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湖北省黄冈中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析


湖北省黄冈中学 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是满足题目要求的. 1. (5 分)下列说法中正确的是() A.频率是概率的近似值,随着试验次数增加,频率会越来越接近概率 B. 要从 1002 名学生中用系统抽样的方法选取一个容量为 20 的样本,需要剔除 2 名学生,这 样对被剔除者不公平 3 5 6 C. 用秦九韶算法计算多项式 f(x)=12+35x+9x +5x +3x 在当 x=﹣1 时的值时要用到 6 次加 法和 15 次乘法 D.数据 2,3,4,5 的方差是数据 4,6,8,10 的方差的一半 2. (5 分)2014 年索契冬季奥运会的花样滑冰项目上,8 个评委为某选手打出的分数如茎叶图 所示,则这些数据的中位数是()

A.84

B.85

C.86

D.87.5

3. (5 分)某单位有职工 750 人,其中青年职工 350 人,中年职工 250 人,老年职工 150 人, 为了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本,若样本中的青年职工为 7 人,则样本容量为() A.35 B.25 C.15 D.7 4. (5 分)从装有 5 个红球和 3 个白球的口袋内任取 3 个球,那么互斥而不对立的事件是() A.至少有一个红球与都是红球 B. 至少有一个红球与都是白球 C. 至少有一个红球与至少有一个白球 D.恰有一个红球与恰有二个红球 5. (5 分)某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表 广告费用 x(万元)4 2 3 5 销售额 y(万元) 49263954 根据上表可得回归方程 = x+ 的 为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为() A.63.6 万元
2

B.65.5 万元
2 2

C.67.7 万元
2

D.72.0 万元

6. (5 分)圆 O1:x +y ﹣2x=0 和圆 O2:x +y ﹣4y=0 的公共弦长为() A. B. C. 3 D.

7. (5 分)设

,求 a2+a4+…+a2n 的值()
n

A.3

n

B.3 ﹣2

C.

D.

8. (5 分)4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率为() A. B. C. D.

9. (5 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积的最大值为()

A.

B.

C.
2

D.
2

10. (5 分)如图,已知点 P(2,0) ,正方形 ABCD 内接于⊙O:x +y =2,M、N 分别为边 AB、BC 的中点,当正方形 ABCD 绕圆心 O 旋转时, ? 的取值范围是()

A.[﹣1,1]

B.[﹣



]

C.[﹣2,2]

D.[﹣



]

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置 上. 11. (5 分)空间直角坐标系中与点 P(2,3,5)关于 yoz 平面对称的点的坐标为. 12. (5 分)由数字 0,1,2,3,4 组成的没有重复数字且比 2000 大的四位数的个数为(用数 字作答) .

13. (5 分)在(1+x ) (1﹣2x) 的展开式中,x 的系数为. 14. (5 分)根据如图算法语句,当输出 y 的值为 31 时,输入的 x 值为.

2

6

5

15. (5 分)如果自然数 a 的各位数字之和等于 7,那么称 a 为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小 到大排成一列 a1,a2,a3,…,若 an=2005,则 n=.

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)2014-2015 学年高二某班 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部都介于 13 秒到 18 秒之间,将测试结果按如下方式分成五组,第一组[13,14) ,第二组[14,15) ,…,第五组 [17,18],如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. (1)若成绩在区间[14,16)内规定为良好,求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数; (2)请根据频率分布直方图估计样本数据的众数和中位数(精确到 0.01) .

17. (12 分)已知关于 x 的一元二次方程 x ﹣2ax+b =0. (1)若 a 是从 0、1、2、3 四个数中任取的一个数,b 是从 0、1、2 三个数中任取的一个数, 求上述方程没有实根的概率; (2)若 a 是从区间[0,3]内任取的一个数,b 是从区间[0,2]内任取的一个数,求上述方程没 有实根的概率.

2

2

18. (12 分)已知在 3.

的展开式中,第 5 项的系数与第 3 项的系数之比是 56:

(1)求 n; (2)求展开式中的所有有理项; (3)求 Cn +9Cn +81Cn +…+9
1 2 3 n﹣1

Cn 的值.

n

19. (12 分)阅读如图的程序框图,解答以下问题: (1)如果输入的 N=3,那么输出的 S 为多少? (2)对于输入的任何正整数 N,都有对应 S 输出.证明:S<2.

