尽管条 件 不 同, 解法 却 
相似.  

现而变量关系式在平面直角坐标 系能进行 图像表示   时, 尝试用 数形 结合 的方 法加 以剖析 , 可能会 有 意想  不到 的收 获. 数 学 学 习要 求揭 示数 学概念 、 结论 的本  质, 体会其 中蕴含 的思想和 方法, 培养 学生发现 问  
题、 分析问题、 解 决 问题 的能 力. 章 建 跃 博 士 曾说 :   “ 数 学 思想方 法 的力 量 是 无 限 的 , 它 蕴含 于 数 学 知  识 中, 需要用 心挖掘 , 应 成 为数 学教 与学 的根 、 手 和 

适 度拓 展 , 更有 助于 启迪 学 生的智 慧 , 将 学得 的  知 识融会 贯通 , 更是 将 学生 的学 习活 动推 向高潮. 通 
过 巧妙 的变形 、 换元 , 转化 、 化 归为熟悉 的 问题 , 借 助  数 形结合 这 一重 要 的数学 思想 方法 , 挑 战难 题 , 收获 
成 功.  

高 中数 学 学 习中函数 、 方程 、 不 等式 涉及 的面 非   常广泛 , 相 互之 间 的变换 非常灵 活 , 与其他 知识 的联  系也 非常 密切 , 更是高 考 、 竞赛 的热 点和 难 点. 多元 

船. ”高中数学 中涉及几何意义的代数元素很 多, 在   平 时学 习中要注 重善 观 察。 、 多 归纳 、 勤反 思, 从 数与   形 结合 的角度 出发 探 究 问题 的解 法 , 既 能培 养 学 生   解题 思维 的灵 活性和 联 通 性 , 又 能发 展 学 生 解 题 方 
法 的多样 性和有 效性 , 并 最终 促 进 学 生能 力 和 素养 
的提 升.  

对 一 道 向 量 填 空 题 的 几 点 思 考 
浙江省安 吉县孝 丰高级 中学  ( 3 1 3 3 0 1 )   颜秋 娜 
本 文就 2 0 1 2年 苏锡 常 一模 的一道填 空题 , 从四  
解法 1 : 设P , 为4 P 与线段  D B的 交点 , 由( 1 ) 及 文 献[ 1 ] 知 
+ 。     :   汉 1≤  
’  

个方面进行 了剖析 , 并对结论进行 了拓广, 希望能对 
学生 的解题 思维 有所 帮助.  

题目  

如图 1 , 在 正 方 形 

l  

l  

A BC D 中, E为 A B 中点 , P为 以  
为 圆心 , A B 为 半 径 的 圆弧 上 任  意一 点 , 设 向量 A C =A   D E+  
—P A



≤ 

.1 ≤ !  

+  

I   A — P' I  

图2  

当 / _ _ P A B ∈ [ 0 , 等 】 时 , A  
.   图1  



 

2知 

+   的最 小值 为  

三  
. 

1 . 剔 除包装 , 显现 问题 本质 

由于试 题 结论 是要 计 算 A +   的最 小 值 , 所以  

在解题 中许多同学就有 了先求出目标函数 A+  的   解 析 式 的冲 动 , 但 是 要得 到 A+   的 目标 函数又 不知  道 如何 下手 , 最后 只 能无 奈 地 放 弃. 事实上, 若 能 利 
用. y - - 面 向 量 基 本 定 理  :   +  
‘ 

当 A =一1时  
当 A :2时 , 则 

=A — B’ . .3
.  

= 1 , . . .   = 吾 .  


:一 1 :A — O

. .

,.

三 l _1 , . .

3 .  

.  








