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宁夏银川一中2013届高三下学期第二次模拟考试数学(理)


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宁夏银川一中 2013 届高三下学期第二次模拟考试 数学(理)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22-24 题为选考题,其它题为 必考题.考生作答时,将答案答在答题卡上.在本试卷上答题无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并 交回. 注意事项

: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓名、准考证号, 并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号;非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损. 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。

1 x 1.已知集合 A={1,2,3,4},B={y|y= 2 ,x ? A},则 A ? B=(
A. {1,2,3,4} B. {1,2} C. {1,3} D. {2,4}

)

2.设 m、n 是两条不同的直线, ? 、β 是两个不同的平面, 则下列命题中正确的是( ) A.若 m∥n,m∥ ? ,则 n∥ ? B.若 ? ⊥β ,m∥ ? ,则 m⊥β C.若 ? ⊥β ,m⊥β ,则 m∥ ? D.若 m⊥n,m⊥ ? ,n⊥β ,则 ? ⊥β 3.右边程序运行结果为( ) A.7 B.6 C.5 D.4
1 4.函数 f(x)= 1 ? x(1 ? x ) 的最大值是(

)

4 A. 5

5 B. 4

3 C. 4

4 D. 3
)

5.已知直线 ax ? by ? c ? 0 不经过第二象限,且 ab ? 0 ,则( A.

c?0

B. c ? 0

C. ac ? 0

D. ac ? 0

f ( x ) ? ln x ?
6.函数 A.0 B.1

1 x ? 1 的零点的个数是 (
D.3

)

C.2

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x2 y2 5 ? 2 ?1 2 b 2 ,一个等比中项是 6 ,且 a ? b , 则椭圆 a 7.两个正数 a 、b 的等差中项是 的离心率 e
等于( )
13 3

3 5 2 B. 3 C. A.

D. 13

x 8.已知双曲线
( )

2

y ?

2

2

?1

???? ????? ? MF1 ? MF 2 ? 0, 则点 M 到 x 轴的距离为 的焦点为 F1、F2,点 M 在双曲线上且

4 A. 3

5 B. 3

2 3 C. 3
)

D. 3

9.下列命题正确的是(

y ? sin(2 x ?
A.函数 B.函数

?

? ? ) (? , ) 3 在区间 3 6 内单调递增

y ? cos4 x ? sin4 x 的最小正周期为 2?
y ? cos(x ?

? ?

C.函数

3 的图像是关于点 6 )

)

(

?

,0)

成中心对称的图形

y ? tan(x ?
D.函数

3 的图像是关于直线

x?

?
6 成轴对称的图形
y 1B C( ,) A 1 x
2 4 3 5

10.如图,目标函数 z=ax-y 的可行域为四边形 OACB(含边界) ,
2 4 ( , ) 若 3 5 是该目标函数 z=ax-y 的最优解,则 a 的取值范围是( (?

)

A.

10 5 ,? ) 3 12

(?

B.

12 3 ,? ) 5 10

3 12 , ) 10 5 C. (

(?

D.

12 3 , ) 5 10

O

11.将一骰子抛掷两次,所得向上点数分别为 m 和 n ,则函数 概率是( )

y?

2 3 mx ? nx ? 1 3 在 [1, ??) 上为增函数的

1 A. 2

2 B. 3

3 C. 4

5 D. 6

??? ? ??? ? ??? ? ? ABC 内部一点, OA ? 2OB ? 3OC ? 0 ,则 ?OAC 的面积与 ?OAB 的面积之比 12.已知 O 是正三角形
是( )

3 A. 2

2 B. 3

C. 2

1 D. 3

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第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。将答案填在答题卷相应位置上) 13.抛物线的顶点在原点,对称轴是坐标轴,且焦点在直线 x ? y ? 2 ? 0 上,则此抛物线方程为 __________________. 14.我校在上次摸考中约有 1000 人参加考试,数学考试的成绩 ? ~ N (90, a )( a ? 0 ,试卷满分 150 分) ,
2

3 统计结果显示数学考试成绩在 70 分到 110 分之间的人数约为总人数的 5 , 则此次数学考试成绩不低于 110
分的学生约有 人。 B 1 E C 1 C F A 1

