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解析几何专题复习


解析几何单元易错题练习
一.考试内容: 椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程. 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质. 二.考试要求: 掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,了解椭圆的参数方程. 掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. 掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. 了解圆锥曲线的初步应用. 【注意】圆锥曲线是解析几何的重点,也是高中数学的重点内容,高考中主要出现三种类型的试题:①考 查圆锥曲线的概念与性质;②求曲线方程和轨迹;③关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题. 三.基础知识: 椭圆及其标准方程 椭圆的定义:椭圆的定义中,平面内动点与两定点 F1 、 F2 的距离的和大于| F1 F2 |这个条件不可忽视. 若这个距离之和小于| F1 F2 |,则这样的点不存在;若距离之和等于| F1 F2 |,则动点的轨迹是线段 F1 F2 .

x2 y2 y2 x2 ? 2 ?1 ? 2 ?1 2 2 b b 2.椭圆的标准方程: a ( a > b >0) a , ( a > b >0).
3.椭圆的标准方程判别方法: 判别焦点在哪个轴只要看分母的大小: 如果 x 项的分母大于 y 项的分母, 则椭圆的焦点在 x 轴上,反之,焦点在 y 轴上. 4.求椭圆的标准方程的方法:⑴ 正确判断焦点的位置;⑵ 设出标准方程后,运用待定系数法求解. 椭圆的简单几何性质
2

2

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 椭圆的几何性质:设椭圆方程为 a ( a > b >0).
⑴ 范围: -a≤x≤a,-b≤x≤b,所以椭圆位于直线 x= ? a 和 y= ? b 所围成的矩形里. ⑵ 对称性:分 别关于 x 轴、y 轴成轴对称,关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. ⑶ 顶点:有四个 A1 (-a,0) A2 (a,0) B1 (0,-b) B2 (0,b). 、 、 线段 A1 A2 、 B1 B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于 2a 和 2b,a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴 长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点,称为椭圆的顶点.

e?
⑷ 离心率:椭圆的焦距与长轴长的比

c a 叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0<e<1.e

越接近于 1 时,椭圆越扁;反之,e 越接近于 0 时,椭圆就越接近于圆. 2.椭圆的第二定义

e?
⑴ 定义:平面内动点 M 与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数

c a (e<1=时,

1

这个动点的轨迹是椭圆.

x2 y2 a2 ? 2 ?1 x?? 2 c .对于椭 b ⑵ 准线:根据椭圆的对称性, a ( a > b >0)的准线有两条,它们的方程为 y2 x2 a2 ? 2 ?1 y?? 2 c . b 圆a ( a > b >0)的准线方程,只要把 x 换成 y 就可以了,即
3.椭圆的焦半径:由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 设 F1 (-c,0) F2 (c,0)分别为椭圆 a , ( a > b >0)的左、右两焦点,M(x,y)是椭圆
上任一点,则两条焦半径长分别为

MF1 ? a ? ex



MF2 ? a ? ex

.

椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.

椭圆的四个主要元素 a、b、c、e 中有 a = b + c 、 独立条件. 4.椭圆的参数方程

2

2

2

e?

c a 两个关系,因此确定椭圆的标准方程只需两个

? x ? a cos ? x2 y2 ? ? 2 ?1 2 y ? b sin ? (θ 为参数). b 椭圆 a ( a > b >0)的参数方程为 ?
说明 ⑴ 这里 参 数 θ 叫 做 椭 圆 的离 心 角 .椭 圆上 点 P 的 离 心 角θ 与 直线 OP 的 倾斜 角 α 不同:

tan? ?

b tan? a ;

x2 y2 ? 2 ?1 2 2 2 b ⑵ 椭圆的参数方程可以由方程 a 与三角恒等式 cos ? ? sin ? ? 1 相比较而得到,所以椭圆的

? x ? a cos? x2 y 2 ? ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 y ? b sin ? . b 参数方程的实质是三角代换. 92.椭圆 a 的参数方程是 ?
5.椭圆的的内外部

x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 0 ? 0 ?1 P( x0 , y0 ) 在椭圆 a 2 b a 2 b2 (1)点 的内部 .
2 2 x0 y0 x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ? 2 ?1 P( x0 , y0 ) 在椭圆 a 2 b2 a b (2)点 的外部 .

6. 椭圆的切线方程

x0 x y0 y x2 y 2 ? 2 ?1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 a 2 b b 椭圆 a 上一点 . x0 x y0 y x2 y 2 ? 2 ?1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 a 2 b b (2)过椭圆 a 外一点 .

2

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 2 2 2 2 2 b (3)椭圆 a 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 A a ? B b ? c
双曲线及其标准方程 双曲线的定义:平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离的差的绝对值等于常数 2a(小于| F1 F2 |)的动点 M 的 轨迹叫做双曲线.在这个定义中,要注意条件 2a<| F1 F2 |,这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三 边”加以理解.若 2a=| F1 F2 |,则动点的轨迹是两条射线;若 2a>| F1 F2 |,则无轨迹. 若

MF1



MF2

时,动点 M 的轨迹仅为双曲线的一个分支,又若

MF1



MF2

时,轨迹为双曲线的另一

支.而双曲线是由两个分支组成的,故在定义中应为“差的绝对值”.

x2 y2 y2 x2 ? 2 ?1 ? 2 ?1 2 2 2 2 2 b b 双曲线的标准方程: a 和a (a>0,b>0).这里 b ? c ? a ,其中| F1 F2 |=2c.要
注意这里的 a、b、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同. 3.双曲线的标准方程判别方法是:如果 x 项的系数是正数,则焦点在 x 轴上;如果 y 项的系数是正数, 则焦点在 y 轴上.对于双曲线,a 不一定大于 b,因此不能像椭圆那样,通过比较分母的大小来判断焦点在 哪一条坐标轴上. 4.求双曲线的标准方程,应注意两个问题:⑴ 正确判断焦点的位置;⑵ 设出标准方程后,运用待定系数 法求解. 双曲线的简单几何性质
2

2

c x2 y2 e? ? 2 ?1 2 a >1,离心率 e 越大,双曲线的开口越大. b 双曲线 a 的实轴长为 2a,虚轴长为 2b,离心率 b x2 y2 x2 y2 y?? x ? ?0 ? 2 ?1 2 a 或表示为 a 2 b 2 b 双曲线 a 的渐近线方程为 .若已知双曲线的渐近线方程是 y?? m x 2 2 2 2 n ,即 m x ? ny ? 0 ,那么双曲线的方程具有以下形式: m x ? n y ? k ,其中 k 是一个不为

零的常数. 双曲线的第二定义:平面内到定点(焦点)与到定直线(准线)距离的比是一个大于 1 的常数(离心率)

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线 a ,它的焦点坐标是(-c,0)和(c,0) ,与它们对应的准 x??
线方程分别是

a2 a2 x2 y 2 x? ? ? 1(a ? 0, b ? 0) c .双曲线 a 2 b 2 c 和 的焦半径公式

PF1 ?| e( x ?

a2 a2 ) | PF2 ?| e( ? x) | c , c .

