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四川省绵阳南山实验高中2015届高三数学一诊模拟考试题


四川省绵阳南山实验高中 2015 届高三一诊模拟考试数学(文、理)试题

四川省绵阳南山实验高中 2015 届高三一诊模拟考试数学(文、理)试题
第 I 卷(共 50 分) 一、 选择题 (本大题共 10 小题, 每小题 5 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 ) 1.集合 M ? ??2,0,1, 2? , N ? x 2

x ? 1 ? 1 ,则 N ? M =( 8. 已知函数 f ( x) ? ? 围是( ). A.(1,2014)

?sin ?x,0 ? x ? 1 若 a, b, c 互不相等,且 f ? a ? ? f ?b ? ? f ? c ? , 则 a ? b ? c 的取值范 ?log2014 x, x ? 1
B.(1,2015) C.[2,2015] D.(2,2015)

?

?

)

? ? 2.已知 a =(2,1), b ? ? x,3? ,且 a // b ,则 x 的值为( )
A.2 B.1 C.3 D.6 3.在各项均为正数的等比数列 ?an ? 中, 3a1 , A. ?1 或 3 B.3 C.1 或 27 )

A.{-2,1,2} B.{0,2}

C.{-2,2}

D.[-2,2]

9.已知定义为 R 的函数 f ? x ? 满足 f ? ? x ? ? ? f ? x ? 4? ,且函数 f ? x ? 在区间 ? 2, ??? 上单调递增.如果

x1 ? 2 ? x2 ,且 x1 ? x2 ? 4 ,则 f ? x1 ? ? f ? x2 ? 的值(
A. 恒小于 0 B.恒大于 0
'

) D.可正可负 )

1 a ?a a3 , 2a2 成等差数列,则 11 13 ? ( ) 2 a8 ? a10
D.27

C.可能为 0

10.设函数 f ? x ? 的导函数为 f A. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) C. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3)

? x? ,对任意 x ? R 都有 f ' ? x ? ? f ? x ? 成立,则(
B. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) D. 3 f (ln 2) 与 2 f (ln 3) 的大小不确定

4.下列说法错误的是 (

A.若 p : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 ; B.“ sin ? ?

1 ”是“ ? ? 30 ”的充分不必要条件; 2

C.命题“若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ”的否命题是:“若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ”;
2 D.若 p : ?x ? R, cos x ? 1 , q : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ,则“ p ? ? q ”为假命题.

第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.) 11.幂函数 y ? (m ? 3m ? 3) x 错误!未找到引用源。过点 ? 2, 4 ? ,则 m =
2 m

5.为了得到函数 y ? cos( 2 x ?

?
3

.

) 的图象,只需将函数 y ? sin 2 x 的图象(
5? B.向右平移 个单位 12 5? D.向右平移 个单位 6



5? A.向左平移 个单位 12 5? C.向左平移 个单位 6

12. 计算 log3 6 ? log3 2 ? 4 2 ? 3

1

log3 4

的结果为
?

.

13 已知菱形 ABCD 的边长为 2 , ?BAD ? 120 ,点 E , F 分别在边 BC , DC 上,

BC ? 3BE , DC ? ? DF . 若 AE ? AF ? 1 ,则 ? 的值为
x

.

6.设 x ? R ,若函数 f ( x ) 为单调递增函数,且对任意实数 x ,都有 f ? ? f ( x) ? e ? ? ? e ? 1 ( e 是自然对 数的底数) ,则 f (ln 2) 的值等于( A. 1 B. e ? 1 C.3 ) D. e ? 3 14.已知 x, y ? R , x ?
2 ?

1 y2 ? 1 ,则 x 1 ? y 2 的最大值为 2 2

.

?2 x ? 3 y ? 5 ? 0 ? 7.若实数 x , y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 5 ? 0 ,则函数 z ?| x ? y ? 1| 的最小值是( ) ?x ? 0 ?
A.0 B.4 C.

