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上海市高三数学第一轮复习:集合与命题——集合的运算


课题:集合的运算 教学目标:理解交集、并集、全集、补集的概念,掌握集合的运算性质,能利用数轴文氏图进行集合的 运算,进一步掌握集合问题的常规处理方法. 教学重点:交集、并集、补集的求法,集合语言、集合思想的运用. 知识点归纳: 1.有关概念 ①交集: A ? B ? {x x ? A且x ? B}

A

B

A

/>
B

A B

②并集: A ? B ? {x x ? A或x ? B}

A

B

A

B

A B

③全集:如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集,通常用 U 表示。 ④补集: CU A ? {x x ?U且x ? A}

U CUA

A

2.常用运算性质及一些重要结论 ① A? A ? A A?? ? ? A? B ? B ? A ② A? A ? A

A?? ? A A? B ? B ? A A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? C ? A ? B ? C ③ A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? C ? A ? B ? C A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C ) ④ A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C ) ⑤ A ? CU A ? ? A ? CU A ? U ⑥ A? B ? A ? A ? B A? B ? B ? A ? B ⑦ CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B) CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B) ⑧ Card ( A ? B) ? Card ( A) ? Card ( B) ? Card ( A ? B)
方法归纳: 1.求交集、并集、补集,要充分发挥数轴或文氏图的作用; 2.含参数的问题,要有讨论的意识,分类讨论时要防止在空集上出问题; 3.集合的化简是实施运算的前提,等价转化常是顺利解题的关键。 例题选讲:
2 例 1:设 A ? ?4, 2a ? 1, a , B ? ?9, a ? 5,1 ? a? ,已知 A ? B ? ?9? ,求 a 的值。

?

?

2 2 2 例 2:设 A ? x x ? 4 x ? 0 , B ? x x ? 2(a ? 1) x ? a ? 1 ? 0 ,

?

?

?

?

(1)若 A ? B ? B ,求 a 的值; (2)若 A ? B ? B ,求 a 的值。

3 2 2 例 3:已知集合 A ? x | x ? 3x ? 2 x ? 0 , B ? x | x ? ax ? b ? 0 ,

?

?

?

?

若 A ? B ? ?x | 0 ? x ? 2? , A ? B ? ?x | x ? ?2? ,求实数 a 、 b 的值.

2 例 4:已知集合 A ? x ? x ? 3x ? 10 ? 0 , B ? x m ? 1 ? x ? 2m ? 1 ,若 A ? B ? B ,求实数 m 的

?

?

?

?

取值范围。

变式练习:已知集合 A ? { y | y 2 ? (a2 ? a ? 1) y ? a(a2 ? 1) ? 0} ,

B ? {y | y ?

1 2 5 x ? x ? , 0 ? x ? 3} ,若 A ? B ? ? ,求实数 a 的范围。 2 2

2 例 5:已知集合 A ? x x ? 4ax ? 2a ? 6 ? 0, x ? R ,集合 B ? x x ? 0 ,若 A ? B ? ? ,

?

?

?

?

求实数 a 的取值范围.

{( x ,y ) y ?x ? b} 例 6:已知集合 M ? {( x, y) y ? 9 ?x }, N ?
2

M 且 N ? ? ? ,求实数 b 的取值范围。

解:? M ? N ? ? ,∴两点集 M 与 N 无公共点 点集 M 是一个半圆,点集 N 是随 b 变化的一组平行直线

y
3
?3 2

l2
3 2

y ? x ? b在l1与l2外侧(不包括l1 , l2 )时, 满足M ? N ? ? ?b ? ?3或b ? 3 2
-3 0

l1
3 -3

x

巩固练习: 1.设全集为 U ,在下列条件中,是 B ? A 的充要条件的有( ) ① A ? B ? A ,② (CU A) ? B ? ? ,③ CU A ? CU B ,④ A ? CU B ? U ,

A. 1 个
2.设集合 M ?

?? x, y ? y ?
) A.

B.

2个

C.

16 ? x2 , y ? 0 , N ?

?

3个

?? x, y ? y ? x ? a? ,若 M ? N ? ? ,
C. ?0,1? D. ?0, 2 ? ? ?

D.

4个

则实数 a 的取值范围是 则M ?N ?( 课后作业:

3. ( 05 湖南十所示范性高中高三第一次联考)若 M ? ? y y ? x 2 ? , N ? ? y x 2 ? y 2 ? 2?

??1,1? , ? ?1,1??

