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一轮复习 第五章 数列 5.1 数列的概念与简单表示法课时规范训练


【高考领航】 2017 届高考数学大一轮复习 第五章 数列 5.1 数列的 概念与简单表示法课时规范训练 理 北师大版
[A 级 基础演练] 1. (2016·三亚模拟)在数列 1,2, 7, 10, 13, …中, 2 19是这个数列的第________ 项.( A.16 C.26 ) B.24 D.28

解析: 因为 a1=1= 1, a2=2

= 4, a3= 7, a4= 10, a5= 13, …, 所以 an= 3n-2. 令 an= 3n-2=2 19= 76,得 n=26.故选 C. 答案:C 2.下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是( 1 1 1 A.1, , , ,… 2 3 4 B.-1,-2,-3,-4,… 1 1 1 C.-1,- ,- ,- ,… 2 4 8 D.1, 2, 3,…, n 解析:根据定义,属于无穷数列的是选项 A、B、C(用省略号),属于递增数列的是选项 C、D,故同时满足要求的是选项 C,故选 C. 答案:C 3.(2016·保定高三调研)在数列{an}中,已知 a1=1,an+1=2an+1,则其通项公式为 )

an=(
n

) B.2
n-1

A.2 -1 C.2n-1

+1

D.2n-2

解析:由题意知 an+1+1=2(an+1),∴数列{an+1}是以 2 为首项,2 为公比的等比数 列,∴an+1=2 ,∴an=2 -1. 答案:A 4.(2016·江南十校联考)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2 -3,则数列{an}的通项公式
n n n

为__________. 解析: 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=2
? ?-1,n=1 答案:an=? n-1 ?2 ,n≥2 ?
n-1

? ?-1,n=1, , 当 n=1 时, a1=S1=-1, 所以 an=? n-1 ?2 ,n≥2. ?

1

5.(2016·云南文山检测)设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,如果 Sn=3an-2,那么数列{an} 的通项公式为________. 解析:当 n=1 时,a1=S1=3a1-2,解得 a1=1.当 n≥2 时,Sn=3an-2,Sn-1=3an-1-2, 两式相减得 an=3an-3an-1,故

an 3 3 = ,数列{an}为首项为 1,公比为 的等比数列,其通项 an-1 2 2

?3?n-1 公式为 an=? ? . ?2? ?3?n-1 答案:an=? ? ?2?
6.(2016·山东日照模拟)设{an}是首项为 1 的正项数列,且(n+1)an+1-nan+an+1·an =0(n=1,2,3,…),则它的通项公式 an=________. 解析:因为(n+1)an+1+an+1·an-nan=0, 所以(an+1+an)[(n+1)an+1-nan]=0. 又 an+1+an>0,所以(n+1)an+1-nan=0, 即
2 2 2 2

an+1 n = , an n+1 a2 a3 a4 a5 a1 a2 a3 a4 an an-1

所以 · · · ·…·

1 2 3 4 n-1 = × × × ×…× , 2 3 4 5 n 1 所以 an= .

n

1 答案:

n
1 (n∈N+,a∈R,且 a≠0). a+2?n-1?

7.(2016·汉中调研)已知数列{an}中,an=1+

(1)若 a=-7,求数列{an}中的最大项和最小项的值; (2)若对任意的 n∈N+,都有 an≤a6 成立,求 a 的取值范围. 解:(1)∵an=1+ 1 1 (n∈N+,a∈R,且 a≠0),a=-7,∴an=1+ . a+2?n-1? 2n-9 1 的单调性. 2x-9

结合函数 f(x)=1+

可知 1>a1>a2>a3>a4;

a5>a6>a7>…>an>1(n∈N+).
∴数列{an}中的最大项为 a5=2,最小项为 a4=0.

2

1 2 1 (2)an=1+ =1+ . a+2?n-1? 2-a n- 2 ∵对任意的 n∈N+,都有 an≤a6 成立, 1 2 并结合函数 f(x)=1+ 的单调性, 2-a x- 2 2-a ∴5< <6,∴-10<a<-8. 2 8.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n +1,数列{bn}满足 bn=
2

2 ,且前 n 项和为 Tn,设 an+1

cn=T2n+1-Tn.
(1)求数列{bn}的通项公式; (2)判断数列{cn}的增减性. 解:(1)a1=2,an=Sn-Sn-1=2n-1(n≥2), 1 ? ?n?n≥2?, ∴b =? 2 ? ?3?n=1?.
n

(2)∵cn=bn+1+bn+2+…+b2n+1 = 1

n+1 n+2



1

+…+

1 , 2n+1

1 1 1 ∴cn+1-cn= + - <0, 2n+2 2n+3 n+1 即 cn+1<cn,∴{cn}是递减数列. [B 级 能力突破] 1.(2016·长春质量检测)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,{Sn+nan}为常数列, 则 an=( A. C. 1 3
n-1

) B. D. 2 n?n+1? 5-2n 3

6 ?n+1??n+2?

解析:由题意知,Sn+nan=2,当 n≥2 时,Sn-1+(n-1)an-1=2,∴(n+1)an=(n-1)an
-1

从而 · · ·…·

a2 a3 a4 a1 a2 a3

an 1 2 n-1 2 = · ·…· ,则 an= ,当 n=1 时上式成立,所 an-1 3 4 n+1 n?n+1?

3

以 an=

2 ,故选 B. n?n+1?

