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选修4-4坐标系与参数方程


涉县第一中学高二 1 级部数学理科

选修 4-4 知识点总结

总结人: 李军波 魏军燕 张利梅

坐标系与参数方程 知识点 (一)坐标系
1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点 P( x, y) 是平面直角坐标系中的任意一点 ,在变换 ? : ?

? x? ? ? x ?

y? ? ? y

(? ? 0) 的作用下,点 P( x, y) (? ? 0)

对应到点 P?( x?, y?) ,称 ? 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.

2.极坐标系的概念
(1)极坐标系

如图所示,在平面内取一个定点 O ,叫做极点,自极点 O 引一条射线 Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单 位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平 面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系 ,而极坐标系则不可 .但极坐标系和平面直角坐标

系都是平面坐标系.
(2)极坐标 设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径,记为 ? ;以极轴 Ox 为始边,射线 OM 为 终边的角 ?xOM 叫做点 M 的极角,记为 ? .有序数对 ( ? ,? ) 叫做点 M 的极坐标,记作 M ( ? , ? ) . 一般地,不作特殊说明时,我们认为 ? ? 0, ? 可取任意实数. 特别地,当点 M 在极点时,它的极坐标为(0, ? )( ? ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有 无数种表示. 如果规定 ? ? 0, 0 ? ? ? 2? ,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标 ( ? ,? ) 表示;同时,极坐标

( ? ,? ) 表示的点也是唯一确定的.

3.极坐标和直角坐标的互化
(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度 单位,如图所示:

(2)互化公式:设 M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是 ( x, y ) ,极坐

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标是 ( ? ,? ) ( ? ? 0 ),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:

点M

直角坐标 ( x, y )

极坐标 ( ? ,? )

互化公式

? x ? ? cos ? ? ? y ? ? sin ?

?? 2 ? x2 ? y 2 ? ? y ? tan ? ? ( x ? 0) x ?

在一般情况下,由 tan ? 确定角时,可根据点 M 所在的象限最小正角.

4.常见曲线的极坐标方程
曲线 图形 极坐标方程

圆心在极点,半径为 r 的圆

? ? r (0 ? ? ? 2? )

圆心为 ( r , 0) ,半径为 r 的圆

? ? 2r cos ? (?

?
2

?? ?

?
2

)

圆心为 (r ,

?
2

) ,半径为 r 的圆

? ? 2r sin ? (0 ? ? ? ? )

圆心为 (r ,

?
2

) ,半径为 r 的圆

? ? 2r sin ? (0 ? ? ? ? )

(1) ? ? ? ( ? ? R)或? ? ? ? ? ( ? ? R) 过极点,倾斜角为 ? 的直线 (2) ? ? ? ( ? ? 0)和? ? ? ? ? ( ? ? 0)

过点 ( a, 0) ,与极轴垂直的直线

? cos ? ? a (?

?
2

?? ?

?
2

)

过点 ( a, 线

?
2

) , 与极轴平行的直

? sin ? ? a(0 ? ? ? ? )

2

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注 : 由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一 ,即 ( ? ,? ),( ? , 2? ? ? ),(? ? , ? ? ? ),(? ? , ?? ? ? ), 都表 示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只 要 求 至 少 有 一 个 能 满 足极 坐 标 方 程 即 可 . 例 如对 于 极 坐 标 方 程 ? ??, 点 M (

? ?

? ? ?5 ? ? ? , ? 2 ? 或 ) ( , ? ?2 或 )(, )等多种形式,其中,只有 ( , ) 的极坐标满足方程 ? ? ? . 4 4 4 4 4 4 4 4 5.圆与直线一般极坐标方程
(
(1)圆的极坐标方程

? ?

, ) 可以表示为 4 4

若圆的圆心为 M ( ?0 ,?0 ) ,半径为 r,求圆的极坐标方程。 设 P( ? ,? ) 为圆上任意一点,由余弦定理,得 PM2 = OM2 +OP2 ?2OM· OPcos∠POM, 则圆的极坐标方程是:
2 r 2 ? ? 2 ? ?0 ? 2?0 ?cos ?? ??0 ?
(2)直线的极坐标方程
O ρ θ0

P M ρ0 θ x

若直线 l 经过点 M ( ?0 ,?0 ) ,且极轴到此直线的角为 α ,求直线 l 的极坐标方程。 设直线 l 上任意一点的坐标为 P(ρ,θ),由正弦定理,得: OP OM = sin∠OMP sin∠OPM 整理得直线 l 的极坐标方程为
ρ

l P(ρ,θ)

ρ0 θ0 O θ

M(ρ0,θ0) α x

?sin ?? ? ? ? ? ?0sin ??0 ? ? ?
⑴? ? a ⑷ ? ? 2a sin ? ⑵ ? ? 2a cos? ⑸ ? ? ?2a sin ? ⑶ ? ? ?2a cos? ⑹ ? ? 2a cos(? ? ? )

6、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为 (a ? 0) :

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a ?
?