双曲线的内外部

3

x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ? 0 ? 0 ?1 P( x0 , y0 ) 在双曲线 a 2 b a 2 b2 点 的内部 . x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ? 0 ? 0 ?1 P( x0 , y0 ) 在双曲线 a 2 b a 2 b2 点 的外部 .
双曲线的方程与渐近线方程的关系

x2 y2 x2 y 2 b ? 2 ?1 ? 2 ?0? y?? x 2 2 a . ? 渐近线方程: a b b (1)若双曲线方程为 a
y??

若渐近线方程为

x y x2 y2 b ? ?0 ? ?? x a ?a b ?双曲线可设为 a 2 b 2 .

x2 y2 x2 y2 ? 2 ?1 ? 2 ?? 2 2 b b 若双曲线与 a 有公共渐近线,可设为 a ( ? ? 0 ,焦点在 x 轴上, ? ? 0 ,焦点在 y
轴上). 双曲线的切线方程

x0 x y0 y x2 y 2 ? 2 ?1 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 a 2 b b 双曲线 a 上一点 . x0 x y0 y x2 y 2 ? 2 ?1 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 a 2 b b (2)过双曲线 a 外一点 .

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 2 2 2 2 b (3)双曲线 a 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 A a ? B b ? c .
抛物线的标准方程和几何性质 1.抛物线的定义:平面内到一定点(F)和一条定直线(l)的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点 F 叫抛物线的焦点,这条定直线 l 叫抛物线的准线。 需强调的是,点 F 不在直线 l 上,否则轨迹是过点 F 且与 l 垂直的直线,而不是抛物线。 2.抛物线的方程有四种类型:

y 2 ? 2 px 、 y 2 ? ?2 px、 x 2 ? 2 py 、 x 2 ? ?2 py .
对于以上四种方程:应注意掌握它们的规律:曲线的对称轴是哪个轴,方程中的该项即为一次项;一次项 前面是正号则曲线的开口方向向 x 轴或 y 轴的正方向;一次项前面是负号则曲线的开口方向向 x 轴或 y 轴 的负方向。 3.抛物线的几何性质,以标准方程 y2=2px 为例 (1)范围:x≥0; (2)对称轴:对称轴为 y=0,由方程和图像均可以看出; (3)顶点:O(0,0) ,注:抛物线亦叫无心圆锥曲线(因为无中心) ; (4)离心率:e=1,由于 e 是常数,所以抛物线的形状变化是由方程中的 p 决定的;

x??
(5)准线方程

p 2;

(6)焦半径公式:抛物线上一点 P(x1,y1) 为抛物线的焦点,对于四种抛物线的焦半径公式分别为 ,F

4

(p>0) :

p ; y 2 ? ?2 px : PF ? ? x1 ? 2 p x 2 ? 2 py : PF ? y1 ? ; x 2 ? ?2 py : PF ? ? y1 ? 2 y 2 ? 2 px : PF ? x1 ?

p 2 p 2

(7)焦点弦长公式:对于过抛物线焦点的弦长,可以用焦半径公式推导出弦长公式。设过抛物线 y2=2px (p>O)的焦点 F 的弦为 AB,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,AB 的倾斜角为α ,则有①|AB|=x 1 +x 2 +p

以上两公式只适合过焦点的弦长的求法,对于其它的弦,只能用“弦长公式”来求。 (8)直线与抛物线的关系:直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程:x +bx+c=0,当 a≠0 时,两 者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同,用判别式法即可;但如果 a=0,则直线是抛物线的对称轴或是 和对称轴平行的直线,此时,直线和抛物线相交,但只有一个公共点。
2

y ( ? , y? ) 2 2 (x , y ) y2 ? 2 px? . 4.抛物线 y ? 2 px 上的动点可设为 P 2 p 或 P(2 pt ,2 pt)或 P ? ? ,其中 ?
y ? ax 2 ? bx ? c ? a( x ?
5. 二 次 函 数

2

b 2 4ac ? b2 ) ? (a ? 0) 的 图 象 是 抛 物 线 : 1 ) 顶 点 坐 标 为 2a 4a (

(?

b 4ac ? b2 b 4ac ? b 2 ? 1 4ac ? b 2 ? 1 , ) (? , ) y? 2a 4a 4a 4a ; (2)焦点的坐标为 2a ; (3)准线方程是 .

6.抛物线的内外部 点 点 点 点 点 点 点 点

P( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的内部 ? y 2 ? 2 px( p ? 0) . P( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的外部 ? y 2 ? 2 px( p ? 0) . P( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 ? ?2 px( p ? 0) 的内部 ? y 2 ? ?2 px( p ? 0) . P( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 ? ?2 px( p ? 0) 的外部 ? y 2 ? ?2 px( p ? 0) . P( x0 , y0 ) 在抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 的内部 ? x2 ? 2 py( p ? 0) . P( x0 , y0 ) 在抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 的外部 ? x2 ? 2 py( p ? 0) . P( x0 , y0 ) 在抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 的内部 ? x2 ? 2 py( p ? 0) . P( x0 , y0 ) 在抛物线 x2 ? ?2 py( p ? 0) 的外部 ? x2 ? ?2 py( p ? 0) .

7. 抛物线的切线方程
2 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 y0 y ? p( x ? x0 ) . 抛物线 y ? 2 px 上一点 2 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 y0 y ? p( x ? x0 ) .(3)抛物线 (2)过抛物线 y ? 2 px 外一点

5

y 2 ? 2 px( p ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 pB2 ? 2 AC .
(六).两个常见的曲线系方程 过曲线

f1 ( x, y) ? 0 , f 2 ( x, y) ? 0 的交点的曲线系方程是

f1 ( x, y) ? ? f 2 ( x, y) ? 0 ( ? 为参数).
x2 y2 ? 2 ?1 2 2 2 2 2 共焦点的有心圆锥曲线系方程 a ? k b ? k ,其中 k ? max{a , b } .当 k ? min{a , b } 时,表示椭圆;
当 min{a , b } ? k ? max{a , b } 时,表示双曲线.
2 2 2 2

直线与圆锥曲线相交的弦长公式

AB ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2

或 (弦端点 A ( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,

AB ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 ?| x1 ? x2 | 1 ? tan 2 ? ?| y1 ? y2 | 1 ? co t 2 ?

?y ? kx ? b ? F( x, y) ? 0 消去 y 得到 ax2 ? bx ? c ? 0 , ? ? 0 , ? 为直线 AB 的倾斜角, k 为直线的斜率). 由方程 ?
(八).圆锥曲线的两类对称问题 (1)曲线 F ( x, y) ? 0 关于点

P( x0 , y0 ) 成中心对称的曲线是 F (2 x0 -x, 2 y0 ? y) ? 0 .

(2)曲线 F ( x, y) ? 0 关于直线 Ax ? By ? C ? 0 成轴对称的曲线是

F (x ?

