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浙江省2014届理科数学复习试题选编27:空间中的平行与垂直问题(学生版) Word版含答案


浙江省 2014 届理科数学复习试题选编 27:空间中的平行与垂直问题

一、选择题 1 . (浙江省宁波一中 2013 届高三 12 月月考数学(理)试题)已知 ? , ? , ? 是三个互不重合

的平面, l 是一条直线,下列命题中正确命题是( A.若 ? ? ? , l ? ? ,则 l // ? C.若 l ? ? , l ∥ ?

, 则 ? ? ?

)





B.若 l 上有两个点到 ? 的距离相等,则 l // ? D.若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ? ?

2 . (浙江省永康市 2013 年高考适应性考试数学理试题 )已知平面 ? ? 平面 ? ,交于直线 l ,

且直线 a ? ? ,直线 b ? ? ,则下列命题错误的是 A.若 a // b ,则 a // l 或 b // l B.若 a ? b ,则 a ? l 且 b ? l





C.若直线 a , b 都不平行直线 l ,则直线 a 必不平行直线 b D.若直线 a , b 都不垂直直线 l ,则直线 a 必不垂直直线 b
3 . (浙江省杭州四中 2013 届高三第九次教学质检数学(理)试题)已知直线 l 和平面 ? , ? ,

下下列命题正确的是 A.若 l ∥ ? , ? ? ? ,则 l ? ? C.若 l ∥ ? , l ? ? ,则 ? ∥ ?

( B.若 l ∥ ? , ? ∥ ? ,则 l ∥ ? D.若 l ⊥ ? , l ? ? ,则 ? ? ? (



4 . (浙江省温州市 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题)下列命题正确的是



A . 若平面 a 不平行于平面 β .则 β 内不存在直线平行于 平面 a B.若平面 a 不垂直于平面 β .则多内不存在直线垂直于平面 a C.若直线 l 不平行于平面 a 则 a 内不存在直线平行于直线 l D.若直 线 l 不垂于 平面 a. 则 a 内不存在直线垂直于直线 l 5 . (浙江省金丽衢十二校 2013 届高三第二次联合考试理科数学试卷)设 m、n 为空间的两条不 同的直线,α 、β 为空间的两个不同的平面,给出下列命题: ①若 m∥α ,m∥β ,则 α ∥β ;②若 m⊥α ,m⊥β ,则 α ∥β ; ③若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n;④若 m⊥α ,n⊥α ,则 m∥n. D.②④ 6 . (浙江省宁波市十校 2013 届高三下学期能力测试联考数学(理)试题)若有直线 m . n 和 平面 ? . ? ,下列四个命题中,正确的是 A.若 m // ? , n // ? ,则 m // n B.若 m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? 则 ? // ? ( ) 上述命题中,所有真命题的序号是 A.①② B.③④ ( C.①③ )

C.若 ? ? ? , m ? ? ,则 m ? ? D.若 ? ? ? , m ? ? , m ? ? ,则 m // ?
7 . (浙江省 2013 年高考模拟冲刺(提优)测试一数学(理)试题)在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1

中, M , N 分别 BC1 , CD1 是的中点,则下列判断错误 的是 ..

( A. MN 与 CC1 垂直 B. MN 与 AC 垂直 C. MN 与 BD 平行 D. MN 与 A1 B1 平行
8 . (浙江省嘉兴市第一中学 2013 届高三一模数学(理)试题)已知 α ,β 是空间中两个不同



平面,m , n 是空间中两条不 同直线,则下列命题中错误的是 ( A.若 m//n m 丄α , 则n 丄α B . 若 m// α α ?β , 则 m//n C.若 m 丄 α , m 丄 β , 则 α //β D.若 m 丄 α , m ? β 则 α 丄β 9 . (浙江省丽水市 2013 届高三上学期期末考试理科数学试卷) 设 m, n 为两条不同的直线, ? 是 B. m ? n 且 m ? ? ,则 n // ? D. m // n 且 m ? ? ,则 n ? ? 10. (浙江省温州市十校联合体 2013 届高三上学期期末联考理科数学试卷)下列命题正确的是 A.若两个平面分别经过两条平行直线,则这两个平面平行 B.若平面 ? ? ? , ? ? ? ,则平面 ? ? ? C.平行四边形的平面投影可能是正方形 D.若一条直线上的两个点到平面 ? 的距离相等,则这条直线平行于平面 ? 11. (浙江省诸暨中学 2013 届高三上学期期中考试数学(理)试题)对两条不相交的空间直线 a 和 b,则 ( A.必定存在平面 α ,使得 a ? ? , b ? ? B.必定存在平面 α ,使得 a ? ? , b / /? C.必定存在直线 c,使得 a / / c, b / / c D.必定存在直线 c,使得 a / / c, b ? c 一个平面,则下列结论成立的是 A. m // n 且 m // ? ,则 n // ? C. m ? n 且 m // ? ,则 n ? ? (