M
?

M

?
x

M x

?
?

a

O

x

O

O

a

图1
? ? a
M a
?

图2
? ? 2 a cos ?
?

图3
? ? ?2a cos?

O

x

M

?

?
M
x

a

?
a
?

(a,? )

O

图4
? ? 2a sin ?

图5
? ? ?2asin?

O

x

图6
? ? 2a cos(? ? ? )

6、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为: ⑴? ? ? 0 ⑷ ? sin ? ? a ⑵ ? cos? ? a ⑸ ? sin ? ? ?a ⑶ ? cos ? ? ?a ⑹? ?
a cos(? ? ? )

M(? , ?
?



M

?
?

M

?
?

0

O

x

O

a

图1
? ? ?
0

a O

图2
? ?
a cos ?

图3
? ? ?
a cos ?
M(? , ?


M

?

a
?

?
O
M

?

O

a

a
O

N (a,? ) p

图4

图5
? ??

a ?? sin ?

a sin4 ?

图6
??
a cos( ? ? ?)

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(二) 、参数方程
1.参数方程的概念 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x, y 都是某个变数 t 的函数 ?

? x ? f (t ) ①,并 ? y ? g (t )

且对于 t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点 M ( x, y ) 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的 参数方程,联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的 方程叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式 ,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到 普通方程. (2)如果知道变数 x, y 中的一个与参数 t 的关系,例如 x ? f (t ) ,把它代入普通方程,求出另一个变数与 参数的关系 y ? g (t ) ,那么 ? 的取值范围保持一致. 注:普通方程化为参数方程,参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题,关键在于适当 地设参数,如果选用的参数不同,那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。

? x ? f (t ) 就是曲线的参数方程 ,在参数方程与普通方程的互化中 ,必须使 x, y ? y ? g (t )

3.圆的参数
如图所示,设圆 O 的半径为 r ,点 M 从初始位置 M 0 出发,按逆时针方向在圆 O 上作匀速圆周运动, 设 M ( x, y ) ,则 ?

? x ? r cos ? (? 为参数) 。 ? y ? r sin ?

这就是圆心在原点 O ,半径为 r 的圆的参数方程,其中 ? 的几何意义是 OM 0 转过的角度。 圆心为 ( a, b) ,半径为 r 的圆的普通方程是 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r ,
2 2 2

它的参数方程为: ?

? x ? a ? r cos ? (? 为参数) 。 ? y ? b ? r sin ?

4.椭圆的参数方程
以坐标原点 O 为中心, ①焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为 其中参数 ? 称为离心角;
5

? x ? a cos ? x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), 其参数方程为 ? (?为参数) , 2 a b ? y ? b sin ?

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②焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程是

? x ? b cos ? y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), 其参数方程为 ? (?为参数), 2 a b ? y ? a sin ?

其中参数 ? 仍为离心角,通常规定参数 ? 的范围为 ? ∈[0,2 ? ) 。 注:椭圆的参数方程中,参数 ? 的几何意义为椭圆上任一点的离心角,要把它和这一点的旋转角 ? 区 分开来,除了在四个顶点处,离心角和旋转角数值可相等外(即在 0 到 2? 的范围内) ,在其他任何一点, 两个角的数值都不相等。但当 0 ? ? ? 5.双曲线的参数方程 以坐标原点 O 为中心, ① 焦点在 x 轴 上的 双曲 线的标 准议程 为

?
2

时,相应地也有 0 ? ? ?

?
2

,在其他象限内类似。

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0), 其 参 数 方 程 为 a 2 b2

? x ? a sec ? ? 3? . (?为参数) ,其中 ? ? [0, 2? )且? ? , ? ? ? 2 2 y ? b tan ? ?
y 2 x2 ② 焦 点 在 y 轴 上 的 双 曲 线 的 标 准 方 程 是 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0), 其 参 数 方 程 为 a b

? x ? b cot ? (?为参数,其中? ? (0, 2? )e且? ? ? . ? ? y ? a csc ?
以上参数 ? 都是双曲线上任意一点的离心角。 6.抛物线的参数方程 以坐标原点为顶点,开口向右的抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的参数方程为 ?
2

? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt

(t为参数).

7.直线的参数方程
经 过 点 M 0 ( x0 , y0 ), 倾 斜 角 为 ? (? ?