15.如图 ABC-A1B1C1 是直三棱柱,∠BCA=90°,点 E、F 分别是 A1B1、A1C1 的中点,若 BC=CA=AA1,则 BE 与 AF 所成角的余弦值为__________。

B A

16.某公司计划在北京、上海、兰州、银川四个候选城市投资 3 个不同的项目,且在同一个城市投资的项目 不超过 2 个,则该公司不同的投资方案种数是 (用数字作答). 三、解答题:本大题共 5 小题,满分 60 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 17. (本小题满分 12 分) 在数列

?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? 4an ? 3n ? 1, n ? N* .
?an ? n? 是等比数列;

(1)证明数列 (2)设数列

?an ? 的前 n 项和 Sn ,求 S n?1 ? 4S n 的最大值。

18. (本小题满分 12 分) 某单位为加强普法宣传力度,增强法律意识,举办了“普法知识竞赛” ,现有甲、乙、丙三人同时回答一

4 1 道有关法律知识的问题,已知甲回答对这道题的概率是 5 ,甲、丙两人都回答错误的概率是 15 ,乙、丙 1 两人都回答对的概率是 4 .
(1)求乙、丙两人各自回答对这道题的概率。 (2)求甲、乙、丙三人中恰有两人回答对该题的概率。

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19. (本小题满分 12 分) 如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都为 2, D 为 CC1 中点。 (1)求证:AB1⊥面 A1BD; (2)求二面角 A-A1D-B 的正弦值; 20.(本小题满分 12 分)

x2 ? y2 ? 1 F1 、 F2 分别是椭圆 4 设 的左、右焦点. ???? ???? ? P 是该椭圆上的一个动点,求 PF1 ? PF2 的取值范围; (1)若
(2)设过定点 M (0,2) 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 M、N,且∠ MON 为锐角(其中 O 为坐标原点) , 求直线 l 的斜率 k 的取值范围.

0) 1) (3)设 A(2,,B(0, 是它的两个顶点, 直线 y ? kx(k ? 0) 与 AB 相交于点 D, 与椭圆相交于 E、 两点. F 求
四边形 AEBF 面积的最大值. 21. (本小题满分 12 分) 设 x1 、 x2 ( x1 ? x2 ) 是函数 f ( x) ? ax ? bx ? a x (a ? 0) 的两个极值点。
3 2 2

(1)若 x1 ? ?1, x2 ? 2 ,求函数 f (x) 的解析式; (2)若 | x1 | ? | x2 |? 2 2 ,求 b 的最大值。 (3)若 x1 ? x ? x2 ,且 x2 ? a , g ( x) ? f ' ( x) ? a( x ? x1 ) ,求证:

| g ( x) |?

a(3a ? 2) 2 12 。

四、选考题: (本小题满分 10 分) 请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所 做的第一题记分.做答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的 题号涂黑.

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22.选修 4-1:几何证明选讲 如图,BA 是⊙O 的直径,AD 是切线,BF、BD 是割线, 求证:BE?BF=BC?BD B 23.选修 4-4:坐标系与参数方程 在抛物线 y2=4a(x+a)(a>0),设有过原点 O 作一直线分别 交抛物线于 A、B 两点,如图所示,试求|OA|?|OB|的最小值。 24.选修 4—5;不等式选讲 5 设|a|<1,函数 f(x)=ax2+x-a(-1≤x≤1),证明:|f(x)|≤ 4

D C E O A y A O x F

B

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宁夏银川一中 2010 届高三下学期第二次模拟考试 数学(理)参考答案
题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 D 5 D 6 C 7 B 8 C 9 C 10 B 11 D 12 B

2 2 13. y ? ?8x 或 x ? 8 y

14. 200

15.

30 10

16. 60

17.证明: (Ⅰ)由题设 又

an?1 ? 4an ? 3n ? 1,得 an?1 ? (n ? 1) ? 4(an ? n) , n ? N* .

a1 ? 1 ? 1,所以数列 ?an ? n? 是首项为1 ,且公比为 4 的等比数列.

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知

an ? n ? 4n?1 ,于是数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 4n?1 ? n .所以数列 ?an ? 的前 n 项和

Sn ?

