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高一数学必修4导学案(80页)


第一章

三角函数

§1、2 角的概念的推广
授课 时间 学习 目标 重点 难点 第 周 星期 第 节 课型 新授课 主备课人

1. 了解任意角的概念;正确理解正角、零角、负角的概念; 2. 正确理解终边相同的角的概念, 并能判断其为第几象限角, 熟悉掌握终边相同的角的集 合表示. 正确理解终边相同的角的概念 自主学习 1.角的定义: 2.正、负的概念:按 方向旋转所成的角叫正角,按 方向旋转所成的角 叫负角,如果一条射线 ,我们称它形成了一个零角. 3.象限角的概念:在直角坐标系中研究角时,如果角的顶点与 角的始边与 ,那么,角的终边(端点除外)在第几象限,我们 说这个角是第几象限角,若角的终边落在坐标轴上,则称这个角为 . 思考: (1)下列角分别是第几象限角?

?300?, 150?, 60?,-660?, ?, ? ? 60 210?,300?,420?,780?,

这当中一些角有什么共同特征?

学习 过程 与方 法

(2)具有相同终边的角彼此之间有什么关系?你能写出与 60 角终边相同的角的集合吗? 【答】 (1) . (2) 4.终边相同的角: 一般地,与角 ? 终边相同的角的集合: .

0

注意: (1) k ? z ; (2) ? 是任意角; (3)终边相同的角不一定相等,但相等的角终 边一定相同。终边相同的角有无限多个,它们相差 360 的整数倍。 一、角的概念 例 1. (1)钟表经过 10 分钟,时针和分针分别转了多少度? (2)若将钟表拨慢 10 分钟,则时针和分针分别转了多少度? 二、终边相同的角 例 2.在 0 到 360 的范围内,找出与下列各角终边相同的角,并分别判断它们是第 几象限角: (1) 650 (2) ?150 (3) ?990 15
0 0
0 '

?

0

0

分 析:只需将这些角表示成 k ? 360 ? ? (0 ? ? ? 360 ) 的形式,然后根据 ? 来确定它们
0 0 0

所在的象限

精讲互动 例 3.已知 ? 与 240 角终边相同,判断
0

? 是第几象限角. 2

例 4. 写出终边落在第一、三象限的角的集合. 分 析: 主要考查终边相同角的概念的应用

达标训练 1. 下列命题正确的是( A、 第一象限角一定不是负角

) B. 小于 90 的角一定是锐角
0

C 钝角一定是第二象限角 D 第一象限角一定是锐角 2. 试求出与下列各角终边相同的最小正角和最大负角: (1)-550 ° (2) 1680
0

(3) ?1290

0

(4) ?1510

0

作业 布置 学习 小结/ 教学 反思

习题 1-2 2,3

§3 弧度制
授课 时间 学习 目标 重点 难点 第 周 星期 第 节 课型 新授课 主备课人

1. 理解弧度制的意义,能正确地进行弧度与角度的换算,熟记特殊角的弧度数; 2. 掌握弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式 弧度与角度的换算及弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式 自主学习 1.规定:周角 为 1 度的角; 叫做 1 弧度的角. 2.角度制与弧度制相互换算: 1 弧度= (度) 度= ;1 (弧度) 注意: (1)用“弧度”为单位度量角,当弧度数用 ? 来表示时,如无特别要求,不必把 ? 写 成小数,例如 45 ?
?

?
4

弧度,不必写成 45 ? 0.875 弧度。
?

(2)角度制与弧度角制不能混用。 3.把下列各角从弧度化为角度:

7? ? _______; 6
学习 过程 与方 法

?

4? ? _______ . 3

4.把下列各角从角度化为弧度:

3150 ? ________; ?720 ? _________.
5.下列命题中,假命题的是( ) A、 “角度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位; B、1 度的角是周角的

1 1 ,1 弧度的角是周角的 ; 360 2?
0

C、根据弧度的定义,一定有 180 ? ? 成立; D、不论是用角度制还是用弧度制量角,它们与圆的半径长短有关. 6.角?的弧度数的绝对值 ? ?

l ( l 为弧长, r 为半径) ? l ? ? r r

若|α |≤2π ,则有圆心角为α 的扇形的面积为

S?

?? ? 1 ? ? r 2 ? rl (其中 l 为弧长, r 为半径) 2? 2

精讲互动 一、弧度制的概念 例 1.把下列各角从弧度化为角度: (分 析:主要考查弧度与角度的换算) (1)

3? 5

(2)

7 ? 2

例 2.把下列各角从角度化为弧度 (分 析:主要考查弧度与角度的换算) (1) 252
0

(2) 11 15

0

'

二、弧长公式和扇形面积公式 例 3.已知扇形的周长为 8 厘米,圆心角为 2 弧度,求该扇形的面积. 分 析:主要考查扇形的弧长公式和面积公式

达标训练 1.把下列各角从弧度化为角度: (1)

? 12

(2)

2 ? 5

(3) ?

4 ? 3

(4) ?12?

2.把下列各角从角度化为弧度: (1) 75
0

(2) ?210

0

(3) 135

0

(4) 22 30

0

'

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习题 1-3 1,2,7,8

§4.1 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义

授课 时间 学习 目标 重点 难点





星期 第



课型

新授课

主备课人

1. 掌握任意角三角函数的定义,并能借助单位圆理解任意角三角函数的定义; 2. 会用三角函数线表示任意角三角函数的值; 3. 掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号 求任意角三角函数的值 自主学习 1. 设点 P 是 ? 角终边上任意一点,坐标为 P( x, y) , | OP |? (1)比值 (2)比值 (3)比值 叫做 ? 的正弦,记作 sin ? ,即 sin ? = 叫做 ? 的余弦,记作 cos ? ,即 cos ? = 叫做 ? 的正切,记作 tan ? ,即 tan ? = .

x 2 ? y 2 ? r ,用
; ;

其中, y ? sin x 和 y ? cos x 的定义域分别是_____________;而 y ? tan x 的定义域是 _________.除上述情况外,对于确定的值 ? ,比值

以正弦、余弦、正切、是以角 ? 为自变量,一比值为函数值的函数,分别叫做角 ? 的正弦 函数、余弦函数、正切函数,以上三种函数统称为____________. 2.三角函数的符号 由三角函数的定义,以及各象限内点的坐标的符号,我们可以得知:

y x y 、 、 分别是一个确定的实数,所 r r x

学习 过程 与方 法

y 对于第一、二象限为_______对于第三、四象限_______; r x ②余弦值 对于第一、四象限为_______对于第二、三象限为_______; r y ③正切值 对于第一、三象限为_______对于第二、四象限为________. x
①正弦值 说明: (1)若终边落在轴线上,则可用定义 求出三角函数值; (2)正弦函数值的符号与 y 的符号相同,余弦函数值的符号与 x 的符号相同. 精讲互动

一、任意角的三角函数
例1. 已知角 ? 的终边经过点 P(2, ?3) ,求 ? 的正弦、余弦、正切值. 分 析:任意角的三角函数的定义

思考 :若角 ? 的终边经过点 P(4a, ?3a)(a ? 0) ,求 sin ? 和 cos ? 的值

二、三角函数的定义域 sin x ? cos x 例 2. x 取什么值时, 有意义.( 分 析:三角函数的定义域) tan x

三、三角函数值在各象限的符号
例 3 确定下列三角函数的符号: (1) cos

7? ; 12

(2) sin(?4650 ) ;

(3) tan

11? 3

达标训练 1 设 ? 是三角形一个内角,在 sin ? , cos ? , tan ? , tan 2 确定下列各角的正弦、余弦、正切值的符号: (1) 885 ;
0

?
2

中,哪些有可能是负值?

(2) ?395 ; (3)
0

19? ; 6

(4) ?

25? 3

3 已知角 ? 的终边经过点 P(?3, 4) ,求角 ? 的正弦、余弦和正切值.

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习题 1-4 1,2,6

§4.3 单位圆与诱导公式(1)
授课 时间 第 周 星期 第 节 课型 新授课 主备课人

学习 目标 重点 难点

1. 巩固理解三角函数线知识,并能用三角函数线推导诱导公式; 2. 能正确运用诱导公式求出任意角的三角函数值 运用诱导公式求出任意角的三角函数值 自主学习 1、(1)利用单位圆表示任意角 ? 的正弦值和余弦值: P( x, y) 为角 ? 的终边与单位圆的交 点则 sin ? ? y , cos? ? x ; 2、诱导公式由三角函数定义可以知道:终边相同的角的同一三角函数值相等. (1)公式一: 思考:除此之外还有一些角,它们的终边具有某种特殊关系,如关于坐标轴对称、关于原 点对称等,那么它们的三角函数有何关系呢? 当角 ? 的终边与角 ? 的终边关于 x 轴对称时, ? 与 ? 的三角函数值之间的关系 为: 。 (2)公式二: 当角 ? 的终边与角 ? 的终边关于 y 轴对称,或是关于原点对称时, ? 与 ? 的三角函数值 之间的关系为: (3)公式三: (4)公式四:

学习 过程 与方 法

说明:①公式中的 ? 指使公式两边有 意义的任意一个角;②若 ? 是角度制 ,同样成立, ③公式特点:函数名不变,符号看象限

如 sin(1800 ? ? ) ? ? sin ? , cos(180? ? ? ) ? ? cos? ;

精讲互动 例 1 例 1.求下列三角函数值: ? ? (1) sin 960 ; (2) cos(? 43? ) ; (3) tan(?1560 ) . 6
? ? 分析:先将不是 ? 0 ,360 范围内角 ?

?

? ? 的三角函数,转化为 ? 0 ,360 范围内的角的 ?

?

? ? 三角函数(利用诱导公式一)或先将负角转化为正角然后再用诱导公式化到 ? 0 , 90 ? ? ?

范围内角的三角函数的值。 【解】

【归纳总结】 :用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数,其一般步骤是:
? ? ? ①化负角的三角函数为正角的三角函数;②化大于 360 的正角的三角函数 ? 0 ,360 ? ? ? 内的三角函数;③化 ? 0 ,360 内的角的三角函数为锐角的三角函数. ?

?

?

可概括为: “负化正,大化小,小化锐” (有时也直接化到锐角求值) .