20. (13 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,AB∥CD,∠DAB=60°, AB=AD=2CD,侧面 PAD⊥底面 ABCD,且△ PAD 为等腰直角三角形,∠APD=90°,M 为 AP 的中点. (Ⅰ)求证:AD⊥PB; (Ⅱ)求证:DM∥平面 PCB; (Ⅲ)求平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值.

21. (14 分)如图,圆 C:x ﹣(1+a)x+y ﹣ay+a=0. (Ⅰ)若圆 C 与 x 轴相切,求圆 C 的方程; (Ⅱ)已知 a>1,圆 C 与 x 轴相交于两点 M,N(点 M 在点 N 的左侧) .过点 M 任作一条直 2 2 线与圆 O:x +y =4 相交于两点 A,B.问:是否存在实数 a,使得∠ANM=∠BNM?若存在, 求出实数 a 的值,若不存在,请说明理由.

2

2

湖北省黄冈中学 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是满足题目要求的. 1. (5 分)下列说法中正确的是() A.频率是概率的近似值,随着试验次数增加,频率会越来越接近概率 B. 要从 1002 名学生中用系统抽样的方法选取一个容量为 20 的样本,需要剔除 2 名学生,这 样对被剔除者不公平 3 5 6 C. 用秦九韶算法计算多项式 f(x)=12+35x+9x +5x +3x 在当 x=﹣1 时的值时要用到 6 次加 法和 15 次乘法 D.数据 2,3,4,5 的方差是数据 4,6,8,10 的方差的一半 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 概率与统计. 分析: A,利用概率与频率的概念可判断 A; B,系统抽样的特点是每个个体被抽到的概率相等,可判断 B; C,利用秦九韶算法计的特点可判断 C; D,可求得数据 2,3,4,5 的方差与数据 4,6,8,10 的方差,可判断 D. 解答: 解:A 选项,频率是概率的近似值,随着试验次数增加,频率会越来越接近概率,故 A 正确; B 选项,每个个体被抽到的概率相等,故 B 错误 3 5 6 C 选项,用秦九韶算法计算多项式 f(x)=12+35x+9x +5x +3x 在当 x=﹣1 时的值时要用到 6 次加法和 6 次乘法,故 C 错误; D 选项,∵数据 4,6,8,10 分别是数据 2,3,4,5 的 2 倍, ∴数据 2,3,4,5 的方差是数据 4,6,8,10 的方差的 ,故 D 错误. 故选:A. 点评: 本题考查命题的真假判断与应用,着重考查概率统计中的频率与概率的概念,两变 量为线性关系时方差之间的关系,属于中档题.

2. (5 分)2014 年索契冬季奥运会的花样滑冰项目上,8 个评委为某选手打出的分数如茎叶图 所示,则这些数据的中位数是()

A.84 考点: 专题: 分析: 解答:

B.85

C.86

D.87.5

茎叶图. 概率与统计. 利用茎叶图和中位数的定义求解. 解:由茎叶图知,这些数据的中位数为:

=86. 故选:C. 点评: 本题考查中位数的求法,是基础题,解题时要注意茎叶图的合理运用. 3. (5 分)某单位有职工 750 人,其中青年职工 350 人,中年职工 250 人,老年职工 150 人, 为了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本,若样本中的青年职工为 7 人,则样本容量为() A.35 B.25 C.15 D.7 考点: 专题: 分析: 解答: 分层抽样方法. 计算题;概率与统计. 先计算青年职工所占的比例,再根据青年职工抽取的人数计算样本容量即可. 解:青年职工、中年职工、老年职工三层之比为 7:5:3, =15.

所以样本容量为

故选 C. 点评: 本题考查分层抽样的定义和方法,求出每个个体被抽到的概率,用个体的总数乘以 每个个体被抽到的概率,就得到样本容量 n 的值. 4. (5 分)从装有 5 个红球和 3 个白球的口袋内任取 3 个球,那么互斥而不对立的事件是() A.至少有一个红球与都是红球 B. 至少有一个红球与都是白球 C. 至少有一个红球与至少有一个白球 D.恰有一个红球与恰有二个红球 考点: 互斥事件与对立事件. 专题: 探究型. 分析: 分析出从装有 5 个红球和 3 个白球的口袋内任取 3 个球的所有不同的情况,然后利 用互斥事件和对立事件的概念逐一核对四个选项即可得到答案.