2 A( Ax ? By ? C ) 2 B( Ax ? By ? C ) ,y? )?0 2 2 A ?B A2 ? B 2 .

四.基本方法和数学思想
x2 y2 ? 2 ?1 2 b 椭圆焦 半径公式: 设 P( x0,y0 )为椭圆 a ( a>b>0)上任 一点,焦点 为 F1(-c,0),F2(c,0), 则

PF ? a ? ex0 , PF2 ? a ? ex0 1

(e 为离心率) ;

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 双曲线焦半径公式:设 P(x0,y0)为双曲线 a (a>0,b>0)上任一点,焦点为 F1(-c,0),F2(c,0),则:

(1)当 P 点在右支上时, (2)当 P 点在左支上时,

PF ? a ? ex0 , PF2 ? ?a ? ex0 1 PF ? ?a ? ex0 , PF2 ? a ? ex0 1

; ; 为离心率) (e ;

x2 y2 x2 y2 ? 2 ?1 ? 2 ?0 2 2 b b 另:双曲线 a (a>0,b>0)的渐进线方程为 a ;

抛物线焦半径公式: P 设 (x0,y0) 为抛物线 y2=2px(p>0)上任意一点, 为焦点, F 则

PF ? x 0 ?

p 2; y2=2px(p

6

<0)上任意一点,F 为焦点,

PF ? ? x0 ?

p 2;

涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题;

共渐进线

y??

b x2 y2 x ? ? ? (? a 的双曲线标准方程为 a 2 b 2 为参数, ? ≠0) ;

计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式, 一般地,若斜率为 k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为 AB, A、B 两点分别为 A(x1,y1)、B(x2,y2),则弦 长
AB ? 1 ? k 2 ? x2 ? x1 ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ]

? 1?

1 1 ? y2 ? y1 ? (1 ? 2 ) ? [( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ] 2 k k ,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想;
2

y x b 2b 2 ? 2 ?1 2 b 椭圆、 双曲线的通径 (最短弦) a , 为 焦准距为 p= c , 抛物线的通径为 2p, 焦准距为 p; 双曲线 a

2

2

(a>0,b>0)的焦点到渐进线的距离为 b; 中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆,双曲线方程可设为 Ax2+Bx2=1; 抛物线 y2=2px(p>0)的焦点弦 (过焦点的弦) AB,(x1,y1) B(x2,y2),则有如下结论: 为 A 、 (1)
p2 (2)y1y2=-p2,x1x2= 4 ;

AB

=x1+x2+p;

x2 y2 ? 2 ?1 2 AB ? 2a ? e( x1 ? x 2 ) b 过椭圆 a ( a>b>0 ) 左 焦 点 的 焦 点 弦 为 AB , 则 ,过右焦点的弦

AB ? 2a ? e( x1 ? x 2 )



2 y0 对于 y2=2px(p≠0)抛物线上的点的坐标可设为( 2 p ,y0),以简化计算;

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 处理椭圆、 双曲线、 抛物线的弦中点问题常用代点相减法, A(x1, 设 y1)、 B(x2,y2)为椭圆 a (a>b>0)

x2 y2 b2 ? 2 ?1 2 2 b 上不同的两点,M(x0,y0)是 AB 的中点,则 KABKOM= a ;对于双曲线 a (a>0,b>0) ,类似

?

2p b2 2 可得:KAB.KOM= a ;对于 y2=2px(p≠0)抛物线有 KAB= y1 ? y 2
求轨迹的常用方法: (1)直接法:直接通过建立 x、y 之间的关系,构成 F(x,y)=0,是求轨迹的最基本的方法; (2)待定系数法:所求曲线是所学过的曲线:如直线,圆锥曲线等,可先根据条件列出所求曲线的方程, 再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可; (3)代入法(相关点法或转移法) :若动点 P(x,y)依赖于另一动点 Q(x1,y1)的变化而变化,并且 Q(x1,y1)

7

又在某已知曲线上,则可先用 x、y 的代数式表示 x1、y1,再将 x1、y1 带入已知曲线得要求的轨迹方程; (4)定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方程; (5)参数法:当动点 P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将 x、y 均 用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程。 例题 1 求过点(2,1)且与两坐标所围成的三角形面积为 4 的直线方程。

x y ? ?1 错解:设所求直线方程为 a b 。 2 1 ? ?1 ∵(2,1)在直线上,∴ a b , 1 ab =4 又2 ,即 ab = 8 ,





由①、②得 a = 4,b = 2。故所求直线方程为 x + 2 y = 4 。 剖析:本题的“陷阱”是直线与两坐标轴所围成的三角形面积的表示。上述解法中,由于对截距概念模糊 不清,误将直线在 x 轴和 y 轴上的截距作距离使用而掉入“陷阱” 。

1 1 ab 事实上,直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 2 ,而不是 2 ab。
故所求直线方程应为: x + 2 y = 4,或( 2 +1)x - 2( 2 -1)y – 4 = 0,或( 2 - 1)x - 2( 2 +1)y +4 = 0。 例题 2 求过点 A(-4,2)且与 x 轴的交点到(1,0)的距离是 5 的直线方程。

2 错解:设直线斜率为 k,其方程为 y – 2 = k(x + 4) ,则与 x 轴的交点为(-4- k ,0) ,

?4?


2 1 ?1 ? 5 k ,解得 k = - 5 。故所求直线的方程为 x + 5y – 6 = 0 。

剖析: 题中仅考虑了斜率存在的情况, 忽视了斜率不存在的情况, 即经过 A 且垂直于 x 轴的直线, “陷 落入 阱” 。其实 x = - 4 也符合题意。 例题 3 求过点(1,1)且横、纵截距相等的直线方程。

x y ? ?1 错解:设所求方程为 a a ,将(1,1)代入得 a = 2,
从而得所求直线方程为 x + y – 2 = 0。

x y ? ?1 剖析:上述错解所设方程为 a a ,其中不含横、纵截距为 0 的特殊情形,事实上,横、纵截距为 0
且过点(1,1)的直线 y = x 也符合条件。 例题 4 已知圆的方程为 x2 + y2 + ax + 2y + a2 = 0 ,一定点为 A(1,2) ,要使过 A 点作圆的切线有两条, 求 a 的取值范围。

a 4 ? 3a 2 4 。 错解:将圆的方程配方得: ( x + 2 )2 + ( y + 1 )2 =

8

4 ? 3a 2 a 4 ∵其圆心坐标为 C(- 2 ,-1) ,半径 r = 。
当点 A 在圆外时,过点 A 可作圆的两条切线,则

AC

> r 。

a 4 ? 3a 2 (1 ? ) 2 ? (2 ? 1) 2 2 4 即 > 。即 a2 + a + 9 > 0,解得 a∈R。
剖析: 本题的 “陷阱” 是方程 x2 + y2 + ax + 2y + a 2= 0 表示圆的充要条件, 上述解法仅由条件得出 r ,即 a2 + a + 9 > 0,却忽视了 a 的另一制约条件 4 – 3 a2 > 0。

AC



2 2 3, 3 3 事实上,由 a2 + a + 9 > 0 及 4 – 3 a2 > 0 可得 a 的取值范围是( 3 ) 。 ?
例题 5 已知直线 L:y = x + b 与曲线 C:y = 1 ? x 有两个公共点,求实线 b 的取值范围。
2

? y ? x ? b, ? ? ? 2 错解:由 ? y ? 1 ? x 消去 x 得:2y2 - 2by + b2 – 1 = 0。

( * )

∵ L 与曲线 C 有两个公共点, ∴ ? = 4b2 – 8 ( b2 -1 ) > 0,解得- 2 <b< 2 剖析:上述解法忽视了方程 y = 1 ? x 中 y ≥ 0 ,- 1 ≤ x ≤ 1 这一限制条件,得出了错误的结论。
2

事实上,曲线 C 和直线 L 有两个公共点等价于方程(*)有两个不等的非负实根。

? ? ? ? 4b2 - 8(b2 - 1) ? 0 ? - 2b ? ?0 ? y 1 ? y2 ? 2 ? 2 ? y y ? b ?1 ? 0 1 2 ? 2 ?

