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2012年北京市海淀区高三年级文科数学一模试题及参考答案 (1)


海淀区高三年级第二学期期中练习

数 学(文科)
2012.04 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. (1)已知集合 A = {x|x = 1} , B = {x|x( x - 2) < 0} ,那么 A ? B = (A) ? (B) {- 1} (C) {1}

(D) {- 1,1}
2

(2)在等比数列 {an } 中, a2 = 6 , a3 = - 18 ,则 a1 + a2 + a3 + a4 = (A) 26 (B) 40 (C) 54 (D) 80

(3)已知向量 a=(x ? 1,2),b=( ? 1,x) . 若 a 与 b 垂直,则 | b | = (A)1 (4)过双曲线 (B) 2 (C)2 (D)4

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点,且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 9 16
(B) 3x - 4 y - 15 = 0 (D) 4 x - 3 y - 20 = 0

(A) 3x + 4 y - 15 = 0 (C) 4 x - 3 y + 20 = 0

(5)执行如图所示的程序框图,输出的 k 值是 (A)5 (C)7 (B)6 (D)8


开始 n=5,k=0 n 为偶数

?x ? y ? 0 ? (6) 若满足条件 ? x ? y ? 2 ? 0 的整点 ( x, y ) 恰有 9 个, 其中整点是指横、 ?y ? a ?
纵坐标都是整数的点,则整数 a 的值为 (A) ?3 (B)



n?

n 2

n ? 3n ? 1

?2

(C) ?1

(D) 0

k=k+1 n=1
是 否

?? x 2 ? ax, x ? 1, ( 7 ) 已 知 函 数 f ( x) ? ? 若 ?x1 , x2 ? R, x1 ? x2 , 使 得 x ? 1, ?ax ? 1,

输出 k 结束

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则实数 a 的取值范围是
(A) a < 2 (B) a > 2
1

(C) - 2 < a < 2

(D) a > 2 或 a < - 2

(8) 在棱长为 1 的正方体 ABCD - A ' B ' C ' D ' 中, 若点 P 是棱上一点, 则满足 PA + PC ' = 2 的点 P 的 个数为 (A)4 (C)8 (B)6 (D)12
B' B A C A' C' D

D'

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在题中横线上. (9)复数

2i 在复平面内所对应的点的坐标为 1- i
.

.

(10)若 tan ? = 2 ,则 sin 2? =

(11)以抛物线 y 2 ? 4 x 上的点 ( x0 , 4) 为圆心,并过此抛物线焦点的圆的方程 是 .
2 2

(12 已知三条侧棱两两垂直的正三棱锥的俯视图如图所示,那么此三棱锥的体积 是 ,左视图的面积是 .
2 俯视图

(13)设某商品的需求函数为 Q = 100 - 5P ,其中 Q, P 分别表示需求量和价格,如果商品需求弹性 大于 1(其中

EQ EP

EQ Q' ,则商品价格 P 的取值范围是 =P , Q ' 是 Q 的导数) EP Q
则 f ( f ( x )) = ______ ; .

.

ì ? 1, x ? Q, (14)已知函数 f ( x) = ? í

? ? ? 0, x ? ?R Q.

下面三个命题中,所有真命题的序号是 ① 函数 f ( x ) 是偶函数;

② 任取一个不为零的有理数 T , f ( x + T ) = f ( x ) 对 x ? R 恒成立; ③ 存在三个点 A( x1 , f ( x1 )), B( x2 , f ( x2 )), C ( x3 , f ( x3 )), 使得 ?ABC 为等边三角形.

2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) = sin x + sin( x (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调递增区间;

? ). 3

(Ⅱ)在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a, b, c . 已知 f ( A) = 形状.

