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【名师一号】2017届高考数学大一轮总复习 第八章 平面解析几何 计时双基练52 圆的方程 理 北师大版


计时双基练五十二
2 2

圆的方程
)

A 组 基础必做 1.若直线 3x+y+a=0 过圆 x +y +2x-4y=0 的圆心,则 a 的值为( A.-1 C.3
2 2

B.1 D.-3

解析 因为圆 x +y +2x-4y=0 的圆心为(-1,2), 所以 3?(-1)+2+a=0,解得 a=1。 答案 B 2.设圆的方程是 x +y +2ax+2y+(a-1) =0,若 0<a<1,则原点与圆的位置关系是 ( ) A.原点在圆上 C.原点在圆内 B.原点在圆外 D.不确定
2 2 2 2 2

解析 将圆的一般方程化成标准方程为(x+a) +(y+1) =2a, 因为 0<a<1,所以(0+a) +(0+1) -2a=(a-1) >0, 即 ?0+a? +?0+1? >
2 2 2 2 2

2a,所以原点在圆外。

答案 B 3. (2016?银川模拟)圆心在 y 轴上且过点(3,1)的圆与 x 轴相切, 则该圆的方程是( A.x +y +10y=0 C.x +y +10x=0
2 2 2 2

)

B.x +y -10y=0 D.x +y -10x=0
2 2

2

2

解析 设圆心为(0,b),半径为 r,则 r=|b|, ∴圆的方程为 x +(y-b) =b , ∵点(3,1)在圆上, ∴9+(1-b) =b ,解得 b=5, ∴圆的方程为 x +y -10y=0。 答案 B 4.已知圆 C1:(x-2) +(y-3) =1,圆 C2:(x-3) +(y-4) =9,M,N 分别是圆 C1,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

C2 上的动点,P 为 x 轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为(
A.5 2-4 C.6-2 2 B. 17-1 D. 17

)

解析 圆 C1,C2 的圆心分别为 C1,C2,由题意知|PM|≥|PC1|-1,|PN|≥|PC2|-3, ∴|PM|+|PN|≥|PC1|+|PC2|-4,故所求值为|PC1|+|PC2|-4 的最小值。又 C1 关于 x 轴对称的点为 C3(2,-3),如图所示,

1

∴|PC1|+|PC2|-4 的最小值为=|C3C2|-4= ?2-3? +?-3-4? -4=5 2-4。 故选 A。 答案 A 5.点 P(4,-2)与圆 x +y =4 上任一点连线的中点的轨迹方程是( A.(x-2) +(y+1) =1 B.(x-2) +(y+1) =4 C.(x+4) +(y-2) =4 D.(x+2) +(y-1) =1 解析 设圆上任一点为 Q(x0,y0),PQ 的中点为 M(x,y), 4+x x= ? ? 2 , 则? -2+y y= , ? ? 2
0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

)

解得?

?x0=2x-4, ? ? ?y0=2y+2。

因为点 Q 在圆 x +y =4 上, 所以 x0+y0=

2

2

2

2

4,即(2x-4) +(2y+2) =4, 化简得(x-2) +(y+1) =1。 答案 A 6.设点 M(x0,1),若在圆 O:x +y =1 上存在点 N,使得∠OMN=45°,则 x0 的取值范 围是( )
2 2 2 2

A.[-1,1] C.[- 2, 2]

? 1 1? B.?- , ? ? 2 2?
D.?-

? ?

2 2? , ? 2 2?

解析 解法一(几何法):如图所示,设点 A(0,1)关于直线 OM 的对称点为 P,则点 P 在 圆 O 上,

且 MP 与圆 O 相切,而点 M 在直线 y=1 上运动,由圆上存在点 N 使∠OMN=45°, 则∠OMN≤∠OMP=∠OMA,
2

∴∠OMA≥45°,∴∠AOM≤45°。 当∠AOM=45°时,x0=±1。 ∴结合图像知,当∠AOM≤45°时,-1≤x0≤1, ∴x0 的范围为[-1,1]。 解法二(代数法):

π 设 MN 与 x 轴交点为 P,∠MOP=α ,则∠MPE=α + , 4 1 1+ x π 0 1 + tan α x0+1 ? ? 所以 kMN=tan?α + ?= = = ,利用点斜式建立 MN 方程可得 y-1 4 ? 1-tan α 1 x0-1 ? 1-

x0

2 x0+1 |x0+1| 2 = (x-x0), 化简得(1+x0)x+(1-x0)y-(x0+1)=0, 则 O 到 MN 的距离满足 ≤1, 2 x0-1 2+2x0

化简得-1≤x0≤1,故选 A。 答案 A 7.若圆 C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线 y=1 相切,则圆 C 的方程是________。 解析 如图,设圆心坐标为(2,y0),则
?y0+4=r , ? ? ? ?|1-y0|=r,
2 2