4n ? 1 n(n ? 1) ? 3 2 .

? 4n ? 1 n(n ? 1) ? 4n ?1 ? 1 (n ? 1)(n ? 2) Sn ?1 ? 4Sn ? ? ? 4? ? ? 3 2 2 ? ? 3
1 ? (3n 2 ? n ? 4) 2 =

故 n=1,最大 0.
1 1 ? ?[1 ? P ( A)][1 ? P (C )] ? 15 ? 15 , ? 1 ? P ( B ) P (C ) ? 1 ? 4 4 即?

18.解: (I)记“甲回答对这道题”“乙回答对这道题”“丙回答对这道题”分别为事件 A、B、C, 、 、
? ? P ( A) P (C ) ? ? ? 4 ? P ( B ) P (C ) ? P ( A) ? ? 5 ,且有 ? 则

? P ( B) ?

3 2 , P (C ) ? 8 3 P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 5 1 , P( B) ? 1 ? P( B) ? , P(C ) ? 1 ? P(C ) ? 5 8 3

(Ⅱ)由(I) “甲、乙、丙三人中恰有两人回答对该题”记为事件:
A ? B ? C ? A ? B ? C ? A ? B ? C ,其中概率为 P

P ? P( A ? B ? C ? A ? B ? C ? A ? B ? C ) ?

4 3 1 4 5 2 1 3 2 29 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 8 3 5 8 3 5 8 3 60

A 19.解答:解法一: (1)取 BC 中点 O ,连结 AO .

A1

?△ ABC 为正三角形,? AO ⊥ BC .
C O B D

F

C1

B1

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? 正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,平面 ABC ⊥ 平面 BCC1B1 ,
? AO ⊥ 平面 BCC1B1 .
连结

B1O ,在正方形 BB1C1C 中, O,D 分别为

BC,CC1 的中点,
? B1O ⊥ BD , ? AB1 ⊥ BD .在正方形 ABB1 A1 中, AB1 ⊥ A1B ,? AB1 ⊥平面 A1BD .
(2)设 面

AB1 与 A1B 交于点 G ,在平面 A1BD 中,作 GF ⊥ A1 D 于 F ,连结 AF ,由(Ⅰ)得 AB1 ⊥平

A1BD .? AF ⊥ A1D ,?∠AFG 为二面角 A ? A1D ? B 的平面角. △AA1D 中,由等面积法可求得
AF ?
1 4 5 ? AG ? AB1 ? 2 2 5 ,又 ,



? sin ∠AFG ?

AG 2 10 ? ? AF 4 5 4 10 A ? A1D ? B 的大小 4 5 .所以二面角

解法二: (1)取 BC 中点 O ,连结 AO .?△ ABC 为正三角形,? AO ⊥ BC .

? 在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,平面 ABC ⊥ 平面 BCC1B1 ,? AD ⊥ 平面 BCC1B1 . ? ??? ???? ??? ? ? B1C1 中点 O1 ,以 O 为原点, OB , OO1 , OA 的方向为 x,y,z 轴的正方向建立空间直角坐标系,则 取

2, 2, B(1, 0) , D(?11, , A (0, 3) , A(0, 3) , B1 (1, 0) , 0, ,0) 0, 1

???? ???? ??? ? ? AB1 ? (1 2, 3) , BD ? (?2,0) , BA1 ? (?1 2,3) . ,? , 1 , ???? ??? ? ???? ???? ? AB1 ?BD ? ?2 ? 2 ? 0 ? 0 , AB1 ?BA1 ? ?1? 4 ? 3 ? 0 , ???? ??? ???? ???? ? ? AB1 ⊥ BD , AB1 ⊥ BA1 .
? AB1 ⊥平面 A1BD .
(2)设平面 z A

A1 AD 的法向量为 n ? ( x,y,z ) .

A1

???? ???? 2, AD ? (?11 ? 3) , AA1 ? (0,0) . , ,
C O B D

F

C1
y

B1

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???? ???? ? n ⊥ AD , n ⊥ AA1 ,
???? ?n?AD ? 0, ?? x ? y ? 3z ? 0, ? y ? 0, ? ? ? ? ? ???? ?? ?? ? x ? ? 3z. ?n?AA1 ? 0, ?2 y ? 0, ? ? ?

