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高考圆锥曲线概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结圆锥曲线


圆锥曲线概念、方法、题型、 圆锥曲线概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结 概念
1.圆锥曲线的两个定义 圆锥曲线的两个定义: 1.圆锥曲线的两个定义 (1)第一定义 第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中 重视“括号”内的限制条件 椭圆中 椭圆中,与两个定点 F 1 ,F 2 的距离 第一定义 重视 且此常数 2a 一定要大于 F1 F2 , 当常数等于 F1

F2 时, 轨迹是线段 F 1 F 2 , 的和等于常数 2a , 常数 当常数小于 F1 F2 时,无轨迹;双曲线中 双曲线中,与两定点 F 1 ,F 2 的距离的差的绝对值等于常数 双曲线中

2a , 且此常数 2a 一定要小于|F 1 F 2 |, 定义中的 绝对值” 2a <|F 1 F 2 |不可忽视 若 2a 不可忽视。 “绝对值” 与 =|F 1 F 2 |,则轨迹是以 F 1 ,F 2 为端点的两条射线,若 2a ﹥|F 1 F 2 |,则轨迹不存在。若去
掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如(1)已知定点 F1 (?3,0), F2 (3,0) ,在满足 如 下列条件的平面上动点 P 的轨迹中是椭圆的是 A. PF 1 + PF 2 = 4 B. PF 1 + PF 2 = 6
C . PF1 + PF 2 = 10 D . PF 1
2

+ PF 2

2

; = 12 ( 答 : C ) ( 2 ) 方 程

( x ? 6)2 + y 2 ? ( x + 6)2 + y 2 = 8 表示的曲线是_____(答:双曲线的左支) (2)第二定义 第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线 注意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、点线 点点距为分子、 第二定义 注意定点和定直线是相应的焦点和准线 点点距为分子 距为分母” 距为分母 ,其商即是离心率 e 。圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离 与此点到相应准线距离间的关系,要善于运用第二定义对它们进行相互转化 如 已知点 运用第二定义对它们进行相互转化。如 运用第二定义对它们进行相互转化 2 x 上一动点 P(x,y),则 y+|PQ|的最小值是_____(答:2) Q ( 2 2 ,0 ) 及抛物线 y = 4 2.圆锥曲线的标准方程 圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标 2.圆锥曲线的标准方程 准位置的方程) :

x2 y2 x = a cos ? (参数方程, (1)椭圆 椭圆:焦点在 x 轴上时 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 ) ? 椭圆 y = b sin ? a b y2 x2 其中 ? 为参数) ,焦点在 y 轴上时 2 + 2 =1( a > b > 0 ) 。方程 Ax 2 + By 2 = C 表示椭圆 a b x2 y2 的充要条件是什么? ABC≠0, A, , 同号, ≠B) 如 1) ( 且 B C A 。 ( 已知方程 + =1 3+k 2?k 1 1 表示椭圆,则 k 的取值范围为 ____ (答: ( ?3, ? ) U ( ? , 2) ) ( 2 ) 若 x, y ∈ R ,且 ; 2 2 3x 2 + 2 y 2 = 6 ,则 x + y 的最大值是____, x 2 + y 2 的最小值是___(答: 5, 2 )
(2 ) 双曲线: 双曲线 焦点在 x 轴上:

{

x2 y2 y2 x2 ? 2 =1, 焦点在 y 轴上: 2 ? 2 =1 a > 0, b > 0 ) ( 。 a2 b a b

方程 Ax 2 + By 2 = C 表示双曲线的充要条件是什么?(ABC≠0,且 A,B 异号) 如(1) 。如 双曲线的离心率等于

x2 y 2 5 , 且与椭圆 + = 1有公共焦点, 则该双曲线的方程_______ (答: 9 4 2

x2 ; ? y 2 = 1 )(2)设中心在坐标原点 O ,焦点 F1 、 F2 在坐标轴上,离心率 e = 2 的双曲 4 线 C 过点 P(4,? 10) ,则 C 的方程为_______(答: x 2 ? y 2 = 6 )
(3)抛物线 抛物线:开口向右时 y 2 = 2 px ( p > 0) ,开口向左时 y 2 = ?2 px ( p > 0) ,开口向 抛物线 上时 x 2 = 2 py ( p > 0) ,开口向下时 x 2 = ?2 py ( p > 0) 。 3.圆锥曲线焦点位置的判断 圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断) 3.圆锥曲线焦点位置的判断 : 2 2 (1)椭圆 椭圆:由 x , y 分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。如 已知方程 椭圆 如

x2 y2 3 + = 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆, m 的取值范围是__ 答: ?∞,?1) U (1, ) ) 则 ( ( 2 m ?1 2 ? m