例 2 判断下列函数的奇偶性: (1) f ( x) ? 1 ? cos x

(2) g ( x) ? x ? sin x

说明:公式二可直接对应三角函数的奇偶性. 达标训练 1.求下列各式的值(1) sin ? ?

? 16 ? ?? ? 3 ?

(2) sin ? ?

? 31 ? ?? ? 4 ?

2.判断下列函数的奇偶性:

(1) f ( x) ? sin x (2) f ( x) ? sin x cos x

【延伸】例 3.化简

sin(? ? n? ) ? sin(? ? n? ) (n ? Z ) sin(? ? n? ) cos(? ? n? )

说明: 关键抓住题中的整数 n 是表示 ? 的整数倍与公式一中的整数 k 有区别, 所以必须把 n 分成奇数和偶数两种类型,分别加以讨论. 作业 布置 学习 小结/ 教学 反思 习题 1-4 7,8

§4.3 三角函数的诱导公式(2)

授课 时间 学习 目标 重点 难点





星期 第



课型

习题课

主备课人

1. 能近一步运用诱导公式求出任意角的三角函数值 2. 能通过公式的运用,了解未知到已知、复杂到简单的转化过程 运用诱导公式求出任意角的三角函数值 自主学习 1.知识链接: 公式一 : sin?2k? ? ? ? = 公式二: sin ?? ? ? ? 公式三: sin ?2? ? ? ? ? 公式四: sin ?? ? ? ? ?

cos?2k? ? ? ? ? cos?? ? ? ?
cos?2? ? ? ? ?

; ; ; 。

cos?? ? ? ? ?

一句话:函数名不变,符号看象限 2. 已知: tan ? ? 3 ,求

2 cos(? ? ? ) ? 3sin(? ? ? ) 的值. 4 cos(?? ) ? sin(2? ? ? )

学习 过程 与方 法

说明: 第二步到第三步应用了 “弦化切” 的技巧, 即分子、 分母同除以一个不为零的 cos? , 得到一个只含 tan ? 的较简单的三角函数式。 3.若角 ? 的终边与角 ? 的终边关于直线 y ? x 对称(如图)(1)角 ? 与角 ? 的正弦函数与 余弦函数值之间有何关系? (2)角

?
2

? ? 的终边与角 ? 的终边是否关于直线 y ? x 对称?

(3)由(1),(2)你能发现什么结论?

y

答:

角?的终边 P
M
O

y?x

M' P'

x

推导方法:

角?的终边

说明:

精讲互动

3 ? ? ? ) ? ? cos ? , 2 例 1.求证: 3 cos( ? ? ? ) ? sin ? 2 sin(

例 2 已知 cos(75 + ? )=
0 0

1 0 0 ,且-180 < ? <-90,求 cos(15 - ? )的值。 3
0 0 0 0

【分析】注意到(15 - ? )+(75 + ? )=90 ,因此可将 cos(15 - ? )转化为 sin(75 + ? )

达标训练 1.已知: tan ? ? 3 ,

2 cos( ? ? ) ? 3sin( ? ? ) 2 2 求 的值. 3? 3? 4 cos( ? ? ) ? sin( ? ? ) 2 2

?

?

2. 若 cos(75 +α ) =

0

1 0 0 ,α 是第三象限角,cos(105 -α )+sin(α -105 )的值等于 3

___

作业 布置 学习 小结/ 教学 反思

习题 1-4 7,8

§4.3 三角函数的诱导公式(3)

授课 时间 学习 目标 重点 难点





星期 第



课型

新授课

主备课人

1. 能进一步运用诱导公式求出任意角的三角函数值; 2. 能通过公式的运用,了解未知到已知、复杂到简单的转化过程 运用诱导公式求出任意角的三角函数值 自主学习 公式一 : sin?2k? ? ? ? ? 公式二: sin ?? ? ? ? 公式三: sin ?2? ? ? ? ? 公式四: sin ?? ? ? ? ? 公式五: sin ?? ? ? ? ? 公式六: sin ?

cos?? ? ? ?

cos?2k? ? ? ? ?
cos?2? ? ? ? ?

; ; ; ; ;

cos?? ? ? ? ? cos?? ? ? ? ?
?? ? cos? ? ? ? ? ?2 ? ?? ? cos? ? ? ? ? ?2 ?

?? ? ?? ? ? ?2 ? ?? ? ?? ? ? ?2 ?



学习 过程 与方 法

公式七: sin ?



注意: 1. 在诱导公式中,存在着角之间的关系,首先可以把负角的三角函数化为正角的三角 函数, 然后把正角的三角函数化为 0 ~ 360? 角的三角函数, 最后化为锐角三角函数, 这是三角函数化简、求值、证明的基础。
?

2. 诱导公式的形式及符号尤为重要, 如

k? ? ? , k ? Z 的三角函数必定符合某一个诱导 2

公式,公式记忆归纳为“奇变偶不变,符号看象限” ,要注意理解和区别,以保证解 题的准确性。 例 1.已知: cos(

?
6

??) ?

5? ? 3 ? ? ) ? sin 2 (? ? ) 的值。 求: cos( 6 6 3

精讲互动 例 2 已知 A、B、C 为 ?ABC 的三个内角,求证: sin

B?C A ? cos 2 2

例 3.若 f (cos x) ? cos3x ,求满足 f (sin x) ? 1 时的 x 的值.

达标训练 若 sin(? ? ? ) ? 2 cos(2? ? ? ), 求

sin(? ? ? ) ? 5 cos(2? ? ? ) 的值 3 cos(? ? ? ) ? sin(?? )

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习题 1-4 B 组 1,2,3

§5.1.2 正弦函数图像

授课 时间 学习 目标 重点 难点





星期 第



课型

新授课

主备课人

1.了解正弦函数图像的正弦线画法,掌握正弦函数图像的几何特征; 2. 掌握五点法,并能熟练会画一些简单的函数的图像. 掌握正弦函数图像,能熟练会画一些简单的函数的图像 自主学习 复习回顾正弦函数的定义,然后填空 sinx= , cosx= (一) 从单位圆研究正弦函数的性质 请从正弦函数的定义和单位圆思考正弦函数的性质,并填空 (1) 定义域________ (2) 最大值 ,最小值 ,值域 ; (3) 在区间[0,2π ]上,函数 y=sinx 的单调行为:在 在___________上是减少的. (二)正弦函数的图像 思考 1:如何在直角坐标系中比较精确地描出这些点,并画出 y=sinx 在 [0,2π ]内的图象?(阅读教材 22-23 页) (1) 列表描点法①步骤 ②优点 ③缺点 (2) 正弦线法:①步骤 , , , 正弦函数的图像的特征是 此种画法:优点 缺点 (3) 五点法 根据正弦函数的图像的形状特征,描出五个关键点,再顺连即可 精讲互动 看例 1 总结步骤

上是增加的;

学习 过程 与方 法

达标训练 1 用五点法画出下列函数在区间[0,2π ]上的简图 (1)y=-sinx

(2) y=1+inx

2 填空题 y=1+sinx,x∈[0,2π ]的图像与直线 y=1.5 的交点个数为 3 在[0,2π ]内 y=4sinx 的单调增区间为 在单调减区间为 4 作课后练习并体会其特点 ⑴





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习题 1-5 2

§5.3 正弦函数的性质

授课 时间 学习 目标 重点 难点





星期 第



课型

新授课

主备课人

1. 利用正弦函数图像和单位圆理解正弦函数的性质, 2. 进一步同样思想探究其他函数的性质. 理解掌握并能熟练应用正弦函数的性质 自主学习 1 复习回顾正弦函数图像的特征, 在上一节课中, 我们已经学习了正弦函数的 y=sinx 在 R 上图像,下面请同学们根据图像一起讨论一下它具有哪些性质?

-

-

-

-

y 1 o -

?

2

3

4

5 6x

学习 过程 与方 法

2 研究函数的性质应从哪几个方面去研究? ? 4 3 2 ? ? ? ? ? 1 3. 学习过程 ?请学生一边看书,一边仔细观察正弦曲线的图像,并思考以下几个问题: ? ? (1) 正弦函数的定义域是什么? (2) 正弦函数的值域是什么? (3) 它的最值情况如何? (4) 它的正负值区间如何分? (5) ?(x)=0 的解集是多少? 归纳得出并填空 1 定义域:y=sinx 的定义域为 2 值域:回忆单位圆中的正弦函数线,结论:|sinx|≤1(有界性) 再看正弦函数图象验证上述结论,所以 y=sinx 的值域为 3.最值:对于 y=sinx 当且仅当 x= 时 ymax=1 当且仅当 x= 时 ymin=-1 符号: 当 时 y=sinx>0 当 时 y=sinx<0 4.周期性: (观察图象) 1?正弦函数的图象是有规律不断重复出现的; 2?规律是:每隔 2?重复出现一次(或者说每隔 2k?,k?Z 重复出现) 3?这个规律由诱导公式 sin(2k?+x)=sinx 也可以说明 结论:y=sinx 的最小正周期为 2? 5.奇偶性 sin(-x)=-sinx (x∈R) y=sinx (x∈R)是奇函数 6.单调性 增区间为 ,其值从-1 增至 1; 减区间为 ,其值从 1 减至-1

精讲互动 1. 看书并填写下表: 函数 定义域 值域 周期性 奇偶性

y ? sin x 函数性质

图像特点 向左、向右无限伸展 最高点,最低点 平移得到 关于原点对称

单调性

在[ ?

?
2

? 2k?

?
2
2

? 2k? ]↑

在[ ? ? 2k? , 3? ? 2k? ]↓
2

达标训练 1.填写课本 27 页练习于课本上 2.

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习题 1-5 3,4,5

§6.1 余弦函数的图像
授课 时间 学习 目标 重点 难点 第 周 星期 第 节 课型 新授课 主备课人

1.通过类比正弦函数图像的画法,通过诱导公式能用图像平移的方法得到余弦的图像; 2.利用五点法画一些简单的函数曲线.
通过平移画一些简单的函数曲线. 自主学习 回顾:1.正弦函数的图像及作法.

2.正弦函数的性质有哪些?

1. 余弦函数图像的作法: (1)几何法: (类比正弦曲线)

学习 过程 与方 法

(2)描点法: (五点法)

精讲互动 例 1:试画出下列函数在区间 x∈【0,2π 】上的简图.