解得 1≤ b ≤ 2 。

例题 6 等腰三角形顶点是 A(4,2) ,底边的一个端点是 B(3,5) ,求另一个端点 C 的轨迹方程。 错解:设另一个端点的坐标为( x ,y ) ,依题意有:

AC

=

AB

,即:

( x ? 4) 2 ? ( y ? 2) 2

=

(4 ? 3) 2 ? (2 ? 5) 2

∴ (x - 4)2 + (y - 2) 2 = 10 即为 C 点的轨迹方程。 这是以 A(4,2)为圆心、以为半径的圆。 剖析:因为 A、B、C 三点为三角形三个顶点,所以 A、B、C 三点不共线,即 B、C 不能重合,且不能为 圆 A 一直径的两个端点,这正是解题后没有对轨迹进行检验,出现增解,造成的解题错误。

?x?3 ? 2 ?4 ?y?5 ?x ? 3 ? ?2 ? ? y ? 5 ,且 ? 2 事实上,C 点的坐标须满足 ,
故端点 C 的轨迹方程应为(x - 4)2 + ( y-2 )2 = 10 ( x ? 3,y ? 5;x ? 5,y ? -1)。

9

它表示以(4,2)为圆心,以 10 为半径的圆,除去(3,5) (5,-1)两点。

? 5x ? 3y ? 15 ? ? y ? x ?1 ? x ? 5y ? 3 例题 7 求 z = 3 x + 5 y 的最大值和最小值,使式中的 x ,y 满足约束条件: ?
错解:作出可行域如图 1 所示,过原点作直线 L0:3 x + 5 y = 0 。 由于经过 B 点且与 L0 平行的直线与原点的距离最近,

故 z = 3 x + 5 y 在 B 点取得最小值。解方程组

? x ? 5y ? 3 ? ? ?5 x ? 3 y ? 15 ?

5 ? 0=9。 由于经过 A 点且与 L0 平行的直线与原点的距离最大, 故 z = 3x + 5y 在 A 点取得最大值。

,得 B 点坐标为(3,0) ,∴ z 最小=3 ? 3+

? y ? x ?1 3 5 ? 5 x ? 3 y ? 15 ,得 A 点坐标为( 2 , 2 ) 解方程组 ? 。
3 5 ∴ z 最大=3 ? 2 +5 ? 2 = 17 。
剖析:上述解法中,受课本例题的影响,误 对过原点的直线 L0 的平行移动中, 与原点距 的直线所经过的可行域上的点,即为目标函 得最大值的点。反之,即为 Z 取得最小值的 这一认识移到不同情况中加以应用,由此造 题失误。 事实上,过原点作直线 L0:3x + 5y = 0,由 3x + 5y > 0 的区域为直线 L0 的 右上方,而使 z = 3x + 5y < 0 的区域为 L0 左下方。由图知:z = 3x + 5y 应在 A 点取得 在 C 点取得最小值。 认为在 离最大 数 Z 取 点, 并把 成了解 于使 z = 的 最大值,

? y ? x ?1 ? x ? 5 y ? 3 ,得 C(-2,-1) 解方程组 ? 。
∴ z 最小=3 ? (-2)+5 ? (-1)= -11。 例题 8 已知正方形 ABCD 对角线 AC 所在直线方程为

y ? x .抛物线 f ( x) ? x 2 ? bx ? c 过 B,D 两点

(1)若正方形中心 M 为(2,2)时,求点 N(b,c)的轨迹方程。 (2)求证方程 f ( x) ? x 的两实根 x1 , x2 满足 | x1 ? x2 |? 2 解答: (1)设 B(2 ? s, 2 ? s), D(2 ? s, 2 ? s), s ? 0

? 2 ? s ? (2 ? S ) 2 ? b(2 ? S ) ? c ? 2 ? S ? (2 ? S ) 2 ? b(2 ? S ) ? c 两式相减得 因为 B,D 在抛物线上 所以 ?

10

2s ? ?8s ? 2s b 则 b ? ?5 代入(1)
得 2 ? s ? s ? 4s ? 4 ? 10 ? 5s ? c
2

?c ? 8 ? s2 ? 8

故点 N (b, c) 的方程 x ? ?5( y ? 8) 是一条射线。 (2)设 B(t ? s, t ? s ), D(t ? s, t ? s )s ? 0

? t ? s ? (t ? s)2 ? b(t ? s) ? c ?? (1) ? t ? s ? (t ? s)2 ? b(t ? s) ? c ??(2) 同上 ?
t??
(1)-(2)得
2

b ?1 2 ??(3)
2

(1)+(2)得 s ? (b ?1)t ? t ? c ? 0??(4)

b2 ? 1 (b ? 1)2 s ? ? ?c ? 0 2 4 (3)代入(4)消去 t 得
2

得 (b ? 1) ? 4c ? 4
2

2 x ? x2 ? 1 ? b x ,x 又 f ( x) ? x 即 x ? (b ?1) x ? c ? 0 的两根 1 2 满足 1

x1 ? x2 ? c

? x1 ? x2 2 ? ( x1 ? x22 ? 4x1 x2 ? ( b ?2 ? 4 ? 4 | | ) 1) c


| x1 ? x2 |? 2 。

易错原因:审题不清,忽略所求轨迹方程的范围。

1 y ? ? ( x ? 1) 2 ? 1 F,F F 4 例题 9 已知双曲线两焦点 1 2 ,其中 1 为 的焦点,两点 A (-3,2) B (1,2)都在双曲
线上, (1)求点

F1 的坐标; F F (2)求点 2 的轨迹方程,并画出轨迹的草图; (3)若直线 y ? x ? t 与 2 的轨

迹方程有且只有一个公共点,求实数 t 的取值范围。

1 y ? ? ( x ? 1) 2 ? 1 2 F (?1,0) 4 解答: (1)由 得: ( x ? 1) ? ?4( y ?1) ,故 1
(2)设点 又

F2 ( x, y) ,则又双曲线的定义得 || AF1 | ? | AF2 ||?|| BF1 | ? | BF2 ||? 0

? AF2 |?| AF1 |? 2 2 |

? AF2 |?| BF 2| 或 | F2 A | ? | F2 B |?| AF1 | ? | BF1 |? 4 2 |

? 点 F2 的轨迹是以 A, B 为焦点的椭圆
( x ? 1) 2 ( y ? 2) 2 ? ?1 4 ? x ? 1 ? 0 除去点 (?1,0),(?1, 4) 或 8 除去点

11

(?1,0),(?1, 4)

图略。

y ? x?t ? ? ? ( x ? 1)2 ( y ? 2) ? ?1 ? y 4 (3)联列: ? 8 消去 得

( x ? 1)2 ? 2( x ? t ? 2)2 ? 8 整理得: 3x2 ? (4t ? 6) x ? 2t 2 ? 8t ? 1 ? 0
当?? 0 时 得 t ? 3? 2 3 从图可知: t ? (??,3 ? 2 3) ? (3 ? 2 3, ??) ,