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(2)双曲线 双曲线:由 x , y 项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上; 双曲线 (3)抛物线 抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。 抛物线 特别提醒: 特别提醒 (1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点 F 1 ,F 2 的位 置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参 数 a, b ,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题 时,首先要判断开口方向; (2)在椭圆中, a 最大, a = b + c ,在双曲线中, c 最大,
2 2 2

2

2

c2 = a2 + b2 。
4.圆锥曲线的几何性质: 圆锥曲线的几何性质

x2 y2 + = 1 ( a > b > 0 )为例) :①范围: ? a ≤ x ≤ a, ?b ≤ y ≤ b ; a2 b2 ②焦点:两个焦点 ( ±c, 0) ;③对称性:两条对称轴 x = 0, y = 0 ,一个对称中心(0,0) ,四
(1)椭圆 椭圆(以 椭圆 个顶点 ( ± a, 0), (0, ±b) , 其中长轴长为 2 a , 短轴长为 2 b ; ④准线: 两条准线 x = ± 离心率: e =

a2 ;⑤ c

c ,椭圆 ? 0 < e < 1 , e 越小,椭圆越圆; e 越大,椭圆越扁。如(1)若椭 如 a 25 x2 y2 10 圆 ,则 m 的值是__(答:3 或 )(2)以椭圆上一点和椭 ; + = 1 的离心率 e = 3 5 m 5 圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时,则椭圆长轴的最小值为__(答: 2 2 ) x2 y2 (2)双曲线 双曲线(以 ? = 1( a > 0, b > 0 )为例) :①范围: x ≤ ? a 或 x ≥ a, y ∈ R ; 双曲线 a2 b2 ②焦点:两个焦点 ( ±c, 0) ;③对称性:两条对称轴 x = 0, y = 0 ,一个对称中心(0,0) ,两 个顶点 ( ± a, 0) ,其中实轴长为 2 a ,虚轴长为 2 b ,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称
为等轴双曲线,其方程可设为 x 2 ? y 2 = k , k ≠ 0 ;④准线:两条准线 x = ±

a2 ; ⑤离心率: c

c ,双曲线 ? e > 1 ,等轴双曲线 ? e = 2 , e 越小,开口越小, e 越大,开口越大; a b ⑥两条渐近线: y = ± x 。如(1)双曲线的渐近线方程是 3x ± 2y = 0,则该双曲线的离心 如 a 13 13 率等于______(答: 或 )(2)双曲线 ax 2 ? by 2 = 1 的离心率为 5 ,则 a : b = ; 2 3 1 x2 y2 (答:4 或 )(3)设双曲线 2 ? 2 = 1 (a>0,b>0)中,离心率 e∈[ 2 ,2], ; 4 a b e=
则两条渐近线夹角θ的取值范围是________(答: [

, ]) ; 3 2 (3)抛物线 抛物线(以 y 2 = 2 px ( p > 0) 为例) :①范围: x ≥ 0, y ∈ R ;②焦点:一个焦点 抛物线

π π

p ( , 0) ,其中 p 的几何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴 y = 0 ,没有对 2 p c 称中心,只有一个顶点(0,0) ;④准线:一条准线 x = ? ; ⑤离心率: e = ,抛物线 2 a
? e = 1 。如设 a ≠ 0, a ∈ R ,则抛物线 y = 4ax2 的焦点坐标为________(答: (0, 如
5、点 P ( x0 , y0 ) 和椭圆

1 ; )) 16 a

x2 y2 + = 1 ( a > b > 0 )的关系 (1)点 P ( x0 , y0 ) 在椭圆外 的关系: a2 b2
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2 2 2 2 x0 y 0 x0 y0 ? 2 + 2 > 1; (2)点 P ( x0 , y0 ) 在椭圆上 ? 2 + 2 =1; (3)点 P ( x0 , y0 ) 在椭圆内 a b a b x2 y2 ? 0 + 0 <1 a2 b2

