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2013届高考数学一轮复习课件(理)浙江专版-第25讲 平面向量的概念及线性运算


1.了解向量的实际背景,理解平面 向量的概念,理解两个向量相等的含义, 理解向量的几何表示.
2.掌握向量加法、减法的运算,并 理解其几何意义,掌握向量数乘的运算, 理解两个向量共线的含义,了解向量线 性运算的性质及其几何意义.

3.了解平面向量的基本定理及其意义, 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示,会 用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运 算.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

1.向量的有关概念 既有①大小又有② 方向 的量叫做向量. ③ 长度为0 的向量叫做零向量,记作0,规 定零向量的方向是任意的. ④ 长度为1 的向量叫做单位向量. 方向⑤ 相同或相反 的⑥ 非零 向量叫做平 行向量(或共线向量). ⑦ 长度相等 且⑧ 方向相同 的向量叫做相等 向量. ⑨ 长度相等 且⑩方向相反 的向量叫做相反向 量.

2.向量的表示方法 用小写字母表示,用有向线段表示, 用坐标表示. 3.向量的运算

加法、减法运算法则:平行四边形法 则、三角形法则.
实数与向量的积:实数λ与向量a的积 是一个向量,记作λa,它的长度和方向规 定如下:

(1)|λa|=

11

|λ||a| ;

(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向 12 相同 当λ<0时,λa的方向与a的方向 13 相反 14 0 λ=0时,λa= .
运算律:交换律、分配律、结合律. 4.平面向量共线定理

; ;当

向量b与非零向量a共线的充分必要条件 是15 有且只有一个实数λ,使得b=λa .

5.平面向量基本定理

如果e1、e2是同一平面内两个 16 不共线 的 向量,那么对这个平面内任一向量 17 a, 有且只有一对 .实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
6.平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系内,分别取与x轴、y 轴正方向相同的两个单位向量i、j作为基底, 18 对任一向量a, 有且只有一对实数 x、y,使得 a=xi+yj,则实数对 19 (x,y)叫做向量a的直角坐标,

记作a=(x,y),其中x、y分别叫做a在x轴、y 轴上的坐标,a=(x,y)叫做向量a的坐标表示. 相等的向量坐标 20 相同 ,坐标相同的 向量是 21 相等 的向量. 7.平面向量的坐标运算 (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则a±b= 22 (x1±x2,y1±y2) . (2)如果23 A(x1,y1),B(x2,y2) ,

(x2-x1,y2-y1) . (3)若a=(x,y)则λa= 25 (λx,λy) .


??? ? = 24 AB

8.平行与垂直的充要条件

(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要 条件是 26 x1y2-x2y1=0.
(2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b的充要 条件是 27 x1x2+y1y2=0. 9.向量的夹角
??? ? ??? 两个非零向量a和b,作 =a, ? =b, OB OA 28 ∠AOB=θ(0°≤θ≤180°) 则 ___________________________ 叫做向量a与b的夹角,记作 29 〈a,b〉=θ . 如果夹角是 30 90° ,我们说a与b垂直,记 11 31 a⊥b . 作

1.下列说法中不正确的是( D ) → → A.向量AB的长度与向量BA的长度相等 B.任一非零向量都可以平行移动 C.长度不等且方向相反的两个向量一定是共线向量 D.两个有共同起点而且长度相等的向量,其终点必相同

2.若四边形 ABCD 为正方形, 是 CD 的中点, → =a,→ E 且AB AD → =b,则BE等于( 1 A.b+2a 1 C.a+2b ) 1 B.b-2a 1 D.a-2b

→ → → 【解析】因为BE=AE-AB → → → =AD+DE-AB → +1AB-AB =AD 2 → → 1 =b-2a, 故选 B.

3.若 a=(2,3),b=(4,-1+y),且 a∥b,则 y 等于( A.5 B.6

)

C.7

D.8

【解析】 因为 a∥b,所以 2(-1+y)-3×4=0,解得 y=7.

4.已知 a=(5,-2),b=(-4,-3),c=(x,y).若 a -2b+3c=0,则 c 的坐标为( 8 A.(1,3) 13 4 C.( 3 ,3) )

13 8 B.( 3 ,3) 13 4 D.(- 3 ,-3)

【解析】由 a-2b+3c=0,得 3c=2b-a, 所以(3x,3y)=2×(-4,-3)-(5,-2),
? ?x=-13 ?3x=-13 3 ? 所以? ?? 4 ? ?3y=-4 ?y=-3 ?