12. (浙江省绍兴一中 2013 届高三下学期回头考理科数学试卷)对于下列四个命题:

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,则这两个平面平行; ②若两个平面都垂直于同一条直线,则这两个平面平行;

③若两个平面互相垂直,则在其中一个平面内的直线垂直另外一个平面; ④若两个平面互相平行,则在其中一个平面内的直线平行另外一个平面. 其中的真命题是 A.①和② ( B.②和③ C.③和④ D.②和④ )

13. (浙江省温州十校联合体 2013 届高三期中考试数学 (理) 试题) 已知直线 l∥平面 α ,P∈α ,

那么过点 P 且平行于直线 l 的直线 ( B.有无数条,不一定在平面 α 内 D.有无数条,一定在平面 α 内 14. (浙江省绍兴市 2013 届高三教学质量调测数学(理)试题(word 版) )已知 m , n 是两条 不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面.在下列条件中,可得出 ? ? ? 的是 A. m ? n , m ? ? , n // ? C. m ? n , m // ? , n // ? B. m // n , m ? ? , n ? ? D. m // n , m // ? , n ? ? ( ) A.只有一条,不在平面 α 内 C.只有一条,且在平面 α 内 )

15. (2013 届浙江省高考压轴卷数学理试题) 已知直线 m、l ,平面 ?、? ,且 m ? ? , l ?

?,

给出下列命题: ①若 ? ∥ ? ,则 m⊥ l ; ③若 m⊥ l ,则 ? ∥ ? ; 其中正确命题的个数是 A.1 B.2 ②若 ? ⊥ ? ,则 m∥ l ; ④若 m∥ l ,则 ? ⊥ ? ( C.3 D.4 )

16. (浙江省金华十校 2013 届高三 4 月模拟考试数学 (理) 试题) 设 m,n 是不同的直线, ? , ? 是

不同的平面,下列命题中正确的是 A.若 m// ? , n ? ? , m ? n, 则? ? ? C.若 m// ? , n ? ? , m / / n, 则? ? ? B.若 m// ? , n ? ? , m ? n, 则? / / ? D.若 m// ? , n ? ? , m / / n, 则? / / ?





17. (浙江省温岭中学 2013 届高三高考提优冲刺考试(三)数学(理)试题 )设 a 是空间中的

一条直线, ? 是空间中的一个平面,则下列说法正确的是 A.过 a 一定存在平面 ? ,使得 ? // ?





B.过 a 一定存在平面 ? ,使得 ? ? ? D. 在平面 ? 内一定不存

C.在平面 ? 内一定不存在直线 b ,使得 a ? b 在直线 b ,使得 a // b 平面 ? , ? ,下命题中: ①若 ? ∥ ? , l ? ? , 则 l ∥ ?

18. (浙江省嘉兴市 2013 届高三上学期基础测试数学(理)试题)已知不同的直线 l,m,不同的

②若 ? ∥ ? , l ? ? , 则l ? ? ;

③若 l ∥ ? , m ? ? ,则 l ∥ m 真命题的个数有 A.0 个

④ 若? ? ? , ? ? ? ? l , 则 m ? ? ( )

D.3 个 19. (浙江省五校联盟 2013 届高三下学期第一次联考数学(理)试题)已知两个不重合的平面 ? , ? ,给定以下条件: ① ? 内不共线的三点到 ? 的距离相等;② l , m 是 ? 内的两条直线,且 l / / ? , m / / ? ; ③ l , m 是两条异面直线,且 l / /? , l / / ? , m / /? , m / / ? ; 其中可以判定 ? / / ? 的是 A.① B.② C.①③ D.③ ( )

B.1 个

C.2 个

20. (浙江省重点中学协作体 2013 届高三摸底测试数学(理)试题)关于直线 a, b, l 以及平面

M , N ,下面命题中正确的是
A.若 a // M , b // M , 则 a // b; B.若 a // M , b ? a, 则 b ? M ;





C.若 a ? M , b ? M , 且 l ? a, l ? b, 则 l ? M ; D.若 a ? M , a // N , 则 M ? N .
21. (浙江省温州市 2013 届高三第三次适应性测试数学(理)试题(word 版) )已知两个不同

的平面 ? , ? 和两条不重合的直线 m, n ,则下列命题不正确的是 A.若 m // n, m ? ? , 则 n ? ? , C.若 m ? ? , m // n, n ? ? ,则? ? ? B.若 m ? ? , m ? ? , 则 ? // ?





