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江西省南昌市2013届高三上学期调研考试理科数学试卷 2


江西省南昌市 2013 届高三上学期调研考试

数学(理)试题
本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两部分

第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 10 小题。每小题 5 分。共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1.集合 A={x||x|≤4,x∈R},B={x|(x+5) (x-a)≤

0},则“A?B”是“a>4”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不 必要条件 2.下列命题中,m,n 表示两条不同的直线,?,?,γ 表示三个不同的平面 ①若 m⊥?,n∥?,则 m⊥n; ②若?⊥γ ,?⊥γ ,则?∥?; ③若 m∥?,n∥?,则 m∥n; ④若?∥?,?∥γ ,m⊥?,则 m⊥γ . 正确的命题是 A.①③ B.②③ C.①④ D.②④ 3.由曲线 y= x ,直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积为 10 A. 3 1 A.2 B.4 16 C. 3 1 C.- 或 1 2 D.6

4.已知等比数列{an}公比为 q,其前 n 项和为 Sn,若 S3,S9,S6 成等差数列,则 q3 等于 B.1 1 D.-1 或 2

5.下图是某次考试对一道题评分的算法框图,其中 x1,x2,x3 为三个评卷人对该题的独立 评分,p 为该题的最终得分,当 x1=6,x2=9,p=8.5 时,x3 等于

A.11

B.10

C.8

D.7

π 5π 6.右图是函数 y=sin(ω x+?) (x∈R)在区间[- , ]上的图像, 6 6 为了得到这个函数的图像,只要将 y=sinx(x∈R)的图像上所有点 π 1 A.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍, 3 2 纵坐标不变。 π B.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变。 3 π 1 C.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变。 6 2

第 1 页 共 8 页

π D.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变。 6 7.若存在实数 x∈[2,4],使 x2-2x+5-m<0 成立,则 m 的取值范围为 A. (13,+∞) B. (5,+∞) C. (4,+∞) D. (-∞,13) 8.已知奇函数 f(x)在[-1,0]上为单调递减函数,又?,?为锐角三角形两内角,下列结论 正确的是 A.f(cos?)> f(cos?) B.f(sin?)> f(sin?) C.f(sin?)> f(cos?) D.fsin?)<f(cos?) → → → → 9. △ABC 所在平面上一点 P 满足PA+PB+PC=AB, 则△PAB 的面积与△ABC 的面积之比为 A.2∶3 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶6 10.如图所示的四个容器高度都相同,将水从容器顶部一个小孔以相同的速度注入其中,注 满为止.用下面对应的图像显示该容器中水面的高度 h 和时间 t 之间的关系,其中不正 .. 确的是 ..

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填写在题中横线上) 11.已知命题 p: “存在 x∈R,使 4x+2x+1+m=0” ,若“非 p”是假命题,则实数 m 的取值范 围是 12.若 a>3,则函数 f(x)=x2-ax+1 在区间(0,2)上恰好有 个零点 f(a) f(b) f(c) 13.已知函数 f(x)=lnx,0<a<b<c<1,则 , , 的大小关系 a b c 是 14.已知整数对的序列如下: (1,1)(1,2)(2,1)(1,3) , , , , (2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)(1,5) , , , , , , , (2,4)?,则第 57 个数对是 15.如图是一个几何体的三视图,根据图中的数据,可得该几何体 的体积是 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤) π 3 16. (本小题满分 12 分)已知?∈(0,π )且 cos(?- )= 。求 cos? 6 5

第 2 页 共 8 页

→ → → 17. (本小题满分 12 分)已知向量OA=3i-4j,OB=6i-3j,OC=(5-m)i-(3+m)j 其中 i,j 分别是直角坐标系内 x 轴与 y 轴正方向上的单位向量 (1)A,B,C 能够成三角形,求实数 m 应满足的条件。 → (2)对任意 m∈[1,2]使不等式AC2≤-x2+x+3 恒成立,求 x 的取值范围

18.列车提速可以提高铁路运输量.列车运行时,前后两车必须要保持一个“安全间隔距离 d(千米), ”“安全间隔距离 d(千米) ”与列车的速度 v(千米/小时)的平方成正比(比 1 例系数 k= )假设所有的列车长度 l 均为 0. 千米, . 4 最大速度均为 v(千米/小时)问: . 0 4000 v 列车车速多大时,单位时间流量 Q= 最大? l+d

19. (本小题满分 12 分) 如图,边长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 CC1 的中点. (1)求直线 A1E 与平面 BDD1B1 所成的角的正弦值 (2)求点 E 到平面 A1DB 的距离 A1

