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重庆一中2012-2013学年高二上学期期中考试 文科数学


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秘密★启用前

2012 年重庆一中高 2014 级高二上期半期考试

数 学 试 题 卷(文科)
一、选择题 (每小题5分,共50分) 1.已知直线 l 垂直于直线 2 x ? y ? 5 ? 0 ,则直线 l 的斜率为( A.

2012.11



2

B.

1 2
x0

C.

?2

D.

?


1 2

2.命题“存在 x0 ? R, 2

? 0”的否定是(

A.不存在 x0 ? R , 2 0 >0
x

B.存在 x0 ? R ,

2 x0 ? 0
x

C.对任意的 x? R , 2 ? 0
x

D.对任意的 x ? R , 2 >0
2 2

3. 对于常数 m 、 n , mn ? 0 ”是“方程 mx ? ny ? 1 的曲线是椭圆”的( “



A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件 4. 抛物线 y ? x 的焦点坐标为(
2

) C. (1, 0) D. ( , 0)

A. (0,1)

B. (0, )

1 4

1 4

5.已知直线 a( x ? 1) ? y ? A.两个交点

x2 1 ? 0 (a ? R) 和椭圆 ? y 2 ? 1 ,则直线和椭圆相交有( 2 3
C.没有交点 D.无法判断 )



B.一个交点

x2 y2 6. 双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率为 3 ,则它的渐近线方程是( a b
A. y ? ? 2 x B. y ? ?

2 x 2

C. y ? ?2 x

D. y ? ?

1 x 2

7. 设椭圆

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(m ? 0,n ? 0) 的右焦点与抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点相同,离心率为 , 2 m n 2


则此椭圆的方程为( A.

x2 y2 ? ?1 12 16

B.

x2 y2 ? ?1 16 12
2

C.

x2 y 2 ? ?1 48 64
2

D.

x2 y 2 ? ?1 64 48

x 1 ? " 8. 已 知 命 题 p : "? x ? [1, 2 ] , ? ? a 命" q : "? x ? R, x ? 2 a x 2 ? a ? 0, 当 命 题 题

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" p ? q " 是真命题,则实数 a 的取值范围是
A. a ? ?2或a ? 1 ( ) C. a ? 1 D. ?2 ? a ? 1 )

B. a ? ?2或1 ? a ? 2
2

9.若直线 y ? x ? b 与曲线 y ? 3 ? 4 x ? x 有公共点,则 b 的取值范围是( A. C.

? ?1,1 ? 2 2 ? ? ? ?1 ? 2 2, 3? ? ?

B. D.

?1 ? 2 2,1 ? 2 2 ? ? ? ?1 ? 2, 3? ? ?

x2 y 2 10.椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? ?) 的右焦点 F ,其右准线与 x 轴的交点为 A,在椭圆上存在点 a b
P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F ,则椭圆离心率的取值范围是 (
w_w_w



.GkStK.c o*m

A . ? 0, ? ? 2 ? ?

?

2?

1? B. ? 0, ? ? ? 2?

C. ? 2 ?1,1? ?

D. ? ,1? ? ?
1 ?2 ?

二、填空题 (每小题 5 分,共 25 分) 11. 已知直线 l 的一个法向量为 n ? ( ?2, 3) ,且经过点 (?2,3) ,则直线 l 的方程是 12. 圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 0 关于直线 x ? 1 对称的圆的标准方程是____________. 13. 已知双曲线 2x ? y ? m 的焦点在 x 轴, 且一个焦点是 ( 3, 0) , m 的值是__________. 则
2 2
?



14.右图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米,水位下降 1 米后,

水面宽__________米. 15.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 8x ? 15 ? 0 ,若直线 y ? kx ? 2 上至少存在 一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是 三、解答题 (共 75 分,写出必要的过程和步骤) 16. (本小题满分 13 分)实数 x、y 满足圆的标准方程 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 4 ,
2 2



(Ⅰ)求

y 的最小值; x?4

(Ⅱ)求定点 ?1, 0 ? 到圆上点的最大值. 17. (本小题满分 13 分) 已知集合 A= x | x ? 2 x ? 3 ? 0 , ? x | ( x ? m ? 1)( x ? m ? 1) ? 0 ? , B=
2

?

?