15.已 知 A? x ? ? x ?? x 1, y 1? , B 2, y 2 1 处的切线互相平行,则

x ?2是 函 数 f ? x? ? x3 ? x图 象 上 的 两 个 不 同 点 ,且 在 A, B 两 点

8 3

D.

7 2

x2 的取值范围为 x1

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三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤共 75 分) 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 2cos ? x ?

17.(本小题满分 12 分) 设公差不为 0 的等差数列 ?an ? 的首项为 1,且 a2 , a5 , a14 构成等比数列. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足

(1)求 f ? x ? 的值域和最小正周期; (2)若对任意 x ? ?0,

? ?

? ??

?? ? ?? ? ? ? ?sin ? x ? ? ? 3 cos ? x ? ? ? . 3 ?? ? 3? 3 ?? ?

? ?? ,使得 m ? f ? x ? ? 3 ? ? 2 ? 0 恒成立,求实数 m 的取值范围. ? ? ? 6 ? ?

b b1 b2 1 ? ? ... ? n ? 1 ? n , n ? N * ,求 ?bn ? 的前 n 项和 Tn a1 a2 an 2

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18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 3 sin(? x ? ? )(? ? 0, ? 高点的距离为 ? . (I)求 ? 和 ? 的值; (II)若 f ( ) ?

19. (本小题满分 12 分)

?
2

?? ?

?
2

) 的图像关于直线 x ?

?
3

对称, 且图像上相邻两个最

已知二次函数 f ( x) ? Ax2 ? Bx( A ? 0), f (1) ? 3, 其图象关于 x ? ?1 对称,数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,
* 点 ? n, S n ? n ? N 均在 y ? f ( x) 图象上.

?

?

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式,并求错误!未找到引用源。的最小值; ( Ⅱ ) 数 列 ?bn ? , 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 ,

?

2

3? ? 2? 3 ) 的值. ?? ? ,( ),求 cos(? ? 2 6 3 4

?bn ? 的 前 n 项 和 为 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 , 求 证 :

1 1 3 1 ? ? Tn ? ? . 3 4n 4 n? 3

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20. (本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ?

21.(本小题满分 14 分) 已知 f ( x) ? ln x ? mx(m ? R) . (Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 过点 P(1, ?1) ,求曲线在 P 点处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ?1, e? 上的最大值; (Ⅲ)若函数 f ( x ) 有两个不同的零点 x1 , x2 ,求证 x1 x2 ? e2 .

1? a 2 x ? ax ? ln x ( a ? R ) . 2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的极值; (Ⅱ)当 a ? R 时,讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅲ)若对任意 a ? (2,3) 及任意 x1 , x2 ? ?1,2?,恒有 ma ? ln 2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,求实数 m 的取 值范围.

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四川省绵阳南山实验高中 2015 届高三一诊模拟考试数学(文、理)试题 答案
第 I 卷(共 50 分) 一、选择题:1.C 2.D 3.D 4.B 5.A 6.C 7.A 8.D 9.A 10.B

14.【答案解析】

3 8

2

解析:由题意得,x,y∈R ,x +

+

2

=1,则设 x=cosθ >0,y= =

sinθ >0,所

以 x ≤ ×

=

= =
2 2

=

, , .

f ( x) f ' ( x )e ? f ( x )e f ' ( x) ? f ( x) ? 10.【答案解析】解析:令 g ( x ) ? ,则 g ' ( x) ? , x 2x e e ex
x x

当且仅当 2cos θ =1+2sin θ 时取等号,此时 sinθ = 所以 x 的最大值为: ,故答案为:

因为对任意 x ? R 都有 f ' ( x) ? f ( x) , 【答案解析】 (-1,0) 解析:由题意,f(x)=x ﹣|x|= 所以 g ' ( x) ? 0 ,即 g ( x) 在 R 上单调递增, 又 ln 2 ? ln 3 ,所以 g (ln 2) ? g (ln 3) ,即 所以 当 x≥0 时,f′(x)=3x ﹣1, 当 x<0 时,f′(x)=3x +1, 因为在 A,B 两点处的切线互相平行,且 x1>x2, 所以 x1>0,x2<0 (否则根据导数相等得出 A、B 两点重合) , 所以在点 A(x1,y1)处切线的斜率为 f′(x1)=3 在点 B(x2,y2)处切线的斜率为 f′(x2)=3 +1 ﹣1,
2 2 3



f (ln 2) f (ln 3) ? ln 3 , e ln 2 e

f (ln 2) f (ln 3) ? ,即 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) ,故选 B. 2 3
,利用导数可判断 g(x)的单调性,由单调性可得 g(ln2)与 g

【思路点拨】构造函数 g(x)=

(ln3)的大小关系,整理即可得到答案. 二、填空题:11. 2 12. ? 1 13. 2 14. 15. (﹣1,0)

所以 3

﹣1=3

+1, 即

, (x1>x2,x2<0)

13.【答案解析】2 解析:∵BC=3BE,DC=λ DF, ∴ = = + , = = + = , + , = + = + = + , 由图可知 ∵菱形 ABCD 的边长为 2,∠BAD=120°, ∴| ∴( |=| + |=2, )?( ? + =2×2×cos120°=﹣2,∵ )= + +(1+ ? =1, ) ? =1, 取值范围是(﹣1,0) ,故答案为: (﹣1,0) . 表示的曲线为双曲线在第四象限的部分,如图: 表示这个曲线上的点与原点连线的斜率,

即 ×4+

×4﹣2(1+

)=1,整理得

,解得 λ =2,故答案为:2.

【思路点拨】首先把含有绝对值的函数写成分段函数的形式,然后求导,通过在 A,B 两点处的切线互相
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四川省绵阳南山实验高中 2015 届高三一诊模拟考试数学(文、理)试题

平行,即在 A,B 两点处的导数值相等,分析出 A 点在 y 轴的右侧,B 点在 y 轴的左侧.根据 A,B 两点处 的导数相等,得到 x1 与 x2 的关系式,根据关系式得出它表示的曲线,然后利用式子的几何意义求解.

* 由(I) , an ? 2n-1( n ? N ) ,? bn ?

2n ? 1 * ( n ? N )????7 分 2n

? π? ? π? ? π? 16.解析:(1)f(x)=2sin?x+ ?cos?x+ ?-2 3cos2?x+ ? 3 3 3? ? ? ? ? ?
2π ? 2π ? ? ? ? ? =sin?2x+ ?- 3?cos?2x+ ?+1? 3 3 ? ? ? ? ? ? 2π ? 2π ? π? ? ? ? =sin?2x+ ?- 3cos?2x+ ?- 3=2sin?2x+ ?- 3. 3 3 3? ? ? ? ? ? π? π? 2π ? ? ∵-1≤sin?2x+ ?≤1.∴-2- 3≤2sin?2x+ ?- 3≤2- 3,T= =π , 3? 3? 2 ? ? 即 f(x)的值域为[-2- 3,2- 3],最小正周期为 π . π? ? 3 ? π ?π 2π ? ? π? ? (2)当 x∈?0, ?时,2x+ ∈? , ?,故 sin?2x+ ?∈? ,1?, 6? 3 ? 3? ? 2 3 ?3 ? ? ? π? ? 此时 f(x)+ 3=2sin?2x+ ?∈[ 3,2]. 3? ? 2 2 由 m[f(x)+ 3]+2=0 知,m≠0,∴f(x)+ 3=- ,即 3≤- ≤2, m m 2 ? ?m+ 3≤0, 即? 2 ? ?m+2≥0,

Tn ?

