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(人教B版)高中数学必修五:3.2《均值不等式(2)》ppt课件


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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第三章
不等式

第三章

不等式

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第三章
3.2 均值不等式 第2课时 均值不等式的应用 ——证明问题

第三章

不等式

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1

课前自主预习

3

易错疑难辨析

2

课堂典例讲练

4

课 时 作 业

第三章

3.2

第2课时

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课前自主预习

第三章

3.2

第2课时

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现有 A 、 B 、 C 、 D 四个长方体容器, A 、 B 的底面积均为 a2 ,高分别为 a 和 b , C、 D 的底面积均为 b2 ,高分别为 a 和 b( 其 中 a≠b) .现规定一种游戏规则:每人一次从四个容器中取两 个,盛水多者为胜.先取者有没有必胜的方案?若有,有几 种?

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3.2

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常见的不等式: 2ab 1.a2+b2≥________( a、b∈R). a+b 2 a2+b2 ( 2 ) 2.ab≤__________≤ 2 (a、b∈R).

第三章

3.2

第2课时

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1.已知 a、b∈R ,则下列不等式不一定成立的是( 1 A.a+b+ ≥2 2 ab a2+b2 C. ≥a+b ab [答案] D 1 1 B.(a+b)(a+b)≥4 2ab D. ≥ ab a+b



)

第三章

3.2

第2课时

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[解析]

1 1 A 项 a+b+ ≥2 ab+ ≥2 2, ab ab 1 ab=4,当且仅当 a=b 时取

1 1 B 项(a+b)· (a+b)≥2 ab· 2 等号.

C 中(a2+b2)2-ab(a+b)2=(a-b)(a3-b3)≥0 当且仅当 a=b 时,取等号.∴选 D.

第三章

3.2

第2课时

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2.在△ABC 中,a、b、c 分别为 A、B、C 的对边,若 a、 b、c 成等差数列,则 B 的取值范围是( π A.0<B<4 π C.0<B≤2
[答案] B

)

π B.0<B≤3 π D.2<B<π

第三章

3.2

第2课时

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[解析] ∵a、b、c 成等差数列, ∴2b=a+C. a+c 2 a2+c2-b2 a +c -? 2 ? ∴cosB= 2ac = 2ac
2 2

3?a2+c2? 1 6ac 1 1 = 8ac -4≥8ac-4=2, 当且仅当 a=c 时,等号成立. ∵余弦函数在(0,π)上为减函数, π ∴0<B≤3.故选 B.
第三章 3.2 第2课时

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3.若 a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件 的 a、b 恒成立的是__________(写出所有正确命题的编号). ①ab≤1;
3 3

② a+ b≤ 2; ③a2+b2≥2;

1 1 ④a +b ≥3; ⑤a+b≥2. [答案] ①③⑤

第三章

3.2

第2课时

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[解析]

?a+b? ?2 ①ab≤? ? 2 ? =1,成立. ? ?

②欲证 a+ b≤ 2,即证 a+b+2 ab≤2,即 2 ab≤0 显然不成立. ③欲证 a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab≥2 ,即证 4 - 2ab≥2 ,即 ab≤1,由①知成立. 3 ④ a + b = (a + b)(a - ab + b )≥3 ? a - ab + b ≥ 2 ? (a +
3 3 2 2 2 2

3 3 5 5 b) -3ab≥2?4-2≥3ab?ab≤6,由①知,ab≤6不恒成立.
2

a+b 1 1 ⑤欲证a+b≥2,即证 ab ≥2,即 ab≤1,由①成立.
第三章 3.2 第2课时

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课堂典例讲练

第三章

3.2

第2课时

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不等式的证明技巧—字母轮换不等式的证法
已知 a、b、c 为两两不相等的实数,求证: a2 +b2+c2>ab+bc+cA.

[解析] ∵a2+b2>2ab,b2+c2>2bc,c2+a2>2ca, 以上三式相加:2(a2+b2+c2)>2ab+2bc+2ca, ∴a2+b2+c2>ab+bc+cA. [点评] 本题中的表达式具有轮换对称关系,将表达式中 字母轮换 a→b→c→a 后表达式不变, 这类问题证明一般变为几 个表达式(通常几个字母就需几个表达式)迭加(乘),从而获解.

第三章

3.2

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若 a、b、c 均为正数,求证:a3+b3+c3≥3abC. [解析] a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2
-b2)=(a-b)2(a+b), ∵a、b 为正数,∴(a-b)2≥0,a+b>0, ∴a3+b3≥a2b+ab2,① 同理可得 b3+c3≥b2c+bc2,② a3+c3≥a2c+ac2.③

第三章

3.2

第2课时

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将①②③式两边分别相加,得 2(a3+b3+c3)≥a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2 =(a2b+bc2)+(ab2+ac2)+(b2c+a2c) =b(a2+c2)+a(b2+c2)+c(a2+b2) ≥b· 2ac+a· 2bc+c· 2ab=6abc, ∴a3+b3+c3≥3abC. 显然,当且仅当 a=b=c 时, a3+b3+c3=3abC.

第三章

3.2

第2课时

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[点评] 在 a3+b3+c3≥3abc 中,令 x=a3,y=b3,z=c3, 则变为: x+y+z 3 + ≥ xyz ( x 、 y 、 z ∈ R , 当且仅当 x=y=z 时取等号). 3 a+b+c 3 我们也把 3 、 abc分别叫做三个正数 a、b、c 的算 a+b+c 3 术平均数与几何平均数.于是 3 ≥ abc. 此式可以说成:三个正数的算术平均数不小于它们的几何 平均数.

