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【高考数学】三角函数与解三角形典型例题整合


概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
四、三角函数
1、角的概念的推广:平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆 时针方向旋转所形成的角叫正角, 按顺时针方向旋转所形成的角叫负角, 一条射线没有作任何旋转 时,称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边,终止位置称为终边。 2、象限角的概念:在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与

x 轴的非负半轴重 合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角 不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示: (1) ? 终边与 ? 终边相同( ? 的终边在 ? 终边所在射线上) ? ? ? ? ? 2k? (k ? Z) ,注意:相等的
? 角的终边一定相同,终边相同的角不一定相等.如与角 ? 1825 的终边相同,且绝对值最小的角的度 数是___,合___弧度。 5 (答: ?25 ; ? ? ) 36 (2) ? 终边与 ? 终边共线( ? 的终边在 ? 终边所在直线上) ? ? ? ? ? k? (k ? Z) . (3) ? 终边与 ? 终边关于 x 轴对称 ? ? ? ?? ? 2k? (k ? Z) . (4) ? 终边与 ? 终边关于 y 轴对称 ? ? ? ? ? ? ? 2k? (k ? Z) . (5) ? 终边与 ? 终边关于原点对称 ? ? ? ? ? ? ? 2k? (k ? Z) . ( 6 ) ? 终 边 在 x 轴 上 的 角 可 表 示 为 : ? ? k? , k ? Z ; ? 终 边 在 y 轴 上 的 角 可 表 示 为 : ? k? ? ? ? k? ? , k ? Z ;? 终边在坐标轴上的角可表示为:? ? , k ? Z .如 ? 的终边与 的终边关于直 6 2 2 y ? x 线 对称,则 ? =____________。 ? (答: 2k? ? , k ? Z ) 3 ? 4、 ? 与 ? 的终边关系:由“两等分各象限、一二三四”确定.如若 ? 是第二象限角,则 是 2 2 第_____象限角 (答:一、三) 5.弧长公式: l ?| ? | R ,扇形面积公式: S ? 1 lR ? 1 | ? | R 2 ,1 弧度(1rad) ? 57.3 . 如已知扇 2 2 形 AOB 的周长是 6cm,该扇形的中心角是 1 弧度,求该扇形的面积。 (答:2 cm2 ) 6、任意角的三角函数的定义:设 ? 是任意一个角,P ( x, y ) 是 ? 的终边上的任意一点(异于原 y x y ?? , c? o? s , tan ? ? , ? x ? 0 ? , 点) , 它 与 原 点 的 距 离 是 r ? x2 ? y 2 ? 0 , 那 么 s i n r r x r r x cot ? ? ( y ? 0) , sec ? ? ? x ? 0 ? , csc ? ? ? y ? 0 ? 。三角函数值只与角的大小有关,而与终边 x y y 上点 P 的位置无关。如 (1)已知角 ? 的终边经过点 P(5,-12),则 sin ? ? cos ? 的值为__。 7 (答: ? ) ; 13 2m ? 3 (2)设 ? 是第三、四象限角, sin ? ? ,则 m 的取值范围是_______ 4?m 3 (答: (-1, ) ) ; 2

(3)若

| sin ? | cos? ? ? 0 ,试判断 cot(sin? ) ? tan(cos ? ) 的符号 sin ? | cos? |

(答:负) 7.三角函数线的特征是:正弦线 MP“站在 x 轴上(起点在 x 轴上)” 、余弦线 OM“躺在 x 轴上(起 点是原点)” 、正切线 AT“站在点 A(1, 0) 处(起点是 A )”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值 的大小和解三角不等式。如 y ? T B S (1)若 ? ? ? ? 0 ,则 sin ? ,cos ? , tan ? 的大小关系为_____ 8 P (答: tan ? ? sin ? ? cos ? ); α x O M A (2)若 ? 为锐角,则 ? ,sin ? , tan ? 的大小关系为_______ (答: sin ? ? ? ? tan ? ) ; (3)函数 y ? 1 ? 2 cos x ? lg(2 sin x ? 3) 的定义域是_______ ? 2? ](k ? Z ) ) (答: (2k? ? , 2k? ? 3 3 8.特殊角的三角函数值: 30° 45° 60° 0° 90° 180° 270° 15° 75°
sin ?