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(Ⅰ)当 m ? 0 时,求 A ? B . (Ⅱ)若 p : x ? 2 x ? 3 ? 0 , q : ( x ? m ? 1)( x ? m ? 1) ? 0 ,且 q 是 p 的必要不充分条
2

件,求实数 m 的取值范围。

18. (本小题满分 13 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C : 的左焦点为 F1 (?1, 0) ,且点 P(0,1) 在 C 上.

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) a 2 b2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知直线 l 的斜率为 2 且经过椭圆 C 的左焦点.求直线 l 与该椭圆 C 相交的弦长。

19. (本小题满分 12 分) 抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F,A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 , y1 ? 0, y2 ? 0) 在
??? ? ??? ? ? ??? 25 ? 抛物线上,且存在实数 ? ,使 AF ? ? BF ? 0 , | AB |? 4

(Ⅰ)求直线 AB 的方程; (Ⅱ)求△AOB 的外接圆的方程。

20. (本小题满分 12 分) 设双曲线

y2 x2 ? ? 1 的两个焦点分别为 F1 、F2 ,离心率为 2. 3 a2

(Ⅰ)求此双曲线的渐近线 l1 、l2 的方程; (Ⅱ)若 A 、 B 分别为 l1 、l2 上的点,且 2| AB| ? 5| F1 F2 | ,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程, 并说明轨迹是什么曲线;

21. (本小题满分 12 分)如图,椭圆 M :
y ? ?b 所围成的矩形 ABCD 的面积为 8.

x2 y 2 3 ,直线 x ? ?a 和 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 a 2 b2

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(Ⅰ)求椭圆 M 的标准方程; (Ⅱ) 设直线 l : y ? x ? m, m ? (? 5, ?1) 与椭圆 M 有两个不同的交点 P, Q, l 与矩形 ABCD 有两个 不同的交点 S , T .求
| PQ | 的最大值及取得最大值时 m 的值. | ST |

2012 年重庆一中高 2014 级高二上期半期考试(本部)
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数学答案(文科)
一、选择题 BDBBA, 二、填空题 11. 2 x ? 3 y ? 13 ? 0 . 14. 2 6 米. 15. ABBCD

2012.11

12. x ? ( y ? 1) ? 5 . 13. __2____.
2 2

4 . 3

三、解答题 (共 75 分,写出必要的过程和步骤) 16. 【解析 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 4 ,
2 2

(Ⅰ)

y 的几何意义是定点(4,0)和圆上任意一点连线的斜率,通过画图计算得 x?4 y 20 ( )min ? ? , ; x?4 21

(Ⅱ)定点(1,0)和圆心(-1,2)的距离为 2 2 ,故最大值 2 2 ? 2 . 17. 解析(Ⅰ) A ? x | x ? 2 x ? 3 ? 0 ? ? x | ?1 ? x ? 3? , :
2

?

?

B ? ? x | ( x ? 1)( x ? 1) ? 0? ? ? x | x ? 1或x ? ?1? ? A ? B ? ? x |1 ? x ? 3?
(Ⅱ)

p 为: (?1,3)

而 q 为: (??, m ? 1] ? [m ? 1, ??) , 又 q 是 p 的必要不充分条件, 即 p ? q 所以

m ? 1 ? ?1 或 m ?1 ? 3 ?

m ? 4 或 m ? ?2

18. 【解析】 (Ⅰ)因为椭圆 C 的左焦点为 F1 (?1, 0) ,所以 c ? 1 ,

点 P(0,1) 代入椭圆

x2 y 2 1 ? 2 ? 1 ,得 2 ? 1 ,即 b ? 1, 2 a b b x2 ? y 2 ? 1. 2

所以 a ? b ? c ? 2 ,所以椭圆 C 的方程为
2 2 2

(Ⅱ)直线 l 的方程为 y ? 2 x ? 2 ,

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? x2 2 16 6 ? ? y ?1 2 ,消去 y 并整理得 9 x ? 16 x ? 6 ? 0 , x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? 2 ? 9 9 ? y ? 2x ? 2 ?
AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 = 5 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 =
19. 解: (Ⅰ)抛物线 y 2 ? 4 x 的准线方程为 x ? ?1 .
??? ? ??? ? ??? ? ∵ AF ? ? BF ? 0 ,∴A,B,F 三点共线.由抛物线的定义,得| AB |= x1 ? x2 ? 2 ?1 分

10 2 , 9

设直线 AB: y ? k ( x ? 1) ,而 k ?

y1 ? y2 , x1 ? x2 , y1 ? 0, y2 ? 0, ? k ? 0. x1 ? x2

? y ? k ( x ? 1), 由? 2 得 k 2 x2 ? 2(k 2 ? 2) x ? k 2 ? 0 . y ? 4 x, ?