① y=2+cosx;

② y=cosx-1;

③ y=3cosx.

达标训练 1.在同一直角坐标系下画出下列函数的简图

y=cosx ,

y=2cosx , y=2cosx+1

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习题 1-6 2

§6.2 余弦函数的性质
授课 时间 学习 目标 重点 难点 第 周 星期 第 节 课型 新授课 主备课人

1. 了解余弦函数图像和正弦函数之间的联系; 2. 利用余弦函数图像理解余弦函数的性质; 3. 余弦函数的简单应用. 理解掌握并能熟练应用余弦函数的性质 自主学习 1 复习回顾余弦函数图像的特征, 在上一节课中, 我们已经学习了余弦函数的 y=sinx 在 R 上图像,请同学们根据图像说出它有哪些性质?

-

-

-

-

y 1 o -

?

2

3

4

5

6x ?

学习 过程 与方 法

2 研究函数的性质应从哪几个方面去研究? 3 ? 4 2 ? ? ? ? 3. 学习过程 1 请学生一边看书,一边仔细观察余弦曲线的图像,并思考以下几个问题: ? ? ? ⑴余弦函数的定义域是什么? ⑵余弦函数的值域是什么? ⑶它的最值情况如何? ⑷它的周期性? ⑸它的单调性? ⑹?(x)=0 的解集是多少? 归纳得出并填空 1 定义域:y=cosx 的定义域为 2 值域:回忆单位圆中的正弦函数线,结论:|cosx|≤1(有界性) 再看正弦函数图象验证上述结论,所以 y=cosx 的值域为 3.最值:对于 y=cosx 当且仅当 x= 时 ymax=1 当且仅当 x= 时 ymin=-1 符号: 当 时 y=cosx>0 当 时 y=cosx<0 4.周期性: (观察图象) 1?正弦函数的图象是有规律不断重复出现的; 2?规律是:每隔 2?重复出现一次(或者说每隔 2k?,k?Z 重复出现) 3?这个规律由诱导公式 cos(2k?+x)=cosx 也可以说明 结论:y=cosx 的最小正周期为 2? 5.奇偶性 cos(-x)=cosx (x∈R) y=cosx (x∈R)是偶函数

6.单调性 增区间为 减区间为 精讲互动 1. 看书并填写下表: 函数 定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性

,其值从-1 增至 1; ,其值从 1 减至-1

y=cosx 函数性质

图像特点 向左、向右无限伸展 最高点,最低点 平移得到 关于 y 轴对称 在[ ?2k

? 1?? ,2k? ]↑ ? 1?? ]↓

在[ 2k? , ?2k

达标训练 1.填写课本 32 页练习于课本上 2.求满足 cosx≥

1 的 x 的集合 2

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习题 1-6 3,4,5

§7.1 正切函数的定义
授课 时间 学习 目标 重点 难点 第 周 星期 第 节 课型 新授课 主备课人

1. 了解任意角的正切函数概念; 2. 理解正切函数中的自变量取值范围; 3. 掌握正切线的画法; 正切函数的概念、诱导公式、图像与性质 自主学习 1.正切函数的定义: 在直角坐标系中,如果角 α 满足: ,那么,角 α 的终边与单位圆交于 点 P(a,b) ,唯一确定 .根据函数定义,比值是角 α 的函数,我们把它叫作角 α 的正切函数,记作 ,其中 α∈R,α≠+kπ,k∈Z. 比较正、余弦和正切的定义,不难看出:tanα= (α∈R,α≠+kπ,k∈Z). 由此可知,正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以比值为函数值的函数,我们统称为 三角函数。 2.正切函数值在各象限的符号:

学习 过程 与方 法

3.正切函数值的几何表示. y 如右图,单位圆与 x 轴正半轴的交点为 A(1 ,0) ,任意角α 的终边与单位圆交于点 P,过点 A(1 ,0)作 x 轴的垂线,与角 的终边或终边的延长线相交于 T 点。从图中可以看出: 当角α 位于 时,T 点位于 ; o 当角α 位于 时,T 点位于 。 P 210? 分析可以得知,不论角α 的终边在第几象限,都可以构 造两个相似三角形,使得角α 的正切值与有向线段 AT 的值相等。 因此,我们称 为角α 的正切线。 精讲互动 1.正切函数的图象 (1)首先考虑定义域: x ? k? ?

30? T x

A

?
2

?k ? z ?

(2)为了研究方便,再考虑一下它的周期:

? tan?x ? ? ? ? ? ?

sin ?x ? ? ? ? sin x ? ? ? ? ? tan x? x ? R, 且x ? k? ? , k ? z ? cos?x ? ? ? ? cos x 2 ? ?

∴ y ? tan x? x ? R, 且x ? k? ?

?

? , k ? z ? 的周期为 T ? ? (最小正周期) 2 ?

(3)因此我们可选择 ? ?

? ? ?? , ? 的区间作出它的图象。 ? 2 2?

根据正切函数的周期性,把上述图像向左、右扩展,得到正切函数 y ? tan x 且x ?

x?R,

?
2

? k? ?k ? z ? 的图像,称“正切曲线”

y

3 ? ? 2

?? ? ? 2

0

? 2

?

3 x ? 2

从上图可以看出,正切曲线是由被相互平行的直线 x= 曲线组成的,这些直线叫作正切曲线各支的渐近线。 达标训练 1.求函数 y=tan3x 的定义域 2.求下列函数的周期: (1) y ? tan 2 x, x ? 作业 布置 学习 小结/ 教学 反思

? +kπ (k∈Z)隔开的无穷多支 2

?
4

?

k? (k ? Z ) 2

(2) y ? 5 tan

x , x ? (2k ? 1)(k ? Z ). 2

习题 1-7 1,2,3,4

§7.2 正切函数的图像与性质
授课 时间 学习 目标 重点 难点 第 周 星期 第 节 课型 新授课 主备课人

1. 能正确作出正切函数曲线; 2. 借助图象理解正切函数的性质; 3. 进一步研究正切函数的综合运用 正切函数的概念、图像与性质 自主学习 1.定义域: 2.值域 3.周期性: 4 奇偶性:y=tanx 是奇函数其图象关于________对称它的对称中心为 __________________ 5.单调性: 正切函数在每一个开区间 (?

?
2

? k? ,

?
2

? k? ) (k∈Z)上单调增函数.

思考: 正切函数在整个定义域内是单调增函数吗? 答:__________________________ 例:求函数 y=tan(2x- ) 的定义域、周期、单调区间.
? 4

学习 过程 与方 法

精讲互动 1. 看书并填写下表: 函数 定义域 值域 周期性 奇偶性

正切函数 y=tanx 的性质

单调性

达标训练 1、观察正切函数的图象,分别写出满足下列条件的 x 的集合: ①tanx=0 ②tanx<1

2、求下列函数的定义域: ①y=tan3x ②y=tan(x+ )
3

?

3、求函数 y=tan(

?
2

? x)(?

?
6

?x?

?
6

且x ? 0) 的值域?

4.比较下列两个三角函数值的大小. ①tan2400、tan2600 ② tan

15? 14? 、tan 8 9

5.求函数 y=tan ? 3x ? 性以及周期.

? ?

??

? 的定义域、值域,并指出它的奇偶性、单调 3?

延伸:已知 f ( x) ? tan x ? 5tan x (|x|≤
2

? ),求 f ( x ) 的最小值. 4
2

【解】1 换元的思想在数学解题中是常用的数学思想;2 在特定区间值的问题时,注意运用 数形结合的思想; (3)若题意改为“已知 f ( x) ? tan x ? a tan x (|x|≤ 求 a 的值. 如何解呢? ” 作业 布置 学习 小结/ 教学 反思

? )的最小值-4, 4

习题 1-7 5,6

§7.3 正切函数的诱导公式
授课 时间 学习 目标 重点 难点 第 周 星期 第 节 课型 新授课 主备课人

1. 巩固理解三角函数线知识,并能用三角函数线推导诱导公式 2. 能正确运用诱导公式求出任意角的三角函数值 运用诱导公式求出任意角的三角函数值 自主学习 1.复习: 公式一 公式三: 公式五 公式七: 公式二: 公式四: 公式六: 公式八:

2. 运用上面的诱导公式我们可以归纳出以下公式:

tan(2π +α )= tan(2π -α )= tan(π +α )=
学习 过程 与方 法 精讲互动 例 1.若 tanα =

tan(-α )= tan(π -α )=

2 ,借助三角函数定义求角α 的正弦函数值和余弦函数值 3

例 2.化简:

tan?2? ? ? ? tan?3? ? ? ? tan?? ? ? ? ? tan?3? ? ? ? tan?? ? ? ? ?

达标训练 1. 已知角 ? 的终边在直线 3x+4y=0 上,求 sin ? ,cos ? ,tan ? 的值.

2.已知 tan ? =2,求下列各式的值: (1)

2 sin ? ? 3 cos? 4 sin ? ? 9 cos? ;

2 sin 2 ? ? 3 cos2 ?
(2)

4 sin 2 ? ? 9 cos2 ?

;

作业 布置 学习 小结/ 教学 反思

习题 1-7 7,8

§1.8.1 y ? A sin(?x ? ? ) 的图像(第 1 课时)
授课 时间 学习 目标 重点 难点 第 周星期 第 节 课型 新授课 主备课人

会用“五点法”作 y = Asin(ωx+φ) 的图象; 理解振幅变换和周期变换的规律; 会由 y = sinx 的图象变换得到 y =A sinx、y = sin(x+φ)的图象。 重点:振幅变换和周期变换规律的理解. 难点:弄清参变数 A、ω 对图象的影响.

自主学习
复习: ①正弦曲线:____________________________________________________;

②余弦曲线:__________________________________________________;

③五点法做图的五点:______________________________________. 阅读课本 p42 回答下面问题: (1)如在同一坐标系中作出 y ? 2 sin x 及 y ?

1 sin x 的简图,并指出它们的图象与 2

y ? sin x 的关系。
①列表 学习 过程 与方 法 ②画图 x y ? 2 sin x
y? 1 sin x 2

y ? sin x

精讲互动
(1) 解析“自主学习(1)”的性质; (2)p44“思考交流” (3) 例题解析 例 1 (教材 p44 例 2)

①列表 x

x?

?
4
?
4 )

y ? sin( x ?

y ? sin x

x

x?