1 2

2 2 2 2
1 1

3 2
1 2

0 1

1 0

0 -1 0

-1 0

6? 2 4 6? 2 4
2- 3

6? 2 4 6? 2 4
2+ 3 2- 3

cos?
tan ?

3 2
3 3

3
3 3

0 0

cot ?

3

0

2+ 3

9. 同角三角函数的基本关系式: (1)平方关系: sin 2 ? ? cos2 ? ? 1,1 ? tan 2 ? ? sec2 ?,1 ? cot 2 ? ? csc2 ? (2)倒数关系:sin ? csc ? =1,cos ? sec ? =1,tan ? cot ? =1, sin ? cos ? , cot ? ? (3)商数关系: tan ? ? cos ? sin ? 同角三角函数的基本关系式的主要应用是,已知一个角的三角函数值,求此角的其它三角函数 值。在运用平方关系解题时,要根据已知角的范围和三角函数的取值,尽可能地压缩角的范围,以 便进行定号;在具体求三角函数值时,一般不需用同角三角函数的基本关系式,而是先根据角的范 围确定三角函数值的符号,再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。如 sin ? ? tan ? (1)函数 y ? 的值的符号为____ cos ? ? cot ? (答:大于 0) ; (2)若 0 ? 2 x ? 2? ,则使 1 ? sin 2 2x ? cos2x 成立的 x 的取值范围是____

(3)已知 sin ? ?

m?3 4 ? 2m ? ( ? ? ? ? ) ,则 tan ? =____ , cos ? ? m?5 m?5 2

? (答: [0, ] 4

3 [ ?,?]) ; 4

(答: ? (4)已知
tan ? sin ? ? 3 cos ? ? ?1 ,则 =___; sin 2 ? ? sin ? cos? ? 2 =____ tan ? ? 1 sin ? ? cos ?

5 ) ; 12

(答: ? (5)已知 sin 200? ? a ,则 tan160? 等于 A、 ?

5 13 ; ) ; 3 5

a 1? a2

B、

a 1? a2

C、 ?

1? a2 a

D、

1? a2 a
(答:B) ;

(6)已知 f (cosx) ? cos3x ,则 f (sin 30 ) 的值为______
?

(答:-1) 。
k 10.三角函数诱导公式( ? ? ? )的本质是:奇变偶不变(对 k 而言,指 k 取奇数或偶数) , 2 符号看象限(看原函数,同时可把 ? 看成是锐角).诱导公式的应用是求任意角的三角函数值,其 一般步骤: (1)负角变正角,再写成 2k ? + ? , 0 ? ? ? 2? ;(2)转化为锐角三角函数。如 9? 7? ? tan(? ) ? sin 21? 的值为________ (1) cos 4 6 2 3 (答: ) ; ? 2 3 4 ( 2 ) 已 知 sin( 540 ? ? ? ) ? ? , 则 c o s ?(? 2 7 ?0 ) ? ______ , 若 ? 为 第 二 象 限 角 , 则 5 [sin( 180? ? ? ) ? cos(? ? 360? )]2 ? ________。 tan( 180? ? ? ) 4 3 (答: ? ; ? ) 100 5 11、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式: 令? ? ? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ??? ? sin 2? ? 2sin ? cos ?

cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ?   tan ?? ? ? ? ?

令? ? ? sin ? sin ? ??? ? cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ?

                        ? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? tan ? ? tan ? 1+cos2?         ? cos 2 ?= 1 tan ? tan ? 2 1 ? cos2?                      ? sin 2 ?= 2 2 tan ?     tan 2? ? 1 ? tan 2 ? 1 列各式中,值为 的是 2 ? ? A、 sin15 cos 15 B、 cos 2 ? sin 2 12 12
C、
tan 22.5 1 ? tan 2 22.5

如( 1 ) 下

D、

1 ? cos 30 2
(答:C) ;

(2)命题 P: tan( A ? B ) ? 0 ,命题 Q: tan A ? tan B ? 0 ,则 P 是 Q 的 A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件 (答:C) ;
3 (3)已知 sin( ? ? ? )cos ? ? cos( ? ? ? ) sin ? ? ,那么 cos 2? 的值为____ 5