.故选 D.

5.如右图,向量 a-b 等于( D ) A.-2e1-4e2 B.-4e1-2e2 C.e1-3e2 D.-e1+3e2



平面向量的基本概念、线性运算及简单性质

【例 1】判断下列各题是否正确: (1)向量 a 与向量 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反; → → (2)四边形 ABCD 是平行四边形的充要条件是AB=DC; (3)已知 λ,μ∈R,λ≠μ,则(λ+μ)a 与 a 共线;

(4)O 是平面内一定点,A、B、C 是平面内不共线的三个 → → AB AC → → 点,动点 P 满足OP=OA+λ( + ),λ∈[0,+∞),则点 → → |AB| |AC| P 的轨迹一定通过△ABC 的内心; (5)已知 A、B、C 是不共线的三点,O 是△ABC 内的一点, → → → 若OA+OB+OC=0,则 O 是△ABC 的重心.

【解析】(1)若其中一个是零向量,则其方向不确定, 故不正确. (2)若四边形 ABCD 是平行四边形,则 AB 綊 CD,所 → → → → 以AB=DC;若四边形 ABCD 中,AB=DC,则 AB 綊 CD, 所以四边形 ABCD 是平行四边形,判断正确. (3)由实数与向量的积,可知正确.

→ → AB AC → → (4) 与 分别表示AB与AC方向的单位向量,设它们 → → |AB| |AC| → → 分别为AB′与AC′, 设以它们为两条邻边的平行四边形是一 → → 个菱形 AB′P′C′,→ ′平分∠BAC,→ =λ(AB′+AC′) AP AP → → → → 与AP′的方向相同, 也平分∠BAC.由OP=OA+AP知 P 的轨 迹为∠BAC 的平分线,一定通过△ABC 的内心,故正确. → → → (5)因为OA+OB+OC=0,

→ → → → → → 所以OA=-(OB+OC),即OB+OC是与OA方向相反且 长度相等的向量. 如图所示,以 OB、OC 为相邻的两边作平行四边形 BOCD, → → → → → 则OD=OB+OC,所以OD=-OA, → 在平行四边形 BOCD 中, BC 与 OD 相交于 E, =EC, 设 BE → → → 则OE=ED. → → 所以 AE 是△ABC 的边 BC 的中线,且|OA|=2|OE|. 所以 O 是△ABC 的重心,故正确.

→ AB → 【点评】(1) 表示与AB同方向的单位向量.(2)向量的基本 → |AB| 概念、几何意义常在客观题中出现,要求学生概念清晰,并 能灵活运用.

素材1

如图所示,?ABCD 中,E、F 分别是 BC、DC 的中点, → → G 为 DE 与 BF 的交点.若AB=a,AD=b,试以 a,b 为基底 → → → 表示DE、BF、CG.

→ → → → → → 【解析】DE=AE-AD=AB+BE-AD 1 1 =a+ b-b=a- b. 2 2 → → → → → → BF=AF-AB=AD+DF-AB 1 1 =b+ a-a=b- a. 2 2 易知 G 为△BCD 的重心, → =2×1CA=1(-AB-AD)=-1a-1b. 则CG 3 2 → 3 → → 3 3



平面向量的坐标表示
【例 2】若 α,β 是一组基底,向量 γ=xα+yβ(x,

y∈R),则称(x,y)为向量 γ 在基底 α,β 下的坐标,a 在基底 p=(-1,2),q=(1,-2)下的坐标为(-1,4),a 在另一组基底 m=(-2,2),n=(t,s)下的坐标为(-10, -5),则 t,s 的值分别为( A.-3,-2 C.3,2 ) B.-3,2 D.3,-2

【解析】由题意知, a=-p+4q=-(-1,2)+4(1,-2)=(5,-10), 又 a=-10m-5n=10(2,-2)-5(t,s)=(20-5t,-20- 5s), 所以(20-5t,-20-5s)=(5,-10),
?20-5t=5 ?t=3 即? ,解得? . ?-20-5s=-10 ?s=-2

故选 D.

【点评】向量的坐标表示,实际上是向量的代数表示,它可以 使向量运算代数化,从而把数与形结合起来,很多几何问题就 可以转化为代数运算来解决.利用向量的坐标运算解题,主要 是根据“相等向量的坐标相同”这一原则,通过方程(组)进行 求解.由于向量 a 在不同的基底下的坐标不相同,因此解答时 要注意向量 a 的坐标与基底的对应关系.