直线与圆锥曲线的位置关系: 6.直线与圆锥曲线的位置关系 (1)相交: ? > 0 ? 直线与椭圆相交; ? > 0 ? 直线与双曲线相交,但直线与双曲 线相交不一定有 ? > 0 ,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交 点,故 ? > 0 是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件; ? > 0 ? 直线与抛物线相 交,但直线与抛物线相交不一定有 ? > 0 ,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线 相交且只有一个交点,故 ? > 0 也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。如 如 2 2 若直线 y=kx+2 与双曲线 x -y =6 的右支有两个不同的交点, k 的取值范围是_______ 则 ( 1)

15 x2 y 2 ,-1))(2)直线 y―kx―1=0 与椭圆 ; + = 1 恒有公共点,则 m 的取值 3 5 m x2 y2 范围是_______(答:[1,5)∪(5,+∞); 3)过双曲线 )( ? = 1 的右焦点直线交双 1 2
(答:(曲线于 A、B 两点,若│AB︱=4,则这样的直线有_____条(答:3) ; (2)相切: ? = 0 ? 直线与椭圆相切; ? = 0 ? 直线与双曲线相切; ? = 0 ? 直线 与抛物线相切; (3)相离: ? < 0 ? 直线与椭圆相离; ? < 0 ? 直线与双曲线相离; ? < 0 ? 直线 与抛物线相离。 特别提醒: 特别提醒 (1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切 和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果直线 与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点; 2)过双曲线 (

x2 y2 ? =1 外一 a2 b2

点 P ( x0 , y0 ) 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下:①P 点在两条渐近线之间且不含 双曲线的区域内时, 有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线, 共四 条;②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与 双曲线一支相切的两条切线,共四条;③P 在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与 另一渐近线平行的直线,一条是切线;④P 为原点时不存在这样的直线; 3)过抛物线外一 ( 点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点: 两条切线和一条平行于对称轴的直线。(1) 如 过点 ( 2,4) 作直线与抛物线 y 2 = 8x 只有一个公共点,这样的直线有______(答:2)(2)过 ; 点(0,2)与双曲线

x2 y 2 ? = 1 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______(答: 9 16

? 4 4 5? y2 ? ? 2 ; ?± , ± ? )(3)过双曲线 x ? = 1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、B 两点,若 3 ? 2 ? 3 ? ?

AB = 4,则满足条件的直线 l 有____条(答:3)(4)对于抛物线 C: y 2 = 4 x ,我们称 ;
满足 y 0 < 4x 0 的点 M ( x0 , y0 ) 在抛物线的内部,若点 M ( x0 , y0 ) 在抛物线的内部,则直线 l :
2

2 ; y 0 y = 2( x + x 0 ) 与抛物线 C 的位置关系是_______(答:相离)(5)过抛物线 y = 4x 的焦

点 F 作一直线交抛物线于 P、 两点, Q 若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p、 , q 则 (答:1)(6)设双曲线 ;

1 1 + = _______ p q

x2 y2 ? = 1 的右焦点为 F ,右准线为 l ,设某直线 m 交其左支、 16 9 右支和右准线分别于 P, Q, R ,则 ∠PFR 和 ∠QFR 的大小关系为___________(填大于、小 于或等于) (答:等于)(7)求椭圆 7 x 2 + 4 y 2 = 28 上的点到直线 3x ? 2 y ? 16 = 0 的最短距 ;
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8 13 )(8)直线 y = ax + 1 与双曲线 3x2 ? y2 = 1交于 A 、 B 两点。①当 a 为何 ; 13 值时, A 、 B 分别在双曲线的两支上?②当 a 为何值时,以 AB 为直径的圆过坐标原点?
离(答: (答:① ? 3, 3 ;② a = ±1 ) ; 的计算方法:利用圆锥曲线的第二定 7、焦半径(圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离)的计算方法 焦半径 的计算方法 义,转化到相应准线的距离,即焦半径 r = ed ,其中 d 表示 P 到与 F 所对应的准线的距离。 如(1)已知椭圆 ____(答:

(

)

x2 y2 + = 1 上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3,则点 P 到右准线的距离为 25 16