(答: (4)
1 3 的值是______ ? sin10 sin 80

7 ) ; 25

(答:4) ; (5)已知 tan1100 ? a ,求 tan 500 的值(用 a 表示)甲求得的结果是
1 ? a2 ,对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______ 2a

a? 3 ,乙求得的结果是 1 ? 3a

(答:甲、乙都对) 12. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是:一角二名三结构。即首先观察 角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心!第二看函数名称 之间的关系,通常“切化弦” ;第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有: (1)巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与 其和差角的变换. 如 ? ? (? ? ? ) ? ? ? (? ? ? ) ? ? ,2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ,2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) , ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? 等) , ,如 ? ? ? ? 2? 2 2 2 2 2 ? 1 ? (1)已知 tan(? ? ? ) ? , tan( ? ? ) ? ,那么 tan(? ? ) 的值是_____ 5 4 4 4 3 (答: ) ; 22 ? ? 1 ? 2 (2)已知 0 ? ? ? ? ? ? ? ,且 cos( ? ? ) ? ? , sin( ? ? ) ? ,求 cos( ? ? ? ) 的值 2 2 9 2 3 490 (答: ) ; 729 3 (3)已知 ? , ? 为锐角, sin ? ? x,cos ? ? y , cos(? ? ? ) ? ? ,则 y 与 x 的函数关系为______ 5 3 4 3 (答: y ? ? 1 ? x 2 ? x( ? x ? 1) ) 5 5 5 (2)三角函数名互化(切割化弦),如 (1)求值 sin 50 (1 ? 3 tan10 ) (答:1) ; sin ? cos ? 2 ? 1, tan(? ? ? ) ? ? ,求 tan( ? ? 2? ) 的值 (2)已知 1 ? cos 2? 3 1 (答: ) 8 (3)公式变形使用( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 tan ? tan ? ? 。如

?

??

?

(1)已知 A、B 为锐角,且满足 tan A tan B ? tan A ? tan B ? 1 ,则 cos( A ? B) =_____ (答: ? (2)设 ?ABC 中, tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan Atan B , sin Acos A ? 形 (答:等边) 1 ? cos 2 ? 1 ? cos 2 ? (4)三角函数次数的降升(降幂公式: cos 2 ? ? , sin 2 ? ? 与升幂公式: 2 2 1 ? cos 2? ? 2cos2 ? , 1 ? cos 2? ? 2sin 2 ? )。如
2 ) ; 2

3 ,则此三角形是____三角 4

3 1 1 1 1 (1)若 ? ? ( ? , ? ) ,化简 ? ? cos 2? 为_____ 2 2 2 2 2

(答: sin (2)函数 f ( x ) ? 5 sin xcos x ? 5 3 cos 2 x ?
5 3( x ? R ) 的单调递增区间为____ 2

? ) ; 2

(答: [ k? ? (5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。如 sin ? ? tan ? (1) tan ? (cos ? ? sin ? ) ? cot ? ? csc ?

?

12

,k? ?

5? ]( k ? Z ) ) 12

(答: sin ? ) ;

(2)求证:

1 ? sin ? 1 ? 2sin
2

?
2

?

1 ? tan 1 ? tan

? ?
2;

2 1 2 cos 4 x ? 2 cos 2 x ? 2 (3)化简: ? 2 ? 2 tan( ? x)sin ( ? x) 4 4
1 (答: cos 2 x ) 2 2 2 2 2 (6)常值变换主要指“1”的变换( 1 ? sin x ? cos x ? sec x ? tan x ? tan x ? cot x 3 ,如已知 tan ? ? 2 ,求 sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 3cos2 ? (答: ). ? tan ? ? sin ? ? 等) 4 2 5 (7)正余弦“三兄妹— sin x ? cos x、sin x cos x ”的内存联系――“知一求二” ,如 (1)若 sin x ? cos x ? t ,则 sin x cos x ? __ t2 ?1 (答: ? ),特别提醒:这里 t ?[? 2, 2] ; 2 (2)若 ? ? (0, ? ),sin ? ? cos ? ? 1 ,求 tan ? 的值。 2 4? 7 (答: ? ) ; 3 ? ? sin 2? ? 2sin 2 ? ? k ( ? ? ? ) ,试用 k 表示 sin ? ? cos ? 的值 (3)已知 4 2 1 ? tan ? (答: 1 ? k ) 。

13、辅助角公式中辅助角的确定 : a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin ? x ? ? ? (其中 ? 角所在的象限由 a, b 的符号确定, ? 角的值由 tan ? ?
b 确定)在求最值、化简时起着重要作用。如 a (1)若方程 sin x ? 3 cos x ? c 有实数解,则 c 的取值范围是___________. (答:[-2,2]) ; (2)当函数 y ? 2 cos x ? 3 sin x 取得最大值时, tan x 的值是______ 3 (答: ? ); 2 (3)如果 f ? x ? ? sin ? x ? ? ? ? 2cos( x ? ?) 是奇函数,则 tan ? =