素材2

已知点 A(4,0),B(4,4),C(2,6),试用向量方法求直线 AC 和 OB(O 为坐标原点)交点 P 的坐标.

【分析】 根据题意设出 P 点坐标,然后利用已知条件转 化成共线向量的关系,得到方程组,从而求解.

→ → 【解析】设 P(x,y),则OP=(x,y),AP=(x-4,y). 因为 P 是 AC 与 OB 的交点, 所以 P 在直线 AC 上,也在直线 OB 上, → → → → 即得OP∥OB,AP∥AC. → → 由点 A(4,0),B(4,4),C(2,6)得,AC=(-2,6),OB=(4,4),
?6?x-4?+2y=0 ?x=3 得方程组? ,解之得? . ?4x-4y=0 ?y=3

故直线 AC 与 OB 的交点 P 的坐标为(3,3).



平面向量共线问题

【例 3】设 a,b,c 为非零向量,其中任意两向量不共 线,已知 a+b 与 c 共线,且 b+c 与 a 共线,试问 b 与 a +c 是否共线?并证明你的结论.

【解析】 b 与 a+c 共线,证明如下: 因为 a+b 与 c 共线,所以存在唯一实数 λ, 使得 a+b=λc,① 又因为 b+c 与 a 共线,所以存在唯一实数 μ, 使 b+c=μa,② ①-②,得 a-c=λc-μa,即(1+μ)a+(-1-λ)c=0. 因为 a 与 c 不共线,由平面向量基本定理,得
?1+μ=0 ? ,解得 μ=λ=-1, ?-1-λ=0

所以 a+b=-c,即 a+c=-b,故 b 与 a+c 共线.

【点评】解决共线条件下的向量问题,根据共线定理,通过设 元建立方程,再利用平面向量的基本定理,比较系数,得到新 的方程组,从而可使问题得到解决.

素材3

已知 a=(1,2),b=(-3,2),当 k 为何值时,ka+b 与 a -3b 平行,且平行时它们是同向还是反向?

【解析】ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2), a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4). 若 ka+b 与 a-3b 平行, 1 则-4(k-3)-10(2k+2)=0,解得 k=-3, 10 4 1 此时 ka+b=(- 3 ,3)=-3(a-3b). 1 因为-3<0,所以 ka+b 与 a-3b 反向.

备选例题

已知向量 a、b 不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b, 如果 c∥d,那么( ) B.k=1 且 c 与 d 反向

A.k=1 且 c 与 d 同向

C.k=-1 且 c 与 d 同向 D.k=-1 且 c 与 d 反向

【解析】取 a=(1,0),b=(0,1). 若 k=1,则 c=a+b=(1,1),d=a-b=(1,-1), 显然,a 与 b 不平行,排除 A、B. 若 k=-1, c=-a+b=(-1,1), 则 d=a-b=-(-1,1), 即 c∥d 且 c 与 d 反向,排除 C,故选 D.

1.向量的坐标表示主要依据平面向量的 基本定理,平面向量 实数对(x,y),任 何一个平面向量都有惟一的坐标表示,但 ?? ?? ? ?? ? ? ? 是每一个坐标所表示的向量却不一定惟一. 也就是说,向量的坐标表示和向量不是一 一对应的关系,但和起点为原点的向量是 一一对应 ? ? ? ? OA ? 一一对应的关系.即向量(x,y) ?? ? ? ?
一一对应

点A(x,y).向量的坐标等于表示此 向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.

?? ?? ? ?? ? ? ?

一一对应

2.向量的坐标表示,实际上是向量的 代数表示,在引入向量的坐标表示后,可 以使向量运算完全代数化,把关于向量的 代数运算与数量的代数运算联系起来,从 而把数与形紧密结合起来,这样很多几何 问题,特别像共线、共点等较难问题的证 明,就转化为熟知的数量运算,也为运用 向量坐标运算的有关知识解决一些物理问 题提供了一种有效方法.

3.已知向量的始点和终点坐标求向量的坐 标时一定要搞清方向,用对应的终点坐标减 去始点坐标.本讲易忽略点有二:一是易将向量 的终点坐标误认为是向量坐标;二是向量共线 的坐标表示易与向量垂直的坐标表示混淆.


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