?
6
?
6 )

y ? sin( x ?

y ? sin x

②画图

③确定周期

④抽象概括:

达标训练
P46 练习 1,2,3. 作业 布置 学习 小结、 /教学 反思 (1)p54 习题 1-8 A 组 1(1)、(2);2(1)、(3); (2)教辅资料; (3)预习资料.

§1.8.2 y ? A sin(?x ? ? ) 的图像(第 2 课时)

授课 时间 学习 目标 重点 难点



周星期 第



课型

新授课

主备课人

会用“五点法”作 y=Asin(ωx+φ) 的图象; 理解振幅变换和周期变换的规律; 会由 y= sinx 的图象变换得到 y=Asinωx 、y=Asin(ωx+φ)的图象。 重点:振幅变换和周期变换规律的理解. 难点:弄清参变数 A、ω、φ 对图象的影响.

自主学习
复习: 一般地:函数 y = Asin x, x∈R(A>0)的图象可以看作把正弦曲线上所有点的纵坐 标_______(当 A>1 时)或_______(当 0<A<1)时到原来的_______倍(横坐标不 变)得到. 阅读课本 p42 回答下面问题: (1)如在同一坐标系中作出 y ? sin 2 x 及 y ? sin

1 x 的简图,并指出它们的图象与 2

y ? sin x 的关系。
①列表 x 2x
y ? sin(2 x)

学习 过程 与方 法

y ? sin x

x

x 2
y ? sin x 2

y ? sin x

②画图

精讲互动
(1) 解析“自主学习(1)”的性质; (2)p48“思考交流” (3) 例题解析 例 1 (教材 p49 例 4) ①第一步

②第二步

③第三步

④第五步

抽象概括:

(4)p51“思考交流”

达标训练
p52 练习 1,2,3. 作业 布置 学习 小结、 /教学 反思 (1)p54 习题 1-8 A 组 2(2)、(4),3,4; (2)教辅资料.

§1.8.3 y ? A sin(?x ? ? ) 的图像
授课 时间 学习 目标 重点 难点 第 周星期 第 节 课型 习题课 主备课人

1.会用“五点法”作 y=Asin(ωx+φ) 的图象; 理解振幅变换和周期变换的规律; 会由 y= sinx 的图象变换得到 y=Asinωx 、y=Asin(ωx+φ)的图象。 2.会求函数 y=Asin(ωx+φ)的最大值、最小值和单调区间。 重点:y=Asin(ωx+φ)的最大值、最小值和单调区间. 难点:y=Asin(ωx+φ)的最大值、最小值和单调区间.

自主学习
复习: (1) 函数 y = sinωx, x∈R(ω>0且 ω≠1)的图象可以看作把正弦曲线上所有点的横 坐标_______ (当 ω>1 时) 或_______ (当 0<ω<1) 时到原来的_______倍 (纵 坐标不变)得到. (2) 指出 y = sin x 的图像变换为 y ? sin( 2 x ? 方法一: 方法二: (3)画出 y = sin x 的简图,并说出该函数的最大值、最小值和单调区间以及达到最大 值、最小值时 x 的集合. 简图:

?
3

) 的图像的两种方法.

学习 过程 与方 法

(4)画出 y = cos x 的简图,并说出该函数的最大值、最小值和单调区间以及达到最大 值、最小值时 x 的集合. 简图:

精讲互动
(1) 解析“自主学习” (2) 例题解析 例 1 (教材 p52 例 5) ①





例 2 (教材 p53 例 6) ①



达标训练
p52 练习 1,2,3. 作业 布置 学习 小结、 /教学 反思 (1)p54 习题 1-8 A 组 5、6; (2)教辅资料; (3)预习下一节课.

§1.9 三角函数的简单应用
授课 时间 学习 目标 第 周星期 第 节 课型 新授课 主备课人

通过实例的分析和求解来激发学习兴趣,开阔视野,体会三角函数是描述周期变化现 象的一种重要函数模型,体会它的重要应用价值,帮助认识三角函数与人类生产、生 活以及其他学科的关系,形成“要学数学”和“能学数学”的情感,培养数学应用意 识. 重点: 分析、 整理、 利用信息, 从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型, 用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题. 难点:将某些实际问题抽象为三角函数的模型,并调动相关学科的知识来解决问题.

重点 难点

自主学习
复习: 指数函数、对数函数等都描述实际生活中的哪些问题,又是如何解决这些实际问题的? 数学模型是什么?方法什么?

阅读课本 p57-58 回答下面问题: (1) p57 例题的解析 第一步:根据条件设置适当的角.

学习 过程 与方 法

第二步:.建立三角函数式.

第三步:.进行三角函数式的变换,解决实际问题.

小结:建立三角函数模型的步骤: ① ②

精讲互动
(1) 解析“自主学习”; (2)例题解析 例 1:在图中,点 O 为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的方向为物体位移的 正方向,若已知振幅为 3cm,周期为 3s,且物体向右运动到距离平衡位置最远处时开始 计时.求物体对平衡位置的位移 x(cm) 和时间 t (s ) 之间的函数关系;求该物体在 t ? 5s 时的位置. 问题: (1)用什么模型描述物体的运动? (2)已知条件“物体向右运到距离平衡位置最远处时开始计时”怎样应用?

达标训练
p58 练习. 作业 布置 学习 小结、 /教学 反思 (1)p59 习题 1-9 A 组 1、2; (2)预习下一节内容.

§1.10 三角函数复习

授课 时间 学习 目标



周星期 第



课型

复习课

主备课人

(1)了解本章的知识结构体系,在整体上有一个初步的认识; (2)加深对任意角、弧度及三角函数的理解; (3)掌握三角函数的图像与性质,能利用性质进行解题; (4)掌握一定的解题方法,形成较好的能力。 重点:三角函数定义,以及三角函数的图像与性质. 难点:本章内容的系统掌握与灵活运用.

重点 难点

自主学习

复习 1:诱导公式: (奇变偶不变,符号看象限)k· ? /2+ a 所谓奇偶指 的是整数 k 的奇偶性 函 数

x
?a
2? ? a

sin x ? sin a

cos x
cosa

tan x ? tan a
? cot a

cot x ? cot a ? cot a

?
2

?a

cosa

复习 2:

学习 过程 与方 法

函数 图形

y=sinx

y=cosx

y=tanx

定义域 值域 最值 单调性 奇偶性 周期 对称性

复习 3:函数 y=Asin(ωx+φ)图像与性质

(1)函数 y ? A sin(?x ? ? ) 和 y ? A cos(?x ? ? ) 的周期都是__________________; (2)函数 y ? A tan( x ? ? ) 和 y ? A cot( x ? ? ) 的周期都是_________________; ? ? (3)五点法作 y ? A sin(?x ? ? ) 的简图,设 t ? ?x ? ? ,取 0、

? 3? 、? 、 、 2? 来求 2 2

相应 x 的值以及对应的 y 值再描点作图。 (4)关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换,提倡先平移后伸缩。切记每一个 变换总是对字母 x 而言,即图像变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化” 多少。

精讲互动
(1) 解析“自主学习(1)”的性质; (2)例题解析 例 1.已知 sin ? ? 2 cos ? ,求

sin ? ? 4 cos ? 及 sin 2 ? ? 2 sin ? cos ?的值。 5 sin ? ? 2 cos ?

? 例 2.函数 y ? sin? 3x ? ? 的定义域、值域,并指出它的周期性、奇偶性、单调性。 ? ? 3? ?

达标训练(选做)
(1)P67 复习题一:1-11. (2)教辅资料 作业 布置 学习 小结、 /教学 反思 (1) 复习题一:12-15; (2)教辅资料; (3)预习资料.

§2.1 从位移、速度、力到向量
授课 时间 学习 目标 重点 难点 第 周星期 第 节 课型 新授课 主备课人

(1)理解向量与数量、向量与力、速度、位移之间的区别; (2)理解向量的几何表示 向量及向量的有关概念、表示方法

自主学习
1. 举例说明什么是向量?向量与数量有何区别?

2.向量的表示方法有哪些 ①几何表示法 有向线段的三要素 ②字母表示法 3. 向量的模的概念是如何定义的 4.两个特殊的向量: ①零向量 ②单位向量 思考 ① 温度有零上零下之分, “温度”是否向量?
? ?? ? ??

学习 过程 与方 法



AB 与 BA 是否同一向量?

③有几个单位向量?单位向量的大小是否相等?单位向量是否都相等? 5.向量间的关系: (1)平行向量: 记作: (2)相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

a b c

注意:任两相等的非零向量都可用一有向线段表示,与起点无关。 (3) 共线向量: 任一组平行向量都可移到同一条直线上 , 所以平行向量也叫共线向量。

C

O

B

A

精讲互动
(1) 解析“自主学习(1)”的性质; (2)例题解析 例 1: (课本 p73 例题)

? ??

? ??

? ??

例 2: 如图, O 是正六边形 ABCDEF 的中心, 设 ①分别写出图中与向量 OA 、OB 、OC
? ?? ? ?? ? ??

相等的向量;②分别写出图中与向量 OD 、 OE 、 OE 共线的向量.

B O C

A

F

D

E

达标训练
(1)P73 练习:1-3. (2)教辅资料 作业 布置 学习 小结、 /教学 反思 (1) 习题 2-1:1-4; (2)教辅资料; (3)预习资料.

§2.2.1 向量的加法
授课 时间 学习 目标 重点 难点 第 周星期 第 节 课型 新授课 主备课人

掌握向量加法的概念;能熟练运用三角形法则和平行四边形法则做几个向量的和向量; 能准确表述向量加法的交换律和结合律,并能熟练运用它们进行向量计算 加法的概念和向量加法的法则及运算律

自主学习
1. 向量是否能进行运算? (1)某人从 A 到 B,再从 B 按原方向到 C,
? ??

? ??

? ??

A

B C A B

C

则两次的位移和: AB + BC = AC (2)若上题改为从 A 到 B,再从 B 按反方向到 C,
? ??

? ??

? ??

则两次的位移和: AB + BC = AC (3)某车从 A 到 B,再从 B 改变方向到 C,
? ??

C A B A B B C

? ??

? ??

则两次的位移和: AB + BC = AC (4)船速为 AB ,水速为 BC ,
? ??