35 2 )(2)已知抛物线方程为 y = 8x ,若抛物线上一点到 y 轴的距离等于 5, ; 3 则它到抛物线的焦点的距离等于____; 3) 则点 M ( 若该抛物线上的点 M 到焦点的距离是 4, 2 2 x y 的坐标为_____(答: 7, (2, ±4) )(4)点 P 在椭圆 ; + = 1 上,它到左焦点的距离是它 25 9 25 到右焦点距离的两倍,则点 P 的横坐标为_______(答: )(5)抛物线 y 2 = 2x 上的两 ; 12 点 A、B 到焦点的距离和是 5,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为______(答:2)(6)椭 ;
x2 y2 + = 1 内有一点 P (1,?1) ,F 为右焦点,在椭圆上有一点 M,使 MP + 2 MF 之值 4 3 2 6 最小,则点 M 的坐标为_______(答: ( ; ,? 1) ) 3
圆 8、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题 焦点三角形 问题:常利用第一 问题 定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点 P ( x0 , y0 ) 到两焦点 F1 , F2 的距离分 别为 r1 , r2 ,焦点 ?F1 PF2 的面积为 S ,则在椭圆 且当 r1 = r2 即 P 为短轴端点时, 最大为 θ θ

2b 2 x2 y2 + 2 = 1 中, ① θ = arccos( ? 1) , r1 r2 a2 b

b2 ? c2 θ 2 ; S = b tan = c | y0 | , ② 2 2 a 2 2 x y 当 | y0 |= b 即 P 为短轴端点时, S max 的最大值为 bc;对于双曲线 2 ? 2 = 1 的焦点三角形 a b 2 ? 2b ? 1 θ ? ;② S = r1 r2 sin θ = b 2 cot 。如(1)短轴长为 5 ,离心 有:① θ = arccos?1 ? 如 ? ? r1 r2 ? 2 2 ?
max = arccos

率e =

2 的椭圆的两焦点为 F1 、 F2 ,过 F1 作直线交椭圆于 A、B 两点,则 ?ABF2 的周长为 3 ________(答:6)(2)设 P 是等轴双曲线 x 2 ? y 2 = a 2 (a > 0) 右支上一点,F1、F2 是左右 ;
(答: x 2 ? y 2 = 4 ) ;

焦点,若 PF2 ? F1 F2 = 0 ,|PF1|=6,则该双曲线的方程为 (3)椭圆

x2 y 2 → → + = 1 的焦点为 F1、F2,点 P 为椭圆上的动点,当PF2 ·PF1 <0 时,点 P 的 9 4 3 5 3 5 6 横坐标的取值范围是 (答: ? ( , ) ) 4) ; 双曲线的虚轴长为 4, 离心率 e= , ( 5 5 2 F1、2 是它的左右焦点, F 若过 F1 的直线与双曲线的左支交于 A、 两点, AB 是 AF2 与 BF2 B 且
等差中项,则 AB =__________(答: 8 2 )(5)已知双曲线的离心率为 2,F1、F2 是左 ;

o 右焦点,P 为双曲线上一点,且 ∠F1 PF2 = 60 , S ?PF1F2 = 12 3 .求该双曲线的标准方程

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(答:

x2 y 2 ? = 1) ; 4 12

9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质: 抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质 (1)以过焦点的弦为直径的圆和准 线相切; (2)设 AB 为焦点弦, M 为准线与 x 轴的交点,则∠AMF=∠BMF; (3)设 AB 为焦 点弦,A、B 在准线上的射影分别为 A 1 ,B 1 ,若 P 为 A 1 B 1 的中点,则 PA⊥PB; (4)若 AO 的 延长线交准线于 C,则 BC 平行于 x 轴,反之,若过 B 点平行于 x 轴的直线交准线于 C 点, 则 A,O,C 三点共线。 10、弦长公式:若直线 y = kx + b 与圆锥曲线相交于两点 A、B,且 x1 , x2 分别为 A、B 10、弦长公式 的 横 坐 标 , 则 AB = 1 + k
2

x1 ? x2 , 若 y1 , y2 分 别 为 A 、 B 的 纵 坐 标 , 则 AB =

1+

1 y1 ? y 2 ,若弦 AB 所在直线方程设为 x = ky + b ,则 AB = 1 + k 2 y1 ? y2 。特 2 k

别地,焦点弦(过焦点的弦) :焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点 弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。如(1)过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交 如 抛物线于 A(x1,y1) ,B(x2,y2)两点,若 x1+x2=6,那么|AB|等于_______(答:8)(2) ; 过抛物线 y 2 = 2 x 焦点的直线交抛物线于 A、B 两点,已知|AB|=10,O 为坐标原点,则Δ ABC 重心的横坐标为_______(答:3) ; 11、圆锥曲线的中点弦问题: 点差法” 11、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。 “韦达定理”