(答:-2);

(4)求值:

3 1 ? ? 64 sin 2 20? ? ________ 2 sin 20? cos 20?
2

(答:32) 14、正弦函数和余弦函数的图象:正弦函数 y ? sin x 和余弦函数 y ? cos x 图象的作图方法:五 ? 3? 点法:先取横坐标分别为 0, , ? , , 2? 的五点,再用光滑的曲线把这五点连接起来,就得到正 2 2 弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。 15、正弦函数 y ? sin x( x ? R) 、余弦函数 y ? cos x( x ? R) 的性质: (1)定义域:都是 R。 ? ( 2 ) 值 域 : 都 是 ??1, 1 ? 时, y 取最大值 1;当 ? , 对 y ? s i nx , 当 x ? 2 k? ? 2 ? k ? Z 3? x ? 2 k? ? ? k ? Z ? 时, y 取最小值- 1 ;对 y ? cos x ,当 x ? 2k? ? k ? Z? 时, y 取最大值 1 ,当 2 x ? 2k? ? ? ? k ? Z? 时, y 取最小值-1。如

? 3 1 (1)若函数 y ? a ? b sin(3x ? ) 的最大值为 ,最小值为 ? ,则 a ? __, b ? _ 2 2 6 1 (答: a ? , b ? 1 或 b ? ?1 ) ; 2 ? ? (2)函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x ( x ? [ ? , ] )的值域是____ 2 2 (答:[-1, 2]) ; 2 ? ? ? ? ? y ? cos ? ? 6 sin ? (3)若 ,则 的最大值和最小值分别是____ 、_____ (答:7;-5) ; ? (4) 函数 f ( x) ? 2 cos x sin( x ? ) ? 3 sin 2 x ? sin x cos x 的最小值是_____, 此时 x =__________ 3 ? (答:2; k? ? (k ? Z ) ) ; 12 1 (5)己知 sin ? cos ? ? ,求 t ? sin ? cos? 的变化范围 2 1 (答: [0, ] ) ; 2 (6)若 sin 2 ? ? 2 sin 2 ? ? 2 cos? ,求 y ? sin 2 ? ? sin 2 ? 的最大、最小值
(答: ymax ? 1 , ymin ? 2 2 ? 2 ) 。特别提醒:在解含有正余弦函数的问题时,你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗? ( 3 ) 周 期 性 : ① y ? sin x 、 y ? cos x 的 最 小 正 周 期 都 是 2 ? ; ② f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 和 2? f ( x) ? A cos(? x ? ? ) 的最小正周期都是 T ? 。如 |? | ?x (1)若 f ( x) ? sin ,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? f (2003) =___ 3 (答:0) ; 4 4 (2) 函数 f ( x) ? cos x ?2sin x cos x ? sin x 的最小正周期为____ (答: ? ) ; ? ? (3) 设函数 f ( x) ? 2 sin( x ? ) ,若对任意 x ? R 都有 f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 ) 成立,则 | x1 ? x2 | 的 2 5 最小值为____ (答:2) (4)奇偶性与对称性:正弦函数 y ? sin x ( x ? R) 是奇函数,对称中心是 ? k? ,0?? k ? Z ? ,对称

? , 0??k ? Z ?, 2 ? ? 对称轴是直线 x ? k? ? k ? Z ? (正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于 x 轴的直线,

轴是直线 x ? k? ?

?

2

? k ? Z ? ;余弦函数 y ? cos x( x ? R) 是偶函数,对称中心是 ? ? k? ?

?