B

? ??

? ??

学习 过程 与方 法

(5)则两速度和: AB + BC = AC 2.定义:求两个向量的和的运算,叫做向量的加法。 3.三角形法则: a a+b C a b a

a b

b

a+b A B C

a+b C A B

A B

4.加法的交换律和平行四边形法则:

思考:课本 p75“思考交流”

精讲互动
(1) 解析“自主学习”; (2)例题解析 例 1. (课本 p75 例 1)

例 2. (课本 p75 例 2)

例 3. (课本 p76 例 3)

达标训练
(1)P76 练习:1-4. D (2)(选做)向量加法的结合律:( a + b ) + c = a + ( b + c ) 证: a+b+c b+c a+b a B b c

A

C

作业 布置 学习 小结、 /教学 反思

(1) p79 习题 2-2:1、2; (2)教辅资料; (3)预习资料.

§2.2.2 向量的减法
授课 时间 学习 目标 重点 难点 第 周星期 第 节 课型 新授课 主备课人

理解向量减法的定义; 掌握向量的减法,会作两个向量的减向量并理解其几何意义 重点:向量减法的三角形法则及平行四边形法则; 难点:向量向量的减法转化为加法的运算

自主学习: ? ? ? ? 思考:已知 a , b ,怎样求作 a ? b ?
提示:这个问题涉及到两个向量相减,到底如何运算呢?首先引入“相反向量”这个概 念. 1.阅读课本 p77 回答下面问题: ①“相反向量”的定义: ②规定:零向量的相反向量_________; 任一向量与它的相反向量的和_________; 如果 a、b 互为相反向量,那么_________. ③向量减法的定义: 即:a ? b = a + (?b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。 2.用加法的逆运算定义向量的减法: 向量的减法是向量加法的逆运算: 向量的减法转化为加法的运算叫做 a 与 b 的差, 记 作a?b 3.如何求两个向量的差?

学习 过程 与方 法

4.请同学们自己解决思考题:

? ? a ? b 的作法:
方法一: 已知向量 a 、b , 在平面内任取一点 O,
? ??

?

?



OA ? a, OB ? b ,则 BA ? a ? b 。

? ? ??

?

? ??

?

?

即 a ? b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量 方法二:在平面内任取一点 O,作 OA ? a, OB ? b 则 AB ? a ? b 。 即 a ? b 也可以表示为从向量 a 的起点指向向量 b 的起点的向量.
? ?
? ?? ? ? ?? ?

?

?

?

?

? ??

?

?

?

?

方法三:在平面内任取一点 O,作 OA ? a, OB ? ? b ,则由向量加法的平行四边形法则 可得 OC ? a ? (? b ) ? a ? b .
? ??
? ? ? ?

? ??

? ? ??

?

精讲互动
(1) 解析“自主学习”; (2)例题解析 例 1: (课本 p77 例 4)

例 2: (课本 p78 例 5)

达标训练
(1)p67 练习:1、2. (2)教辅资料 作业 布置 学习 小结、 /教学 反思 (1) 习题 2-2:4、5、6; (2)教辅资料; (3)预习下一节.

§2.3.1 数乘向量
授课 时间 学习 目标 重点 难点 第 周星期 第 节 课型 新授课 主备课人

(1)理解数乘向量 的意义及其几何意义; (2)掌握向量的运算律,并能熟练地运用运算律对向量的线性组合进行化简; (3)掌握向量共线的判定定理和性质定理。 重点:向量的数乘运算 难点:向量共线的判定定理和性质定理

自主学习 复习:
(1)向量加法三角形法则和向量加法平行四边形法则?它们的特点是什么?

(2)向量的减法?特点是什么?

1.阅读课本 p80 回答下面问题: (1)已知向量 a, 如何作出 a ? a ? a 和 (?a) ? (?a) ? (?a)? 学习 过程 与方 法

?

? ? ?

?

?

?

(2)向量 3a 与向量 a 有什么关系? 向量 ?3a 与向量 a 有什么关系?

?

?

?

?

(3)向量的数乘运算的定义? 它的长度和方向规定?

(4)数乘向量的几何意义?运算律又有哪些?

精讲互动
(1) 解析“自主学习”; (2)向量平行的判定定理和性质定理

(3)例题解析 例 1: (课本 p81 例 1)

例 2: (课本 p78 例 5)

达标训练
(1)p82 练习:1-5. (2)教辅资料 作业 布置 学习 小结、 /教学 反思 (1)习题 2-3:1-4; (2)教辅资料; (3)预习下一节.

§2.3.2 平面向量基本定理
授课 时间 学习 目标 重点 难点 第 周星期 第 节 课型 新授课 主备课人

了解平面向量的基本定理及意义;能用两个不共线向量表示一个向量;能把一个向量分 解为两个向量。 重点:能用两个不共线向量表示一个向量 难点:对向量共线的的进一步理解

自主学习
复习:①向量的加法运算(平行四边形法则)?

②实数与向量的积?

③向量共线定理?

学习 过程 与方 法

问题:①由平行四边形想到:是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量?且分解 是唯一? ②对于平面上两个不共线向量 e1 , e2 是不是平面上的所有向量都可以用它们来 表示?

1.阅读课本 p83 回答下面问题: ①平面向量基本定理内容:

②基底:

精讲互动
(1) 解析“自主学习”; (2)例题解析 例 1: (课本 p84 例 4)

例 2: (课本 p84 例 5)

达标训练
(1)p84 练习:1、2. (2)教辅资料 ( 3 )( 选 做 ) 设 e1, e2 是 平 面 内 的 一 组 基 底 , 如 果 AB =3 e1, --2 e2 ,

??? ?

??? ? ??? ? BC =4 e1, + e2 , CD =8 e1, -9 e2 ,求证:A,B,D 三点共线。提示:欲证 A,B,D 三点共
线,只需证明共起点的两个向量 AB 与 AD 共线 ,即证明 AD = ? AB

??? ?

??? ?

作业 布置 学习 小结、 /教学 反思

(1) 习题 2-3 A 组:5、6、7; B 组 (选做) (2)教辅资料; (3)预习下一节.

§2.4.1 平面向量的坐标表示
授课 时间 学习 目标 重点 难点 第 周星期 第 节 课型 新授课 主备课人

(1)理解平面向量的坐标的概念; (2)能正确的用坐标来表示向量,能区分向量的坐标与点的坐标的不同; (3)掌握平面向量的坐标运算。 重点:平面向量的坐标运算 难点:平面向量坐标表示的概念的建立

自主学习
复习:①平面向量基本定理的内容是什么?什么是平面向量的基底?

②点共线的证明方法:

阅读课本 p86-87 回答下面问题: ①一般地, 对于向量 a , 当它的起点移至_____时, 其终点的坐标 ( x, y ) 称为向量 a 的 (直 角)坐标,记作_______________ ② 有 向 线 段 AB 的 端 点 坐 标 为 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) , 则 向 量 AB 的 坐 标 为 ____________________ 学习 过程 与方 法 ③若 a =( x1 , y1 ), b =( x2 , y 2 )

a + b =____________________

a - b =____________________
则P点

④线段的定比分点坐标公式: ( ? ? ?1 )若 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 )且P1P ? ? PP 1 2 坐标是_____________________

精讲互动
(1) 解析“自主学习”; (2)例题解析 例 1: (课本 p86 例 1)

例 2:如图,已知 O 是坐标原点,点 A 在第一象限, OA ? 4 3 , ?xOA ? 60 0 ,求向 量 OA 的坐标.

达标训练
(1) 与向量 a ? (12,5) 平行的单位向量为( A. ( )

12 5 12 5 12 5 12 5 12 5 , ) B. (? ,? ) C. ( , ) 或 (? ,? ) D. (? ,? ) 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13
/

(2) 若 O(0,0) ,B(-1,3)且 OB / = 3OB ,则 B 坐标是:_______________ (3) 已知 O 是坐标原点, A 在第二象限,OA ? 2, ?xOA ? 1500 求向量 OA 的坐标。 点

作业 布置 学习 小结、 /教学 反思

(1)习题 2-4:1、2、3; (2)教辅资料; (3)预习下一节.

§2.4.2 平面向量的坐标运算
授课 时间 学习 目标 重点 难点 第 周星期 第 节 课型 新授课 主备课人

进一步掌握向量的坐标表示,理解向量平行坐标表示的推导过程 重点:向量平行坐标表示 难点:向量平行坐标表示

自主学习
复习:①向量共线的定理:

② 有 向 线 段 AB 的 端 点 坐 标 为 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) , 则 向 量 AB 的 坐 标 为 ____________________ ③若 a =( x1 , y1 ), b =( x2 , y 2 )

a + b =____________________

a - b =____________________

④若 a =( x1 , y1 ),则 ? a =( x1 , y1 ) _____________________ 阅读课本 p88-89 回答下面问题: 向量平行的坐标表示: 学习 过程 与方 法

精讲互动
(1) 解析“自主学习”; (2) 向量平行坐标表示的推导过程

(3)例题解析 例 1: (课本 p88 例 2)

例 2: (课本 p88 例 3)

例 3: (课本 p89 例 4)

达标训练
(1)p89 练习:1-6. (2)教辅资料 作业 布置 学习 小结、 /教学 反思 (1) 习题 2-2:4-7; (2)教辅资料; (3)预习下一节.

§2.5
授课 时间 学习 目标 重点 难点 第 周 星期 第

从力做的功到向量的数量积
节 课型 新授课 主备课人

1. 通过经历探究过程, 掌握平面向量的数量积及其几何意义, 掌握平面向量的数量积的重 要性质及运算律。 2. 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、 角度和垂直的问题, 并掌握两个向量垂直 的条件。 重点:平面向量的数量积的定义。 难点:平面向量的数量积的定义及其运算律的理解和平面向量的数量积的应用。 自主学习 1. 复习回顾: ①向量 a 和向量 b 的和与差是 则来表示。 ②向量 a 和实数 ? 的数量积是

?

?

,其大小和方向可以通过

法则和



?

,其大小为

,方向为 。

2. 新知探究: ①如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s, 那么力 F 所做的功 W 可以表示为 其中 ? 是 。力和位移是 ,功是 。 , 为a 与 ,

学习 过程 与方 法

b ②设 a 、 是同一平面内的两个任意向量, a 与 b 的积可以表示为 则
其中 ? 是 。a ? b 的结果是一个 或 。

?