又因为轨迹除去点 (?1,0),(?1, 4) 所以当直线过点 (?1,0),(?1, 4) 时也只有一个交点,即 t ? 1 或 5

?t ?( ? ? 3 ?2 3 ) ? ( 3? 2 3? ? ) {1, 5} , , ?
易错原因: (1)非标准方程求焦点坐标时计算易错; (2)求点 有一个交点误认为方程只有一解。 例题 10 已知圆 O1 : x ? y ? 1 ,圆 O2 : x ? y ? 10x ? 9 ? 0 都内切于动圆,试求动圆圆心的轨迹方
2 2 2 2

F2 的轨迹时易少一种情况; (3)对有且仅

程。 错解:圆 O2: x ? y ? 10x ? 9 ? 0 ,即为 ( x ? 5) ? y ? 16
2 2 2 2

所以圆 O2 的圆心为 O2 (5,0) ,半径 r2 ? 4 , 而圆 O1 : x ? y ? 1 的圆心为 O1 (0,0) ,半径 r1 ? 1 ,
2 2

设所求动圆圆心 M 的坐标为(x,y),半径为 r 则 r ?| O1 M | ?1 且 r ?| O2 M | ?4 ,所以 | O1 M | ? | O2 M |? 3 即

x 2 ? y 2 ? ( x ? 5) 2 ? y 2 ? 3

,化简得 16x ? 80x ? 9 y ? 64 ? 0
2 2

5 (x ? )2 2 2 ? y ?1 9 4 4 即 为所求动圆圆心的轨迹方程。
剖析: 上述解法将 | O1 M | ? | O2 M | =3 看成 || O1 M | ? | O2 M ||? 3 ,误认为动圆圆心的轨迹为双曲线,这是 双曲线的概念不清所致。 事实上,| O1 M | ? | O2 M |? 3 表示动点 M 到定点 O1 及 O2 的距离差为一常数 3。

5 (x ? )2 2 2 ? y ? 1( x ? 4) 9 4 | O1O2 |? 5 ? 3 ,点 M 的轨迹为双曲线右支,方程为 4 且

12

5 P1 ( ,3) 4 距离的 例题 11 点 P 与定点 F(2,0)的距离和它到直线 x=8 的距离比是 1:3,求动点 P 与定点
最值。

| PF | 1 ? , 3 错解:设动点 P(x,y)到直线 x=8 的距离为 d,则 d

( x ? 2) 2 ? y 2 1 ? | x ?8| 3 即

5 (x ? )2 2 4 ?y 9 9 ( )2 4 2 =1 两边平方、整理得

(1)

5 2 9 ( x ? ) 2 ? (1 ? y 2 ) ? ( ) 2 4 9 4 由此式可得:

5 2 9 | PP |? ( x ? ) 2 ? ( y ? 3) 2 ? (1 ? y 2 ) ? ( ) 2 ? ( y ? 3) 2 1 4 9 4 因为 1 1377 ? ? ( y ? 24) 2 ? 8 16 ? 1377 3 ? 153 16 4

1 所以 | PP |

max

剖析 由上述解题过程知,动点 P(x,y)在一椭圆上,由椭圆性质知,椭圆上点的横纵坐标都是有限制的,上

3 3 2? y? 2 2 1 述错解在于忽视了 2 这一取值范围,由以上解题过程知, | P P | 的最值可由二次函数在 ?
区间上的单调性给予解决

y??
即:当

3 3 2 | PP1 | max ? 3 ? 2 2 2 时,

2 x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 b 例题 12 已知双曲线 a 的离心率 e= 3 , 过点 A( 0,?b )和 B(a,0)的直线与原

3 点的距离为 2 ,直线 y=kx+m (k ? 0, m ? 0) 与该双曲线交于不同两点 C、D,且 C、D 两点都在以 A 为圆
心的同一圆上,求 m 的取值范围。

13

2 ? 2 4 ?b? e ? 1? ? ? ? ? 3 ?a? ? ? ab 3 ? ? a 2 ? b2 ? 2 错解 由已知,有 ?

解之得: a ? 3, b ? 1
2 2

x2 ? y2 ? 1 所以双曲线方程为 3
把直线 y=kx+m 代入双曲线方程,并整理得: (1 ? 3k ) x ? 6kmx? 3m ? 3 ? 0
2 2 2

所以 ? ? m ? 1 ? 3k ? 0 (1)
2 2

P( x0 , y0 ) ,则 AP ? CD,且易知: 设 CD 中点为

x0 ?

3km m , y0 ? 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

k AP
所以

m ?1 2 1 ? 1 ? 3k ?? 3km k 2 ? 3k 2 ? 4m ? 1 (2) 1 ? 3k
2

将(2)式代入(1)式得 m ? 4m ? 0 解得 m>4 或 m ? 0 故所求 m 的范围是 m ? (??,0) ? (4,??) 剖析 上述错解,在于在减元过程中,忽视了元素之间的制约关系,

k2 ?


4m ? 1 3 代入(1) 式时,m 受 k 的制约。
m?? 1 1 ? ?m?0 4 故所求 m 的范围应为 m>4 或 4

因为 k ? 0 所以
2

e?
例题 13 椭圆中心是坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率 是 7 ,求这个椭圆的方程。

3 3 0, 2 ,已知点 P( 2 )到椭圆上的点最远距离

错解

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 设所求椭圆方程为 a

b ? a 因为

a2 ? c2 1 ? 1 ? e2 ? 2 a 2 ,所以 a=2b

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 于是椭圆方程为 4b

14

3 (0, ) 2 的距离为 d, 设椭圆上点 M(x,y)到点 P 3 1 y2 9 d 2 ? x 2 ? ( y ? ) 2 ? 4b 2 (1 ? 2 ) ? y 2 ? 3 y ? ? ?3( y ? ) 2 ? 4b 2 ? 3 2 2 4 b 则: y??
所以当

1 2 2 2 时,有 d max ? 4b ? 3 ? 7, b ? 1

x2 ? y2 ? 1 所以所求椭圆方程为 4 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 剖析 由椭圆方程 a 得?b ? y ? b
y?? 1 2

由(1)式知 d 是 y 的二次函数,其对称轴为

2

上述错解在于没有就对称轴在区间 [?b, b] 内或外进行分类,

1 ? 3( y ? ) 2 ? 4b 2 ? 3 2 其正解应对 f(y)= 的最值情况进行讨论: ?b ? ?
(1)当

1 1 b? 2 ,即 2时

d

2

max

1 x2 2 ? f (? ) ? 4b ? 3 ? y2 ? 1 2 =7 ? b ? 1 ,方程为 4
?

1 1 ? ?b b? 2 时, (2)当 2 , 即
2

d

max

? f (?b) ? 7 ? b ? 7

?

3 1 1 ? b? 2 2 ,与 2 矛盾。

x2 ? y2 ? 1 综上所述,所求椭圆方程为 4 x2 ?
例题 15 已知双曲线

y2 ?1 2 ,问过点 A(1,1)能否作直线 l ,使 l 与双曲线交于 P、Q 两点,并且 A

为线段 PQ 的中点?若存在,求出直线 l 的方程,若不存在,说明理由。 错解 设符合题意的直线 l 存在,并设 P( x1 , x 2 ) 、 Q( x2 , y 2 )

15

? 2 y1 2 ? 1 (1) ? x1 ? ? 2 ? 2 ? x 2 ? y 2 ? 1 (2) ? 2 2 则?
(1) ? ( 2) 得 ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 )

?