对称中心为图象与 x 轴的交点) 。如 ? 5? ? (1)函数 y ? sin ? ? 2 x ? 的奇偶性是______、 ? 2 ? (答:偶函数) ; (2)已知函数 f ( x ) ? ax ? b sin x ? 1( a,b 为常数) ,且 f ( 5 ) ? 7 ,则 f ( ?5 ) ? ______ (答:-5) ; (3)函数 y ? 2 cos x(sin x ? cos x) 的图象的对称中心和对称轴分别是_______、_______ k? ? k? ? ? ,1 )( k ? Z ) 、 x ? ? ( k ? Z )) (答: ( ; 2 8 2 8 (4)已知 f ( x ) ? sin( x ? ? ) ? 3 cos( x ? ? ) 为偶函数,求 ? 的值。 ? (答: ? ? k? ? ( k ? Z ) ) 6 ? ?? ? 3? ? ? ? (5) 单调性:y ? sin x在 ? 2k? ? , 2k? ? ? ? k ? Z ? 上单调递增, 在 ? 2k? ? , 2k? ? ? ? k ? Z ? 2 2? 2 2? ? ? 单调递减; y ? cos x 在 ?2k? ,2k? ? ? ? ? k ? Z ? 上单调递减,在 ?2k? ? ? ,2k? ? 2? ? ? k ? Z ? 上单调递增。
3

特别提醒,别忘了 k ? Z ! 16、形如 y ? A sin(? x ? ? ) 的函数: 1 (1) 几个物理量: A―振幅; f ? ―频率 (周期的倒数) ;? x ? ? ― T 位; ? ―初相; (2)函数 y ? A sin(? x ? ? ) 表达式的确定:A 由最值确定;? 由周期 ? ? 由图象上的特殊点确定, | ? |? ) 定; 如 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0 , 2 15 ? 图象如图所示,则 f ( x) =_____(答: f ( x) ? 2sin( x ? ) ) ; 2 3


2 3 Y 2? 9 X -2 23题 图

确 的

? 3? (3) 函数 y ? A sin(? x ? ? ) 图象的画法: ① “五点法” ――设 X ? ? x ? ? , 令 X =0, , ? , , 2? 2 2 求出相应的 x 值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象;②图象变换法:这是作函数简图常用方 法。 (4)函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? k 的图象与 y ? sin x 图象间的关系:①函数 y ? sin x 的图象纵坐标 不变, 横坐标向左 ( ? >0) 或向右 ( ? <0) 平移 | ? | 个单位得 y ? sin ? x ? ? ? 的图象; ②函数 y ? sin ? x ? ? ?
, 得到函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象; ③函数 y ? sin ?? x ? ? ? ? 图 象 的 横 坐 标 不 变 , 纵 坐 标 变 为 原 来 的 A 倍 , 得 到 函 数 y ? A sin(? x ? ? ) 的 图 象 ; ④ 函 数 y ? Asi n( ? x? ? ) 图象的横坐标不变, 纵坐标向上 (k ? 0) 或向下 (k ? 0) , 得到 y ? Asin ??x ? ? ? ? k ? 的图象。要特别注意,若由 y ? sin ?? x ? 得到 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象,则向左或向右平移应平移 | | ? 个单位,如 ? (1)函数 y ? 2sin(2 x ? ) ? 1 的图象经过怎样的变换才能得到 y ? sin x 的图象? 4 ? ? ? (答: y ? 2sin(2 x ? ) ? 1 向上平移 1 个单位得 y ? 2sin(2 x ? ) 的图象,再向左平移 个单位 4 4 8 图象的纵坐标不变, 横坐标变为原来的
1

得 y ? 2sin 2 x 的图象, 横坐标扩大到原来的 2 倍得 y ? 2sin x 的图象, 最后将纵坐标缩小到原来的 即得 y ? sin x 的图象) ;

1 2

3 向量是否唯一?若唯一,求出 a ;若不唯一,求出模最小的向量

x ? x (2) 要得到函数 y ? cos( ? ) 的图象,只需把函数 y ? sin 的图象向___平移____个单位 2 4 2 ? (答:左; ) ; 2 7? (3)将函数 y ? 2sin(2 x ? ) ? 1 图像,按向量 a 平移后得到的函数图像关于原点对称,这样的

, ?1) ) ; 6 (4) 若函数 f ? x ? ? cos x ? sin x ? x ? ? 0, 2? ?? 的图象与直线 y ? k 有且仅有四个不同的交点, 则k

(答:存在但不唯一,模最小的向量 a ? (?

?