解答: 解:从装有 5 个红球和 3 个白球的口袋内任取 3 个球,不同的取球情况共有以下几 种: 3 个球全是红球;2 个红球 1 个白球;1 个红球 2 个白球;3 个球全是白球. 选项 A 中,事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件; 选项 B 中,事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件; 选项 C 中, 事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的交事件为“2 个红球 1 个白球”与“1 个红球 2 个白球”; 选项 D 中,事件“恰有一个红球”与事件“恰有二个红球”互斥不对立. 故选:D. 点评: 本题考查了互斥事件和对立事件,关键是对概念的理解,是基础的概念题. 5. (5 分)某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表 广告费用 x(万元)4 2 3 5 销售额 y(万元) 49263954 根据上表可得回归方程 = x+ 的 为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为() A.63.6 万元 B.65.5 万元 C.67.7 万元 D.72.0 万元

考点: 线性回归方程. 专题: 概率与统计. 分析: 首先求出所给数据的平均数,得到样本中心点,根据线性回归直线过样本中心点, 求出方程中的一个系数,得到线性回归方程,把自变量为 6 代入,预报出结果. 解答: 解:∵ =42, ∵数据的样本中心点在线性回归直线上, 回归方程 ∴42=9.4×3.5+a, ∴ =9.1, ∴线性回归方程是 y=9.4x+9.1, ∴广告费用为 6 万元时销售额为 9.4×6+9.1=65.5, 故选:B. 点评: 本题考查线性回归方程.考查预报变量的值,考查样本中心点的应用,本题是一个 基础题,这个原题在 2011 年山东卷第八题出现. 6. (5 分)圆 O1:x +y ﹣2x=0 和圆 O2:x +y ﹣4y=0 的公共弦长为() A. B. C. 3 D.
2 2 2 2

=3.5,

中的 为 9.4,

考点: 直线与圆相交的性质. 专题: 直线与圆.

分析: 由条件求得公共弦所在的直线方程、一个圆的圆心到公共弦的距离,再利用垂径定 理求得公共弦的长. 解答: 解:圆 O1 的圆心为(1,0) ,半径 r1=1,圆 O2 的圆心为(0,2) ,半径 r2=2, 故两圆的圆心距 ,大于半径之差而小于半径之和,故两圆相交. 圆 2y=0, 圆心 O1(1,0)到直线 x﹣2y=0 距离为 ,由垂径定理可得公共弦长为 和圆 两式相减得到相交弦所在直线方程 x﹣

2

=



故选:B. 点评: 本题主要考查两圆的位置关系的判定方法,垂径定理的应用,属于基础题.

7. (5 分)设

,求 a2+a4+…+a2n 的值()
n

A.3

n

B.3 ﹣2

C.

D.

考点: 二项式系数的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 分别令 x=1,﹣1,0,代入展开式,即可求得结论. 解答: 解:令 x=1,则(1+1+1 ) =a0+a1+…+a2n① n 令 x=﹣1,则(1﹣1+1) =a0﹣a1+…+a2n② n ∴①+②得 2(a0+a2+a4+…+a2n)=3 +1 ∴a0+a2+a4+…+a2n=
2 n

令 x=0,则 a0=1,∴a2+a4+…+a2n=

﹣1=

故选 C. 点评: 本题考查二项展开式,考查学生的计算能力,属于基础题. 8. (5 分)4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率为() A. B. C. D.

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计.

分析: 4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,基本事件总 数 n= =6,取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数包含的基本事件个数 m= =4,由此能

求出取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率. 解答: 解:4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张, 基本事件总数 n= =6, =4,

取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数包含的基本事件个数 m= ∴取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率为 = .

故选:C. 点评: 本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等可能事件的概率计算 公式的合理运用. 9. (5 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积的最大值为()

A.

B.

C.