?

?

?

? ?

,称

?

? b的
?

b ③设 a 、 是两个非零向量, 则其夹角定义为
两向量夹角的范围是 当 ? ? 0 时, a 与 b
o

?



。 ; ? ? 180 时, a 与 b
o

?

?

?

?

; ? ? 90 时, a 与 b
o

?

?



记作

。特别规定:零向量可与任意向量



④向量 a 与 b 的数量积的几何意义是 或 当两向量相等时,其数量积等于 当两向量都是单位向量时,其数量积等于 ,记作 ,记作 ; 。 。

?

?

⑤向量数量积的物理意义是 。 ⑥平面向量数量积的重要性质:

1o 2o

3o
4o

5o
⑦平面向量数量积满足的运算定律:

精讲互动 1. 向量数量积的几何意义;向量数量积的重要性质;向量数量积满足的运算定律。 2. 应用: 例 2(余弦定理)

例4 达标训练 1. 练习 1-5 题。 2. 已知 a ? 3 , b ? 4 ,且 a 与 b 不共线,当 k 为何值时,向量 a ? kb 与 a ? kb 互相垂 直?

?

?

?

?

?

?

?

?

作业 布置 学习 小结/ 教学 反思

习题 2-5A 组 3、4、5

§2.6 平面向量数量积的坐标表示
授课 时间 学习 目标 重点 难点 第 周 星期 第 节 课型 新授课 主备课人

1、 通过探究平面向量数量积的坐标运算,掌握两个向量数量积的坐标表示方法; 2、 掌握两个向量垂直的坐标条件, 能运用两个向量数量积的坐标表示解决有关长度、 角度、 垂直等几何问题。 重点:平面向量数量积的坐标表示. 难点:向量数量积的坐标表示的应用. 自主学习 1. 复习回顾: ① 已 知 向 量 a 、 b , 则 a ?b =

?

?

? ?

; a =

?



cos ? =
②若 a ? b ,则 a ? b = ③平面向量基本定理是

,特别的, a ? 0 ? 0 ? a =

? ?

? ?

. . .

?

?

? ?

,反之可得

④设 a ? ( x1, y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,则 a 与 b 平行 ? 2.新知探究:

?

?

?

?

.

①设 i 、 j 分别是 x 轴和 y 轴方向上的单位向量, a ? ( x1, y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,则 学习 过程 与方 法

?

?

?

?

? ? a ?b =
?

,即两向量的数量积等于

.

②(模长公式)设 a ? ( x, y) ,则 a =

?2

,或 a ?

?



如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 ( x1, y1 ) 和 ( x2 , y2 ) ,那么

?

? a=

,a ?

?



a ③ (夹角公式) a ? ( x1, y1 ) , ? ( x2 , y2 ) , 与 b 的夹角为 ? , cos ? = 设 则 b
④(垂直)设 a ? ( x1, y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ? b ? 精讲互动 1. 平面向量数量积的坐标表示; 2. 应用: ① 例 2、求平面曲线方程的方法与步骤:

?

?

?

?

; .

?

?

?

?

②例 3 若圆 C: ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ,则与圆 C 相切于点 P ( x0 , y0 ) 的切线方程为 0 , 特别的, a=0, 若 b=0, 则与圆 C 相切于点 P ( x0 , y0 ) 0 的切线方程为 ③若直线 l 的斜率为 k ,则 l 的方向向量为 ④直线 l1 与 l2 的夹角是指 达标训练 1. 练习 1、2; 2. 已知 a =(2,-1) b =(3,-2) , ,求(3 a - b )( a -2 b ) · ; . . , 其范围是 .

3.已知向量 a ? (1,1), b ? (2,?3) ,若 ka ? 2b 与 a 垂直,则实数 k=_____.

?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? 4. 已知a ? (1,2), b ? ( x,1) 若a ? 2b 与2a ? b 平行,则 x=_______.
?

5.已知 a ? (m ? 2, m ? 3), b ? (2m ? 1, m ? 2) ,且 a 与b 的夹角为钝角,求实数 m 的取值 范围.

?

?

?

6.设向量 a ? e1 ? e2 , b ? 4e1 ? 3e2 ,其中 e1 ? (1,0), e2 ? (0,1) ⑴、试计算 a ? b 及 a ? b 的值; ⑵、求向量 a 与b 的夹角大小。

?

?

? ?
?

?

?

?

?

? ?

?

?

?

作业 布置 学习 小结/ 教学 反思

习题 2-6 A 组 2,3,4,6

§2.7.1

向量应用----点到直线的距离公式

授课 时间 学习 目标 重点 难点





星期 第



课型

新授课

主备课人

1、 通过点到直线的距离公式的向量证明方法,了解向量在解析几何中的应用; 2、 通过平行四边形这个几何模型,归纳总结用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”. 重点:用向量方法解决解析几何、平面几何的问题. 难点:如何将几何等实际问题化归为向量问题. 自主学习 1. 复习回顾: ① 设直线 l : Ax+By+C=0 , M 0 ( x0 , y0 ) 是平面上一定点,则 M 0 ( x0 , y0 ) 到 l 的距离为 . ②直线 l : Ax+By+C=0 的方向向量可以表示为 零向量称为直线的法向量, l 的法向量可以表示为 则 量为 ③两向量 a 、 b 的数量积为 . 2. 新知探究: . ;与方向向量垂直的非 ; 该法向量的单位向

?

?

,其几何意义为

学习 过程 与方 法

① 点到直线的距离公式的证明:

② 任意画出一个平行四边形, 观察、 测量其两条对角线的长度及两邻边的长度之间的关系, 能否推广到一般情形,如何证明你的结论?(尝试用不同的方法证明) 方法一: (平面几何法)

方法二: (向量法)

对两种方法进行比较,总结向量法证明平面几何的问题的方法和步骤:

精讲互动 1. 点到直线的距离公式. 2. 向量法证明平面几何的问题的方法和步骤. 3. 例题: (向量法证明线共点问题) 证明:三角形的三条高线交与一点.

达标训练 1. 练习 1、2、3; 2.如图,在等腰三角形 ABC 中, BB 、 CC 是两腰上的中线,且
'

y
'

A

BB ? CC ,求顶角 A 的余弦值.
' '

C'
B 作业 布置 学习 小结/ 教学 反思

B'
x

课本习题 2—7 A 组 1、2

§2.7.2
授课 时间 第 周 星期 第 节

向量应用----物理应用
课型 新授课 主备课人

学习 目标 重点 难点

通过力的合成与分解、速度的合成与分解的物理模型,掌握利用向量方法研究物理中 相关问题的步骤,明了向量在物理中应用的基本题型,进一步加深对向量的概念和向量运 算的认识. 重点:运用向量的有关知识对物理中力的作用、速度的分解进行有关分析和计算;归纳利 用向量方法解决物理问题的基本方法. 难点:将物理中有关矢量的问题转化为数学向量的问题. 自主学习 1. 复习回顾: ①两向量 a 、 b 的数量积为 . ②试举出物理中的几个向量 用向量解决物理问题的例子 2. 新知探究: ① 在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个行李包,夹角越大越费力;在单 杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.是从数学的角度解释这种现象. 、 、 、 . 等;应

?

?

,其物理意义为

学习 过程 与方 法

小结:用向量解决物理问题的一般步骤是: ①问题的转化,即把 主题的 问题转化为 问题;②模型的建立,即建立以 为

模型;③参数的获得,即求出数学模型的有关解---理论参数值;④问题的解

答,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象. ② 利用上面步骤探讨课本例 3、例 4: 你的疑问是: 如何解答: 例3

例4

精讲互动 1.用向量解决物理问题的一般步骤; 2.例 3、例 4; 3.某人骑摩托车一 20km h 得速度向西行驶,感到风从正南方向吹来,而当其速度变为

40km h 时,他又感到风从西南方向吹来,求实际的风向和风速.

达标训练 1.课本练习 1、2、3. 2.一艘船以 5km h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,而该船实际航行的方向与水流方向成

30 o 角,求水流速度与船的实际速度.

3.如图,夹角为 90 的两根绳子提起一个重物,每根绳子用力4N,求物体的重量.

o

作业 布置 学习 小结/ 教学 反思

1.课本习题 2—7 A 组 4,B 组 2. 2.归纳总结物理学中哪些问题可以用向量知识解决.

§2.8.1
授课 时间 学习 目标 重点 难点 第 周 星期 第 节

章末小结一
课型 新授课 主备课人

通过展示本章知识网络结构,列出复习提纲,引导学生补充相关内容,加深理解向量 的概念,平面向量的基本定理,两向量平行与垂直的条件,平面向量的坐标表示及其坐标 运算,向量的数量积及其性质,响亮的实际应用等知识.提高分析问题和解决问题的能力. 重点:向量的运算,向量平行、垂直的条件,向量的坐标表示及运算,数量积的理解运用 难点:向量的概念、运算法则的理解和利用向量解决几何问题与物理问题. 自主学习 1. 本章知识网络结构如下: 实际背景 向量及其基本概念 向量 向量的数量积
向量的加法 向量的加法

单 零 位 向 向 量 量

共 线 向 量

相 等 向 量

线性运算 基本定理

向量的减法 实数乘向量

共线与垂直的坐标表示
向量的加法

坐标表示 向量应用

加、减、数乘的坐标表示 向量在物理中的应用
向量的加法

向量在几何中的应用
向量的加法

学习 过程 与方 法

2. 本章知识归纳整合: ①向量的概念:向量是 特殊向量:零向量: 共线向量: ②向量的表示:几何表示: ③向量的运算: (见下页图) ④本章的重要定理及公式: a. 平面向量的基本定理: ;单位向量: ;相反向量: ;坐标表示: ;

b. 两个向量平行的充要条件:

c. 两个向量垂直的充要条件:

运算

几何方法

坐标方法

运算性质

加 法

减 法

数 乘

内 积

精讲互动 1. 归纳本章知识; 2. 查漏补缺. 达标训练

? ? ? ? ? ? ? ? ? (1) ka ? b 与 a ? 3b 垂直?(2) ka ? b 与 a ? 3b 平行?平行时它们是同向还是反向?
1. 已知 a ? ?1,2 ? , b ? (?3,2) ,当 k 为何值时,

?