3 ,a = 2

3b ,试判断 ?ABC 的

(16) (本小题满分 13 分) 某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位:分钟) ,并将所得数据绘制成频率分布直方 图 (如图) , 其中, 上学所需时间的范围是 [0,100] , 样本数据分组为 [0, 20) , [20, 40) ,[40, 60) ,[60,80) ,

[80,100] .
(Ⅰ)求直方图中 x 的值; (Ⅱ)如果上学所需时间不少于 1 小时的学生可申请在学校住宿,请 估计学校 600 名新生中有多少名学生可以申请住宿.
频率 /组距 0.025

x
0.0065 0.003

O

20

40

60

80

100

时间

3

(17)(本小题满分 14 分) 已知菱形 ABCD 中,AB=4, ?BAD ? 60 (如图 1 所示) ,将菱形 ABCD 沿对角线 BD 翻折,使
?

点 C 翻折到点 C1 的位置(如图 2 所示) ,点 E,F,M 分别是 AB,DC1,BC1 的中点. (Ⅰ)证明:BD //平面 EMF ; (Ⅱ)证明: AC1 ? BD ; (Ⅲ)当 EF ? AB 时,求线段 AC1 的长.
A
C1

D

C
F M D

图1

B

A

E

B

图2

(18)(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? a ln x ? (Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)是否存在实数 a ,使得对任意的 x ? ?1, ?? ? ,都有 f ( x) ? 0 ?若存在,求 a 的取值范围;若不 存在,请说明理由.

1 2 1 x ? (a ? R且a ? 0) . 2 2

4

(19) (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右顶点 A(2,0) , a 2 b2
P

y D

离心率为

3 , O 为坐标原点. 2
E

O

A x

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知 P (异于点 A )为椭圆 C 上一个动点,过 O 作线段

AP 的垂线 l 交椭圆 C 于点 E , D ,求

DE AP

的取值范围.

(20) (本小题满分 14 分) 对 于 集 合 M , 定 义 函 数 f M ( x) ? ?

??1 ,x ? M , 对于两个集合 M,N,定义集合 ?1, x ? M .

M ?N ? {x f M ( x ?) f N x ( ? ) ? . 1 } A={2,4,6,8,10},B={1,2,4,8,16}. 已知
(Ⅰ)写出 f A (1) 和 f B (1) 的值,并用列举法写出集合 A?B ; (Ⅱ)用 Card(M)表示有限集合 M 所含元素的个数. (ⅰ)求证:当 Card ( X ?A) ? Card ( X ?B) 取得最小值时, 2 ? X ; (ⅱ)求 Card ( X ?A) ? Card ( X ?B) 的最小值.

5

海淀区高三年级第二学期期中练习 数 学(文科) 2012.04
( 8) B

参考答案及评分标准
一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题 号 答 案 ( 1) C ( 2) B ( 3) B ( 4) D ( 5) A ( 6) C ( 7) A

二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. (9) (- 1,1) (10)

4 5

(11) ( x - 4)2 + ( y - 4) 2 = 25

(12)

2 3

2 2

(13) (10, 20)

(14)1

①②③

三.解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) f ( x) = sin x + sin( x -

? ) 3
………………………………………2 分

= sin x +

1 3 sin x cos x 2 2

=

3 3 sin x cos x 2 2
骣3 1 ÷ 3? sin x - cos x ÷ ? ÷ ? ÷ ? 2 桫2

=

=
由 2k ? -

3 sin( x -

? ? ? < x - < 2k ? + , k Z , 2 6 2 ? 2? 得: 2k ? < x < 2k ? + ,k Z . 3 3 ? 2? 所以 f ( x ) 的单调递增区间为 (2k ? , 2k ? + ) ,k ? Z. 3 3
………………………………………6 分 (Ⅱ)因为 f ( A) =

? ). 6

………………………………………4 分

3 , 2

6

所以

3 sin( A -

? 3 ? 1 .所以 sin( A - ) = . )= 6 2 6 2
………………………………………7 分

因为 0 < A < ? ,所以 所以 A = 因为

? . 3

? ? 5 < A- < ? . 6 6 6
………………………………………9 分

a b , a = 3b , = sin A sin B 1 所以 sin B = . ………………………………………11 分 2 ? ? ? 因为 a > b , A = ,所以 B = .所以 C = . 3 6 2 所以 ?ABC 为直角三角形. ………………………………………13 分
(16)(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由直方图可得