的取值范围是 (答: [1, 2) ) ( 5 ) 研 究 函 数 y ? A sin(? x ? ? ) 性 质 的 方 法 : 类 比 于 研 究 y ? sin x 的 性 质 , 只 需 将 y ? A sin(? x ? ? ) 中的 ? x ? ? 看成 y ? sin x 中的 x ,但在求 y ? A sin(? x ? ? ) 的单调区间时,要特别 注意 A 和 ? 的符号,通过诱导公式先将 ? 化正。如 ? (1)函数 y ? sin( ?2 x ? ) 的递减区间是______ 3 5 ? (答: [ k? ? ? ,k? ? ]( k ? Z ) ) ; 12 12 x ? (2) y ? log 1 cos( ? ) 的递减区间是_______ 3 4 2 3 3? ]( k ? Z ) ) (答: [ 6k? ? ? , 6k? ? ; 4 4 (3)设函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,? ? ? ? ? ? ) 的图象关于直线 x ? 2? 对称,它的周期是
2 2
3

? ,则
1 A、 f ( x)的图象过点 (0, ) 2 5? 2? B、 f ( x) 在区间 [ , ] 上是减函数 12 3 C、 f ( x)的图象的一个对称中心 是( 5? ,0)
12

D、 f ( x) 的最大值是 A (答:C) ;

?? ? (4)对于函数 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? 给出下列结论: 3? ? ①图象关于原点成中心对称; ? ②图象关于直线 x ? 成轴对称; 12 ? ③图象可由函数 y ? 2sin 2 x 的图像向左平移 个单位得到 3 ? ;④图像向左平移 个单位,即得到函数 y ? 2cos 2 x 的图像。 12 其中正确结论是_______

(答:②④) ; (5)已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 图象与直线 y ? 1 的交点中,距离最近两点间的距离为

? ,那么此函数的周期是_______ 3

(答: ? )

17、正切函数 y ? tan x 的图象和性质: ? (1)定义域: {x | x ? ? k? , k ? Z } 。遇到有关正切函数问题时,你注意到正切函数的定义域 2 了吗? (2)值域是 R,在上面定义域上无最大值也无最小值; (3)周期性:是周期函数且周期是 ? ,它与直线 y ? a 的两个相邻交点之间的距离是一个周期 ? 。绝对值或平方对三角函数周期性的影响:一般说来,某一周期函数解析式加绝对值或平方,其 周期性是:弦减半、切不变.既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值,其周期性不变, 其它不定。 如 y ? sin 2 x, y ? sin x 的周期都是 ? , 但 y ? sin x

? ? 1 ? ,而 y ?| 2sin(3 x ? ) ? |, y ?| 2sin(3 x ? ) ? 2 | , y ?| tan x | 的周期不变; 2 6 2 6 k ? ? ? (4)奇偶性与对称性:是奇函数,对称中心是 ? , 0 ? ? k ? Z ? ,特别提醒:正(余)切型函数的 ? 2 ? 对称中心有两类:一类是图象与 x 轴的交点,另一类是渐近线与 x 轴的交点,但无对称轴,这是与 正弦、余弦函数的不同之处。 ? ? ? ? (5)单调性:正切函数在开区间 ? ? ? k? , ? k? ? ? k ? Z ? 内都是增函数。但要注意在整个定 2 ? 2 ? 义域上不具有单调性。如下图: 三角函数图象几何性质 三角函数图象几何性质 y= ωx +x φ yA ?tan( A tan( ? ?)? ) y ?sin( A sin( ? ? yy =A ωx +x φ )? )
? cos x 的周期为
y O x

O

x

x3

x4
邻中心轴相距

x3

x4 x =x 1 x =x 2

x= Tx1
4

x =x 2
邻中心|x3-x4|= T/2 无穷对称中心: 由y=0或 y无意义确定

邻中心|x3-x4|=T/2
无穷对称中心: 由y=0确定

邻轴|x1-x2|=T/2
无穷对称轴:

由y=A或-A确定

邻渐近线|x1-x2|=T 无对称轴 任意一条y轴的垂线与正切 函数图象都相交,且相邻两 交点的距离为一个周期!

18. 三角形中的有关公式: (1)内角和定理:三角形三角和为 ? ,这是三角形中三角函数问题的特殊性,解题可不能忘记! 任意两角和与第三个角总互补, 任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形 ? 三内角都是 锐角 ? 三内角的余弦值为正值 ? 任两角和都是钝角 ? 任意两边的平方和大于第三边的平方. (2)正弦定理: a ? b ? c ? 2 R (R 为三角形外接圆的半径).注意:①正弦定理的一些 sin A sin B sin C a b ,sin B ? ,sin C 变式: ?i ? a ? b ? c ? sin A ? sin B ? sin C ; ? ii ? sin A ? 2R 2R c ? ; ?iii ? a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, b ? 2R sin C ;②已知三角形两边一对角,求解三角形时,若运 2R 用正弦定理,则务必注意可能有两解. 2 2 2 (3)余弦定理: a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A,cos A ? b ? c ? a 等,常选用余弦定理鉴定三角形的形 2bc 状.