b 2 x0 x2 y2 在椭圆 2 + 2 = 1 中,以 P ( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k=- 2 ;在双曲线 a b a y0 b 2 x0 x2 y2 ? = 1 中 , 以 P ( x0 , y0 ) 为 中 点 的 弦 所 在 直 线 的 斜 率 k= 2 ;在抛物线 a2 b2 a y0 p y 2 = 2 px( p > 0) 中,以 P ( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k= 。如(1 ) 如果椭圆 如 y0

x2 y2 + = 1 弦被点 A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是 (答: 36 9 x2 y2 x + 2 y ? 8 = 0 )(2)已知直线 y=-x+1 与椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 相交于 A、B 两点, ; a b 2 且线段 AB 的中点在直线 L:x-2y=0 上,则此椭圆的离心率为_______(答: )(3) ; 2 x2 y2 试确定 m 的取值范围, 使得椭圆 (答: + = 1 上有不同的两点关于直线 y = 4 x + m 对称 4 3 ? 2 13 2 13 ? ?? ? 13 , 13 ? ) ? ; ? ? 特别提醒:因为 ? > 0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、 特别提醒 对称问题时,务必别忘了检验 ? > 0 !
12.你了解下列结论吗 12.你了解下列结论吗? 2 2 2 2 (1)双曲线 x ? y = 1 的渐近线方程为 x ? y = 0 ; a2 b2 a2 b2

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b x2 y2 x 为渐近线(即与双曲线 2 ? 2 = 1 共渐近线)的双曲线方程为 a a b 2 2 2 x y2 y x 如 ? = 1 有共同的渐近线,且过点 (?3,2 3) ? 2 = λ (λ 为参数,λ ≠0)。如与双曲线 9 16 a2 b
(2)以 y = ± 的双曲线方程为_______(答:

4x2 y 2 ? = 1) 9 4
2 2

(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为 mx + ny = 1 ; (4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为 应准线的距离)为

2b 2 ,焦准距(焦点到相 a

b2 ,抛物线的通径为 2 p ,焦准距为 p ; c

(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦; (6)若抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的焦点弦为 AB, A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,则

p2 ① | AB |= x1 + x2 + p ;② x1 x2 = , y1 y2 = ? p 2 4 2 (7)若 OA、OB 是过抛物线 y = 2 px ( p > 0) 顶点 O 的两条互相垂直的弦,则直线 AB 恒经过定点 (2 p, 0)
13.动点轨迹方程: 13.动点轨迹方程 (1)求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围; (2)求轨迹方程的常用方法: ①直接法: 直接利用条件建立 x, y 之间的关系 F ( x, y ) = 0 ; 已知动点 P 到定点 F(1,0) 如 和直线 x = 3 的距离之和等于 4,求 P 的轨迹方程.(答: y 2 = ?12( x ? 4)(3 ≤ x ≤ 4) 或

y 2 = 4 x(0 ≤ x < 3) );
②待定系数法: 已知所求曲线的类型, 求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程, 再由条件确定其待定系数。如线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M(m,0) ( m > 0) ,端点 A、 如 B 到 x 轴距离之积为 2m,以 x 轴为对称轴,过 A、O、B 三点作抛物线,则此抛物线方程 为 (答: y 2 = 2 x ) ; ③定义法: 先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线, 再由曲线的定义直接写出动点
0

的轨迹方程; (1)由动点 P 向圆 x 2 + y 2 = 1 作两条切线 PA、 切点分别为 A、 ∠APB=60 , 如(1) PB, B, 则动点 P 的轨迹方程为 (答: x 2 + y 2 = 4 ); 2)点 M 与点 F(4,0) ( 的距离比它到直线 l: +5=0的距离小于 1, x 则点 M 的轨迹方程是_______ (答:y 2 = 16 x ) ;
2 2 2 2 (3) 一动圆与两圆⊙M: x + y = 1 和⊙N: x + y ? 8 x + 12 = 0 都外切,则动圆圆心的 轨迹为 (答:双曲线的一支); ④代入转移法:动点 P ( x, y ) 依赖于另一动点 Q ( x0 , y0 ) 的变化而变化,并且 Q ( x0 , y0 )

