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江苏省如皋市2009届高三第一次统一考试数学试卷(理科)


江苏省如皋市 2009 届高三第一次统一考试数学试卷(理科)
一、填空题 1. 若 2 lg( x ? 3 y ) ? lg x ? lg( 4 y ) ,则 2. 设 a ? log
4, b ? log

y x

的值等于

. .

0 .3

4

/>
3, c ? 0 . 3

?2

,则 a 、 b 、 c 的大小关系是

(按由小到大的顺序排列) 3. 设 a 、 b ? R ,则 a ? b 是 a 4. 函数 y ? 5. 把函数 y ?
sin x ? 16 ? x
2

2

? b 的
2

条件. .

的定义域为

2 x ? 5 ? 1 的图像向左平移 2 个单位,再向下平移 1 个单位,所得图像的函数解

析式为_____________. 6. 已知 f ( x ) ? ? x ? 6, 则 h ( x ) 的最大值为
g ( x ) ? ? 2 x ? 4 x ? 6,
2

? g (x) , ? h( x) ? ? ? f (x) , ?

x ? ?x | f (x) ? g (x)? x ? ?x | f (x) ? g (x)?

,



7. 设 A , B 是非空集合,定义: A ? B ? { x | x ? A ? B 且 x ? A ? B } .已知
1

A ? {x | y ?

2 x ? x } , B ? { y | y ? 2 x ( x ? 0 )} 则 A ? B 为__________.
2

8. 如果一个点是一个指数函数与一个对数函数的图像的公共点,那么称这个点为“好点”.在下 面的五个点 M (1 , 1) 、 P ?
?1 ?2 , 1? ? 2?

、 Q ( 2 , 1) 、 H ? 2 ,
?

?

1? ? 2?

中,“好点”的个数为

个.

9. 已知点 A ( ? 2 , ?

?
2

) ,B(

3 2 , ? ) ,O(0,0),则△ ABO 为 4
1 x

三角形. .

10.已知函数的定义域为 ? 0 , ?? ) ,且 f ( x ) ? 2 f ( ) x ? 1 ,则 f ( x ) ? 11.直线 ?
x ? ?2 ? y ? 3? 2t 2t
f ( x ? 1) ? ? f ( x )

上与点 P(-2,3)距离为 2 的点的坐标为



12.已知定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足条件:

,且在[-1,0]上是增函数,给

出下面关于 f ( x ) 的命题:① f ( x ) 是周期函数;② f ( x ) 的图象关于直线 x=1 对称; ③ f ( x ) 在[0,1]上是增函数;④ f ( x ) 在[1,2]上是减函数;⑤ f ( 2 ) ? f ( 0 ) 其中正确的命题 序号是 . (注:把你认为正确的命题序号都填上)

13 . 已 知 定 义 在 实 数 集 R 上 的 偶 函 数 f ( x ) 在 区 间 [0, ? ? ) 上 是 单 调 增 函 数 , 则 不 等 式

f ( 2 ) ? f (lo g 2 x ) 的解集为__________.

14.今有一组实验数据如下:
t

1.99 1.5

3.0 4.04

4.0 7.5

5.1 12

6.12 18.01

v

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是 (填函数表达式的序号) .
t
2

(A) v ? log

2

t ;(B) v ? log

1 2

t ;(C) v ?

?1 2

;(D) v ? 2 t ? 2 .

二、解答题 15. (本小题满分 14 分) 已知二次函数 f ( x ) 的二次项系数为 a ,且不等式 f ( x ) ? ? 2 x 的解集为 (1, 3 ) . (1)若方程 f ( x ) ? 6 a ? 0 有两个相等的根,求 f ( x ) 的解析式; (2)若 f ( x ) 的最大值为正数,求 a 的取值范围.

16.(本小题满分 14 分) π 若两条曲线的极坐标方程分别为 ? ?=l 与 ? ?=2cos(θ+ ),它们相交于 A,B 两点,求线段 AB 3 的长. 17.(本小题满分 15 分) 已知集合 A= { x | lo g 2 ( x ? 2 ) ? 2} ,B= { x | ( x ? 1 ? m )( x ? 1 ? m ) ? 0} . (1)当 m=2 时,求 A ? B; (2)求使 B ? A 的实数 m 的取值范围.已知 c ? 0 ,设 P: 18.(本小题满分 15 分)

已知函数 f ( x ) 满足 f (log

a

x) ? a

a
2

?1

(x ? x

?1

) ,其中 a ? 0 且 a ? 1 .

