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数列的最大项和最小项


数列的最值问题
2009年9月

对于数列{an },存在N 0,使得对任意n ? N , 若都有a N0 ? an恒成立,则a N0 是数列{an }的最小项; 若都有a N0 ? an恒成立,则a N0 是数列{an }的最大项.
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如:数列{an }的通项公式为an ? 2n ? 20n,
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则n ? 5时, n有最小值, a5为数列{an }最小项. a 则 又如:数列{bn }的通项公式为bn ? 35n ? 2n ,
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则n ? 9时, n有最大值, b9为数列{bn }最大项. b 则

数列中的最大项和最小项的求法 例1.下列数列{an }是否存在最大项或最小项? n ? 99 (1)an ? ; (2)bn ?| 2n ? 25 | n ? 98 n? n (3)an ? sin ; (4)an ? 2 2 n ? 156

例2.已知等差数列{an }中, 3 ? 79, 39 ? 7. a a (1)求通项公式an; (2)求前n项和Sn的最大值或最小值. 例3.已知{an }的通项公式是an ? 20 ? 2n. 设Tn ? an?1 ? an?2 ? an?3 ? ? ? a2 n, Tn是否 问 存在最大值或最小值, 若存在,求出来, 并指出此时的n,若不存在,说明理由.

9 n * 例4.设an ? ( n ? 1) ? ( ) , 问是否存在N 0 ? N , 使 10 * an ? a N0 对任意n ? N , 都有成立, 并加以证明. 1 例5.等比数列{an }中, 1 ? 2008, a 公比q ? ? . 2 ①设f ( n)表示该数列的前n项积, f ( n) 求 的表达式; 当n取何值时, f ( n)| 最大? ② |

1 例6.已知数列{an }中,a1 ? ? ,an ? 0, 128 1 且Sn?1 ? Sn ? 3an?1 ? . (1)求通项公式an; 64 (2)若bn ? log 4 | an |, n ? b1 ? b2 ? ? ? bn, T 当 n为何值时, n最小, T 并求最小值.

4x ? 1 1 7.已知f ( x ) ? ( x ? 0), a1 ? 1, 若 ? f (an ), x an ? 1 2 2 2 其中n ? N . ①求an; ②设Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an, m bn ? S2 n?1 ? Sn, 是否存在最小的整数m, bn ? 对 使 25 n ? N 成立?若存在, m的值; 求 若不存在, 说明理由.
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8.互不相等的三个实数 是某等比数列 {an }中的 连续三项,又依次是某 等差数列的第 2,, 项 5 14 且这三个数之和为 78。 求这三个数; 设Sn为{an } (1) (2) Sn 的前n项和,是否存在自然数 n, 使13 ? ? 121成 a1 立?若存在,求出 n;若不存在,说明理由。


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存在最大项与最小项,且这两项的和小于 2 D.既不存在最大项,也不存在最小项 5.设 {an }(n ? N ? ) 是等差数列, S n 是其前 n 项和,且 S5 ?...

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,求 ?an ?中的最大项和最小项。 例 (2011 浙江卷 ) 若数列 {n(n+4)( 2 )n} 中的最大项是第 k 项,则 3 k=___。 举例 7 已知 Sn=1+ 1 ...

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