A AD 的一个法向量. 01) , 令 z ? 1 得 n ? (? 3, 为平面 1

???? AB1 ⊥平面 A1BD ,? AB1 为平面 A1BD 的法向量. 由(1)知
???? ???? n?AB1 ? 3? 3 6 AB1 ?? ?? ???? ? 4 2?2 2 n ? AB1

cos ? n ,

10 A ? A1D ? B 的正弦大小为 4 .? 二面角

20.(1)解法一:易知 a ? 2, b ? 1, c ? 3 所以

F1 ? 3, 0 , F2

?

? ?

3, 0

? ,设 P ? x, y ? ,则
2 3 ? x, ? y ? x ? y ? 3 ? x ? 1 ?
2 2

???? ???? ? PF1 ? PF2 ? ? 3 ? x, ? y ,

?

??

?

x2 1 ? 3 ? ? 3x 2 ? 8 ? 4 4

???? ???? ? PF1 ? PF2 ? 1 故-2 ?
(2)显然直线 x ? 0 不满足题设条件,可设直线 l : y ? kx ? 2, M ( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) ,

? y ? kx ? 2 ? 2 ?x ? 2 1? 2 2 ? k ? ? x ? 4kx ? 3 ? 0 ? ? y ?1 4? 联立 ? 4 ,消去 y ,整理得: ?

x1 ? x2 ? ?


4k k2 ? 1 4

, x1 ? x2 ?

3 k2 ? 1 4

1? 2 ? 3 3 ? ? ? 4k ? ? 4 ? k ? ? ? 3 ? 4k 2 ? 3 ? 0 k ?? k? 4? ? 2 2 或 由 得:
又 0°<∠MON<90° ? cos∠MON>0 ? OM ? ON >0 ∴ OM ? ON ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0

?k 2 ? 1 ?8k 2 ? ? ?4 ? 1 1 1 2 k2 ? k2 ? k2 ? y y ? ? kx1 ? 2?? kx2 ? 2? ? k x1x2 ? 2k ? x1 ? x2 ? ? 4 4 4 4 又 1 2 3k 2

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?k 2 ? 1 ? ?0 1 1 k2 ? k2 ? 2 4 4 ∵ ,即 k ? 4 3
?2 ? k ? ?
故由①、②得

∴ ?2 ? k ? 2

3 3 ?k?2 2 或 2

( 3 ) 解 法 一 : 根 据 点 到 直 线 的 距 离 公 式 和 ① 式 知 , 点 E,F 到 AB 的 距 离 分 别 为

h1 ?

x1 ? 2kx1 ? 2 5 x2 ? 2kx2 ? 2 5

?

2(1 ? 2k ? 1 ? 4k 2 ) 5(1 ? 4k 2 )


h2 ?

?

2(1 ? 2k ? 1 ? 4k 2 ) 5(1 ? 4k 2 )
.又

AB ? 22 ? 1 ?

5

, 所 以 四 边 形 AEBF 的 面 积 为

S?

1 4 (1 k ) 2 (1 2 ) ? 2 ? k 1 ? 4k 2 ? 4 k 1 ? ?2 AB (h1 ? h2 ) ? 2 ? 5 ? 2 2 2 5 (1 4 ) 1 ? 4k ? k 1 ? 4k ≤2 2 , 2
k? 1 2 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2 .


当 2k ? 1 ,即当

解法二:由题设, 设

BO ? 1

AO ? 2



y1 ? kx1 , y2 ? kx2 ,由①得 x2 ? 0 , y2 ? ? y1 ? 0 ,
2 S ? S△BEF ? S△AEF ? x2 ? 2 y2 ? ( x2 ? 2 y2 )

故四边形 AEBF 的面积为

2 2 2 2 ? x2 ? 4 y2 ? 4 x2 y2 ≤ 2( x2 ? 4 y2 ) ? 2 2 ,



x2 ? 2 y2 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2 .