第三章

3.2

第2课时

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利用均值不等式证明不等式

1 1 b+c ≥9.

1 已知 a>0,b>0,c>0,且 a+b+c=1.求证:a+ [解析] 证法一:∵a>0,b>0,c>0,
1 1 1 a+b+c a+b+c a+b+c ∴a+b+c = a + b + c b c a c a b =3+a+a+b+b+c +c b a c a c b =3+(a+b)+(a+c )+(b+c )≥3+2+2+2=9. 1 1 1 即a+b+c ≥9(当且仅当 a=b=c 时取等号).
第三章 3.2 第2课时

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证法二:∵a>0,b>0,c>0, 1 1 1 1 1 1 ∴a+b+c =(a+b+c)(a+b+ c) b c a c a b =1+a+a+b+1+b+c +c +1 b a c a c b =3+(a+b)+(a+c )+(b+c )≥3+2+2+2=9. 1 1 1 ∴a+b+c ≥9(当且仅当 a=b=c 时取等号).

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3.2

第2课时

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[点评]

含条件的不等式证明问题,要将条件与结论结合

起来,寻找出变形的思路,构造出均值不等式,在条件“a+b +c=1”下,1 的代换一般有上面两种情况,切忌两次使用均 值不等式,用传递性证明,有时等号不能同时取到.

第三章

3.2

第2课时

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已知 x>0, y>0, z>0, 且 x+y+z=1, 求证: x+ y+ z≤ 3. [解析] ∵x>0,y>0,z>0,∴x+y≥2 xy,x+z≥2 xz,y
+z≥2 yz, ∴2(x+y+z)≥2( xy+ xz+ yz). ∵x+y+z=1, ∴ xy+ xz+ yz≤1 成立. ∵x+y+z+2( xy+ xz+ yz)≤3, 即( x+ y+ z)2≤3, ∴ x+ y+ z≤ 3.
第三章 3.2 第2课时

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均值不等式的综合应用
已知 a、b、c、d 都是实数,且 a2+b2=1,c2+ d2=1,求证:|ac+bd|≤1.

[解析] 证法一(综合法):因为 a、b、c、d 都是实数,所 以|ac+bd|≤|ac|+|bd| a2+c2 b2+d2 ≤ 2 + 2 a2+b2+c2+d2 = . 2 又因为 a2+b2=1,c2+d2=1,所以|ac+bd|≤1.
第三章 3.2 第2课时

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证法二(比较法):显然有 |ac+bd|≤1?-1≤ac+bd≤1. 先证 ac+bd≥-1. 1 1 ∵ac+bd-(-1)=ac+bd+2+2 a2+b2 c2+d2 =ac+bd+ 2 + 2 ?a+c?2+?b+d?2 = ≥0, 2 ∴ac+bd≥-1.

第三章

3.2

第2课时

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再证 ac+bd≤1. 1 1 ∵1-(ac+bd)=2+2-(ac+bd) a2+b2 c2+d2 = 2 + 2 -ac-bd ?a-c?2+?b-d?2 = ≥0, 2 ∴ac+bd≤1. 综上得|ac+bd|≤1.

第三章

3.2

第2课时

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证法三(分析法):要证|ac+bd|≤1, 只需证明(ac+bd)2≤1, 即只需证明 a2c2+2abcd+b2d2≤1.① 由于 a2+b2=1,c2+d2=1,因此①式等价于 a2c2+2abcd+b2d2≤(a2+b2)(c2+d2).② 将②式展开化简得(ad-bc)2≥0. 因此 a、b、c、d 全是实数∴此式成立,故①式成立,从而 原命题得证.

第三章

3.2

第2课时

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[点评] 三种证法各有侧重点,但都植根于条件 a2+b2=1 与 c2+d2=1 的灵活运用上,解题时要善于展开联想,不放过 一种可能的思路火花,多方探索、对比,对开阔视野,训练思 维很有帮助.

第三章

3.2

第2课时

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1 1 25 已知 a>0,b>0,a+b=1,求证:(a+a)(b+b)≥ 4 . 1 1 1 b a [解析] 左边=(a+a)(b+b)=ab+ab+a+b
1 b a 2 =( - ab) +a+b+2. ab ∵a、b∈(0,+∞), b a ∴a+b≥2,又 a>0,b>0,a+b=1, ∴1=a+b≥2 ab.

第三章

3.2

第2课时

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1 1 1 ∴ ab≤2, ≥2,- ab≥-2, ab 1 3 ∴ - ab≥2, ab 1 2 9 ∴( ab- ) ≥4. ab 9 25 1 ∴左边≥4+2+2= 4 ,(当且仅当 a=b=2时取等号).

第三章

3.2

第2课时

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易错疑难辨析

第三章

3.2

第2课时

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x2+5 求函数 y= 2 的最小值. x +4

[错解]

x2+5 x2+4+1 1 2 y= 2 = = x +4+ 2 ≥2.∴函 2 x +4 x +4 x +4

数的最小值为 2.

[辨析] 误解中忽视了判定等号是否成立.

第三章

3.2

第2课时

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x2+5 x2+4+1 1 2 [正解] y= 2 = = x +4+ 2 ≥2. 2 x +4 x +4 x +4 1 当且仅当 x +4= 2 ,即 x2+4=1 时,等号成立,这 x +4
2

显然不可能. ∴令 t= x2+4,∵x2+4≥4,∴t≥2. 1 ∴y=t+ t 在[2,+∞)上为增函数, 5 ∴当 t=2 时,函数取最小值2.

第三章

3.2

第2课时

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课时作业
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第三章

3.2

第2课时


新人教B版高中数学(必修5)3.2《均值不等式》word教案

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