D.若 m // ? , ? ? ? ? n, ,则 m // n

22. (浙江省建人高复 2013 届高三第五次月考数学 (理) 试题) 设 m 、n 是两条不同的直线, ? 、

? 是两个不同的平面.考查下列命题,其中正确的命题是
A. m ? ? , n ? ? , m ? n ? ? ? ? C. ? ? ? , m ? ? , n // ? ? m ? n
23. (浙江省温岭中学 2013 届高三高考提优冲刺考试(五)数学(理)试题)设直线 l,m 及平





B. ? // ? , m ? ? , n // ? ? m ? n

D. ? ? ? ,? ? ?

面 α ,则下列命题中不正确 的是 ... A. 若 l⊥α ,m ? α ,则 l⊥m C.若 l⊥m,m⊥α ,则 l//α 或 l ? α
二、填空题 24. (浙江省杭州二中 2013 届高三年级第五次月考理科数学试卷)已知 a , b 为直线, ? , ? 为平

( B.若 l//α ,m ? α ,则 l//m D.若 l⊥α ,l//m,则 m⊥α



面.在下列四个命题中, ① 若 a ? ? , b ? ? ,则 a // b ; ② 若 a // ? , b // ? ,则 a // b ;



若 a ? ? , a ? ? ,则 ? // ? ; ④ 若 a // ? , b // ? ,则 ? // ? .

正确命题的个数是______
三、解答题 25 . (浙江省丽水市 2013 届高三上学期期末考试理科数学试卷) 已知四边形 ABEF 是矩



,

?ABC













,





A

B

E? F 平



ABC , ?BAC ? 120° , AB ?

1 AF ? 4 , CN ? 3 NA , M,P,Q 分 别 是 2

AF ,EF , BC 的中点.
(Ⅰ)求证:直线 PQ // 平面 BMN ; (Ⅱ)在线段 AB 上是否存在点 R ,使得平面 PQR ? 平面 BMN ?若存在,求出 AR 的长; 若不存在,请说明理由.

26. (浙江省绍兴一中 2013 届高三下学期回头考理科数学试卷)如图是一个直三棱柱被削去一

部分后的几何体的直观图与三视图中的侧视图、俯视图.在直观图中, M 是 BD 的中点. 又已知侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示. (1)求出该几何体的体积; (2)求证:EM∥平面 ABC; (3)试问在棱 DC 上是否存在点 N,使 NM⊥平面 BDE ? 若存在,确定点 N 的位置;若不存 在,请说明理由.

27. (浙江省杭州二中 2013 届高三年级第五次月考理科数学试卷)( 本题满分 14 分 )

已知,如图四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形, PG ? 平面 ABCD ,垂足 为 G , G 在线段 AD 上,且 AG ? 四面体 P ? BCG 的体积为

1 GD , BG ? GC , BG ? GC ? 2 , E 是 BC 的中点, 3

8 . 3 PF 的值. FC

(1)求异面直线 GE 与 PC 所成角的余弦值; (2)若 F 点是棱 PC 上一点,且 DF ? GC ,求

28. (浙江省杭州市 2013 届高三第二次教学质检检测数学(理)试题)[来源:学、科、网 Z、X、

X、K] 已知在四棱锥 P -ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形, PA⊥平面 ABCD,PA= 3 ,AB=1.AD= 2. ∠BAD= 120°,E,F,G,H 分别是 BC,PB,PC ,AD 的中点

(Ⅰ)求证:PH∥平面 CED ; (Ⅱ)过点 F 作平面 a ,使 ED∥平面 a ,当平面 a ⊥平面 EDC 时,设 PA 与平面 a 交于点 Q, 求 PQ 的长.

浙江省 2014 届理科数学复习试题选编 27:空间中的平行与垂直问题参考答案 一、选择题

C 2. B
1. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24.

