数列的最大项和最小项

数列的最值问题
2009年9月

对于数列{an }，存在N 0，使得对任意n ? N ， 若都有a N0 ? an恒成立，则a N0 是数列{an }的最小项； 若都有a N0 ? an恒成立，则a N0 是数列{an }的最大项.
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如：数列{an }的通项公式为an ? 2n ? 20n，
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则n ? 5时， n有最小值， a5为数列{an }最小项. a 则 又如：数列{bn }的通项公式为bn ? 35n ? 2n ，
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则n ? 9时， n有最大值， b9为数列{bn }最大项. b 则

数列中的最大项和最小项的求法 例1.下列数列{an }是否存在最大项或最小项？ n ? 99 (1)an ? ； (2)bn ?| 2n ? 25 | n ? 98 n? n (3)an ? sin ； (4)an ? 2 2 n ? 156

例2.已知等差数列{an }中， 3 ? 79， 39 ? 7. a a (1)求通项公式an； (2)求前n项和Sn的最大值或最小值. 例3.已知{an }的通项公式是an ? 20 ? 2n. 设Tn ? an?1 ? an?2 ? an?3 ? ? ? a2 n， Tn是否 问 存在最大值或最小值， 若存在，求出来， 并指出此时的n，若不存在，说明理由.

9 n * 例4.设an ? ( n ? 1) ? ( ) ， 问是否存在N 0 ? N ， 使 10 * an ? a N0 对任意n ? N ， 都有成立， 并加以证明. 1 例5.等比数列{an }中， 1 ? 2008， a 公比q ? ? . 2 ①设f ( n)表示该数列的前n项积， f ( n) 求 的表达式； 当n取何值时， f ( n)| 最大？ ② |

1 例6.已知数列{an }中，a1 ? ? ，an ? 0, 128 1 且Sn?1 ? Sn ? 3an?1 ? . (1)求通项公式an； 64 (2)若bn ? log 4 | an |， n ? b1 ? b2 ? ? ? bn， T 当 n为何值时， n最小， T 并求最小值.

4x ? 1 1 7.已知f ( x ) ? ( x ? 0)， a1 ? 1， 若 ? f (an )， x an ? 1 2 2 2 其中n ? N . ①求an； ②设Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an， m bn ? S2 n?1 ? Sn， 是否存在最小的整数m， bn ? 对 使 25 n ? N 成立？若存在， m的值； 求 若不存在， 说明理由.
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8.互不相等的三个实数 是某等比数列 {an }中的 连续三项，又依次是某 等差数列的第 2，， 项 5 14 且这三个数之和为 78。 求这三个数； 设Sn为{an } (1) (2) Sn 的前n项和，是否存在自然数 n, 使13 ? ? 121成 a1 立？若存在，求出 n；若不存在，说明理由。