(1)求函数 f ( x ) 的解析式,并判断其奇偶性单调性;

(2)对于函数 f ( x ) ,当 x ? ( ? 1,1) 时, f (1 ? m ) ? f (1 ? m ) ? 0 ,求实数 m 的取值范围;
2

(3)当 x ? ( ?? , 2 ) 时, f ( x ) ? 4 的值恒为负数,求 a 的取值范围. 19.(本小题满分 16 分) 已知二次函数 f ( x ) ? ax (1)求 f(x)的解析式 (2)已知 k 的取值范围为 [ , ?? ) ,则是否存在区间[m,n](m<n ) ,使得 f(x)在区间[m,
3 2
2

? bx , f ( x ? 1) 为偶函数,函数 f(x)的图象与直线 y=x 相切.

n]上的值域恰好为[km,kn]?若存在,请求出区间[m,n];若不存在,请说明理由.

20.(本小题满分 16 分) 记函数 f(x)的定义域为 D,若存在 x 0 ? D ,使 f ( x 0 ) ? x 0 成立,则称 ( x 0 , y 0 ) 为坐标的点为 函数 f(x)图象上的不动点. (1)若函数 f ( x ) ?
3x ? a x?b

图象上有两个关于原点对称的不动点,求 a,b 应满足的条件;

(2)在(1)的条件下,若 a=8,记函数 f(x) 图象上有两个不动点分别为 A1,A2,P 为函数 f(x) 图象上的另一点,其纵坐标 y p >3,求点 P 到直线 A1A2 距离的最小值及取得最小值时 的坐标; (3)下述命题:“若定义在 R 上的奇函数 f(x)图象上存在有限个不动点,则不动点有奇数个” 是否正确?若正确,给予证明;若不正确,请举一反例.

2009 届高三暑期培训数学测试答题纸
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 30 分. 把答案填在题中横线上. 1、 . 2、 . 3、 . 4、 . 5、 . 6、 . 7、 . 8、 . 9、 . 10、 . 11、 . 12、 . 13、 . 14、 . 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15、(本小题满分 14 分)

16、(本小题满分 14 分)

17、(本小题满分 15 分)

18、(本小题满分 15 分)

19、(本小题满分 16 分)

20、(本小题满分 16 分)

参考答案和评分标准 一、填空题 1.
1 9

2. a ? b ? c
2x ? 9
2 3 x ?

3.既不充分条件又不必要条件 4.[-4,-π] ? [0,π] 7. ?0 ,1 ? ? 2,+ ? ) ( 11. (-3,4)(-1,2) , 8.2 个 9.等腰直角三角形
1

5. y ?

6.6
1 3

10. f ( x ) ? 14.C

12.①、②、⑤ 13. ( 0 , ) ? ( 4 , ?? )
4

二、解答题 15. (本小题满分 14 分) 解: (1)设 f ( x )= ax
2

? bx ? c 由 f ( x ) ? ? 2 x 得 ax
2

2

? (b ? 2 ) x ? c ? 0

它的解集为(1,3)得方程 ax
1? 3 ? ? { 1? 3 ? b ? 2 a c a

? ( b ? 2 ) x ? c ? 0 的两根为 1 和 3 且 a<0

即{

b ? ?4a ? 2 c ? 3a

……(1)

……3 分

f ( x ) ? 6 a ? 0即 ax ? ? b
2

2

? bx ? c ? 6 a ? 0 有等根得

? 4 a (c ? 6 a ) ? 0
1 5 ,b ? ?
1 5 x
2

……(2)
6 5
? 6 5 x? 3 5 .

……6 分

由(1)(2)及 a ? 0 得 a ? ?

,c ? ?

3 5

故 f ( x ) 的解析式为 f ( x ) ? ?

……8 分
1 ? 2a a a
2

(2)由 f ( x ) ? ax

2

? 2 (1 ? 2 a ) x ? 3 a ? a ( x ?

) ?
2

? 4a ? 1 a

及 a ? 0 , 可得 f ( x )的最大值为
? a 2 ? 4a ? 1 ? 0, ?? 由? a ?a ? 0, ?

?

a

2

? 4a ? 1 a

.

……10 分

……12 分

解得 a ? ? 2 ?

3或 ? 2 ?

3 ? a ? 0.