D B D D D B D C B D C D B 【解析】①④对,②③错 C B C D D D B B 提示 根据线面关系逐一判断.B 选项应该是平行或异面. 2

二、填空题 三、解答题 25.解:(Ⅰ) 如图建立空间直角坐标系
z F P E M

A

N C

Q x B

y

则 A(0 , 0 , 0) , B(4 , 0 , 0) , C(?2 , 2 3 , 0) , F (0 , 0 , 8) , E(4 , 0 , 8) ,

1 3 P(2, 0 , 8) , Q(1, 3 , 0) , M (0 , 0 , 4) , N (? , , 0) 2 2
设平面 BMN 的法向量 n ? ( x , y , z)

? 9 3 ? y?0 ? n ? BN ? 0 ?? x ? 则? , ?? 2 2 ? n ? BM ? 0 ? ? ?? 4 x ? 4 z ? 0
令 x ? 1, 则 ? 又 PQ ? (?1,

?y ? 3 3 ?z ? 1

所以 n ? (1, 3 3 , 1)

3 , ? 8) ,

而 n ? PQ ? ?1 ? 9 ? 8 ? 0 所以 n ? PQ 又 PQ ? 平面 BMN 所以 PQ // 平面 BMN ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈

(Ⅱ) 假设在线段 AB 上存在点 R ,使平面 PQR ? 平面 BMN 设 R(? , 0 , 0) (0 ? ? ? 4) ,平面 PQR 的法向量为 m ? ( x1 , y1 , z1 ) 则?

? ? m ? PQ ? 0

?? x ? 3 y1 ? 8 z1 ? 0 ?? 1 ,令 x1 ? 3 ( ? ? 2 ) x ? 8 z ? 0 ? m ? PR ? 0 1 1 ? ?
所以 m ? ( 3 , ? ? 1,

? y1 ? ? ? 1 ? 则? 3 (? ? 2) ? z1 ? 8 ?

3 (? ? 1) ) 8

若平面 PQR ? 平面 BMN ,则 m ? n ? 0



3 ? 3 3 (? ? 1) ?
18 25

3 (? ? 2) ?0 8

得: ? ?

所以,存在点 R ,使平面 PQR ? 平面 BMN ,且 AR ?

18 ┈┈┈┈┈┈ 25

26.解:由题意, EA⊥平面 ABC , DC⊥平面 ABC ,AE∥DC,AE=2, DC=4 ,AB⊥AC,且 AB=AC=2

(1)∵EA⊥平面 ABC,∴EA⊥AB, 又 AB⊥AC, ∴AB⊥平面 ACDE , ∴四棱锥 B-ACDE 的高 h=AB=2,梯形 ACDE 的面积 S= 6

∴ VB ? ACDE ?

1 ? S ? h ? 4 , 即所求几何体的体积为 4; 3 1 DC 2

(2)证明:∵M 为 DB 的中点,取 BC 中点 G,连接 EM,MG,AG, ∴ MG∥DC,且 MG ?

∥ ∴MG AE,∴四边形 AGME 为平行四边形, = ∴EM∥AG, 又 AG ? 平面 ABC ∴EM∥平面 ABC (3)由(2)知,EM∥AG, 又∵平面 BCD⊥底面 ABC,AG⊥BC,∴AG⊥平面 BCD ∴EM⊥平面 BCD,又∵EM ? 平面 BDE, ∴平面 BDE⊥平面 BCD , 在平面 BCD 中,过 M 作 MN⊥DB 交 DC 于点 N, ∴MN⊥平面 BDE 点 N 即为所求的点, ∵ ?DMN ∽ ?DCB ?

D

M E
? DN ? 3

DN DM ? DB DC



DN 6 ? 4 2 6

N C G
A B

?DN ?

3 DC 4

∴边 DC 上存在点 N,满足 DN=

3 DC 时,有 NM⊥平面 BDE 4

27. ( 本题满分 14 分 )

解法一:

(1)由已知

VP ? BGC ?

1 1 1 8 S ?BCG ? PG ? ? BG ? GC ? PG ? 3 3 2 3

∴PG=4 如图所示,以 G 点为原点建立空间直角坐标系

o—xyz,则

B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,4) 故 E(1,1,0)

GE ? (1,1,0), PC ? (0, 2, ?4)

cos ? GE, PC ??
(2)设 F(0,y , z)

GE ? PC 2 10 ? ? | GE | ? | PC | 2 ? 20 10

3 3 3 3 则DF ? OF ? OD ? (0, y, z ) ? (? , , 0) ? ( , y ? , z ) 2 2 2 2 DF ? GC ,? DF ? GC ? 0 3 3 3 ? ( , y ? , 0) ? (0, 2, 0) ? 2( y ? ) ? 0 2 2 2 ?y ? 3 2

GC ? (0, 2, 0)

在平面 PGC 内过 F 点作 FM⊥GC,M 为垂足,则 GM ? 解法二: (1)由已知 VP ? BGC ?

