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1.4定积分与微积分练习题


定积分与微积分练习题及答案
一、选择题: 1 如图,阴影部分面积等于( ) 32 C. 3 35 D. 3

A.2 3 2.?2 4-x2dx=( ?0 A.4π

B.2- 3 ) B.2π

C.π

π D. 2

π π 3.向平面区域 Ω={(x,y)|- ≤x≤ ,0≤y≤1}内随机投掷一点,该点落在曲线 y=cos2x 4 4 下方的概率是( π A. 4 ) 1 B. 2 π C. -1 2 2 D. π

? [0,1], ?x2, x∈ 4.设 f(x)=? 则 ?2-x,x∈ [1,2], ?

?

2

0

f(x)dx 等于 D.不存在

(

)

3 A. 4

4 B. 5

5 C. 6

5.函数 y=-x2+2x+1 与 y=1 相交形成一个闭合 图形,则该闭合图形的面积是 A.1 6.若 y= ? A.1
x

(

)

4 B. 3
0

C. 3

D.2

(sint+costsint)dt,则 y 的最大值是 B.2 C.- 7 2 D.0

(

)

7.(2010· 惠州模拟)?2(2-|1-x|)dx=________. ?0 A.1 B.2 C.3 D.4 8.(2012· 太原模拟)已知(xlnx)′=lnx+1,则?e lnxdx=( ?1 A.1 B.e C.e-1 D.e+1 -x-1 - ? ? 9. 若函数 f(x)=? π , ? 2 ? 则 a 的值为( 2+π A. 4 ) 1 B. 2 C.1 3 D. 2 , 的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为 a, )

二、填空题: 1.已知函数 y=x2 与 y=kx(k>0)的图象所围成的阴影部分 4 (如图所示)的面积为 ,则 k=________. 3 2.如图,设点 P 从原点沿曲线 y=x2 向点 A(2,4)移动, 记直线 OP、曲线 y=x2 及直线 x=2 所围成的面积 分别记为 S1,S2,若 S1=S2,则点 P 的坐标为________.

3. 一辆汽车的速度—时间曲线如图所示, 则该汽车在这一分钟内行驶的路程为_______ 米.

4.已知函数 f(x)=3x2+2x+1,若?1 f(x)dx=2f(a)成立,则 a=________. ?-1 5.若 ________. 6.抛物线 y2=2x 与直线 y=4-x 围成的平面图形的面积为________. 7.如果?1f(x)dx=1,?2f(x)dx=-1,则?2f(x)dx=________. ?0 ?0 ?1 8.设函数 f(x)=ax2+c(a≠0),若?1f(x)dx=f(x0),0≤x0≤1,则 x0 的值为________. ?0 4 9.抛物线 y2=ax(a>0)与直线 x=1 围成的封闭图形的面积为 ,若直线 l 与抛物线相切 3 且平行于直线 2x-y+6=0,则 l 的方程为______. 2 10.设 n=?2(3x2-2)dx,则(x- )n 展开式中含 x2 项的系数是________. x ?1 三、解答题: 1.计算以下定积分: f(x)是一次函数,且 ?
1 0

f(x)dx= 5, ?

1

0

17 xf(x)dx= ,那么 6

?

2

1

f(x) dx 的值是 x

(1)

?

2

1

1 (2x2- )dx;(2) x

?

3 2

( x+

1 2 ) dx;(3) x

?

?
3 0

(sinx-sin2x)dx;

(4)

?

1

?1

x |x|dx; (5)?πcos2 dx; 2 ?0

2.设 y=f(x)是二次函数,方程 f(x)=0 有两个相等的实根,且 f′(x)=2x-2. (1)求 y=f(x)的表达式; (2)求 y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积.

3.已知 f(x)为二次函数,且 f(-1)=2,f′(0)=0,?1f(x)dx=-2. ?0 (1)求 f(x)的解析式; (2)求 f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值.

4.设 f(x)=

?

1

0

|x2-a2|dx.

(1)当 0≤a≤1 与 a>1 时,分别求 f(a); (2)当 a≥0 时,求 f(a)的最小值.

5.有一条直线与抛物线 y=x2 相交于 A、B 两点,线段 AB 与抛物线所围成图形的面 4 积恒等于 ,求线段 AB 的中点 P 的轨迹方程. 3

6.如图所示,在区间[0,1]上给定曲线 y=x2,试在此区间内确定 t 的值,使图中阴影部 分的面积 S1+S2 最小.


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