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 几何体是一个三棱锥,三棱锥的底面是一条直角边为 1,斜边为 b 的直角三角形,另 一条直角边是 ,三棱锥的一条侧棱与底面垂直,由勾股定理可知这条边是 ,

表示出体积,根据不等式基本定理,得到最值. 解答: 解:由三视图知,几何体是一个三棱锥, 三棱锥的底面是一条直角边为 1,斜边为 b 的直角三角形, ∴另一条直角边是 , ,

三棱锥的一条侧棱与底面垂直,由勾股定理可知这条边是 ∴几何体的体积是 V= ∵在侧面三角形上有 a ﹣1+b ﹣1=6, ∴V = ,
2 2

当且仅当侧面的三角形是一个等腰直角三角形,

故选 D. 点评: 本题考查由三视图求几何体的体积,考查基本不等式的应用,本题是一个比较综合 的题目,注意创造基本不等式的使用条件,得到结果. 10. (5 分)如图,已知点 P(2,0) ,正方形 ABCD 内接于⊙O:x +y =2,M、N 分别为边 AB、BC 的中点,当正方形 ABCD 绕圆心 O 旋转时, ? 的取值范围是()
2 2

A.[﹣1,1]

B.[﹣



]

C.[﹣2,2]

D.[﹣



]

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 首先,根据 (cosα﹣2,sinα)和 ,设 M(cosα,sinα) ,N(﹣sinα,cosα) ,然后,写出向量 =(﹣sinα,cosα) ,从而得到 =2sinα,进而确定其范围. =

解答: 解:设 M(cosα,sinα) , ∵ ∴ , ,

∴N(﹣sinα,cosα) , ∴ ∴ ∴ =(﹣sinα,cosα) , =(cosα﹣2,sinα) , =﹣sinα(cosα﹣2)+sinαcosα =(cosα,sinα) ,

=2sinα, ∵sinα∈[﹣1,1], ∴2sinα∈[﹣2,2], ∴ ? 的取值范围是[﹣2,2].

故选:C.

点评: 本题重点考查了平面向量的实际运用,重点掌握平面向量的坐标运算等知识,属于 中档题. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置 上. 11. (5 分)空间直角坐标系中与点 P(2,3,5)关于 yoz 平面对称的点的坐标为(﹣2,3,5) . 考点: 空间中的点的坐标. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据关于 yOz 平面对称,x 值变为相反数,其它不变这一结论直接写结论即可. 解答: 解:根据关于坐标平面 yOz 的对称点的坐标的特点, 可得点 P(2,3,5)关于坐标平面 yOz 的对称点的坐标为: (﹣2,3,5) . 故答案为: (﹣2,3,5) . 点评: 本题考查空间向量的坐标的概念,考查空间点的对称点的坐标的求法,属于基础题. 12. (5 分)由数字 0,1,2,3,4 组成的没有重复数字且比 2000 大的四位数的个数为 72(用 数字作答) . 考点: 计数原理的应用. 专题: 排列组合. 分析: 由已知条件可以分为两类,当最高位为 2 时,当最高位为 2,3 时,根据分类计数原 理可得. 解答: 解:当最高位为 2 时,其余的三位数任意取有 =48 个,根据分类计数原理可得,一共有 72 个. 故答案为:72 点评: 本题主要考查了分类计数原理,关键是分类,属于基础题. 13. (5 分)在(1+x ) (1﹣2x) 的展开式中,x 的系数为﹣352. 考点: 二项式系数的性质. 专题: 二项式定理. 6 2 6 分析: 根据题意,先求出(1﹣2x) 展开式的通项,分析可得(1+x ) (1﹣2x) 展开式中 5 2 6 5 2 出现 x 的项有两种情况,①, (1+x )中出 1,而(1﹣2x) 展开式中出 x 项,②, (1+x ) 2 6 3 中出 x 项,而(1﹣2x) 展开式中出 x 项,分别求出其系数,进而将求得的系数相加可得答 案. 6 r r r r r r 解答: 解:根据题意, (1﹣2x) 展开式的通项为 Tr+1=C6 ?(﹣2x) =(﹣1) C6 ?2 x , 2 6 5 则(1+x ) (1﹣2x) 的展开式中出现 x 的项有两种情况, 2 6 5 5 5 5 第一种情况(1+x )中出 1,而(1﹣2x) 展开式中出 x 项,其系数为 1×(﹣1) C6 2 =﹣ 192, 第二种情况 (1+x ) 中出 x 项, 而 (1﹣2x) 展开式中出 x 项, 其系数为 ﹣160,
2 2 6 3 2 6 5