? 2(k 2 ? 2) ??? ? , 2(k 2 ? 2) 25 16 ? x1 ? x2 ? ∴? | AB |= x1 ? x2 ? 2 = .∴ k 2 ? . ?2? k2 k2 4 9 ? x ? x ? 1, ? 1 2

从而 k ?

4 4 ,故直线 AB 的方程为 y ? ( x ? 1) ,即 4x ? 3 y ? 4 ? 0 3 3

?4 x ? 3 y ? 4 ? 0, 1 (2)由 ? 2 求得 A(4,4) B( ,-1) , 4 ? y ? 4 x,

设△AOB 的外接圆方程为 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,则
29 ? ? ?D ? ? 4 , ? F ? 0, ? ? 3 ? ?16 ? 16 ? 4 D ? 4 E ? F ? 0, 解得 ? E ? ? , 4 ?1 ? 1 ? ? 1 ? D ? (? E ) ? F ? 0. ? F ? 0. 4 ?16 ? ?

故△AOB 的外接圆的方程为 x2 ? y 2 ? 20. 解: (Ⅰ)?e ? 2 , ? c ? 4a
2 2

29 3 x? y?0. 4 4

?c 2 ? a 2 ? 3, ? a ? 1,c ? 2

x2 3 ? 双曲线方程为y ? ? 1,渐近线方程为 y ? ? x 3 3
2

(Ⅱ)设 A( x1 ,y1 ) ,B( x2 ,y2 ) ,AB 的中点 M x,y

?

?

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? 2| AB| ? 5| F1 F2 | ?| AB| ? 5 5 | F1 F2 | ? ? 2c ? 10 2 2

? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 10 3 3 x1 , y 2 ? ? x 2 , 2 x ? x 1 ? x 2 , 2 y ? y1 ? y 2 3 3 3 3 ? y1 ? y 2 ? ( x1 ? x 2 ) , y1 ? y 2 ? ( x1 ? x 2 ) 3 3 又 y1 ? ?

?

3 ( y1 ? y 2 )

?

2

? 3 ? ?? ( x1 ? x 2 ) ? ? 10 ? 3 ?

2

1 x 2 3y 2 ? 3(2 y ) 2 ? (2 x ) 2 ? 100,即 ? ?1 3 75 25
则 M 的轨迹是中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长为 10 3 ,短轴长为

10 3 的椭圆。 3

21. (I) e ?
c 3 a 2 ? b2 3 ? ? ? ??① a 2 a2 4

矩形 ABCD 面积为 8,即 2a ? 2b ? 8 ??② 由①②解得: a ? 2, b ? 1 , ∴椭圆 M 的标准方程是
? x 2 ? 4 y 2 ? 4, (II) ? ? 5 x 2 ? 8mx ? 4m2 ? 4 ? 0 , y ? x ? m, ?
8 4m2 ? 4 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? m, x1 x2 ? , 5 5
2 当 m ? (? 5, ?1) ? ? 64m2 ? 20(4m2 ? 4) ? 0 | PQ |? 2 ? ? 8 m ? ? 4 4m ? 4 ? 4 2 5 ? m2 . ? ? 2

x2 ? y2 ? 1 . 4

? 5

?

5

5

当 ? 5 ? m ? ?1 时,有 S (?m ? 1, ?1), T (2, 2 ? m),| ST |? 2(3 ? m) ,
| PQ | 4 5 ? m 2 4 4 6 ? ? ? 2 ? ?1 , 2 | ST | 5 (3 ? m) 5 t t

| PQ | 1 3 4 5 2 其中 t ? m ? 3 ,由此知当 ? ,即 t ? , m ? ? ? (? 5, ?1) 时, 取得最大值 5. | ST | t 4 3 3 5

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