3 1 PF GM , MC ? ? ? ?3 2 2 FC MC

1 1 1 8 S ?BCG ? PG ? ? BG ? GC ? PG ? 3 3 2 3

∴PG=4 在平面 ABCD 内,过 C 点作 CH//EG 交 AD 于 H,连结 PH,则∠PCH(或其补角)就是异面直线 GE 与 PC 所成的角.

在△PCH 中, CH ?

2, PC ? 20, PH ? 18
10 10

由余弦定理得,cos∠PCH=

(2)在平面 ABCD 内,过 D 作 DM⊥GC,M 为垂足,连结 MF,又因为 DF⊥GC ∴GC⊥平面 MFD, ∴GC⊥FM 由平面 PGC⊥平面 ABCD,∴FM⊥平面 ABCD ∴FM//PG 由 GM⊥MD 得:GM=GD·cos45°=

3 2

3 PF GM 2 ? ? ? ?3 FC MC 1 2
28.

?由DF ? GC可得

PF ?3 FC

(Ⅰ) 连接 HC,交 ED 于点 N,连结 GN, 由条件得:DHEC 是矩形,∴N 是线段 HC 的中点,又 G 是 PC 的中点, ∴ GN//PH, 又 ∵ GN ? 平面 GED,PH 不在平面 GED 内, ∴ PH//平面 GED

(第 20 题) (Ⅱ) 方法 1:连结 AE,∵ ?BAD ? 120? , ∴ △ABE 是等边三角形,设 BE 的中点为 M,以 AM、AD、AP 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系. 则 B( 则 E(
3 3 3 1 , ? ,0), C( , ,0),D(0 ,2,0),P(0,0, 3 ), 2 2 2 2 3 1 3 3 3 3 3 1 , ,0), F( ,? , ),G( , , ). 4 2 4 4 2 4 2 2 3 3 3 5 3 , ,0) , DG ? ( ,? , ) 2 2 4 4 2

设 Q(0,0, t ) , ED ? (?

设 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) 是平面 GED 的一个法向量,

? 3 3 ? x1 ? 3 y1 x1 ? y1 ? 0 ?n1 ? ED ? ? ? ? 2 2 则? ,得 ? 3 , 3 5 3 y1 ? z1 ? ? n1 ? DG ? x1 ? y1 ? z1 ? 0 3 ? ? 4 4 2 ?
令 y1 ? 1 ∴ n1 ? ( 3 ,1,
3 ). 3

设 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) 是平面 ? 的一个法向量,

? 3 3 ? x2 ? 3 y2 x2 ? y2 ? 0 ?n2 ? ED ? ? ? ? 2 2 则? ,得 ? ,令 y2 ? 1 ,得 1 z ? y 3 1 3 2 2 ? ? n2 ? QF ? x2 ? y2 ? ( ? t ) z2 ? 0 2t ? 3 ? ? 4 4 2 ?
n2 ? ( 3 ,1, 1 ), 2t ? 3

当平面 GED⊥平面 ? 时, n1 ? n2 ? 3 ? 1 ?

3 1 ? ?0, 3 2t ? 3

得t ?

11 3 13 3 11 11 3 ? ? ,则 PQ 的长为 3 ? 24 24 24 8 3

(第 20 题) 方法 2:连接 BH,则 BH//ED,又∵PB//GE,∴平面 PBH//平面 GED, 设 BH 与 AE 交于点 K,PK 的中点为 M, ∵F 是 PB 的中点,∴FM//BK, ∵ABEH 是菱形,∴AE⊥BK, ∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥BK ,∴ BK⊥平面 PAK. ∴ FM⊥平面 PAK, 过 M 作 MQ⊥PK,交 PA 于 Q,设 MQ 与 FM 所确定的平面为 ? , ∵ED//BH// FM,∴ED//平面 ? ,又平面 ? ⊥平面 PBH,∴平面 ? ⊥平面 EDG . 得平面 ? 满足条件. ∵ PA ? 3 , AK ? 由
1 13 1 ,∴ PK ? 3 ? ? , 4 2 2

PQ PM , ? PK PA

13 13 ? PK ? PM 4 ? 13 3 得 PQ ? ? 2 PA 24 3


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