÷≤   ≤3 .  
此 时 问题 转化 为 : 在 约 束 
A +4 ≥ 2  ,  

A B ( 1 ) , 将 问题 转化为 , 以   D, A B 为基 底 表 示A B, 若 

P在 线段 D B上 , 很容 易得 到 

+  
二 

:1 , 但 点 

P在D B上运 动 , 使 得 问题 变得 比较 复杂 , 此时, 若借 
助 王耀 的“ 一类可 化 为 向量 值 域 性规 划 问题 的研 究  

A+4≤. √ 2 l  ,   条件  1≤ A ≤ 2 . 下,  


≯ 
扎 l  

妻≤  ≤ 3  

及其 应 用”中的结论就 比较容 易解 决此 问题.  

图3  

2 0 1 5年 第 9期 

中学数 学研 究 
+— — _ = = = 二 = = L = 二 — 二 — — — — — — 一 一 =一 :一1   1+ +   + —— — —= —二  

? l 3?  

求 目标 函数 z=A + 肛的最 小值. 由 图 3知 , 当直 线 z  
1 

=A+  过  ( 一l , ÷) 时 有最小值, 即( A+  )   i  :  
厶 

2, / a一( t一1 )  +t 。 一1  


l  
‘ 

2厨
评注: 难 题之 所 以是 难题 , 往往 有 以下 两 方面 的 

 

_

+ f _ l  

: _ 1+ —

2  



 

_

+卜   ’  
t  

,  

^ √ £

原因; 其 一是 命 题 者 对 试题 进 行 了过 度 的“包装 ” ,   使 考 生感到 “ 雾里 看 花 , 水 中望 月 ” , 看 不 清 问题 本 
—   —  

= s ∈ [ 0, 1 ] , . ? . Y =一 1 +  

质; 其二 是试 题 对 学生的数 学能 力要 求较 高 , 所 以对 
过度“ 包装 ”的 试 题 , 首 先 要 做 到 的 是 剥 去 过 度 的 



 

( s 一 2 )   + 丢 。  _  ’   m j “ 一  ’  
+ 



当 s:1时 ,   m j  :一1+  

“ 包装”, 暴露 问题 本质.  

2 . 用 坐标 法 , 高点 强攻得 手  由于 A B C D 为正 方形 , 不 难发 现 , 把 本 题放入 直  角 坐标 系 中进 行研 究 , 然 后按部 就 班进行 推 算 即可 ,   其 解题 对策 好 比排球 比赛 中的高 点强攻 战 术.  
解法 2 : 如 图 4, 设A B=   2 ,则 C ( 2 , 2 ) , D( 0, 2 ) , E( 1 ,   0 ) , P( 2 c o s 0 , 2 s i n 0 ) , . ‘ . A C=  
— — —

— T   _ — 了= 一 1 + 詈=   1 ' . . . ( A +   )  =   1 .  
一  

÷

 

( 2 , 2 ) , A P =( 2 c o s 0 , 2 s i n 0 ) ,  

f   2 - A ≥   . A 一丢 . …4 5 。  
时, 则 
c 2一  
一 一    

=  

=  

+  

,由 ( 1 )知 



I   A+ 1  
l  

. .


. 

=  

,  

A+  :  

一 2’  

f 2   - a - 0   , ? .   …5 ,  
由解 法 1 , 解法 2可知 , 本  题 也 可 以做 如 下推广 :  

如图5 , 在菱形A B C D中,  
E为  B 中点 , P为以 A为 圆   图
5  

?

1 4?  

中学数学研究 
参 考文 献 

2 0 1 5第 9 期 

心, A B为半 径 的 圆弧上任 意 一点 , 设  :A   D — E+  

肛 A p , 若/ _ P A B∈l L     0 , S 仃 - I 时 , A+   的范围 是  


J  

[ 1 ] 王耀. 一类可化为 向量值域 性规划 问题 的研究及其 应用  [ J ] . 中学数学 , 2 0 1 4 , 3 .  
[ 2 ] 柯恒. 一类 向量系数和 问题 的探究 [ J ] . 数学通 讯 ( 学生 
刊) , 2 0 1 2 , 3 .  

本题 解 法 同上题 , 本文在 此 不再 累赘.  

