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2011《金版新学案》高三数学一轮复习 第十章圆锥曲线与方程阶段测试 理 北师大版


2011《金版新学案》高三数学一轮复习 第十章圆锥曲线与方程 阶段测试 理 北师大版
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) x y 1.双曲线 - =1 的焦点坐标为( 16 9 A.(- 7,0)、( 7,0)
2 2

)

B.(0,- 7)、(0, 7)

C.(-5,0)、(5,0) D.(0,-5)、(0,5) 【解析】 c =a +b =16+9=25,c=5. 【答案】 C 2.下列特称命题中,假命题是( A.存在 x∈R,x -2x-3=0 B.至少有一个 x∈Z,x 能被 2 和 3 整除 C.存在两个相交平面垂直于同一直线 D.存在 x∈{x|x 是无理数}使 x 是有理数 【解析】 对于 A:当 x=-1 时,x -2x-3=0,故 A 为真命题; 对于 B:当 x=6 时,符合题目要求,为真命题; 对于 C:假命题; 对于 D:x= 3时,x =3,故 D 为真命题. 综上可知:应选 C. 【答案】 C 3.“a=2”是“直线 ax+2y=0 平行于直线 x+y=1”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】 当 a=2 时,直线 2x+2y=0,显然平行于直线 x+y=1,若直线 ax+2y=0 与直线 x+y=1 平行则须满足 a-2=0,得 a=2,所以答案是 C. 【答案】 C 4.下列命题不是全称命题的是( ) )
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)

A.在三角形中,三内角之和为 180° B.对任意非正数 c,若 a≤b+c,则 a≤b C.对于实数 a、b,|a-1|+|b-1|>0

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D.存在实数 x,使 x -3x+2=0 成立 【解析】 由全称命题定义可知为 D.故本题答案 D. 【答案】 D → → 5.已知命题 p:AC=2CB,命题 q:A、B、C 三点共线,则下列命题正确的是( A.若 p 则 q C.若 p 则?q B.若 q 则 p D.若?p 则?q )

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→ → 【解析】 由AC=2CB知,“p”的意义是 C 点为线段 AB 上的一个(靠近 B 点的)三等分 点,故 A、B、C 三点共线,选 A 项. 【答案】 A 6.设 p、q 是两个命题,则复合命题“p 或 q 为真,p 且 q 为假”的充要条件是( A.p、q 中至少有一个为真 B.p、q 中至少有一个为假 C.p、q 中有且只有一个为真 D.p 为真、q 为假 【解析】 p、q 中有且只有一个为真?p 或 q 为真,p 且 q 为假. 【答案】 C x y 7.设 F1、F2 为椭圆 + =1 的左、右焦点,过椭圆中心任作一直线与椭圆交于 P、Q 4 3 → → 两点,当四边形 PF1QF2 面积最大时,PF1?PF2的值等于( A.0 B.1 C.2 D.4 1 【解析】 设 P(x,y),SPF1QF2=2S△F1F2P=2? |F1F1|?|y| 2 =2|y|≤2 3, 当四边形 PF1QF2 面积最大时, → → P(0,± 3),∴PF1?PF2=2. 【答案】 C x y 8.已知椭圆 + =1 的左、右焦点分别为 F1、F2,点 P 在椭圆上.若 P、F1、F2 是一 16 9 个直角三角形的三个顶点,则点 P 到 x 轴的距离为( A. C. 9 B.3 5 9 7 7 9 D. 4 )
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)

)