(4)面积公式: .如 ? ABC 中, S ? 1 aha ? 1 ab sin C ? 1 r (a ? b ? c(其中 ) r 为三角形内切圆半径) 2 2 2 若 sin2 A cos2 B ? cos2 A sin2 B ? sin2 C ,判断 ? ABC 的形状(答:直角三角形) 。 特别提醒: ( 1 ) 求 解 三 角 形 中 的 问 题 时 , 一 定 要 注 意 A? B ?C ?? 这 个 特 殊 性 : A? B C A ? B ? ? ? C , s i nA ( ? B ?) s C in , sin ? c( os ; 2)求解三角形中含有边角混合关系的问题时, 2 2 常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。如 ?ABC 中, (1) A、 B 的对边分别是 a、b , 且A 那么满足条件的 ?ABC A、 = 6 0 ,a 6? ,b 4 ? , 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定 (答:C) ; (2)在 ?ABC 中,A>B 是 sin A ? sin B 成立的_____条件 (答:充要) ; (3)在 ?ABC 中, ( 1 ? tan A )( 1 ? tan B ) ? 2 ,则 log2 sinC =_____ 1 (答: ? ) ; 2 (4)在 ?ABC 中,a,b,c 分别是角 A、 B、 C 所对的边, 若 ( a ? b ? c )(sin A ? sin B ? sinC ) ? 3a sin B , 则 ?C =____ (答: 60 ) ; 2 2 2 a ?b ?c (5)在 ?ABC 中,若其面积 S ? ,则 ?C =____ 4 3 (答: 30 ) ; (6)在 ?ABC 中, A ? 60 , b ? 1 ,这个三角形的面积为 3 ,则 ?ABC 外接圆的直径是_______ (答:
1 B?C (7)在△ABC 中,a、b、c 是角 A、B、C 的对边,a ? 3, cos A ? , 则 cos 2 = 3 2 的最大值为

2 39 ) ; 3

,b 2 ? c 2

1 9 (答: ; ) ; 3 2

(8)在△ABC 中 AB=1,BC=2,则角 C 的取值范围是 (答: 0 ? C ?

) ; 6 (9)设 O 是锐角三角形 ABC 的外心,若 ?C ? 75 ,且 ?AOB, ?BOC, ?COA 的面积满足关系式

?

S?AOB ? S?BOC ? 3S?COA ,求 ? A (
答: 45 ) . 19.反三角函数: (1)反三角函数的定义(以反正弦函数为例) : arcsin a 表示一个角,这个角 ? ? ?? 的正弦值为 a , 且这个角在 ? ? , ? 内 (?1 ? a ? 1) 。 (2) 反正弦 arcsin x 、反余弦 arccos x 、反正切 ? 2 2?
arctanx 的取值范围分别是 [? ? , ? ], [0, ? ], (? ? , ? ) .
2 2 2 2

在用反三角表示两异面直线所成的角、 直线与平面所成的角、 二面角的平面角、 直线的倾斜角、 ? ? l1 到 l 2 的角、 l1 与 l 2 的夹角以及两向量的夹角时,你是否注意到了它们的范围? (0, ],[0, ],[0, ? ] , 2 2 ? ?0, ? ? , [0, ? ),[0, ),[0, ? ] . 2 20、求角的方法:先确定角的范围,再求出关于此角的某一个三角函数(要注意选择,其标准 有二:一是此三角函数在角的范围内具有单调性;二是根据条件易求出此三角函数值) 。如

(1)若 ? , ? ? (0, ? ) ,且 tan ? 、 tan ? 是方程 x 2 ? 5x ? 6 ? 0 的两根,则求 ? ? ? 的值______ 3? (答: ) ; 4 (2) ?ABC 中, 3sin A ? 4cos B ? 6, 4sin B ? 3cos A ? 1 ,则 ?C =_______ ? (答: ) ; 3 (3)若 0 ? ? ? ? ? ? ? 2? 且 sin ? ? sin ? ? sin ? ? 0 , cos ? ? cos ? ? cos ? ? 0 ,求 ? ? ? 的值 2? (答: ). 3


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