3 5 解得 y0=- ,r= , 2 2

? 3?2 25 2 ∴圆 C 的方程为(x-2) +?y+ ? = 。 ? 2? 4 ? 3?2 25 2 答案 (x-2) +?y+ ? = ? 2? 4
8.已知圆 x +y +2x-4y+a=0 关于直线 y=2x+b 成轴对称,则 a-b 的取值范围是 ________。
3
2 2

解析 ∵圆的方程可化为(x+1) +(y-2) =5-a, ∴其圆心为(-1,2),且 5-a>0,即 a<5。 又圆关于直线 y=2x+b 成轴对称, ∴2=-2+b,∴b=4。∴a-b=a-4<1。 答案 (-∞,1) 9. (2016?绍兴模拟)点 P(1,2)和圆 C: x +y +2kx+2y+k =0 上的点的距离的最小值 是________。 解析 圆的方程化为标准式为(x+k) +(y+1) =1。 ∴圆心 C(-k,-1),半径 r=1。 易知点 P(1,2)在圆外。 ∴点 P 到圆心 C 的距离为: |PC|= ?k+1? +3 = ?k+1? +9≥3。 ∴|PC|min=3。 ∴点 P 和圆 C 上点的最小距离 dmin=|PC|min-r=3-1=2。 答案 2 10. 圆 C 通过不同的三点 P(k,0), Q(2,0), R(0,1), 已知圆 C 在点 P 处的切线斜率为 1, 求圆 C 的方程。 解 设圆 C 的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0(D +E -4F>0),则 k、2 为 x +Dx+F=0
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

的两根, ∴k+2=-D,2k=F,即 D=-(k+2),F=2k, 又圆过 R(0,1),故 1+E+F=0。 ∴E=-2k-1。 故所求圆的方程为 x +y -(k+2)x-(2k+1)y+2k=0, 圆心坐标为?
2 2

?k+2,2k+1?。 ? 2 ? ? 2

∵圆 C 在点 P 处的切线斜率为 1, 2k+1 ∴kCP=-1= ,∴k=-3。 2-k ∴D=1,E=5,F=-6。 ∴所求圆 C 的方程为 x +y +x+5y-6=0。 11.已知以点 P 为圆心的圆经过点 A(-1,0)和 B(3,4),线段 AB 的垂直平分线交圆 P 于点 C 和 D,且|CD|=4 10。 (1)求直线 CD 的方程; (2)求圆 P 的方程。
2 2

4



(1)∵直线 AB 的斜率 k=1,AB 的中点坐标为(1,2),

∴直线 CD 的方程为 y-2=-(x-1), 即 x+y-3=0。 (2)设圆心 P(a,b),则由 P 在 CD 上得 a+b-3=0。 ① 又∵直径|CD|=4 10, ∴|PA|=2 10。 ∴(a+1) +b =40。 ② 由①②解得?
? ?a=-3, ?b=6 ?
2 2

或?

? ?a=5, ?b=-2。 ?

∴圆心 P(-3,6)或 P(5,-2)。 ∴圆 P 的方程为(x+3) +(y-6) =40 或(x-5) +(y+2) =40。 B 组 培优演练 1.已知圆 C 关于 y 轴对称,经过点(1,0)且被 x 轴分成两段弧长比为 1∶2,则圆 C 的 方程为( A.?x±
2 2 2 2 2

) 4 3?2 2 ? +y =3 3? B.?x±
2

? ?

? ?

1 3?2 2 ? +y =3 3?

C.x +?y±

? ?

3?2 4 ?= 3? 3

D.x +?y±

? ?

3?2 1 ?= 3? 3

2 解析 由已知得圆心在 y 轴上,且被 x 轴所分劣弧所对圆心角为 π ,设圆心(0,a), 3 半径为 r,则 rsin π π 2 4 3 2 =1,rcos =|a|,解得 r= ,即 r = ,|a|= , 3 3 3 3 3

即 a=± 答案 C

3 3?2 4 ? 2 ,故圆 C 的方程为 x +?y± ? = 。 3 3? 3 ?

2.已知直线 2ax+by=1(a,b 是实数)与圆 O:x +y =1(O 是坐标原点)相交于 A,B 两点,且△AOB 是直角三角形,点 P(a,b)是以点 M(0,1)为圆心的圆 M 上的任意一点,则圆

2

2

M 的面积的最小值为________。
解析 因为直线与圆 O 相交所得△AOB 是直角三角形,可知∠AOB=90°, 所以圆心 O 到直线的距离为 1 2a +b
2 2