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【解析】 设椭圆短轴的一个端点为 M. 由于 a=4,b=3,∴c= 7<b. ∴∠F1MF2<90°, ∴只能∠PF1F2=90°或∠PF2F1=90°. 7? 9 9 ? 2 令 x=± 7得 y =9?1- ?= ,∴|y|= . 4 ? 16? 16 9 即 P 到 x 轴的距离为 . 4 【答案】 D 9.给出下列四个命题: 3 3 2 2 ①命题“任意 x∈R,都有 x -x+1≥ ”的否定是“存在 x∈R,x -x+1< ”; 4 4 1 ②命题“在△ABC 中,若 A<30°,则 sin A< ”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题 2 的个数为 2;
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?π ? ③函数 y=sin x+ 3cos x,x∈? ,π ?的值域是[- 3,2]; ?6 ?
④集合 A={x|x -x=0},B={y|y=-lg(sin x)},C={y|y= 1-t },则 x∈A 是 x∈B∩C 的充分不必要条件.其中真命题的序号是( A.①②③④ B.①②④ )
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C.①③④ D.②③④ 3 2 【解析】 由于命题“任意 x∈R,都有 x -x+1≥ ”是全称命题,在否定时,不仅要 4 否定结论, 同时需要改成特称命题的形式,故①正确;由于命题:“在△ABC 中,若 A<30°, 1 则 sin A< ”是真命题,其逆命题是假命题,所以在逆命题、否命题、逆否命题中真命题只 2 有逆否命题,故②不正确; π ? π 4π ? ? π? ?π ? ∵y=sin x+ 3cos x=2sin?x+ ?,由 x∈? ,π ?得 x+ ∈? , ?,∴y∈[- 3 6 3 ? 3 ?2 ? ? ? ? 3,2],故③正确; 对于④,∵A={0,1},B=[0,+∞),C=[0,1],∴B∩C=[0,1],∴x∈A?x∈B∩C, 而 x∈B∩C?/ x∈A,故④正确. 【答案】 C x y 10.双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,若 P 为其上一点,且|PF1|= a b 2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为( )
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A.(1,3) B.(1,3] C.(3,+∞) D.[3,+∞) 【解析】 ∵|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a,而双曲线右支上到右焦点距离最后的点为右顶 点,∴有 c-a≤2a,∴1<e≤3,故选 B. 【答案】 B 11.命题 A:(x-1) <9,命题 B:(x+2)?(x+a)<0;若 A 是 B 的充分不必要条件,则 a 的取值范围是( )
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A.(-∞,-4) B.[4,+∞) C.(4,+∞) D.(-∞,-4] 【解析】 由(x-1) <9,得-2<x<4, ∴命题 A:-2<x<4. 命题 B:当 a=2 时,x∈?, 当 a<2 时,-2<x<-a, 当 a>2 时,-a<x<-2. ∵A 是 B 的充分而不必要条件, ∴命题 B:当 a<2 时,-2<x<-a, ∴-a>4,∴a<-4, 综上,当 a<-4 时,A 是 B 的充分不必要条件,故选 A. 【答案】 A 12.直线 l 过抛物线 C∶y =2px(p>0)的焦点 F,且交抛物线 C 于 A,B 两点,分别从 A, B 两点向抛物线的准线引垂线,垂足分别为 A1,B1,则∠A1FB1 是( A.锐角 B.直角 C.钝角 D.直角或钝角 【解析】 如图,由抛物线定义可知 AA1=AF,故∠1=∠2,又 AA1∥x 轴,故∠1=∠3, 1 π 从而∠2=∠3,同理可证得∠4=∠6,故∠A1FB1=(∠3+∠6)= ?π = ,故选 B. 2 2 )
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【答案】 B
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二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 13.命题“存在两个向量 p、q,使得|p?q|=|p|?|q|”的否定是________. 【答案】 任意两个向量 p、q,均有|p?q|≠|p|?|q| 14. 如果两条双曲线的焦点在同一坐标轴上且它们的虚轴长和实轴长的比值相等, 我们 x y 就称这两条双曲线是相互平行的,则经过点(4, 3)且与双曲线 - =1 平行的双曲线的 64 16 标准方程是________. x y x y 【解析】 依题意,与双曲线 - =1 平行的双曲线的标准方程可设为 - =k(k 64 16 64 16 1 x 2 >0),将点(4, 3)代入,解得 k= .所以所求双曲线的标准方程为 -y =1. 16 4 【答案】 x 2 -y =1 4
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15.河上有一拋物线型拱桥,当水面距拱顶 5 m 时,水面宽为 8 m,一小船宽 4 m,高 3 2 m,载货后船露出水面部分的高为 m,问水面上涨到与拋物线拱顶相距________m 时,小 4 船不能通过.(不考虑货物高度) 【解析】 建立平面直角坐标系,设拋物线的方程为 x =-2py(p>0).将点(4,-5) 8 16 5 2 代入求得 p= , 所以拋物线的方程为 x =- y.将点(2, m)代入方程求得 m=- .故水面距 5 5 4 3 3 5 拱顶的距离为 +|m|= + =2(m). 4 4 4 【答案】 2 16.在下列四个结论中,正确的有________.(填序号) ①若 A 是 B 的必要不充分条件,则非 B 也是非 A 的必要不充分条件
? ?a>0, ②“? 2 ?Δ =b -4ac≤0 ?
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”是“一元二次不等式 ax +bx+c≥0 的解集为 R”的充要条

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件 ③“x≠1”是“x ≠1”的充分不必要条件 ④“x≠0”是“x+|x|>0”的必要不充分条件 【解析】 ∵原命题与其逆否命题等价, ∴若 A 是 B 的必要不充分条件,则非 B 也是非 A 的必要不充分条件. x≠1?/ x ≠1,反例:x=-1?x =1, ∴“x≠1”是“x ≠1”的不充分条件. x≠0?/ x+|x|>0,反例 x=-2?x+|x|=0. 但 x+|x|>0?x>0?x≠0,
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∴“x≠0”是“x+|x|>0”的必要不充分条件. 【答案】 ①④ 三、解答题(本大题共 6 小题.共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 4 17.(10 分)已知离心率为 的椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上.双曲线以椭圆的长轴 5 为实轴,短轴为虚轴,且焦距为 2 34. 求椭圆及双曲线的方程. x y 【解析】 设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0) a b 则根据题意,双曲线的方程为 x y 2- 2=1 且满足 a b
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? a2-b2 4 ? = 5 ? a ? ?2 a2+b2=2 34
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?a =25 ? 解方程组得? 2 ?b =9 ?
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x y x y ∴椭圆的方程为 + =1,双曲线的方程 - =1(6 分) 25 9 25 9 18.(12 分)已知命题 p:方程 ax +ax-2=0 在[-1,1]上只有一个解;命题 q:只有一 个实数 x 满足 x +2ax+2a≤0.若命题“p 或 q”为假命题,求实数 a 的取值范围. 【解析】 若命题 q 为真,则 Δ =4a -8a=0, 即有 a=0 或 a=2. 若命题 p 为真,则 f(-1)f(1)≤0, 又∵f(-1)≤0, ∴f(1)≥0,即 a≥1,又当 Δ =0 时,得 a=-8, 1 2 此时-8x -8x-2=0 有一根 x=- ∈[-1,1]. 2 若命题“p 或 q”为假,则有 a<1 且 a≠0 且 a≠-8. 19.(12 分)设 α ,β 是关于方程 x -mx+n=0 的两个实根,试分析 m>6 且 n>9 是两实 根 α ,β 均大于 3 的什么条件? 【解析】 若方程 x -mx+n=0 的两实根 α ,β 均大于 3, Δ =m -4n≥0 ? ? 则?α +β =m>6 ? ?α β =n>9
? ?α +β >6 但是,若 m>6,且 n>9,即? ?α β >9 ?
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α >3 ? ? ?/?β >3 ? ?m2-4n≥0
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,如:m=7,n=15.