2 2 21.解: (1) f ' ( x) ? 3ax ? 2bx ? a (a ? 0) ∵ x1 ? ?1, x2 ? 2 是函数 f (x) 的两个极值点, 2 2 ∴ f ' (?1) ? 0 , f ' (2) ? 0 。∴ 3a ? 2b ? a ? 0 , 12a ? 4b ? a ? 0 ,

解得 a ? 6, b ? ?9 。∴ f ( x) ? 6 x ? 9 x ? 36x 。
3 2

(2)∵ x1 , x2 是函数 f (x) 的两个极值点,∴ f ' ( x1 ) ? f ' ( x2 ) ? 0 。 ∴ x1 , x2 是方程 3ax ? 2bx ? a ? 0 的两根。
2 2

∵ ? ? 4b ? 12a ,∴ ? ? 0 对一切 a ? 0, b ? R 恒成立。
2 3

x1 ? x2 ? ?

2b a x1 ? x2 ? ? 3a , 3,

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∵ a ? 0 ,∴ x1 ? x2 ? 0 。



| x1 | ? | x2 |?| x1 ? x2 |? (?

2b 2 a 4b 2 4 ) ? 4(? ) ? ? a 3a 3 9a 2 3





| x1 | ? | x2 |? 2 2



4b 2 4 ? a ?2 2 2 2 9a 2 3 ,∴ b ? 3a (6 ? a) 。
2 ∵ b ? 0 ,∴ 3a (6 ? a) ? 0 ,∴ 0 ? a ? 6 。 令 h(a) ? 3a (6 ? a) ,则 h' (a) ? ?9a ? 36a 。

2

2

2

当 0 ? a ? 4 时, h' (a) ? 0 ,∴ h(a) 在(0,4)内是增函数; 当 4 ? a ? 6 时, h' (a) ? 0 ,∴ h(a) 在(4,6)内是减函数。 ∴当 a ? 4 时, h(a) 有极大值为 96,∴ h(a) 在 (0,6] 上的最大值是 96, ∴ b 的最大值是 4 6 。 (3)∵ x1 , x2 是方程 f ' ( x) ? 0 的两根,

∴ f ' ( x) ? 3a( x ? x1 )(x ? x2 ) , ∵

x1 ? x2 ? ?

a 1 x1 ? ? 3 , x2 ? a ,∴ 3。

1 1 1 | g ( x) |?| 3a( x ? )( x ? a) ? a( x ? ) |?| a( x ? )[ 3( x ? a) ? 1] | 3 3 3 ∴ ∵ x1 ? x ? x2 , 1 | g ( x) |? a( x ? )( ?3x ? 3a ? 1) 3 1 3a ? 1 a 2 3a 3 1 3a 3 1 a(3a ? 2) 2 2 2 ? ?3a ( x ? )( x ? ) ? ?3a( x ? ) ? ?a ? a ? ?a ? a ? 3 3 4 3 2 4 3 12 。
22.证法一:连接 CE,过 B 作⊙O 的切线 BG,则 BG∥AD ∴∠GBC=∠FDB,又∠GBC=∠CEB ∴∠CEB=∠FDB 又∠CBE 是△BCE 和△BDF 的公共角 证法二:连续 AC、AE,∵AB 是直径,AC 是切线 ∴AB⊥AD,AC⊥BD,AE⊥BF 由射线定理有 AB2=BC?BD,AB2=BE?BF ∴BE?BF=BC?BD
4a 2
2 23.解:法一,(极坐标) ? sin2 ? -4a ? sin ? -4a2=0 ∴|OA||OB|= sin ? ≤4a2

BC BE ? ∴△BCE∽△BDF ∴ BF BD ,即 BE?BF=BC?BD

2

? x ? t cos? l AB ? ? ? y ? t sin? 法二:(参数方程)

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4a 2

代入 y2=4a(x+a)中得:t2sin2 ? -4atcos ? -4a2=0

2 |OA||OB|=|t1t2|= sin ? ≤4a2

1 5 5 24.证:|f(x)|=|a(x2-1)+x|≤|a(x2-1)|+|x|≤|x2-1|+|x|=1-x2+|x|=-(|x|- 2 )2+ 4 ≤ 4 5 ∴|f(x)|≤ 4


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