2 , 2

1 2 2 所以 a =1- b ≥0,即- 2≤b≤ 2。 2 设圆 M 的半径为 r,则 r=|PM|= a +?b-1?
2 2

5



1 2 2 b -2b+2= (2-b)。 2 2

又- 2≤b≤ 2,所以 2+1≥|PM|≥ 2-1, 所以圆 M 的面积的最小值为(3-2 2)π 。 答案 (3-2 2)π 3.(2015?湖北卷)如图,圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0),与 y 轴正半轴交于两点 A,B(B 在 A 的上方),且|AB|=2。

(1)圆 C 的标准方程为________; (2)过点 A 任作一条直线与圆 O:x +y =1 相交于 M,N 两点,下列三个结论: ① ③ |NA| |MA| |NB| |MA| = ;② - =2; |NB| |MB| |NA| |MB| |NB| |MA| + =2 2。 |NA| |MB|
2 2

其中正确结论的序号是________。(写出所有正确结论的序号) 解析 (1)由题意可设圆心 C 坐标为(1,b),取 AB 中点为 P,连接 CP,CB, 则△BPC 为直角三角形,得|BC|=r= 2=b, 故圆 C 的标准方程为(x-1) +(y- 2) =2。 (2)由(1)知圆 C 的方程为(x-1) +(y- 2) =2, 令 x=0,得 y1= 2-1 或 y2= 2+1, 所以 A(0, 2-1),B(0, 2+1)。 设 M(cos θ ,sin θ ), 则|MB| =cos θ +(sin θ - 2-1) =4+2 2-2( 2+1)sin θ , |MA| =cos θ +[sin θ -( 2-1)] =4-2 2-2( 2-1)sin θ 。 ∴ |MB| 4+2 2-2? 2+1?sin θ 2= |MA| 4-2 2-2? 2-1?sin θ 2+ 2-? 2+1?sin θ ? 2+1?? 2-sin θ ? = 2- 2-? 2-1?sin θ ? 2-1?? 2-sin θ ?
6
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2





2+1 =3+2 2。 2-1 |MB| =1+ 2。 |MA|



|NB| 同理 =1+ 2。 |NA| ∴ 又 |NA| |MA| = ,即①成立。 |NB| |MB| |NB| |MA| 1 - =1+ 2- =1+ 2-( 2-1)=2, |NA| |MB| 1+ 2

∴②也成立。 又 |NB| |MA| 1 + =1+ 2+ =2 2,∴③也成立。 |NA| |MB| 1+ 2

综上所述,①②③都正确。 答案 (1)(x-1) +(y- 2) =2
2 2

(2)①②③

4.如图,已知圆 O 的直径|AB|=4,定直线 l 到圆心的距离为 4,且直线 l 垂直于直线

AB,点 P 是圆 O 上异于 A,B 的任意一点,直线 PA,PB 分别交 l 于 M,N 两点。

(1)若∠PAB=30°,求以 MN 为直径的圆的方程; (2)当点 P 变化时,求证:以 MN 为直径的圆必过圆 O 内的一定点。 解 如图,建立直角坐标系,得⊙O 的方程为 x +y =4,直线 l 的方程为 x=4。
2 2

(1)当点 P 在 x 轴上方时, 因为∠PAB=30°, 所以点 P 的坐标为(1, 3), 所以 lAP:y= 3 (x+2),lBP∶y=- 3(x-2)。 3

7

将 x=4 分别代入,得 M(4,2 3),N(4,-2 3), 所以线段 MN 的中点坐标为(4,0),|MN|=4 3。 所以以 MN 为直径的圆的方程为(x-4) +y =12。 同理,当点 P 在 x 轴下方时,所求圆的方程仍是 (x-4) +y =12。 综上,以 MN 为直径的圆的方程为(x-4) +y =12。 (2)证明:设点 P 的坐标为(x0,y0),则 y0≠0, 所以 x0+y0=4(y0≠0), 所以 y0=4-x0, 因为 lPA:y=
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

y0 y0 (x+2),lPB:y= (x-2), x0+2 x0-2
6y0 2y0 ,yN= , x0+2 x0-2

将 x=4 分别代入,得 yM= 所以 M?4,

? ?

6y0 ? ? 2y0 ? ,N?4, ?, x0+2? ? ? x0-2?

所以|MN|=?

? 6y0 - 2y0 ?=4|x0-4|, ? |y0| ?x0+2 x0-2? ?
y0

4?x0-1?? ? 线段 MN 的中点坐标为?4,- ?,

?

以 MN 为直径的圆 O′截 x 轴所得的线段长度为 2 = 4?x0-4?
2

y2 0
4 |y0|
2

16?x0-1? - 2

2

y0

12-3x0=

4 3 |y0|

4-x0=4 3。

2

则圆 O′与 x 轴的两交点坐标分别为(4-2 3,0),(4+2 3,0), 又(4-2 3) +0 =28-16 3<4, (4+2 3) +0 =28+16 3>4, 所以⊙O′必过⊙O 内定点(4-2 3,0)。
2 2 2 2

8


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