2. 已知,在三角形 ABC 中, BC ? a, CA ? b , AB ? c ,若 a ? b = b ? c = c ? a . 求证: ? ABC 为正三角形.

?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ?

作业 布置 学习 小结/ 教学 反思

本章复习题二 A 组 1、2、3、4、6

§2.8.2

章末小结二

授课 时间 学习 目标 重点 难点





星期 第



课型

新授课

主备课人

在上节对本章内容复习、小结的基础上,通过例题分析,继续探讨向量的有关应用. 重点:向量的应用 难点:向量的独特方法和应用 自主学习 1. 已知向量 a 是以点 A(3, ?1) 为起点,且与向量 b ? (?3,4) 垂直的单位向量.求 a 的终点 坐标.

?

?

?

2. 已知 AB ? ? 6,1? , BC ? ? x, y ? , CD ? ? ?2, ?3? . (1)若 BC ∥ DA ,求 x 与 y 间的关系式; (2)若 AC ? BD ,求 x、y 的值及四边形 ABCD 的面积.

?

?

?

?

?

?

?

学习 过程 与方 法

精讲互动

例 1.设向量 a ? ? cos? ,sin ? ? , b ? ? cos ? ,sin ? ? ,且 a 、 b 满足 ka ? b ? 3 a ? kb , ( k 为正实数). (1) 求证: a ? b ? a ? b ;(2)设 a 与 b 的数量积表示为关于 k 的函数 f ? k ? ,求 f ? k ? ; (2) 求函数 f ? k ? 的最小值及取得最小值时 a 与 b 的夹角.

?

?

?

?

?

?

?

?

?? ? ?? ?

?

?

?

?

?

?

练 习 1. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 已 知 ?ABC 的 三 个 顶 点 的 坐 标 分 别 为 A ? ? 2,3? ,

? ? ? ? 动点 B ? ?1, ?1? , C ? ?5,1? ,点 P 在直线 BC 上运动, Q 满足 PQ ? PA ? PB ? PC ,则点 Q 的
轨迹方程为 .

例 2.有两根柱子相距 20m,分别位于电车的两侧,在两柱之间连接一条水平的绳子,电车 的送电线悬挂在绳子的中点, 如果送电线在这点垂直向下的作用力是 17.8N, 则这条成水平 的绳子的中点下降 0.2m,求此时绳子所受的张力.

达标训练 课本本章复习题 A 组 1—11, B 组 1—5 作业 布置 学习 小结/ 教学 反思 本章复习题 A 组 12、14

§3.1.1

同角三角函数的基本关系

授课 时间 学习 目标 重点 难点





星期 第



课型

新授课

主备课人

1、 通过三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式; 2、 能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的求值. 重点:同角三角函数的基本关系式的推导与证明. 难点:同角三角函数的基本关系式的推导与证明. 自主学习 1. 复习回顾: ① 任意角的三角函数的定义; ② sin 30 ? cos 30 =
2 0 2 0

; sin 60 ? cos 60 =
2 0 2 0

sin 300 ; = cos300


=



sin 2 450 ? cos2 450 =
2. 新知探究:

; sin 90 ? cos 90 =
2 0 2 0

sin1350 = cos1350

=

.

① 上面等式是否对任意角都成立?有什么限制条件?如何证明你的结论?

学习 过程 与方 法

你得到的结论是: 该结论的使用条件为:

; ; .

.

② 由上面的结论可知:对于同一个角的正弦、余弦、正切,至少应知道其中的几个值才能 求出其他的三角函数值? ③ 试一试:

3 10 已知 sin ? ? ? ,且 ? 在第三象限,求 cos? 和 tan ? . 5

20 已知 cos? =

12 ,求 sin ? 和 tan ? . 13

30 已知 tan ? ? m ( m ? 0 ) sin ? 和 cos? . ,求

总结:由角的一个三角函数值求其它三角函数值的方法和步骤:

④ 同角三角函数还有其他关系吗?如果有,请写出这些公式并给予证明.

精讲互动 1. 同角三角函数的基本关系的推导; 2. 已知一个三角函数值,求其它三角函数值的方法和步骤. 达标训练 1. 课本练习 1、2、3、4. 2. 已知 tan ? =2, 180 ? ? ? 270 ,求
0 0

3 ? sin ? 的值. 1 ? 2 cos ?

作业 布置 学习 小结/ 教学 反思

课本习题 3—1 A 组 1、2

§3.1.2

同角三角函数的基本关系式

授课 时间 学习 目标 重点 难点





星期 第



课型

新授课

主备课人

利用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简与证明,进一步理解同角三角 函数的基本关系式的特征与应用. 重点:利用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简与证明. 难点:利用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简与证明. 自主学习 1. 复习回顾: ① 同角三角函数的基本关系式:

② 由角的一个三角函数值求其它三角函数值的方法和步骤:

③如果 cos? = 2. 新知探究: 学习 过程 与方 法 (1)求证:

1 ?? ? ,且 ? 是第四象限角,那么 cos ? ? ? ? = 5 2? ?

.

cos ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? cos ?

(2)化简: 1 ? 2sin ? cos?

(3)化简:

sin ? 1 ? sin 2 ?

?

1 ? cos 2 ? cos ?

精讲互动 1、利用同角三角函数的基本关系式对三角函数式化简和证明的方法和步骤:

2、常用的公式和结论:

达标训练 1、课本练习 1、2; 2、求证:

1 ? 2sin ? cos ? 1 ? tan ? ? cos 2 ? ? sin 2 ? 1 ? tan ?

3、若 sin ? ? cos? ? 2 , sin ? cos ? =

; tan ? ?
4

1 = tan ?



sin 3 ? ? cos3 ? =
4、已知 tan ? ? ?

; sin ? ? cos ? =
4

.

1 ,求下列各式的值: 2 2cos ? ? sin ? 2 2 (1) ; (2) 2sin ? ? sin ? cos ? ? 3cos ? sin ? ? cos ?

作业 布置 学习 小结/ 教学 反思

课本习题 3—1 A 组 3、5、6

§3.2.1
授课 时间 学习 目标 重点 难点 第 周 星期 第 节

两角和与差的余弦公式
课型 新授课 主备课人

1、 通过探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式” ,了解单角与差角的三角函数之间 的内在联系; 2、 会运用两角和与差的余弦公式进行简单的求值、化简、证明. 重点:探索两角差的余弦公式, ;理解其推导过程,会用其进行简单的求值、化简、证明. 难点:两角和与差的余弦公式的探索与证明. 自主学习 1. 复习回顾: ① 平面直角坐标中的三角函数线与角的三角函数之间的关系:

② 平面向量的数量积与两向量的夹角余弦值之间的关系:

2. 新知探究: ①已知 cos? =m, cos ? ? n ,那么 cos ?? ? ? ? = ② cos 45 ?
0

.

学习 过程 与方 法

2 3 0 0 0 0 , cos30 ? ,那么 cos15 = cos ? 45 ? 30 ? = 2 2

.

③ 如何用 ? 、 ? 的三角函数来表示 cos ?? ? ? ? ?

④ 如何由两角差的余弦公式得两角和的余弦公式?

精讲互动 1、 两角差的余弦公式的推导证明; 2、 例 1 不查表,求 cos 75 , cos15 的值.
0 0

练习 1、不查表,求 sin15 , sin 75 的值.

0

0

例2

已知 sin ? ?

4 5 ? 3? ?? ? , ? ? ? , ? ? , cos ? ? ? , ? ? ? ? , 5 13 2 ? ?2 ?

? ?, ?

求 cos ?? ? ? ? , cos ?? ? ? ? 的值.

练习 2、已知 cos ? ?

1 11 ? ?? , cos ?? ? ? ? ? ? ,且 ? 、 ? ? ? 0, ? ,求 cos ? 的值. 7 14 ? 2?

达标训练 1、 课本练习 1、2、3; 2、 计算: (1) cos15 cos105 + sin15 sin105 ; (2) sin x sin ? x ? y ? + cos x cos ? x ? y ?
0 0 0 0

3、 已知 sin ? ? sin ? =

3 4 , cos ? ? cos ? ? ,求 cos ?? ? ? ? 的值. 5 5

作业 布置 学习 小结/ 教学 反思

课本习题 3—2 A 组 2、(1)—(4);3 题.

§3.2.2
授课 时间 学习 目标 重点 难点 第 周 星期 第 节

两角和与差的正弦公式
课型 新授课 主备课人

1、 通过探索、推导“两角和与差的正弦公式” ,了解单角与和角及差角的三角函数之间的 内在联系; 2、 会利用公式进行简单的求值、化简、证明. 重点:两角和与差的正弦公式得推导. 难点:灵活运用所学公式进行求值、化简、证明. 自主学习 1. 复习回顾: 两角差的余弦公式: 两角和的余弦公式: 2. 新知探究: ① 角的正弦和余弦之间的关系是什么? ② 如何由 cos ?? ? ? ? 、 cos ?? ? ? ? 得到 sin ?? ? ? ? 和 sin ?? ? ? ? ?

两角和与差的正、余弦公式: 学习 过程 与方 法

结构特征 ; ; ; .

cos ?? ? ? ? = cos ?? ? ? ? = sin ?? ? ? ? = sin ?? ? ? ? =
精讲互动 1. 两角和与差的正弦公式的推导; 2. 公式的应用: 例1 已知 sin ? ?

4 5 ? 3? ?? ? , ? ? ? , ? ? , cos ? ? ? , ? ? ? ? , 5 13 2 ? ?2 ?

? ?, ?

求 sin ?? ? ? ? , sin ?? ? ? ? 的值.

0 0 0 0 练习 1、求值 (1) cos x ? 20 cos x ? 40 ? cos x ? 70 sin x ? 40

?

?

?

?

?

? ?

?

(2) sin 347 cos148 ? sin 77 cos58
0 0 0

0

例 2、已知

?
2

? ? ?? ?

3? 12 3 , cos ?? ? ? ? ? , sin ?? ? ? ? ? ? , 4 13 5

求 cos 2? 与 sin 2? 的值.

练习 2、若 ? 、 ? ? ? 0,

1 11 ? ?? ? ,且 cos ? ? 7 , cos ?? ? ? ? ? ? 14 ,求 sin ? 的值. ? 2?