D1 B1 D

C1

E C

A 20. (本小题满分 13 分) 1 1 1 在数列{an}中,a1=1,an=n2[1+ 2+ 2+?+ ] (n≥2,n∈N) 2 3 (n-1)2 an+1 n2 (1)当 n≥2 时,求证: = an+1 (n+1)2 1 1 1 (2)求证: (1+ ) (1+ )?(1+ )<4 a1 a2 an

B

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=(x2+ax-2a-3) 3-x (a∈R) ·e (1)讨论 f(x)的单调性;

第 3 页 共 8 页

(2)设 g(x)=(a2+

25 x )e (a>0) ,若存在 x1,x2∈[0,4]使得|f(x1)-g(x2)|<1 4

成立,求 a 的取值范围.

参考答案
一、选择题(本大题共 10 题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 B 2 C 3 C 4 A
f (a ) a

5 C
f (b ) b

6 A
f (c ) c

7 B

8 D

9 B

10 A

二、填空题: (本大题共 5 题,每小题 5 分,共 20 分) 11. ? ? ? , 0 ? ; 12.1; 13.
? ?



14. ( 2 , 1 0 ) ;

15. 2.

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分)
第 4 页 共 8 页

16.解:因为 ? ? ( 0 , ? ) ,所以 ? ? 又 0 ? c o s (? ? 分
?
6 ) ? 3 5 ? cos(?

?
6

? (?

?
6

,

5? 6

) ,??????????????2 分

?
6

) ,所以 ? ?

?
6

? (0,

?
2

) , s i n (? ?

?
6

)?

4 5

,????8

? ? ? ? ? ? ? ? c o s ? ? c o s (? ? ) ? ? c o s (? ? ) c o s ? s in ( ? ? ) s in ? ? 6 6 ? 6 6 6 6 ?

???????

11 分
? 3 5 ? 3 2 ? 4 5 ? 1 2 ? 3 3 ? 4 10

????????????????????????12

分 17.解: (1) AB ? ( 3 ,1), AC ? ( 2 ? m ,1 ? m ) ? AB , AC 不共线,
? 3 (1 ? m ) ? 2 ? m , m ? 1 2

?????????????????-???????4

分 (2)因为 A C ? ( 2 ? m ) 2 ? (1 ? m ) 2 ? 2 m 2 ? 6 m ? 5 , 所以,当 m ? 1 或 2 时, A C 最大,最大值是,???????????????9 分 所以,1 ? ? x ? x ? 3 ,即 x 的取值范围是 [ ? 1, 2 ] .??????????????12
2

???? 2

???? 2

分 18.解:因为 d ?
1 4000
2 v ,所以 Q ?

v 1 4000 v ? 0 .4
2

?

1 1 4000 v? 0 .4 v

??????4 分

当 v 0 ? 4 0 时,Q ? 5 0 , 所以 v ? 4 0 , Q m a x ? 5 0 ????????????????8 分 当 0 ? v 0 ? 4 0 时,Q ?
1 kv0 ? l v0 ? v0 1 4000 v 0 ? 0 .4
2

? v ? v 0 , Q m ax ?

4 0 0 0 v0 v0 ? 1 6 0 0
2

????

12 分

19.解:以 DA、DC、DD1 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系如图, 则 D(0,0,0) ,A(a,0,0) .B(a,a,0) ,C(0,a,0) ,E(0,a, 0,a) ????3 分 . z
第 5 页 共 8 页

a 2

) 1(a, ,A

D1 A1 D B1

C1 E C y

(1)设直线 A1E 与平面 BDD1B1 所成的角为 ? . 因为 AC ? 平面 BDD1B1,所以平面 BDD1B1 的法向量为
AC ? ( ? a , a , 0 ) ,又 A 1 E ? ( ? a , a , ?
???? ???? ???? ???? A C ? A1 E c o s ? A C , A1 E ? ? ???? ???? ? A C ? A1 E

a 2

).
2

2a 2a
2

? 9a 4
2

2 3

2

?

所以

s i n? ?

2 3

2

.??????????????????????????6 分

(2)设 n = ( x , y ,1 ) 为平面 A1DB 的法向量, DA 1 ? ( a , 0 , a ), DB ? ( a , a , 0 )
? n ? DA 1 ? 0 , n ? DB ? 0
? x ? ? 1, y ? 1 ???????????????8 分

? n ? ( ? 1,1,1)

???? a 又 D E ? (0 , a , ), 2

???? ? DE ?n d ? ? ? n

3 2

a

?????????11

分 即点 E 到平面 A1 D B 的距离为 分 20. (1)当 n ? 2 时,
an n a n ?1 1 2
2 2
2 2

3 2

a .???????????????????12

?1?