对 一 道 质 检 题 的 解 法 探 究 及 拓 展 
福建省古 田县 第一 中学  ( 3 5 2 2 0 0 )   蒋满林 
1   题 目 

) , 则有 e  =  


已知 函数, (  )=e   s i n x—e O S X , g ( x )=X C O S X一   e   , 其 中 e是 自然对 数 的底 数.   (I)判 断函数 Y=   ) 在( 0 ,   ) , 内的零 点 的  
Sl nx 

Si n 

,  ∈ ( 0 ,   ) , 记 m(  ) = e   ,  

n (  )=_ C O S X 而m   (   ) = e   > 0 , n   (   ) = ~ — - _ l
Sl n 

<  

0 , 所以m (   )=e   在( 0 , 要) 上是单调递增函数,  
n (  )=一 c o _ s x 在( 0 ,  ) 上是单调递减 函数 , 当  一 0  


个数, 并说明蝗由;  

( 1 I ) V   ? ∈ 【 0 , 手 ] ,  z ∈ 【 0 , 詈 ] , 使 得 不 等  
式 
围:  

S1 n 

)+g ( x   )≥ m 成 立 , 试 求 实 数 m 的取 值 范 

时, m(  ) 一 1 , n (  )   +∞ ; 当   一  时 , m(  )一 





( 1 l I )若  >一1 , 求证 , (  )一g ( x ) >0 .  

凡 (  )一 o . 所 以 m(  )=n (  )在 ( 0 ,   )上 有且 

这是福州市 2 0 1 4— 2 0 1 5学年度 第一学期高三   质量 检查考 试 的最 后 一题 , 本 题 主 要考 查 函数 的零 
点、 函数 的导 数 、 导数 的 应用 、 不 等 式 的 恒成 立 等 基 

只 有 一个交 点 , 即 函数 Y=   )在 ( 0,   )上 的零 点   的个数 为 1 .  

础知识, 考查推理论证 能力 、 运算求解能力, 考查 函   数与方程思想、 化归与转化思想、 数形结合思想等.   2   解 法探 究  .  
(I) 解法 1 : 函数 Y=   )在 ( o,   )上 的零 点  

(I I )解 法 1 : 因为 不等 式  , )+ g (   )≥ m等  价 于  )≥ m —g ( x : ) , 所 以 Vx 。∈ [ 0 ,  ] ,  

∈[ 0 ,   ] , 使 得 不 等式, (   )+g (  : )≥ m成 立 , 等   价 于, (  1 )   i  ≥ ( m —g (  2 ) )   , 即_ 厂 (  1 )   ≥m—  
的个 数 为 1 .  
理 由如 下 :  

g (   。 )  . 当   ∈[ o ,   } ] 时   厂 (   )=e   s i n x + e   e o s x  
+s i t l x>0 , 故厂 (   ) 在 区间E o ,  ] 上单调递增 , 所以  


因为  ) =e   s i n x—e o s x , 所 以厂(  )=e   s i n x  
+e   c o 毗 +s i n x . 因为 0<   <   , 所以  (  )>o , 所 

0时  

)取 得 最小值 一1 .  

以 函数  )在 ( 0 ,   )上 是 单 调 递 增 函 数.因 为  

又g   (  ) =e O S X—x s i n x一   e   , 由于 0≤ c o s   ≤1 ,   s i n  ≥0, 4 g e  ≥√ 互, 所 以g   (  )<0, 故g (  )  

0 )=一1< 0  

)=e 予>0 , 根据 函数零点存在 

在 区 间[ 0 ,   ]上 单调递 减 , 因此  =   0时 , g (  )取 

性定理得 , 函数Y=   ) 在( 0 ,  ) 上的零点的个数  
为1 .  

得最大值 一 √   所以 一1≥ m 一( 一 √   ) , 所以m≤  


√  一1 . 所 以实 数 m 的取 值 范 围是 ( 一。 。,一1一  
] .  

解法 2 : 令, (  ) = e   s i n x—e o s   =0,   ∈( 0,  


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