例 3、在 ?ABC 中, sin A ? 求 sin C 与 cos C 的值.

3 ? 5 ? ? ( 0 ? A ? ), cos B ? ( ?B? ) , 5 4 13 4 2

达标训练 1、课本练习 4、5; 2、化简

sin ?? ? ? ? ? 2sin ? cos ? 2sin ? sin? ? cos ?? ? ? ?

作业 布置 学习 小结/ 教学 反思

课本习题 3—2 A 组 4 题;B 组 2 题(1)、(2)、(3)、(5).

§3.2.3

两角和与差的正切公式

授课 时间 学习 目标 重点 难点





星期 第



课型

新授课

主备课人

1、 会由两角和与差的正弦、余弦公式推导两角和与差的正切公式; 2、 能运用两角和与差的正切公式进行简单的化简、求值及三角恒等式证明. 重点:两角和与差的正切公式的推导及应用. 难点:两角和与差的正切公式的灵活运用,特别是逆用和变形用. 自主学习 1. 复习回顾: ①两角和与差的正弦、余弦公式:

cos ?? ? ? ? = sin ?? ? ? ? =

; cos ?? ? ? ? = ; sin ?? ? ? ? = .

②同角的正切与正弦、余弦之间的关系是: 2. 新知探究:

尝试用两角和与差的正弦、余弦公式探究两角和与差的正切公式:

tan ?? ? ? ? = tan ?? ? ? ? =
学习 过程 与方 法 ① 公式成立的条件: ② 公式的形式特征: ③ 公式的主要作用: ④ 公式的逆用: ⑤ 公式的变形应用: 精讲互动 1、 两角和与差的正切公式的推导及成立条件、形式特征; 2、 应用: (1) 课本例 3、例 4、例 5; (2) 求值:①

sin150 ? cos150 ; sin150 ? cos150

② tan ?

?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? tan ? ? ? ? ? 3 tan ? ? ? ? tan ? ? ? ? ?6 ? ?6 ? ?6 ? ?6 ?

(3) 已知 tan ?? ? ? ? = n tan ?? ? ? ? , n ? ?1 ,求证:

sin 2 ? n ? 1 ? sin 2? n ? 1

达标训练 1、 课本练习 1—4; 2、 不查表,计算下列各式的值: (1) tan105 ;
0 0 0 0

(2) tan 22 ? tan 23 ? tan 22 tan 23 ;
0 0 0 0 0 0 0

(3) tan17 tan 43 + tan17 tan 30 + tan 30 tan 43

作业 布置 学习 小结/ 教学 反思

课本习题 3—2 A 组 6、7

§3.3.1
授课 时间 第 周 星期 第 节

二倍角的三角函数
课型 新授课 主备课人

学习 目标 重点 难点

1、 通过探索、发现并推导二倍角公式,了解它们之间、以及它们与和角之间的内在联系; 2、 通过二倍角公式的运用,掌握公式的特征,并会进行简单的求值、化简、证明. 重点:二倍角公式的推导及其应用. 难点:灵活应用和、差、倍角公式进行三角式的化简、求值和证明. 自主学习 1. 复习回顾: 和角公式 差角公式 ; cos ?? ? ? ? = ; sin ?? ? ? ? = ; tan ?? ? ? ? = ; ; .

cos ?? ? ? ? = sin ?? ? ? ? = tan ?? ? ? ? =
2. 新知探究:

以上公式中的角 ? 与 ? 是否可以相等,当 ? ? ? 时,和角公式可写为:

sin 2? = tan 2? =
学习 过程 与方 法



cos 2? =

该公式称为二倍角公式,简称倍角公式. 公式的特征: 公式的逆用: 公式的变形: 精讲互动 1、 二倍角公式的推导、公式的特征、公式的逆用及公式的变形; 2、 公式的应用: 例1 设 ? 是第二象限角,已知 cos ? ? ?0.6 ,求 sin 2? 、 cos 2? 和 tan 2? 的值.

例2

在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 2 BC ,求角 A 的正弦值.

例3 例4

课本例 4 证明:

1 ? sin 2? ? cos 2? ? tan ? 1 ? sin 2? ? cos 2?

达标训练 1、 课本练习 1、2、3; 2、 求 sin10 sin 30 sin 50 sin 70 的值.
0 0 0 0

3、 在 ?ABC 中, cos A ?

4 , tan B ? 2 ,求 tan ? 2A+2B? 的值. 5

作业 布置 学习 小结/ 教学 反思

课本习题 3—3 A 组 1、3、4.

§3.3.2
授课 时间 第 周 星期 第 节

二倍角公式的应用
课型 新授课 主备课人

学习 目标 重点 难点

利用和角、差角及倍角公式进行三角函数的求值、化简与证明,进一步掌握公式结构 的形式特征,以便准确、有效地利用. 重点:利用和角、差角及倍角公式进行三角函数的求值、化简与证明. 难点:灵活运用公式进行三角函数的求值、化简与证明. 自主学习 1. 复习回顾: 和角、差角及倍角公式:

2. 新知探究: (1)利用二倍角公式证明: ① sin

?
2

??

1 ? cos ? ; 2



cos

?
2

??

1 ? cos ? ; 2

③ tan 学习 过程 与方 法

?
2

??

1 ? cos ? sin ? 1 ? cos ? ? ? 1 ? cos ? 1 ? cos ? sin ?

称此公式为半角公式. (2)已知 cos 2? ? ?

12 3? , ? ? 2? ? ,求 tan ? . 13 2

精讲互动
0 例 1 已知 sin 2010 = ?

1 0 0 0 ,求 sin1005 , cos1005 , tan1005 . 2

例 2 证明:

1 ? sin ? ?? ? ? = tan ? ? ? cos ? ?4 2?

例 3 化简

2cos 2 ? ? 1 ?? ? ?? ? 2 tan ? ? ? ? sin 2 ? ? ? ? ?4 ? ?4 ?

达标训练 1、 课本练习 1、2、3; 2、 已知 sin ? ? cos ? ?

1 3 3 ,求 sin ? ? cos ? 的值. 2

3.求 sin 6 sin 42 sin 66 sin 78 的值.

0

0

0

0

作业 布置 学习 小结/ 教学 反思

课本习题 3—3 A 组 5、7、9.

§3.4.1
授课 时间 第 周 星期 第 节

章末小结一
课型 新授课 主备课人

学习 目标 重点 难点

1、 复习回顾本章内容,掌握和角、差角、倍角及半角公式,并运用公式进行三角函数的化 简、求值和证明. 2、 掌握简单的三角恒等变形的基本思想方法,并结合向量解决一些基本的综合问题. 重点:和角、差角、倍角及半角公式及其灵活运用. 难点:和角、差角、倍角及半角公式在三角恒等变形中的综合运用. 自主学习 1. 复习回顾:本章知识体系

cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ?

sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ?

tan(? ? ? ) ? tan(? ? ? ) ?

sin 2? ? cos 2? ?

tan 2? ?

sin
学习 过程 与方 法

?
?
?
2

2
2

?
?
?

cos
tan
2、常用的公式的变形:

常用的角的变形:

常用的式子: sin ? ? cos ? =



sin ? ? 3 cos ? =

.

精讲互动
0 0 0 0 例 1 化简 tan 2 A tan 30 ? 2 A + tan 2 A tan 60 ? 2 A + tan 60 ? 2 A tan 30 ? 2 A

?

?

?

?

?

?

?

?

例 2 已知 ? 为锐角,且 tan ? ?

1 sin 2? cos ? ? sin ? , 求 的值. 2 sin 2? cos 2?

达标训练 1.已知 ?、? ? ? 0,

? ? ?? 2 ? ? ,且 3sin ? ? sin ? 2? ? ? ? , 4 tan 2 ? 1 ? tan 2 ,求 ? ? ? 的值. ? 4?

2.已知 sin(? ? ? ) ?

2 1 tan ? , sin(? ? ? ) ? ,求 的值. 3 5 tan ?

作业 布置 学习 小结/ 教学 反思

本章复习题三 A 组 1、2、3

§3.4.2
授课 时间 学习 目标 第 周 星期 第 节

章末小结二
课型 新授课 主备课人

系统掌握三角函数知识,灵活运用所学知识解决相关问题.

重点 难点

重点:和角、差角、倍角及半角公式及其灵活运用. 难点:和角、差角、倍角及半角公式在三角恒等变形中的综合运用. 自主学习 1. 复习回顾:本章知识体系及相互之间的关联. 2. (1)不查表求 sin 20 ? cos 80 ? 3 cos 20 cos80 的值.
2 0 2 0 0 0

(2)已知

?
2

? ? ?? ?

3? 12 3 , c os(? ? ? ) ? , sin(? ? ? ) ? ? ,求 sin 2? 的值. 4 13 5

精讲互动 例 1 已知函数 f ? x ? ? 2a sin 2 x ? 2 3a sin x cos x ? a ? b 学习 过程 与方 法 域为 ? ?5,1? ,求常数 a、 b 的值.

? a ? 0? 的定义域为 ?0, ?
?

??
2? ?

, 值

例 2 设 向 量 a ? ?1 ? cos ? ,sin ? ? , b ? ?1 ? cos ? ,sin ? ? , c ? ?1,0? , ? ? ? 0, ? ? ,

? ? ?? , 2? ? , a 与 c 的夹角为 ?1 , b 与 c 的夹角为 ?2 ,且 ?1 ? ? 2 ?
求 sin

?

?

?

?

?
6



? ??
4

的值.

达标训练

1. 已知向量 a 、 b ,且 a ? 1, 3 cos x , b ? cos x,sin x , x ? R, 定义 y ? a ? b
2

?

?

?

(1) 求 y 关于 x 的函数解析式 y ? f ? x ? 及其单调递增区间; (2) 若 x ? ?0,

?

?

?

?

?

? ?

? ?? ,求函数 y ? f ? x ? 的最大值、最小值及其相应的 x 的值. ? 2? ?

2. 设函数 f ? x ? ? a ? b ,其中 a ? ? m,cos x ? , b ? ?1 ? sin x,1? , x ? R 且 f ? a) b) 求实数 m 的值; 求函数 f ? x ? 的最小值.

? ?

?

?

?? ? ? ? 2. ?2?

作业 布置 学习 小结/ 教学 反思

本章复习题三 A 组 9、10、11


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