1 2
2

?

1 3
2

?? ?

1

? n ? 1?
1 ? a n

2

, ????????????1 分

所以

? n ? 1?
an ? 1 a n ?1

2

?1?

?

1 3
2

?? ?

1 ( n ? 1)
2

?

n 2

n

2

?

1 n
2

?

an ? 1 n
2

???????4 分



?

n

( n ? 1)

(n ? 2)

??????????????????????5

分 (2)当 n ? 2 时, (1 ? 分
? ? an ? 1 a1 ? 1 a 2 ? 1 a 3 ? 1 1?1 ?2 3 4 n ( ? ?? ? ) ? a n ?1 ? ? a n ?1 ? ? 8 ? 2 ? 2 ? 2 ?? ? 2 ? a1 a 2 a3 a4 a n ?1 1? 4 ? 3 4 5 ( n ? 1) ?
2 2 2 2

1 a1

)(1 ?

1 a2

)(1 ?

1 a3

) ? (1 ?

1 an

)?

an ? 1 a1 ? 1 a 2 ? 1 a 3 ? 1 ? ? ?? ? ??6 a1 a2 a3 an


? 2? a n ?1 ( n ? 1)
2

? 2 (1 ?

1 2
2

?

1 3
2

?? ?

? ? 1 1 1 ) ? 2 ?1 ? ? ? ?? ? ? ??10 分 n 1?2 2 ?3 ( n ? 1) n ? ? 1
2

第 6 页 共 8 页

1 1 1 1 1 ? 1 ? ? 2 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 2(2 ? ) ? 4. ? ? 2 2 3 n ?1 n ? n ?

?? ?? ??? ?? 11

分 当 n ? 1 时, 1 ?
1 a1 ? 2 ? 4 ???????????????????????12 分

综上所述,对任意 n ? N ,不等式都成立.????????????????13 分
2 3? x 21.解:⑴ f ? ? x ? ? ? [ x ? ? a ? 2 ? x ? 3 a ? 3 ] e ,令 f ? ? x ? ? 0 ,

?

即 ? [ x 2 ? ? a ? 2 ? x ? 3 a ? 3]e 3 ? x ? 0 ,

所以 x 2 ? ? a ? 2 ? x ? 3 ? a ? 1 ? ? 0

所以 ( x ? 3 )( x ? a ? 1 ) ? 0 ?????????????????????????3 分
? 当 a ? ? 4时 , ? a ? 1 ? 3 , 此时 f ? x ? 在 ? ? ? , 3 ? 上为减函数, ? 3 , ? a ? 1 ? 上为增函数, 在

在 ? ? a ? 1, ?? ? 上为减函数; 当 a ? ? 4 时, f ? ? x ? ? 0 ,此时 f ? x ? 在 ? ? ? , ?? ? 上为减函数; 当 a ? ? 4 时,此时 f ? x ? 在 ? ? ? , ? a ? 1 ? 上为减函数,在 ? ? a ? 1, 3 ? 上为增函数,在

? 3 , ?? ?









数. ??????????????????????????????6 分 ⑵ 当 a ? 0 时, ? a ? 1 ? 0 ,则 f ? x ? 在 ?0 , 3 ? 上为增函数,在 ?3 , 4 ? 上为减函数
3 ?1 又 f ? 0 ? ? ? ? 2 a ? 3 ?e ? 0 , f ? 4 ? ? ? 2 a ? 13 ?e ? 0 ,

f ?3 ? ? a ? 6

∴ f ? x ? 在 ?0 , 4 ? 上的值域为 [ ? ? 2 a ? 3 ?e , a ? 6 ] ???????????????8
3

分 又 g ? x ? ? (a ?
2

25 4

) e 在 ?0 , 4 ? 上为增函数,其值域为 [ a ?
x 2

25 4

, (a ?
2

25 4

) e ] ??10
4


? a ? 0, ? ? ? 2 a ? 3 ?e ? a ? 6 ? a
3 2

?

25

25 ? 4 ? 2 ? ?a ? ?e 4 4 ? ?

f ? x1 ? ? g ? x 2

?

? 1 等价于 g ( x 2 ) ? f ( x 1 ) ? 1 ?????????????????12


? 存在 x 1 , x 2 ? ?0 , 4 ? 使得 f ? x 1 ? ? g ? x 2

?

? 1 成立,只须 g ( x ) min ? f ( x ) max ? 1

第 7 页 共 8 页

?a ?
2

25 4

? a ?6 ?1? ?
? ?

1 2

? a ?

3 2

,又 a ? 0

∴a 的取值范围为 ? 0 , 分

3? ? . ????????????????????????14 2?

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