1 3 5 2n ? 1 1 1 3 5 2n ? 1 ? 2 ? 3 ? ... ? Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ... ? n ?1 1 n 2 2 2 2 2 2 2 2 ,2

两式相减得

1 1 2 2 2 2 2n ? 1 Tn ? ? ( 2 ? 3 ? 4 ? ... ? n ) ? n ?1 , 2 2 2 2 2 2 2
=

3 1 2n ? 1 ? n ?1 ? , 2 2 2n ?1

? Tn ? 3 ?

2n ? 3 2n

?????.12 分

【思路点拨】 (Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d(d≠0) ,由 a2,a5,a14 构成等比数列得关于 d 的方程,解 出 d 后利用等差数列的通项公式可得 an; (Ⅱ)由条件可知,n≥2 时, 再由(Ⅰ)可求得 bn,注意验证 n=1 的情形,利用错位相减法可求得 Tn。 18. 解析: (I)由题意可得函数 f(x)的最小正周期为 π ,∴ 再根据图象关于直线 x= 结合﹣ ≤φ < )= < 对称,可得 2× +φ =kπ + ,k∈z. =π ,∴ω =2. =1﹣ ﹣(1﹣ )= ,

2 3 ? 2 3 ? 解得- ≤m≤-1.即实数 m 的取值范围是?- ,-1?. 3 3 ? ?

可得 φ =﹣ (

.??????????.5 分 ) ,∴ )= )+ ]=sin(α ﹣ )cos sin(α ﹣ )= ,∴sin(α ﹣ = , )sin )= .

【思路点拨】 (1)根据二倍角公式和和差角公式(辅助角公式) ,化简函数解析式为正弦型函数的形式, 进而结合 ω =2,可得 f(x)的最小正周期;由 A,B 的值,可得 f(x)的值域; (2)若对任意 x∈[0, 值范围. 17. 解析: (I)设等差数列 an 的公差为 d,(d ? 0 ),则 ],使得 m[f(x)+ ]+2=0 恒成立,f(x)+ = ,进而可得实数 m 的取

(II)∵f(

<α <

再根据 0<α ﹣ ∴cos(α + = +

,∴cos(α ﹣

? ?

)=sinα =sin[(α ﹣ =

+cos(α ﹣

.????????12 分 对

1 ? 13d ) a2 ,a5 ,a14 构成等比数列,? a2a14 ? a ,即(1 ? 4d ) ? (1 ? d ))
2 5
2

【思路点拨】 (Ⅰ)由题意可得函数 f(x)的最小正周期为 π 求得 ω =2.再根据图象关于直线 x= 称,结合﹣ ≤φ < 可得 φ 的值. (Ⅱ)由条件求得 sin(α ﹣ )=sinα =sin[(α ﹣ )= .再根据 α ﹣ )+

解得 d=0(舍去)或 d=2, ? an ? 1+2(n-1)=2n-1 ??????.3 分 的范围求 (II)由已知

b1 b2 b 1 ? ? ... ? n ? 1 ? n ( n ? N * ) 2 a1 a2 an

得 cos(α ﹣ 计算求得结果.

)的值,再根据 cos(α +

],利用两角和的正弦公式

b 1 b b 1 1 1 1 * 当 n=1 时, 1 = ;当 n ? 2 时, n ? ( 1 ? n ) ?(1 ? n ?1 )= n ,? n ? = n , (n ? N ) 2 2 2 2 a1 2 an an
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B ? ?1, 19.解析: (1) f (1) ? A ? B ? 3, ? 2A
? A ? 1,B ? 2,,f(x ) ? x 2 ? 2x
点 ? n, S n ? n ? N ?????..1 分

通项公式.由函数的单调性求得 Sn 的最小值; (Ⅱ)利用裂项相消法求出数列{bn}的前 n 项和为 Tn,然后 利用放缩法证得数列不等式. 20.解析: (Ⅰ)函数的定义域为 (0, ? ?) ,当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? ln x, f '( x) ? 1 ?

1 x ?1 ? . 令 x x

?