20 ? x ? 0.025 ? 20 ? 0.0065 ? 20 ? 0.003 ? 2 ? 20 ? 1 . 所以 x = 0.0125 . ………………………………………6 分 (Ⅱ)由直方图可知,新生上学所需时间不少于 1 小时的频率为: 0.003创 2 20=0.12 .
………………………………………9 分 因为 600 ? 0.12 ? 72 . 所以 600 名新生中有 72 名学生可以申请住宿. ………………………………………13 分

(17)(本小题满分 14 分) 证明: (Ⅰ)因为点 F , M 分别是 C1D, C1B 的中点, 所以 FM / / BD . ………………………………………2 分 又 FM ? 平面 EMF , BD ? 平面 EMF , 所以 BD / / 平面 EMF . ………………………………………4 分 (Ⅱ)在菱形 ABCD 中,设 O 为 AC, BD 的交点, 则 AC ? BD . ………………………………………5 分 所以 在三棱锥 C1 - ABD 中,
C1 F M D O E B

C1O ? BD, AO ? BD .
又 C1O ? AO ? O,
A

所以 BD ? 平面 AOC1 .

………………………………………7 分

7

又 AC1 ? 平面 AOC1 , 所以 BD ? AC1 . ………………………………………9 分
?

(Ⅲ)连结 DE , C1E .在菱形 ABCD 中, DA ? AB, ?BAD ? 60 , 所以 ?ABD 是等边三角形. 所以 DA ? DB . ………………………………………10 分 因为 E 为 AB 中点,所以 DE ? AB . 又 EF ? AB , EF ? DE ? E . 所以 AB ? 平面 DEF ,即 AB ? 平面 DEC1 . ………………………………………12 分 又 C1E ? 平面 DEC1 , 所以 AB ? C1 E . 因为 AE = EB, AB = 4 , BC1 = AB , 所以 AC1 ? BC1 ? 4 . (18)(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (0, ??) . ………………………………………14 分
A E F M D B

C1

f '( x ) ?

a ? x2 ? a ?x? . x x

………………………………………2 分

当 a ? 0 时,在区间 (0, ??) 上, f '( x) ? 0 . 所以 f ( x) 的单调递减区间是 (0, ??) . ………………………………………3 分当 a ? 0 时, 令

f '( x) ? 0 得 x ? a 或 x ? ? a (舍).
函数 f ( x) , f '( x) 随 x 的变化如下:

x
f '( x) f ( x)

(0, a )
+ ↗

a
0 极大值

( a , ??)
?


所以 f ( x) 的单调递增区间是 (0, a ) ,单调递减区间是 ( a , ??) . ………………………………………6 分 综上所述,当 a ? 0 时, f ( x) 的单调递减区间是 (0, ??) ;
8

当 a ? 0 时, f ( x) 的单调递增区间是 (0, a ) ,单调递减区间是 ( a , ??) . (Ⅱ)由(Ⅰ)可知: 当 a ? 0 时, f ( x) 在 [1, ??) 上单调递减. 所 以 f ( x) 在 [1, ??) 上 的 最 大 值 为 f ( 1 ? ) , 即 对 任 意 的 x ?[ 1 , 0 ? ?, ) 都有

f ( x )? .0
当 a ? 0 时,

………………………………………7 分

① 当 a ? 1 ,即 0 ? a ? 1 时, f ( x) 在 [1, ??) 上单调递减. 所 以 f ( x) 在 [1, ??) 上 的 最 大 值 为 f (1) ? 0 , 即 对 任 意 的 x ?[1, ??) , 都 有

f ( x) ? 0 .