=24 个,当最高位为 3 或 4 的有

=

则(1+x ) (1﹣2x) 展开式中 x 的系数为﹣192﹣160=﹣352; 故答案为:﹣352. 点评: 本题考查二项式定理的应用,解题的关键是由多项式的乘法分析其展开式中 x 项出 现的情况. 14. (5 分)根据如图算法语句,当输出 y 的值为 31 时,输入的 x 值为 60.
5

2

6

5

考点: 选择结构. 专题: 算法和程序框图. 分析: 分析算法语句可知其功能是求分段函数的值,其解析式为 ,故可求 x 的值. 解答: 解:执行算法语句知程序的功能是求分段函数的值,其解析式为 , 故解得当 y 的值为 31 时,x 的值为 60. 故答案为:60. 点评: 本题主要考察了程序框图和算法,根据语句写出函数的解析式是关键,属于基础题. 15. (5 分)如果自然数 a 的各位数字之和等于 7,那么称 a 为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小 到大排成一列 a1,a2,a3,…,若 an=2005,则 n=65. 考点: 计数原理的应用. 专题: 排列组合. 分析: 利用“吉祥数”的定义,分类求出“吉祥数”,即可得到结论. 解答: 解:∵方程 x1+x2+…+xi=m 使 x1≥1,xi≥0(i≥2)的整数解个数为 可知,k 位“吉祥数”的个数为 P (3) = 个. ∵2005 是形如 的数中最小的一个“吉祥数”, ∴2005 是第 1+7+28+28+1=65 个 “吉祥数”, 即 an=2005, =28 对于四位“吉祥数” 且 P(1)= =1,P(2)= .现取 m=7, =7,

, 其个数为满足 a+b+c=6 的非负整数解个数, 即

从而 n=65. 故答案为:65 点评: 本题考查新定义,考查学生的计算能力,注意分类讨论,属于中档题. 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)2014-2015 学年高二某班 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部都介于 13 秒到 18 秒之间,将测试结果按如下方式分成五组,第一组[13,14) ,第二组[14,15) ,…,第五组 [17,18],如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. (1)若成绩在区间[14,16)内规定为良好,求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数; (2)请根据频率分布直方图估计样本数据的众数和中位数(精确到 0.01) .

考点: 众数、中位数、平均数;频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: (1)根据频率分布直方图,求出成绩在[14,16)内的频数; (2)由频率分布直方图,得出众数是什么,求出中位数的值. 解答: 解: (1)根据频率分布直方图知, 成绩在[14,16)内的人数为:50×0.18+50×0.38=28 人; (2)由频率分布直方图知, 众数落在第三组[15,16)内,是 ;

∵数据落在第一、二组的频率为 1×0.04+1×0.08=0.22<0.5, 数据落在第一、二、三组的频率为 1×0.04+1×0.08+1×0.38=0.6>0.5, ∴中位数一定落在第三组[15,16)中; 设中位数是 x,∴0.22+(x﹣15)×0.38=0.5, 解得中位数 .

点评: 本题考查了频率分布直方图的应用问题,解题时应根据图中数据,会求中位数与众 数,是基础题. 17. (12 分)已知关于 x 的一元二次方程 x ﹣2ax+b =0. (1)若 a 是从 0、1、2、3 四个数中任取的一个数,b 是从 0、1、2 三个数中任取的一个数, 求上述方程没有实根的概率; (2)若 a 是从区间[0,3]内任取的一个数,b 是从区间[0,2]内任取的一个数,求上述方程没 有实根的概率.
2 2

考点: 古典概型及其概率计算公式;几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: (1)求得所有的(a,b)共 12 个,而满足条件的(a,b)共 3 个,由此求得所求事 件的概率. (2)如图,试验的所有基本事件所构成的区域为矩形 OABC,其中所求事件的区域为三角形 OEC,由所求事件发生的概率为
2