1 ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) (3) 2

因为 A(1,1)为线段 PQ 的中点,所以

? x1 ? x2 ? 2 (4) ? ? y1 ? y 2 ? 2 (5)

将(4)、(5)代入(3)得

x1 ? x 2 ?

1 ( y1 ? y 2 ) 2

若 x1 ? x 2 ,则直线 l 的斜率

k?

y1 ? y 2 ?2 x1 ? x2

所以符合题设条件的直线 l 存在。其方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 剖析 在(3)式成立的前提下,由(4)、 (5)两式可推出(6)式,但由(6)式不能推出(4)(5)两式,故应对所求 直线进行检验,上述错解没有做到这一点,故是错误的。

? y ? 2x ? 1 ? ? 2 y2 ?1 ?x ? 2 2 应在上述解题的基础上,再由 ? 得 2x ? 4x ? 3 ? 0
根据 ? ? ?8 ? 0 ,说明所求直线不存在。

( x ? 1) 2 y 2 C: ? ?1 4 3 例题 15 已知椭圆 ,F 为它的右焦点,直线 l 过原点交椭圆 C 于 A、B 两点。求
| FA | ? | FB | 是否存在最大值或最小值?若不存在,说明理由。
错解 设 A、B 两点坐标分别为 ( x A , y A ) 、 ( x B , y B )

因为 a ? 4, b ? 3 , 所以 c ?
2 2

a 2 ? b2 ? 1,

e?

c 1 a2 ? , ?4 a 2 c

| FA | 1 ? 5 ? xA 2 又椭圆中心为(1,0),右准线方程为 x=5, 所以
| FA |?


1 1 (5 ? x A ) | FB |? (5 ? x B ) 2 2 ,同理 1 ? [25 ? 5( x A ? x B ) ? x A x B ] (1) 4

所以 | FA | ? | FB |

16

设直线 l 的方程为 y=kx,代入椭圆方程得 (3 ? 4k ) x ? 6 x ? 9 ? 0
2 2

6 ?9 , x A xB ? 2 3 ? 4k 2 所以 x A ? x B ? 3 ? 4k
代入(1)式得 | FA | ? | FB |

?

1 39 (25 ? ) 4 3 ? 4k 2

3 ?| FA | ? | FB |?
所以

25 4 ,所以 | FA | ?FB |有最小值 3,无最大值。

剖析 上述错解过程忽视了过原点斜率不存在的直线,当 l 的斜率不存在时,

有 | FA | ? | FB |

?

5 5 25 ? ? 2 2 4

所以 | FA | ?FB 有最小值为 3,最大值为 25/4 课后练习题 1、圆 x2 + 2x + y2 + 4y –3 = 0 上到直线 x + y + 1 = 0 的距离等于 2 的点共有( )

A、1 个 B、 2 个 C、 3 个 D、 4 个 分析:这里直线和圆相交,很多同学受思维定势的影响,错误地认为圆在此直线的两侧各有两点到直线的 距离为 2 ,导致错选( D ) 。 事实上,已知圆的方程为: (x +1)2 + (y+2) 2 = 8,这是一个 以(-1,-2)为圆心,以 2 2 为 半径的圆,圆的圆心到直线 x + y + 1 = 0 的距离
A O

Y

C X

?1? 2 ?1
为 d=

2

= 2,

B x+y=1

这样只需画出(x +1)2 + (y+2) 2 = 8

和直线 x + y + 1 = 0 以及和 x + y + 1 = 0 的距离为 2 的平行直线即可。 如图 2 所示,图中三个点 A、B、C 为所求,故应选(C) 。 2、过定点(1,2)作两直线与圆 x ? y ? kx ? 2 y ? k ?15 ? 0 相切,则 k 的取值范围是
2 2 2

A k>2 B -3<k<2 C k<-3 或 k>2 D 以上皆不对 解 答:D 易错原因:忽略题中方程必须是圆的方程,有些学生不考虑 D ? E ? 4F ? 0
2 2

17

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 3、设双曲线 a 的半焦距为 C,直线 L 过 (a,0),(0, b) 两点,已知原点到直线 L 的距离

3 C 为 4 ,则双曲线的离心率为 2 3 A 2 B 2或 3 C
解 答:D

2

2 3 D 3

易错原因:忽略条件 a ? b ? 0 对离心率范围的限制。 4、已知二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 ? ,PA ? ? ,PB ? ? ,A,B 为垂足,且 PA=4,PB=5,设 A、B 到 二面角的棱 l 的距离为别为

x, y ,当 ? 变化时,点 ( x, y ) 的轨迹是下列图形中的

A 解

B 答: D

C

D

易错原因:只注意寻找 5、若曲线 y ?

x, y 的关系式,而未考虑实际问题中 x, y 的范围。

x 2 ? 4 与直线 y ? k ( x ? 2) +3 有两个不同的公共点,则实数 k 的取值范围是
0?k ?
B

A 解

0 ? k ?1
答:C

3 4

?1 ? k ?
C

3 4

D ?1 ? k ? 0

易错原因: 将曲线 y ? 近线

x 2 ? 4 转化为 x2 ? y2 ? 4 时不考虑纵坐标的范围;另外没有看清过点(2,-3)且与渐

y ? x 平行的直线与双曲线的位置关系。
2 2

6、已知圆 ?x ? 3? +y =4 和 直线 y=mx 的交点分别为 P、Q 两点,O 为坐标原点, 则︱OP︱·︱OQ︱=( )

A

1+m

2

B

5 1? m2

C

5

D

10

正确答案: C

错因:学生不能结合初中学过的切割线定︱OP︱·︱OQ︱等于切线长的平方来解题。

x2 y2 7、双曲线 9 - 4 =1 中,被点 P(2,1)平分的弦所在直线方程是(



18

A 8x-9y=7 B 8x+9y=25 C 4x-9y=16 D 不存在 正确答案:D 错因:学生用“点差法”求出直线方程没有用“△”验证直线的存在性。

1 2 2 8、已知 ? 是三角形的一个内角,且 sin ? +cos ? = 5 则方程 x sin ? -y cos ? =1 表示(
A 焦点在 x 轴上的双曲线 C 焦点在 x 轴上的椭圆 B D 焦点在 y 轴上的双曲线 焦点在 y 轴上的椭圆



1 正确答案:D 错因:学生不能由 sin ? +cos ? = 5 判断角 ? 为钝角。
9、过抛物线的焦点 F 作互相垂直的两条直线,分别交准线于 P、Q 两点,又过 P、Q 分别作抛物线对称轴 OF 的平行线交抛物线于 M﹑N 两点,则 M﹑N﹑F 三点 A 共圆 B 共线 C 在另一条抛物线上 D 分布无规律 正确答案:B 错因:学生不能结合图形灵活应用圆锥曲线的第二定义分析问题。 10、已知实数 x,y 满足 3x2+2y2=6x,则 x2+y2 的最大值是( )

9 A、 2

B、4

C、5

D、2

正确答案:B 错误原因:忽视了条件中 x 的取值范围而导致出错。 11、过点(0,1)作直线,使它与抛物线 y ? 4 x 仅有一个公共点,这样的直线有( )
2

A.1 条 B.2 条 正确答案:C

C. 3 条

D. 0 条

? y 2 ? 4x ? 2 y ? kx ? 1 ,联立 ? y ? kx ? 1 ,得 ?kx ? 1? ? 4x , 错解:设直线的方程为
即: k x ? (2k ? 4) x ? 1 ? 0 ,再由Δ =0,得 k=1,得答案 A.
2 2

剖析:本题的解法有两个问题,一是将斜率不存在的情况考虑漏掉了,另外又将斜率 k=0 的情形丢掉了, 故本题应有三解,即直线有三条。 12、已知动点 P(x,y)满足

5 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ?| 3 x ? 4 y ? 11|

,则 P 点的轨迹是





A、直线 B、抛物线 C、双曲线 D、椭圆 正确答案:A 错因:利用圆锥曲线的定义解题,忽视了(1,2)点就在直线 3x+4y-11=0 上。 13、在直角坐标系中,方程 ?x ? y ? 1? 3 ? 2 x ? x ? y ? 0 所表示的曲线为( )
2

?

