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北京市东城区2011届高三上学期期末统一检测数学试题(文)含答案


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北京东城区 2010—2011 学年度高三第一学期期末教学统一检测

数学(文)试题
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 150 分,考试时长 120 分钟,考生务必将答案答在 答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。



第Ⅰ卷(选择题,共 40 分)
一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要 求的一项。 1.设全集 U ? R ,集合 A ? { x | x ? 1} , B ? { x | 0 ? x ? 5} , 则集合 ( C U A ) ? B A. { x | 0 ? x ? 1} C. { x | 0 ? x ? 1} 2.在复平面内,复数 i ( i ? 1) 对应的点在 A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ( D.2 ) B. { x | 0 ? x ? 1} D. { x | 0 ? x ? 1} ( ) ( )

3.在等差数列 { a n }中 , 若 a 4 ? a 5 ? 1 5, a 7 ? 1 5, 则 a 2 的值为 A.—3 B.0
2

C. 1
2

4.直线 l 过点(— 4,0)且与圆 ( x ? 1) ? ( y ? 2 ) ? 2 5 交于 A、B 两点,如果|AB|=8,那 么直线 l 的方程为 A. 5 x ? 1 2 y ? 2 0 ? 0 C. 5 x ? 1 2 y ? 2 0 ? 0 B. 5 x ? 1 2 y ? 2 0 ? 0 或 x ? 4 ? 0 D. 5 x ? 1 2 y ? 2 0 ? 0 x ? 4 ? 0 ) ( )

5.已知 ? , ? 为不重合的两个平面,直线 m ? ? , 那么“ m ? ? ”是“ ? ? ? ”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 6.若 a ? lo g 1 2 , b ? lo g 1 3, c ? ( )
3 2

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
1
0 .3

,则 B. a ? c ? b D. b ? a ? c





2

A. a ? b ? c C. b ? c ? a
2

7.已知斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y ? a x 的焦点 F,且与 y 轴相交于点 A,若 ? OAF (O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为 A. y ? 4 x
2


2



B. y ? 8 x
2

C. y ? 4 x 或 y ? ? 4 x
2

D. y ? 8 x 或 y ? ? 8 x
2 2

1

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8.已知函数 f ( x ) 的定义域为 R,若存在常数 m ? 0, 对 任 意 x ? R , 有 | f ( x ) |? m | x | ,则 称 f ( x ) 为 F 函数 , 给出下列函数: f ( x ) ? 0 ; f ( x ) ? x ; f x ) n? xc ① ② ③ ( i s o s
2

? x



④ f (x) ?

x x ? x ?1
2

;⑤ f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且满足对一切实数 x1 , x 2 均有 ( D.①②⑤ )

| f ( x1 ) ? f ( x 2 ) |? 2 | x1 ? x 2 | . 其中是 F 函数的序号为

A.①②④

B.②③④

C.①④⑤

第Ⅱ卷(共 10 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分 9.已知 ? 为第二象限角,且 s in ? ?
1 3 , 那么 sin 2 ? =



10.已知向量 a,b 满足: | a |? 1, | b | ? 6, a ? ( b ? a ) ? 2 , 则 a 与 b 的夹角为 。 11.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的 体积为 。
[来源:Zxxk.Com]

? x ? y ? 1 ? 0, ? 12.如果实数 x,y 满足条件 ? y ? 1 ? 0 , 那么 2 x ? y 的最大值为 ? x ? y ? 1 ? 0, ?



13.设椭圆的两个焦 点分别为 F1,F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若 ? F1 P F 2 为 等腰直角三角形,则椭圆的离心率为 14.已知函数 f ( x ) ? ?
? ? x ? 6 x ? e ? 5e ? 2, x ? e,
2 2

。 (其中 e 为自然对数的底数,且

? x ? 2 ln x , x ? e
2

e ? 2 .7 1 8 )若 f (6 ? a ) ? f ( a ) ,则实数 a 的取值范围是



三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 15. (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x ) ? 2 3 sin x co s x ? 2 co s x ? 1 .
2

(I)求 f (

?
6

) 的值及 f ( x ) 的最小正周期;

(II)当 x ? [0 ,

?
2

] 时,求 f ( x ) 的最大值和最小值。

2

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16. (本小题共 13 分) 在公差不为 0 的等差数列 { a n } 中, a 4 ? 1 0, 且 a 3 , a 6 , a 1 0 成等比数列。 (I)求 { a n } 的通项公式; (II)设 b n ? 2 ( n ? N *) ,求数列 { b n } 的前 n 项和公式。
an

17. (本小题共 14 分) 如图,正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所 在的平面互相垂直, A D ? C D , AB//CD, AB=AD=2,CD=4,M 为 CE 的中点。 (I)求证:BM//平面 ADEF; (I I)求证:平面 B D E ? 平面 BEC;

18. (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x ) ? x ? 2 x ? x .
3 2

(I)求函数 f ( x ) 的单调区间与极值; (II)若对于任意 x ? (0, ? ? ), f ( x ) ? a x 恒成立,求实数 a 的取值范围。
2

3

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19. (本小题共 13 分) 已知椭圆
x a
2 2

[来源:学科网]

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的长轴为 4,且点 (1,

3 2

) 在该椭圆上。

(I)求椭圆的方程; (II) 过椭圆右焦点的直线 l 交椭圆于 A, 两点, B 若以 AB 为直径的圆径的圆经过原点, 求直线 l 的方程。

[来源:Zxxk.Com]

20. (本小题共 14 分) 已知集合 A ? { a 1 , a 2 , ? , a n } 中的元素都是正整数,且 a 1 ? a 2 ? ? ? a n ,集合 A 具有 性质 P:对任意的 x , y ? A ,且 x ? y , 有 | x ? y |? (I)判断集合{1,2,3,4}是否具有性质 P; (II)求证:
1 a1 ? 1 an ? n ?1 25 ;

xy 25

.

(III)求证: n ? 9;

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