,运算求得结果.
2

解答: 解: (1)设事件 A 为“方程 x ﹣2ax+b =0 无实根”;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(1 分) 2 2 2 2 2 2 当△ =4a ﹣4b =4(a ﹣b )<0,即 a<b 时,方程 x ﹣2ax+b =0 无实根.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣(3 分) 所有的(a,b)共 12 个: (0,0) , (0,1) , (0,2) , (1,0) , (1,1) , (1,2) , (2,0) , (2,1) , (2,2) , (3,0) , (3,1) , (3,2) . 其中,第一个数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值. 事件 A 包含 3 个基本事件(0,1) , (0,2) , (1,2) , 由于每个基本事件发生的可能性都相同,﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分) ∴事件 A 发生的概率 P(A)=
2 2

= .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分)

答:方程 x ﹣2ax+b =0 没有实根的概率为 .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7 分) (2)设事件 B 为“方程 x ﹣2ax+b =0 无实根”;﹣﹣﹣﹣(8 分) 如图,试验的所有基本事件所构成的区域为矩形 OABC:{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}, 其中构成事件 B 的区域为三角形 OEC,即{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a<b}, 由于点(a,b)落在区域内的每一点是随机的,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 分) ∴事件 B 发生的概率 P(B)=
2 2 2 2

=

= .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(13 分)

答:方程 x ﹣2ax+b =0 没有实根的概率为 .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(14 分)

点评: 本题考查古典概型及其概率计算公式的应用,几何概型问题,属于基础题.

18. (12 分)已知在 3. (1)求 n; (2)求展开式中的所有有理项; (3)求 Cn +9Cn +81Cn +…+9
1 2 3 n﹣1

的展开式中,第 5 项的系数与第 3 项的系数之比是 56:

Cn 的值.

n

考点: 二项式系数的性质;二项式定理的应用. 专题: 二项式定理. 分析: (1)根据在 的展开式中,第 5 项的系数与第 3 项的系数之比是 56:

3,求出 n 的值. (2)在通项公式中,令 x 的幂指数为整数,求得 r 的值,可得展开式中的所有有理项. (3)把要求的式子化为 得结果. 解答: 解: (1) 由题意可得, , 解得 n=10. ,再利用二项式定理求

(2)因为通项公式为:Tr+1= 理项为 (3) 和 T7=13400.

?(﹣2) ?

r

,令 5﹣

为整数,r 可取 0,6,于是有

=

=



点评: 本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式, 求展开式中某项的系数,属于基础题. 19. (12 分)阅读如图的程序框图,解答以下问题: (1)如果输入的 N=3,那么输出的 S 为多少? (2)对于输入的任何正整数 N,都有对应 S 输出.证明:S<2.

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: (1)写出各次循环得到的结果,直到满足判断框中的条件,退出循环; (2)由框图判定出 ,根据 n>2 时有 n>2 时有 n!>2
n﹣1

,得证.

解答: 解: (1)第一次循环得到:T=1,S=1,k=2; 第二次循环得到: , 4>3 满足条件, 输出 (2)由题意知 而 n>2 时有 n!>2 ∴ 经验证,n=1,2 也有 S<2. 点评: 本题考查的知识点是循环结构,在求程序的运行结果时,我们常使用模拟运行的方 法,如何管理程序运行过程中各变量的值,是解答本题的关键 20. (13 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,AB∥CD,∠DAB=60°, AB=AD=2CD,侧面 PAD⊥底面 ABCD,且△ PAD 为等腰直角三角形,∠APD=90°,M 为 AP 的中点. (Ⅰ)求证:AD⊥PB; (Ⅱ)求证:DM∥平面 PCB; (Ⅲ)求平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值.
n﹣1





考点: 与二面角有关的立体几何综合题;空间中直线与直线之间的位置关系;直线与平面 平行的判定. 专题: 空间角. 分析: (I)取 AD 的中点 G,连结 PG、GB、BD,由已知条件推导出 PG⊥AD,BG⊥AD, 从而得到 AD⊥平面 PGB,由此能够证明 AD⊥PB. (II)取 PB 的中点 F,连结 MF,CF,由已知条件推导出四边形 CDMF 是平行四边形,同此 能够证明 DM∥平面 PCB. (III)以 G 为原点,直线 GA、GB、GP 所在直线为 x 轴、y 轴和 z 轴,建立空间直角坐标系 G﹣xyz,利用向量法能求出平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值. 解答: (I)证明:取 AD 的中点 G,连结 PG、GB、BD. ∵PA=PD,∴PG⊥AD…(2 分) ∵AB=AD,且∠DAB=60°,∴△ABD 是正三角形,BG⊥AD, 又 PG∩BG=G,∴AD⊥平面 PGB. ∴AD⊥PB.…(4 分) (II)证明:取 PB 的中点 F,连结 MF,CF, ∵M、F 分别为 PA、PB 的中点,∴MF∥AB,且 .