?

A.一条直线和一个圆 C.一条直线和半个圆 正确答案:D

B.一条线段和一个圆 D.一条线段和半个圆 错因:忽视定义取值。

x2 ? y2 ? 1 ? F1 和 F2 为双曲线 4 14、设 的两个焦点,点在双曲线上且满足 ?F1 PF2 ? 90 ,则

?F1 PF2 的面积是(

) 。

19

A.1

5 B. 2

C. 2

D. 5

正解:A

x2 ? y2 ? 1 || a ? 2, C ? 5 ? PF1 | ? | PF2 ||? 4 4

?| PF1 |2 ?2 | PF1 || PF2 | ? | PF2 |2 ? 16 ①
1 又? ?F1 PF2 ? 90 ? | PF | ? | PF2 | ? (2 5 )
?

2

2

2



| 1 联立①②解得? PF || PF2 |? 2

? S ?F1PF2 ? 1

|| 1 1 误解:未将? PF | ? | PF2 ||? 4 两边平方,再与②联立,直接求出 | PF || PF2 | 。
y??
15、已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为 (

b x, (a ? 0, b ? 0) a ,若双曲线上有一点 M

x0 , y0 ) a | y0 |? b | x0 | ,那双曲线的交点( ,使

) 。

在 x 轴上 B.在

y 轴上 C.当 a ? b 时在 x 轴上 D.当 a ? b 时在 y 轴上

正解:B。 由

a y0 ? b x0



y0 b ? x0 a

,可设

x0 ? 0, y0 ? 0 ,此时 OM 的斜率大于渐近线的斜率,由图像

的性质,可知焦点在

y 轴上。所以选 B。

x2 y2 ? 2 ?? 2 2 2 2 2 2 2 b 误解:设双曲线方程为 a ,化简得: b x ? a y ? ?a b ,
代入
2 2 2 ( x0 , y0 ) , b2 x0 ? ?a2b2 ? a2 y0 ? b2 x0 ,? ? ? 0 ,? 焦点在 x 轴上。这个方法没错,但 ? 确定有误,

y 应 ? ? 0 ,? 焦点在 轴上。
误解:选 B,没有分组。 16、与圆 x ? ( y ? 5) ? 3 相切,且纵截距和横截距相等的直线共有(
2 2



A、2 条 B、3 条 C、4 条 答案:C 错解:A 错因:忽略过原点的圆 C 的两条切线
2 2

D、6 条

17、若双曲线 x ? y ? 1 的右支上一点 P(a,b)直线 y=x 的距离为 2 ,则 a+b 的值是(



?
A、

1 2

1 B、 2

?
C、

1 2

D、 ? 2

答案:B

20

错解:C 错因:没有挖掘出隐含条件

a? b

x2 y2 ? ?1 4 18、双曲线 9 中,被点 P(2,1)平分的弦所在的直线方程为(
A、 8x ? 9 y ? 7 答案:D 错解:A 错因:没有检验出 8x ? 9 y ? 7 与双曲线无交点。 B、 8x ? 9 y ? 25 C、 4 x ? 9 y ? 6 D、不存在



4x ? 9 19、过函数 y=- x ? 2 的图象的对称中心,且和抛物线 y2=8x 有且只有一个公共点的直线的条数共有
( ) A、1 条 B、2 条 C、3 条 D、不存在 正确答案: (B) 错误原因 :解本题时极易忽视中心(2,4)在抛物线上,切线只有 1 条,又易忽视平行于抛物线对称轴 的直线和抛物线只有一个公共点。

x2 y2 ? ?1 9 20、双曲线 16 上的点 P 到点(5,0)的距离为 8.5,则点 P 到点( ? 5,0 )的距离_______。
错解 设双曲线的两个焦点分别为 F1 (?5,0) , F2 (5,0) ,
1 由双曲线定义知 || PF | ? | PF2 ||? 8 1 所以 | PF |? 16.5 或 | PF1 |? 0.5

剖析 由题意知,双曲线左支上的点到左焦点的最短距离为 1, 所以

PF1 ? 0.5

不合题意,事实上,在求解此类问题时,应灵活运用双曲线定义,分析出点 P 的存在情况,

然后再求解。如本题中,因左顶点到右焦点的距离为 9>8.5,故点 P 只能在右支上,所求

PF1 ? 16.5

x2 y2 ? ?1 21、一双曲线与椭圆 27 36 有共同焦点,并且与其中一个交点的纵坐标为 4,则这个双曲线的方程
为_____。

x2 y2 x2 y2 ? ?4 ? ? ?1 4 正解:- 5 ,设双曲线的方程为 k ? 27 36 ? k (27 ? k ? 36 ) x 2 42 15 42 ? ? 1? x 2 ? 15 ? ? ? ?1 ? k ? 32 k ? 27 36 ? k 又由题意知 27 36 ?
故所求双曲线方程为

x2 y2 ? ?1 5 4

21

误解:不注意焦点在 y 轴上,出现错误。

y2 ?1 AB ? 4 22、 过双曲线 x2- 2 的右焦点作直线交双曲线于 A、 两点, B 且 , 则这样的直线有___________
条。错解:2 错因:设 y ? k ( x ? 3) 代入椭圆的方程算出有两条,当 k 不存在,即直线 AB ? x 轴时,|AB|=4,忽 视此种情况。正解:3

1 23、一动点到定直线 x=3 的距离是它到定点 F(4,0)的距离的比是 2 ,则动点轨道方程为



8 (x ? )2 2 3 ? y ?1 4 4 9 3 答案:
错解:由题意有动点的轨迹是双曲线,又 F(4,0) ,所以 c=4,又准线 x=3,

a2 x2 y2 ? 3, a 2 ? 12, b 2 ? 4 ? ?1 4 所以 c ,故双曲线方程为 12
错因:没有明确曲线的中心位置,而套用标准方程。

x2 ?
24、经过双曲线

y2 ?1 3 的右焦点 F2 作倾斜角为 30 ? 的弦 AB,则 ?F1 AB 的周长为



答案:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 其中

x1 ? 0, x2 ? 0, a ? 1, e ? 2, 则 AF ? ex1 ? a ? 2x1 ? 1, BF ? ?(2x2 ? 1) 1 1
AF1 ? BF1 ? 2( x1 ? x2 )
y?
,将弦 AB 的方程



所以

3 ( x ? 2) 3 代入双曲线方程,

1 13 8 x 2 ? 4 x ? 13 ? 0, 所以 x1 ? x 2 ? ? , x1 x 2 ? ? , 则 AB ? 3 2 8 整理得 ,

可求得

x1 ? x2 ?