?
2

) 的 直 线 l 的 普 通 方 程 是 y ? y0 ? tan ? ( x ? x0 ), 而 过

? x ? x0 ? t cos ? ,倾斜角为 ? 的直线 l 的参数方程为 ? (t为参数) 。 M 0 ( x0 , y0 ) ? y ? y0 ? t sin ?
注:直线参数方程中参数的几何意义:过定点 M 0 ( x0 , y0 ) ,倾斜角为 ? 的直线 l 的参数方程为

? x ? x0 ? t cos ? (t为参数) ,其中 t 表示直线 l 上以定点 M 0 为起点,任一点 M ( x, y) 为终点的有向线段 ? ? y ? y0 ? t sin ?
当点 M 在 M 0 上方时,t >0; 当点 M 在 M 0 下方时,t <0; 当点 M 与 M 0 重合时,t =0。 M0 M 的数量, 我们也可以把参数 t 理解为以 M 0 为原点,直线 l 向上的方向为正方向的数轴上的点 M 的坐标,其单位长
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度与原直角坐标系中的单位长度相同。

其中参数 t 是以定点 P(x0,y0)为起点,对应于 t 点 M(x,y)为终点的有向线段 PM 的数量,又称为点 P 与点 M 间的有向距离. 根据 t 的几何意义,有以下结论. 1 .设 A、B 是直线上任意两点,它们对应的参数分别为 tA 和 tB,则 AB = t B ?t A = ○
(t B ? t A ) 2 ? 4t A ? t B .

2 .线段 AB 的中点所对应的参数值等于 ○

t A ? tB . 2

三)例题鉴赏例 1(2012 湖北)(23)(本小题满分 10 分)选修 4 ? 4:坐标系与参数方程
在直角坐标 xOy 中,圆 C1 : x2 ? y 2 ? 4 ,圆 C2 : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 。 (Ⅰ)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 分别写出圆 C1 , C2 的极坐标方程,并求出圆 C1 , C2 的交点坐标(用极坐标表示); (Ⅱ)求出 C1与C2 的公共弦的参数方程。

例 2(坐标系与参数方程)直线 2 ? cos ? ? 1 与圆 ? ? 2 cos ? 相交的弦长为
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解析:化极坐标为直角坐标得直线 x ?

1 3 ,圆( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1,由勾股定理可得相交弦长为2 ? = 3. 2 2

例 3(陕西文 17)直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点 A,B 分别在曲线 C1 : ?

? x ? 3 ? cos? ( ? 为参数)和曲线 C2 : ? ? 1 上,则 | AB | 的最小值为 ? y ? sin ?

1



【分析】利用化归思想和数形结合法,把两条曲线转化为直角坐标系下的方程. 【解】曲线 C1 的方程是 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1 ,曲线 C2 的方程是 x 2 ? y 2 ? 1 ,两圆外离,所以 | AB | 的最小值 为 32 ? 02 ?1 ?1 ? 1 . 例 4(浙江理科)已知直线 l : ?

? x ? ?1 ? t cos? , ( t 为参数, ? 为 l 的倾斜角,且 0 ? ? ? ? ) 与曲线 ? y ? t sin ?

? x ? 2 cos? C:? (? 为参数 ) 相交于 A、B 两点,点 F 的坐标为 (1,0) y ? sin ? ?
(1)求 ?ABF 的周长; (2)若点 E (?1,0) 恰为线段 AB 的三等分点,求 ?ABF 的面积。 解: (1)将曲线 C 消去 ? 可得:

x2 ? y 2 ? 1 ,直线 l 过曲线 C 的左焦点 F ?(?1,0) , 2

由椭圆的定义可知 ?ABF 为 | AB | ? | AF | ? | BF |?| AF ? | ? | BF ? | ? | AF | ? | BF |

? (| AF ? | ? | AF |) ? (| BF ? | ? | BF |) ? 2a ? 2a ? 4a ? 4 2
(2)可设直线 l 的方程为 x ? ky ? 1,若点 E (?1,0) 为线段 AB 的三等分点,不妨设

AE ? 2 EB , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 ? y1 ? 2 y2
联立 ?

?x 2 ? 2 y 2 ? 2 ? 0 ? x ? ky ? 1

,消去 x 得: (k ? 2) y ? 2ky ? 1 ? 0
2 2

2k ? y1 ? y2 ? ? y2 ? 2 ? 2 ? k ?2 则? ,消去 y 2 得: k 2 ? 7 ? y y ? ?2 y 2 ? ? 1 1 2 2 2 ? k ?2 ?

8(k 2 ? 1) 2 2 ? 1 ? k 2 3 14 此时 | y1 ? y2 |? ? ? k2 ? 2 k2 ? 2 8
所以 S ?ABF ?

1 3 14 ? | EF | ? | y1 ? y2 |? 2 8
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