B. ?1?

1.设全集 I ? ?1,2,3,4,5? ,若 A ? B ? ?2? , ? CI A? ? B ? ?4? , ?CI A? ? ?CI B? ) ? ?1,5? ,则下列结论正确的是 (

A. 3 ? A,3 ? B B. 3 ? A,3 ? B

C. 3 ? A,3 ? B D. 3 ? A,3 ? B

2.若 M ? y y ? x ? 1, x ? R , N ? x y ? 3 ? x2 ,则 M ? N ? (
2

?

?

B. ? 0, 3 ? C. ? ?1, 3 ? D. ? ? ? ? ? 3.设 A ? {x || x |? 5} , B ? {x | ?7 ? x ? a} , C ? {x | b ? x ? 2} ,且 A ? B ? C , 则 a ? , b ? S 4.设含有 4 个元素的集合的全部子集数为 S ,其中由 3 个元素组成的子集个数为 T ,则 ? T 2 2 5.已知全集 U ? ?2, 0, 3 ? a ? ,子集 P ? ?2, a ? a ? 2? ,且 CU P ? ??1? ,求实数 a A.

?? ?

2 ,1 ,

??

2 ,1

??

?

?

)

6. 设集合 M ? x x ? m ? 0 , N ? y y ? ? x ? 1? ? 1, x ? R , 若 M ? N ? ? , 则实数 m 的范围是
2

?

?

?

?

( ) A. m ≥ ?1 B. m ? ?1 走向高考:

C. m ≤ ?1

D. m ? ?1

1. ( 03 北京)若集合 M ? ( x, y) y ? 2? x , P ? y y ? x ? 1 ,则 M ? P ?

?

?

2.

? y y ? 0? D. ? ( 96 上海)已知 M ? ?( x, y ) x ? y ? 2? , N= ?(x, y ) x ? y ? 4 ? ,则 M ? N ?
A. B. C.
A. x ? 3, y ? ?1 B.

?y

y ? 1?

?y

y ? 1?

?

?

(3, ? 1)

C. ?3 , ? ?1

D. ?(3, ?1)?

3. ( 07 陕西文)已知全集 U ? ?1 , 2, 3 , 4, 5, 6? ,集合 A ? ?2, 3, 6? ,则集合 CU A 等于 A. ?1 B. ?4, C. ?1 D. ?2, , 4? , 4, 5? 3, 6? 5? 4. ( 07 江西)若 M ? ?01 , , 2? , N ? {? x, y ? x ? 2 y ? 1 ? 0 且 x ? 2 y ? 1 ? 0 , x, y ? M } B. 6 C. 4 D. 2 则 N 中元素的个数为( ) A. 9 5. ( 07 福建)已知 A ? {x x ? a} ,B ? {x 1 ? x ? 2} ,且 A ? (CU B) ? R ,则 a 的
范围是( )

A. a ≤ 1

B. a ? 1

C. a ≥ 2

D. a ? 2

6. ( 06 安徽文) 设全集 U ? {1, 2,3, 4,5,6,7,8} , 集合 S ? {1,3,5} , 则 CU S T ? {3,6} , ? ? T A. ? B. {2, 4,7,8} C. {1,3,5, 6} D. {2, 4,6,8}
( ) A. [?1, 4)

( ? 等于



7. ( 06 福建文)已知全集 U ? R, 且 A ? ? x | x ? 1 ? 2? , B ? ? x | x 2 ? 6 x ? 8 ? 0? , 则 (CU A) ? B 等于

B. ( 2 , 3 C ) . (2,3]

D. (? 1 , 4 )

8. ( 06 辽宁文)设集合 A ? ?1 , 2? ,则满足 A ? B ? ?1 , 2, 3? 的集合 B 的个数是

A. 1 B. 3 C. 4 D. 8 9. ( 07 湖北文)若 U ? {x | x 是小于 9 的正整数 } , A ? ?1 , 2, 3 , 4? , B ? ?3, 4, 5, 6? ,则 CU A ? CU B ? A. ?1 B. ?3, C. ?5, D. ?7, , 2? 4? 6? 8? A. ? B. ?4,5? C. ?2,3,4,5,7? D. { 1,2,3,6,7 } 1,6? 11. ( 06 全国Ⅱ文 21 ,满分 14 分) 设 a ? R ,函数 f ( x) ? ax2 ? 2 x ? 2a. 若 f ( x) ? 0 的解集为 A , B ? ?x |1 ? x ? 3? , 若 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围 10.( 06 重庆) 已知 U ? ?1,2,3,4,5,6,7? ,A ? ?2,4,5,7? , B ? ?3,4,5? , 则 ? CU A? ? ?CU B ? = (



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