3 3 2 ,故答案为 3 ? 3 3

错解:10 错因:作图错误,没有考虑倾斜角为 30 ? 的直线与渐近线的关系,而误将直线作成与右支有两交点。
2 2 25、如果不论实数 b 取何值,直线 y ? kx ? b 与双曲线 x ? 2 y ? 1 总有公共点,那么 k 的取值范围





(?
答案:

2 2 , ) 2 2

22

[?
错解:

2 2 , ] 2 2

错因:没考虑 b=0 时,直线不能与渐近线平行。 x2 y2 16 26、双曲线 =1上有一点 P 到左准线的距离为 ,则 P 到右焦点的距离为 9 16 5 。

y
P
F1 F2

x

x2 y2 错解:设 F1、F2 分别为由双曲线的左、右焦点,则由双曲线的方程为 =1,易求得 a=3,c=5,从而离 9 16

? ? 5 3 ,于是又由第一定义 PF2 ? PF1 ? 2a ? 6 ,得 心率 e= ,再由第二定义,易求|PF1|=ed1= 3 5 3
6?
|PF2|=

5 16

16

16 3 。

剖析:以上出现两解的原因是考虑到 P 可能在不同的两支上。

16 ?8 3 而事实上 P 若在右支上,则其到 F1 的最短距离应为右顶点 A2 到 F1 的距离| A2 F1|=a+c=8,而 , 6?
故点 P 只能在左支,于是|PF2|=

16 34 ? 3 3 。

小结:一般地,若|PF1| ≥ a+c,则 P 可能在两支上, 若|PF1| < a+c,则 P 只能在一支上。 3 27、已知双曲线的一条准线方程为 x=2,其相应的焦点为(8,0),离心率为 ,求双曲线的方程。 2

a2 ? 2, c ? 8, 得 : a 2 ? 16,? b 2 ? 48 错解:由 c ,于是可求得双曲线的方程为

x2 y2 ? ?1 16 48 。
3 点评:看起来问题已经解决,然而离心率这个条件似乎多余,而根据求得的方程又得不到离心率为 。错 2 误是显然的,那么问题在哪里呢?其实问题就在于此方程并不是标准方程,而我们把它当作了标准方程。 正确的做法是利用双曲线的第二定义来求出方程(下略) 。由此看来,判断准方程的类型是个关键。 28、过点(0,1)作直线,使它与抛物线 y ? 4 x 仅有一个公共点,这样的直线有
2

23

A.1 条

B.2 条

C. 3 条

D. 0 条

? y 2 ? 4x ? 2 y ? kx ? 1 ,联立 ? y ? kx ? 1 ,得 ?kx ? 1? ? 4x , 错解:设直线的方程为
即: k x ? (2k ? 4) x ? 1 ? 0 ,再由Δ =0,得 k=1,得答案 A.
2 2

剖析:本题的解法有两个问题,一是将斜率不存在的情况考虑漏掉了,另外又将斜率 k=0 的情形丢掉了, 故本题应有三解,即直线有三条。 小结:直线与抛物线只有一解时,并不一定相切,当直线与抛物线的对称轴平行时,也只有一解。

y?
29、已知曲线 C:

20 ? x 2 2 与直线 L: y ? ? x ? m 仅有一个公共点,求 m 的范围。
?y ? ?x ? m 20 ? x 2 ? 2 x ? 4 y 2 ? 20 x 2 ? 4 y 2 ? 20(1) 2 可化为 ,联立 ? ,得:

y?
错解:曲线 C:

y

o

x

5x 2 ? 8mx ? 4m 2 ? 20 ? 0 ,由Δ =0,得 m ? ?5 。
分析:方程(1)与原方程并不等价,应加上 y ? ?0,???。 故原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分。 如图) 结合图形易求得 m 的范围为 ( ,

m ? 5或 ? 2 5 ? m ? 2 5 。
解题回顾:在将方程变形时应时时注意范围的变化,这样才不会出错。

3 y?? x 2 ,求其离心率。 30、设双曲线的渐近线为:

c b2 13 3 b 3 e ? ? 1? 2 ? y?? x ? a 2 a 2 ,可得: a 2 ,从而 错解:由双曲线的渐近线为:
3 y?? x 2 是不能确定焦点的位置在 x 轴上的,当焦点的位置在 y 轴上时, 剖析:由双曲线的渐近线为

c b2 13 b 2 13 e ? ? 1? 2 ? ? a 2 或 3 。 a a 3 ,故本题应有两解,即:
x2 ?
31、已知双曲线

y2 ?1 2 ,过 P(1,1)能否作一条直线 L 与双曲线交于 A、B 两点,且 P 为 AB 中点。

24

错解: (1)过点 P 且与 x 轴垂直的直线显然不符合要求。 (2)设过 P 的直线方程为 y ? 1 ? k ( x ? 1) ,代入

x2 ?

y2 ?1 2 并整理得:

(2 ? k 2 ) x 2 ? 2k (1 ? k ) x ? (1 ? k ) 2 ? 2 ? 0
x1 ? x 2 ? 2k (1 ? k ) 2k (1 ? k ) ?2 2 2 ? k ,又∵ x1 ? x2 ? 2 ∴ 2 ? k 2



解之得:k=2,故直线方程为:y=2x-1,即直线是存在的。 剖析:本题的问题在于没有考虑隐含条件“Δ >0” ,当 k=2 时代入方程可知Δ <0,故这样的直线不存在。 解题反思:使用一元二次方程的根与系数的关系必需要注意检验根的判别式 ? ? 0 是否成立。
2 2 32、直线 L: y ? k ( x ? 5) 与圆 O: x ? y ? 16 相交于 A、B 两点,当 k 变动时,弦 AB 的中点 M 的轨

迹方程。 错解:易知直线恒过定点 P(5,0) ,再由 OM ? AP ,得:

OP


2

? OM

2

? MP

2

x 2 ? y 2 ? ( x ? 5) 2 ? y 2 ? 25,整理得:
2

5? 25 ? 2 ?x? ? ? y ? 2? 4 ?
剖析:求动点轨迹时应注意它的完备性与纯粹性。本题中注意到点 M 应在圆内,故易求得轨迹为圆内的部

0? x?
分,此时

16 5 。

2 2 33、设点 P(x,y)在椭圆 4x ? y ? 4 上,求 x ? y 的最大、最小值。 2 2 2 错解:因 4x ? y ? 4 ∴ 4 x ? 4 ,得: ? 1 ? x ? 1 ,同理得: ? 2 ? y ? 2 ,

故?3? x ? y ? 3

∴最大、最小值分别为 3,-3.
2 2

剖析:本题中 x、y 除了分别满足以上条件外,还受制约条件 4x ? y ? 4 的约束。当 x=1 时,y 此时取不 到 最 大 值 2, 故 x+y 的 最 大 值 不 为 3 。 其 实 本 题 只 需 令 x ? cos? , y ? 2 sin ? , 则

x ? y ? c o?s? 2 s i ? ? 5 s i n ?? ) ,故其最大值为 5 ,最小值为 ? 5 。 n ?(

25


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