………………………………………10 分

② 当 a ? 1 ,即 a ? 1 时, f ( x) 在 [1, a ) 上单调递增, 所以 f ( a ) ? f (1) . 又 f (1) ? 0 , 所以 f ( a ) ? 0 ,与对于任意的 x ?[1, ??) ,都有 f ( x) ? 0 矛盾. ………………………………………12 分 综上所述,存在实数 a 满足题意,此时 a 的取值范围是 (??,0) ? (0,1] . ………………………………………13 分

(19) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 A(2,0) 是椭圆 C 的右顶点,所以 a ? 2 .



c 3 ? ,所以 c ? 3 . a 2
2 2 2

所以 b ? a ? c ? 4 ? 3 ? 1 . 所以 椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

………………………………………3 分

(Ⅱ)当直线 AP 的斜率为 0 时, | AP |? 4 , DE 为椭圆 C 的短轴,则 | DE |? 2 .

所以

| DE | 1 ? . | AP | 2

………………………………………5 分

9

当直线 AP 的斜率不为 0 时, 设直线 AP 的方程为 y ? k ( x ? 2) , P( x0 , y0 ) , 则直线 DE 的方程为 y ? ?

1 x. k

………………………………………6 分

? y ? k ( x ? 2), ? 2 2 由 ? x2 得 x ? 4[k ( x ? 2)] ? 4 ? 0 . 2 ? ? y ?1 ?4
即 (1 ? 4k ) x ? 16k x ? 16k ? 4 ? 0 .
2 2 2 2

16k 2 所以 2 ? x0 ? . 4k 2 ? 1
所以 x0 ?

8k 2 - 2 . 4k 2 ? 1

………………………………………8 分

所以 | AP |? 即 | AP |?

( x 0 ?2) 2 ? ( y 0 ?0) 2 ? (1 ? k 2 )( x 0 ?2) 2 .

4 1? k2 . 4k 2 ? 1

1? k2 类似可求 | DE |? 4 . k2 ? 4

1? k 2 2 | DE | k 2 ? 4 ? 4k ? 1 . ? 所以 | AP | 4 1 ? k 2 k2 ? 4 4k 2 ? 1 4
设t ?

………………………………………11 分

k 2 ? 4, 则 k 2 ? t 2 ? 4 , t ? 2 .

| DE | 4(t 2 ? 4) ? 1 4t 2 ? 15 ? ? (t ? 2). | AP | t t
令 g (t ) ?

4t 2 ? 15 4t 2 ? 15 (t ? 2) ,则 g '(t ) ? ? 0. t t2

所以 g (t ) 是一个增函数.

所以

| DE | 4t 2 ? 15 4 ? 4 ? 15 1 ? ? ? . | AP | t 2 2

综上,

| DE | 1 的取值范围是 [ , + | AP | 2

).

………………………………………13 分

10

(20) (本小题满分 14 分) (Ⅰ)解: f A (1)=1 , f B (1)= - 1 , A?B ? {1,6,10,16} . ………………………………………3 分 (Ⅱ)设当 Card ( X ?A) ? Card ( X ?B) 取到最小值时, X = W . (ⅰ)证明:假设 2 ? W ,令 Y ? W ? {2} . 那么 Card (Y ?A) ? Card (Y ?B)

? Card (W ?A) ?1 ? Card (W ?B) ?1 ? Card (W ?A) ? Card (W ?B) .这与题设矛盾.
所以 2 ? W ,即当 Card ( X ?A) ? Card ( X ?B) 取到最小值时, 2 ? X . ………………………………………7 分 (ⅱ)同(ⅰ)可得: 4 ? W 且 8 ? W . 若存在 a ? X 且 a ? A ? B ,则令 Z ? ?X {a} . 那么 Card ( Z ?A) ? Card ( Z ?B)

? Card ( X ?A) ?1 ? Card ( X ?B) ?1 ? Card ( X ?A) ? Card ( X ?B) .
所以 集合 W 中的元素只能来自 A ? B . 若 a ? A? B 且 a ? A? B , 同 上 分 析 可 知 : 集 合 X 中 是 否 包 含 元 素 a ,

Card ( X ?A) ? Card ( X ?B) 的值不变.
综上可知, 当 W 为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时, Card ( X ?A) ? Card ( X ?B) 取到最小值 4. ………………………………………14 分

11


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