∵四边形 ABCD 是直角梯形,AB∥CD 且 AB=2CD,∴MF∥CD 且 MF=CD,…(6 分) ∴四边形 CDMF 是平行四边形.∴DM∥CF. ∵CF?平面 PCB,DM?平面 PCB, ∴DM∥平面 PCB.…(8 分) (III)解:∵侧面 PAD⊥底面 ABCD, 又∵PG⊥AD,∴PG⊥底面 ABCD.∴PG⊥BG. ∴直线 GA、GB、GP 两两互相垂直, 故以 G 为原点,直线 GA、GB、GP 所在直线为 x 轴、y 轴和 z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系 G﹣xyz. 设 PG=a,则由题意得: , .∴ 设 则 且 . 是平面 PBC 的法向量, .





,得

. . . .∴ .

∵M 是 AP 的中点,∴ ∴

平面 PAD 的法向量 设平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角为 θ, 则



,…(10 分)

∴平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值为

.…(12 分)

点评: 本题考查异面直线垂直的证明,考查直线与平面平行的证明,考查二面角的余弦值 的求法,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用. 21. (14 分)如图,圆 C:x ﹣(1+a)x+y ﹣ay+a=0.
2 2

(Ⅰ)若圆 C 与 x 轴相切,求圆 C 的方程; (Ⅱ)已知 a>1,圆 C 与 x 轴相交于两点 M,N(点 M 在点 N 的左侧) .过点 M 任作一条直 线与圆 O:x +y =4 相交于两点 A,B.问:是否存在实数 a,使得∠ANM=∠BNM?若存在, 求出实数 a 的值,若不存在,请说明理由.
2 2

考点: 圆的标准方程;直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: (Ⅰ)在圆的方程中,令 y=0,可得关于 x 的一元二次方程的判别式等于零,由此求 得 a 的值,从而求得所求圆 C 的方程. (Ⅱ)先求出所以 M(1,0) ,N(a,0) ,假设存在实数 a,当直线 AB 与 x 轴不垂直时,设 2 2 直线 AB 的方程为 y=k(x﹣1) ,代入 x +y =4,利用韦达定理,根据 NA、NB 的斜率之和等 于零求得 a 的值.经过检验,当直线 AB 与 x 轴垂直时,这个 a 值仍然满足∠ANM=∠BNM, 从而得出结论. 解答: (Ⅰ)因为由
2 2

可得 x ﹣(1+a)x+a=0,

2

由题意得△ =(1+a) ﹣4a=(a﹣1) =0,所以 a=1, 2 2 故所求圆 C 的方程为 x ﹣2x+y ﹣y+1=0. 2 (Ⅱ)令 y=0,得 x ﹣(1+a)x+a=0,即(x﹣1) (x﹣a)=0,求得 x=1,或 x=a, 所以 M(1,0) ,N(a,0) . 假设存在实数 a,当直线 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y=k(x﹣1) , 2 2 2 2 2 2 代入 x +y =4 得, (1+k )x ﹣2k x+k ﹣4=0, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,从而 因为 NA、NB 的斜率之和为 , 而(x1﹣1) (x2﹣a)+(x2﹣1) (x1﹣a)=2x1x2﹣(a+1) (x2+x1) +2a= = , .

因为∠ANM=∠BNM,所以,NA、NB 的斜率互为相反数,

,即



得 a=4. 当直线 AB 与 x 轴垂直时,仍然满足∠ANM=∠BNM,即 NA、NB 的斜率互为相反数. 综上,存在 a=4,使得∠ANM=∠BNM. 点评: 本题主要考查求圆的标准方程,直线和圆的位置关系,直线的倾斜角和斜率,属于 中档题.


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