*

? 均在 y=f(x)图象上,? Sn

f '( x) ? 0, 得x ? 1. ,当 0 ? x ? 1 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f '( x) ? 0 ,? f ( x)在(0,1) 单调递减,

? n ? 2n ①??????..2 分
2

在 (1, ??) 单调递增,? f ( x)极小值 ? f (1) ? 1 ,无极大值 ;?? 4 分

S n ?1 ? (n ? 1) ? 2 (n ? 1)( n ? 2 )②
2

①-②得 S n ? 又 a1 ?

S n ?1 ? 2n ? 1 ,即 an =2n+1 ( n ? 2 )?????????.4 分,

1 (1 ? a) x 2 ? ax ? 1 [(1 ? a) x ? 1]( x ? 1) ? (Ⅱ) f '( x) ? (1 ? a) x ? a ? ? ? x x x

(1 ? a)( x ?

1 )( x ? 1) a ?1 ?5 分 x

s1 ? 3 ?????5 分
=(n+1) ﹣1,
* 2

x ? 1 ? 0 , f(x )在(0,1)单减,(1,??)单增; ① a ? 1 时,(1 ? a )
② 1 ? a ? 2 时,

,由 ? an =2n+1( n ? N * )

该函数在[﹣1,+∞)上为增函数,又 n∈N ,∴当 n=1 时, (Sn)min=3; ??6 分 (2) bn ?

1 1 1 1 ?1 ? 1, )单减, ( ,??) 单增; f(x )在(0,1)单增, 在(1, ③当 a ?1 a ?1 a ?1 a ?1

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ???????.7 分 2 n(n ? 2) 2 n n ? 2 n ? 2n

( x ? 1) 2 1 ? 1, ? 0, f ( x)在(0, ??) 上是减函数; 即 a ? 2 时, f '( x) ? ? ④当 即 a ? 2 时, 令 f '( x) ? 0 , a ?1 x
得0 ? x ?

1 1 1 1 1 1 Tn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )] 2 3 2 4 n n ?2
= [(1 ?

1 1 或x ? 1 ,令 f '( x) ? 0 ,得 ? x ?1 a ?1 a ?1

?????9 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 a ? (2,3) 时, f ( x)在[1, 2] 上单调递减,当 x ? 1 时, f ( x) 有最大值,当 x ? 2 时,

1 2

1 1 1 3 1 1 1 ? ? )]= ? ( ? ) ???9 分 2 n ?1 n ?2 4 2 n ?1 n ?2

即证

3 1 3 1 1 1 ? ? ? ( ? ) 4 n ?3 4 2 n ?1 n ?2

a 3 a 3 ? ? ln 2 ,? ma ? ln 2 ? ? ? ln 2 , 2 2 2 2 1 3 1 1 3 由2 ? a ? 3得 ? ? ? ? 0, ? m ? 0 .??13 分 而 a ? 0 经整理得 m ? ? 2 2a 4 2 2a
f ( x) 有最小值,?| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? f (1) ? f (2) ?
【思路点拨】 (Ⅰ)确定函数的定义域为(0,+∞) ,求导函数,确定函数的单调性,即可求得函数 f (x) 的极值; (Ⅱ)求导函数,并分解,再进行分类讨论,利用 f′(x)<0,确定函数单调减区间;f′(x) >0,确定函数的单调增区间; (Ⅲ)确定 f(x)在[1,2]上单调递减,可得 f(x)的最大值与最小值, 进而利用分离参数法,可得 ,从而可求实数 m 的取值范围.

2 1 1 ?( ? ), 即证 n ?3 n ?1 n ?2
1 1 1 1 ? , ? ,所以右边成立??..10 分, n ? 3 n ?1 n ? 3 n ? 2
又T n 随 n 的增大而增大,Tn ? T1 ?

21.解析: (1)因为点 P(1,-1)在曲线上,所以 f(1)=-1,得 m=1

1 1 1 ? ? ,左边成立????..11 分 3 3 4n
2

f /(x ) ?