此时 m -4n=-11<0,方程无实根. ∴m>6,且 n>9 是两实根 α ,β 均大于 3 的必要不充分条件. 20.(12 分)抛物线的顶点在原点,焦点在 x 轴的正半轴上,直线 x+y-1=0 与抛物线 相交于 A、B 两点,且|AB|= (1)求抛物线的方程; (2)在 x 轴上是否存在一点 C,使△ABC 为正三角形?若存在,求出 C 点的坐标;若不存 在,请说明理由. 【解析】 (1)设所求抛物线的方程为 y =2px(p>0),
? ?y =2px, 由? ?x+y-1=0, ?
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8 6 . 11

消去 y,得 x -2(1+p)x+1=0.

2

设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2=2(1+p),x1?x2=1. 8 6 ∵|AB|= , 11 8 6 2 2 ∴ (1+k )[(x1+x2) -4x1x2]= , 11 ∴121p +242p-48=0, 2 24 ∴p= 或- (舍). 11 11 4 2 ∴抛物线的方程为 y = x. 11 2? ?13 (2)设 AB 的中点为 D,则 D? ,- ?. 11? ?11 假设 x 轴上存在满足条件的点 C(x0,0), ∵△ABC 为正三角形,∴CD⊥AB, 15 ∴x0= . 11 2 2 ?15 ? ∴C? ,0?,∴|CD|= . 11 11 ? ? 又∵|CD|= 3 12 2 |AB|= , 2 11
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故矛盾,∴x 轴上不存在点 C,使△ABC 为正三角形.
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21.(12 分)如图所示,已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 3 倍且经过点 M(3,1).平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m(m≠0),且交椭圆于 A,B 两不 同点.

(1)求椭圆的方程; (2)求 m 的取值范围; 【解析】 (1)设椭圆的方程为 + =1(a>b>0), ? ,所求椭圆的方程为 + =1 (2)∵直线 l∥OM 且在 y 轴上的截距为 m, ∴直线 l 方程为:y= x+m

由 ?2x2+6mx+9m2-18=0

∵直线 l 交椭圆于 A、B 两点, ∴Δ =(6m) -4?2(9m -18)>0?-2<m<2 m 的取值范围为-2<m<2,且 m≠0. 22.(12 分)定义:离心率 e= 5-1 x y 的椭圆为“黄金椭圆”.已知椭圆 E: 2+ 2=1(a 2 a b
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>b>0)的一个焦点为 F(c,0),P 为椭圆 E 上任意一点. (1)试证:若 a,b,c 不是等比数列,则 E 一定不是“黄金椭圆”; → (2)若 E 为黄金椭圆,问:是否存在过点 F,P 的直线 l,使 l 与 y 轴的交点 R 满足RP= → -2PF?若存在,求直线 l 的斜率 k;若不存在,说明理由.

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c 5-1 【解析】 (1)证明:假设 E 为黄金椭圆,则 e= = , a 2 即 c=
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5-1 a, 2
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∴b =a -c =a -?

5-1 2 ? 5-1 ?2 a =ac. a? = 2 ? 2 ?

即 a,b,c 成等比数列,与已知矛盾, 故椭圆 E 一定不是“黄金椭圆”. (2)依题意设直线 l 的方程 y=k(x-c). 令 x=0,有 y=-kc,即点 R 的坐标为(0,-kc). 点 F(c,0),设 P(x,y) → → 则RP=(x,y+kc),PF=(c-x,y).
? ?x=2(c-x), → → ∵RP=-2PF,∴? ?y+kc=2y, ?

∴点 P 的坐标为(2c,kc). ∵点 P 在椭圆上, ∴ 4c k c 2 + 2 =1. a b
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∵b =ac,∴4e +k e=1, 1-4e 2 故k= <0,与 k ≥0 矛盾. e
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所以,满足题意的直线不存在.

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