……14 分

16. (本小题满分 14 分)

解:由 ? ? 1 得 x ? y ? 1 ,
2 2

………………………………2 分
3 s in ? ,? ?
2

又? ? ? 2 c o s (? ?
?x ? y ? x?
2 2

?
3

) ? cos ? ?

? ? cos ? ?

3 ? s in ?

3y ? 0 ,
1 2
2

……………………………………6 分
3 2

由?

?x ? y ?
2 2

2

?1 3y ? 0

?x ? y ? x ? ?
2
2

得 A (1, 0 ), B ( ?

,?

),

…………………………10 分

? AB ?

? 1? 3 ? ? ? ?1 ? ? ? ? 0 ? ? 2? 2 ? ? ? ?

?

3 .

……14 分

17. (本小题满分 15 分) . 已知二次函数 f ( x ) 的二次项系数为 a ,且不等式 f ( x ) ? ? 2 x 的解集为 (1, 3 ) . (1)若方程 f ( x ) ? 6 a ? 0 有两个相等的根,求 f ( x ) 的解析式; (2)若 f ( x ) 的最大值为正数,求 a 的取值范围. 解: (1)设 f ( x )= ax
2

? bx ? c 由 f ( x ) ? ? 2 x 得 ax
2

2

? (b ? 2 ) x ? c ? 0

它的解集为(1,3)得方程 ax
1? 3 ? ? { 1? 3 ? b ? 2 a c a

? ( b ? 2 ) x ? c ? 0 的两根为 1 和 3 且 a<0

即{

b ? ?4a ? 2 c ? 3a

……(1)

……3 分

f ( x ) ? 6 a ? 0即 ax ? ? b
2

2

? bx ? c ? 6 a ? 0 有等根得

? 4 a (c ? 6 a ) ? 0
1 5 ,b ? ?
1 5 x
2

……(2)
6 5
? 6 5 x? 3 5 .

……6 分

由(1)(2)及 a ? 0 得 a ? ?

,c ? ?

3 5

故 f ( x ) 的解析式为 f ( x ) ? ?

……8 分
1 ? 2a a a
2

(2)由 f ( x ) ? ax

2

? 2 (1 ? 2 a ) x ? 3 a ? a ( x ?

) ?
2

? 4a ? 1 a

及 a ? 0 , 可得 f ( x )的最大值为

?

a

2

? 4a ? 1 a

.

……10 分

? a 2 ? 4a ? 1 ? 0, ?? 由? a ?a ? 0, ?

……12 分

解得 a ? ? 2 ?

3或 ? 2 ?

3 ? a ? 0.

……15 分

18 解: (1)当 m=2 时,A=(-2,2) ,B=(-1,3)∴ A ? B=(-1,2) .……5 分 (2)当 m<0 时,B=(1+m,1-m) 要使 B ? A,必须 ?
?1 ? m ? ? 2 ?1 ? m ? 2

,此时-1 ? m<0;

……8 分 ……10 分

当 m=0 时,B= ? ,B ? A;适合 当 m>0 时,B=(1-m,m+1) 要使 B ? A,必须 ?
?1 ? m ? ? 2 ?1 ? m ? 2

,此时 0<m≤1.

……13 分 ……15 分 ……13 分 ……15 分

∴综上可知,使 B ? A 的实数 m 的取值范围为[-1,1] 法 2 要使 B ? A,必须 {
? 2 ?1? m ? 2 ? 2 ?1? m ? 2

,此时-1 ? m ? 1;

∴使 B ? A 的实数 m 的取值范围为[-1,1] 18. (本小题满分 15 分) (1)解:由 f (log
? f (? x) ? a a
2

a

x) ? a
?x

a
2

?1

(x ? x

?1

) 得 f (x) ? a

a
2

?1

(a

x

?a

?x

),

?1

(a

? a ) ? ? f ( x ) ? f ( x ) 为奇函数
x


? x2

………………2 分
)

设 x1 ? x 2 则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? =

a a a
2

?1 ?1

(a (a

x1

?a ? a

? x1

?a

x2

? a
1

a
2

x1

x2

)( 1 ?

a

x1

a

x2

) <0(讨论 a>1 和 0<a<1),

得 f(x)为 R 上的增函数. (2)由 f (1 ? m ) ? f (1 ? m ) ? 0 得 f (1 ? m ) ? ? f (1 ? m ) ,
2 2

………………5 分 …………7 分

即 f (1 ? m ) ? f ( m ? 1) 得 ? 1 ? 1 ? m ? m ? 1 ? 1 ,
2
2

………………9 分 ………………10 分

得 1<m< 2 .