1

x

? 1 ,? f /(1)=0,故切线方程为 y=-1. ??3 分 1 1 ? mx

所以,原不等式成立 . ?????????.12 分 【思路点拨】 (Ⅰ)由 f(1)=3,二次函数 f(x)=Ax +Bx 的对称轴为 x=﹣1 列式求得 A,B 的值,则函 数解析式可求,结合点(n,Sn)在 y=f(x)图象上得到数列数列的前 n 项和,由 an=Sn﹣Sn﹣1 求得数列的
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(2) f (x ) ?
/

x

?m=

x

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/ ①当 m ? 0 时, x ? (1,e ); x ? (1,e ), f (x )>0, f (x )单增, f(x )max =f(e)=1-me;

则 ? /( t) ? 式成立.

1

t

?

4 (t ? 1)2 ? ? 0 ,函数 ?(t )在(1, ??)单增,? ?(t ) ? ?(1)=0,? 原不等 (t ? 1)2 t(t ? 1)2
????????14 分

② 当

1

m

? e ,即 0 ? m ? 1 1

1

e

/ 时, x ? (1,e ), f (x )>0, f (x )单增, f(x )max =f(e)=1-me;

【思路点拨】 (Ⅰ)求出斜率,代入切线方程即可; (Ⅱ)需要讨论 m 的范围,m 的取值范围不一样,求出

③ 当1 ?

m
1

? e 时,即

e

?

1

m

1 1 ? 1 时 , x ? (1, e )单 减 , e ) , f (x ) 在 (1, ) 单 增 , 在 ( ,

的最值不同; (Ⅲ)将所证的结论转化为求新函数的单调区间问题得以解决.

m

m

f(x )max = f ( )= ? ln m ? 1 m
④当

1

m

? 1 即 m ? 1 时, x ? (1,e ), f /(x ) ? 0 , f (x )单减, f(x )max = f(1)=-m

? f (x )在[1,e]上的最大值 f(x )max =

????????????8 分 (3)不妨设 x1 ?

x 2 ? 0 , f(x1 ) ? f(x 2 ) ? 0 ,? ln x1 ? mx1 ? 0 ,

ln x 2 ? mx 2 ? 0,ln x1 ? ln x 2 ? m(x1 ? x 2 ), ln x1 ? ln x 2 ? m(x1 ? x 2 ),
要证 x1x 2 ?

e 2 ,即证 ln x1 ? ln x 2 ? 2 ,即证 m(x1 ? x 2 ) ? 2 ,???10 分 m ?

ln x1 ? ln x 2 , x1 ? x 2

即证

2 (x1 ? x 2) ln x1 ? ln x 2 2 ,即证 ln x1 ? ln x 2 ? ,即证 ? x1 ? x 2 x1 ? x 2 x1 ? x 2
2 (

x1 ? 1) x1 x2 ,?????12 分 ln ? x1 x2 1? x2


x1 t ?1 t ?1 =t,则t ? 1 ,即证 ln t ? , ?(t ) ? ln t ? , t ?1 t ?1 x2

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四川省绵阳南山实验高中2015届高三一诊模拟考试数学(文)试题含解析

四川省绵阳南山实验高中2015届高三一诊模拟考试数学(文)试题含解析_数学_高中教育...2 2 ???13 分 【思路点拨】 (Ⅰ)由题意可知 f'(x)<0 的解集为(1,...

四川省绵阳南山实验高中2015届高三一诊模拟考试英语试题含解析

四川省绵阳南山实验高中2015届高三一诊模拟考试英语试题含解析_数学_高中教育_教育...作者感谢律师的时候,律师的回答出乎作者的预料 【答案解析】 31.A 细节理解题...

【名师解析】四川省绵阳南山实验高中2015届高三一诊模拟考试数学(理)试题(解析版)

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