答案:B 1 3 5 2 2.(2016·东北三校联考)已知数列{an}满足:an= n - n +3+m,若数列的最小项为 3 4 1,则 m 的值为( A. 1 4 ) B. 1 3

1 C.- 4

1 D.- 3

1 3 5 2 5 ? 5? 2 解析:令 f(x)= x - x +3+m,x∈(0,+∞),则 f′(x)=x - x=x?x- ?,当 x 3 4 2 ? 2? 5 ? 5? ?5 ? ∈?0, ?时,f′(x)<0,当 x∈? ,+∞?时,f′(x)>0,故 x= 为函数 f(x)的极小值点, 2 ? 2? ?2 ? 2 3 也是最小值点.由于 n∈N+,且 a2= +m,a3= +m,故 a2<a3,即 a2 为数列{an}的最小项, 3 4 2 1 故 +m=1,解得 m= ,故选 B. 3 3 答案:B 1 3.(2016·南昌一模)已知数列{an}满足 a1=1,|an-an-1|= n(n∈N,n≥2),且{a2n-1} 3 是递减数列,{a2n}是递增数列,则 12a10=( A.6- 1 10 3 ) B.6- 1 9 3

1 C.11- 10 3

1 D.11- 9 3

解析: 由于{a2n-1}是递减数列, 因而 a2n+1-a2n-1<0, 于是(a2n+1-a2n)+(a2n-a2n-1)<0 ①. 1 1 因为 2n+1< 2n, 所以|a2n+1-a2n|<|a2n-a2n-1| ②.由①②知 a2n-a2n-1<0.因为{a2n}是递增数列, 3 3 所以 a2n+2-a2n>0,a2n+2-a2n+1+a2n+1-a2n>0,|a2n+2-a2n+1|<|a2n+1-a2n|,所以 a2n+1-a2n>0, 1 ? ? 1?9? - 2?1-?- ? ? 3 ? ? 3? ? 1 1 1 所以 a10=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a10-a9)=1- 2+ 3-…- 10=1+ 3 3 3 1 1+ 3 1? 1 ? 1 = ×?11- 9?,故 12a10=11- 9,∴选 D. 3? 12 ? 3 答案:D 4.函数 y=x (x>0)的图像在点(ak,ak)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 ak+1,其中 k
2 2

4

∈N+.若 a1=16,则 a1+a3+a5 的值是________ 解析:函数 y=x (x>0)在点(a1,a1)处(a1=16)即点(16,256)处的切线方程为 y-256= 32(x-16).令 y=0,得 a2=8;同理函数 y=x (x>0)在点(a2,a2)处(a2=8)即点(8,64)处 的切线方程为 y-64=16(x-8).令 y=0,得 a3=4,依次同理求得 a4=2,a5=1.所以 a1 +a3+a5=21. 答案:21 5. (2016·大连模拟)已知数列{an}满足 a1=33, an+1-an=2n, 则 的最小值为________. 解析:∵an+1-an=2n,∴an-an-1=2(n-1), ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 =(2n-2)+(2n-4)+…+2+33=n -n+33(n≥2),
2 2 2 2 2

an n

an 33 2 又 a1=33 适合上式,∴an=n -n+33,∴ =n+ -1. n n
33 33 令 f(x)=x+ -1(x>0),则 f′(x)=1- 2 ,

x

x

令 f′(x)=0 得 x= 33.∴当 0<x< 33时,f′(x)<0, 当 x> 33时,f′(x)>0, 即 f(x)在区间(0, 33)上递减;在区间( 33,+∞)上递增. 又 5< 33<6, 33 53 33 21 且 f(5)=5+ -1= ,f(6)=6+ -1= , 5 5 6 2

an 21 ∴f(5)>f(6),∴当 n=6 时, 有最小值 . n 2
21 答案: 2 6.(2015·高考课标卷Ⅱ)设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 a1=-1,an+1=SnSn+1,则 Sn =__________. 解析:∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=SnSn+1, ∴Sn+1-Sn=SnSn+1. 1 1 1 1 ∵Sn≠0,∴ - =1,即 - =-1.

Sn Sn+1
?Sn?

Sn+1 Sn

?1? 1 又 =-1,∴? ?是首项为-1,公差为-1 的等差数列.

S1 Sn

1 1 ∴ =-1+(n-1)×(-1)=-n,∴Sn=- .

n

5

1 答案:-

n
2

7.已知二次函数 f(x)=x -ax+a(a>0,x∈R),有且只有一个零点,数列{an}的前 n 项和 Sn=f(n)(n∈N+). (1)求数列{an}的通项公式; 4 (2)设 cn=1- (n∈N+),定义所有满足 cm·cm+1<0 的正整数 m 的个数,称为这个数列

an

{cn}的变号数,求数列{cn}的变号数. 解:(1)依题意,Δ =a -4a=0,∴a=0 或 a=4. 又由 a>0 得 a=4, ∴f(x)=x -4x+4. ∴Sn=n -4n+4. 当 n=1 时,a1=S1=1-4+4=1; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-5.
? ?n=1?, ?1 ∴an=? ?2n-5 ?n≥2?. ?
2 2 2

-3 ?n=1?, ? ? (2)由题设 cn=? 4 1- ?n≥2?. ? ? 2n-5 由 1- 4 2n-9 = 可知,当 n≥5 时,恒有 an>0. 2n-5 2n-5

1 又 c1=-3,c2=5,c3=-3,c4=- , 3 即 c1·c2<0,c2·c3<0,c4·c5<0, ∴数列{cn}的变号数为 3.

6


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