(3)f(x)在 R 上为增函数)f(x) 当 x ? ( ?? , 2 ) 时)f(x)-4 的值恒为负数, ………13 分 而 f(x)在 R 上单调递增得 f(2)-4 ? 0, 19. (本小题满分 16 分) ………………15 分

解: (1)∵f(x+1)为偶函数, ∴ f ( ? x ? 1) ? f ( x ? 1), 即 a ( ? x ? 1) ? b ( ? x ? 1) ? a ( x ? 1) ? b ( x ? 1) 恒成立,
2 2

即(2a+b)x=0 恒成立,∴2a+b=0.∴b=-2a. ∴ f ( x ) ? ax
2

………………2 分

? 2 ax .

∵函数 f(x)的图象与直线 y=x 相切, ∴二次方程 ax
2

? ( 2 a ? 1) x ? 0 有两相等实数根,
2

∴ ? ? ( 2 a ? 1) ? 4 a ? 0 ? 0
?a ? ? 1 2 , f (x) ? ? 1 2 1 2 ( x ? 1) ?
2

x

2

? x 1 2 ? 1 2 ,

………………6 分

(2)? f ( x ) ? ?

? [ km , kn ] ? ( ?? , ? kn ? 又k ? ?n ? 1 2 2 3 1 2k ? 3 4 , , ,

1 2

],

? [ m , n ] ? ( ?? ,1], ? f ( x ) 在 [ m , n ]上是单调增函数

………………8 分

? ? ? f ( m ) ? km ? ? ?? 即? ? f ( n ) ? kn , ? ? ? ?

1 2 1 2
2

m n

2

? m ? km ? n ? kn ,

2

即 m , n 为方程 ?

1 2

x

? x ? kx 的两根

x1 ? 0 , x 2 ? 2 ? 2 k .

………………11 分

∵m<n 且 k ? 故当
2 3

2 3



? k ? 1时, m , n ] ? [ 0 , 2 ? 2 k ] ; [

当 k>1 时, [ m , n ] ? [ 2 ? 2 k , 0 ]; 当 k=1 时,[m,n]不存在. 20. (本小题满分 16 分) ………………16 分

解: (1)若 ( x 0 , y 0 ) 为函数 f(x)不动点,则有 f ( x 0 ) ?
2

3x0 ? a x0 ? b

? x0 ,

x 0 ? (b ? 3) x 0 ? a ? 0 ………………2 分 整理得 ① 根据题意可判断方程①有两个根,且这两个根互为相反数,得

? ? ( b ? 3 ) ? 4 a >4a
2

所以 b=3 ,a>0 而 f (x) ? 3 ?
a ?9 x?3

且 x 1 ? x 2 ? 3 ? b ? 0 , x 1 ? x 2 ? ? a <0 ………………4 分 ,所以 a ? 9 . ………………5 分
3x ? 8 x?3

即 b=3,a>0,且 a≠9. (2)在(1)的条件下,当 a=8 时, f ( x ) ? 由x ?
3x ? 8 x?3



,解得两个不动点为 A1 ( 2 2 , 2 2 ), A 2 ( ? 2 2 , ? 2 2 ) ,……6 分
3x ? 8 x?3

设点 P(x ,y),则 y>3 ,即
|x? y | 2 1 2

>3 解得 x<-3 .
1 2 1

………………8 分

设点 P(x,y)到直线 A1A2 的距离为 d,则
d ? ? |x? 3x ? 8 x?3 |? ? ? | ( ? x ? 3) ? ? x?3 ? 6|

?

1 2

(2 ? 6) ? 4

2.
1 ? x?3

………………10 分 ,即 x=—4 时,取等号,此时 P(—4,4). ……12 分

当且仅当 ? x ? 3 ?

(3)命题正确. ………………13 分 因为 f(x)定义在 R 上的奇函数,所以 f(—0)=—f(0) ,所以 0 是奇函数 f(x)的一个不动点. 设 c≠0 是奇函数 f(x)的一个不动点,则 f(c)=c ,由 f ( ? c ) ? ? f ( c ) ? ? c ,所以—c 也是 f (x)的 一个不动点. 所以奇函数 f(x)的非零不动点如果存在,则必成对出现,故奇函数 f(x)的不动点数目是奇数 ………………16 分 个.


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