又在某已知曲线上,则可先用 x, y 的代数式表示 x0 , y0 ,再将 x0 , y0 代入已知曲线得要求的 轨迹方程;如动点 P 是抛物线 y = 2 x 2 + 1 上任一点,定点为 A ( 0, ? 1) ,点 M 分 PA 所成的比 如 1 为 2,则 M 的轨迹方程为__________(答: y = 6 x 2 ? ); 3 ⑤参数法:当动点 P ( x, y ) 坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可 考虑将 x, y 均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程)。如(1) 如 AB 是圆 O 的直径,且|AB|=2a,M 为圆上一动点,作 MN⊥AB,垂足为 N,在 OM 上取点 P , 求点 P 的轨迹。 (答:x 2 + y 2 = a | y | )(2) ; 若点 P( x1 , y1 ) 在圆 x 2 + y 2 = 1 使 | OP |=| MN | ,
? ?→

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上运动,则点 Q ( x1 y1 , x1 + y1 ) 的轨迹方程是____(答: y = 2 x + 1(| x |≤
2

1 ) );(3)过抛 ( 2

2 B 则弦 AB 的中点 M 的轨迹方程是________ 物线 x = 4 y 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A、 两点,

(答: x 2 = 2 y ? 2 ); 注意:①如果问题中涉及到平面向量知识,那么应从已知向量的特点出发,考虑选择向 注意 量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化,还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴 子”转化。如已知椭圆 如

x2 y2 + = 1( a > b > 0) 的左、右焦点分 a2 b2 别是 F1 (-c, 、 2 0) F(c, , 是椭圆外的动点, 0) Q 满足 | F1Q |= 2a.

点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点,点 T 在线段 F2Q 上,并且满足

PT ? TF2 = 0, | TF2 |≠ 0. ( 1 ) 设 x 为 点 P 的 横 坐 标 , 证 明 c (2)求点 T 的轨迹 C 的方程; (3)试问:在点 | F1 P |= a + x ; a 2 T 的轨迹 C 上,是否存在点 M,使△F1MF2 的面积 S= b . 若存在,求∠F1MF2 的正切值;若 b2 b2 2 2 2 不存在,请说明理由. (答: (1)略; (2) x + y = a ; (3)当 > a 时不存在;当 ≤ a c c
时存在,此时∠F1MF2=2) ②曲线与曲线方程、 轨迹与轨迹方程是两个不同的概念, 寻求轨迹或轨迹方程时应注意 轨迹上特殊点 特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响. 特殊点 ③在与圆锥曲线相关的综合题中,常借助于 常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的 常借助于 双重身份――对称性、 利用到角公式)、 “方程与函数性质” 化解析几何问题为代数问题、 “分 类讨论思想”化整为零分化处理、 “求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等. ④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点 ,那么可选择应用“斜率或向量”为 出现“ 可选择应用“ 出现 三个或三个以上的点” 可选择应用 斜率或向量” 桥梁转化. 桥梁 14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容 与向量综合时可能出现的向量内容: 14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容: r r (1) 给出直线的方向向量 u = (1, k ) 或 u = (m, n ) ; ) (2)给出 OA + OB 与 AB 相交,等于已知 OA + OB 过 AB 的中点; ) (3)给出 PM + PN = 0 ,等于已知 P 是 MN 的中点; ) (4)给出 AP + AQ = λ BP + BQ ,等于已知 P, Q 与 AB 的中点三点共线; ) (5) 给出以下情形之一:① AB // AC ;②存在实数 λ , 使AB = λ AC ;③若存在实数

r

(

)

r

r

α , β , 且α + β = 1, 使OC = α OA + β OB ,等于已知 A, B, C 三点共线.
OA + λ OB , 等于已知 P 是 AB 的定比分点, 为定比, AP = λ PB λ 即 1+ λ ( 7 ) 给 出 MA ? MB = 0 , 等 于 已 知 MA ⊥ MB , 即 ∠AMB 是 直 角 , 给 出 MA ? MB = m < 0 ,等于已知 ∠AMB 是钝角, 给出 MA ? MB = m > 0 ,等于已知 ∠AMB 是
(6)给出 OP = ) 锐角,

uuur

uuu r

uuu r

? ? ? MA MB ? + (8)给出 λ ? ) ? = MP ,等于已知 MP 是 ∠AMB 的平分线/ ? MA MB ? ? ? (9) )在平行四边形 ABCD 中,给出 ( AB + AD ) ? ( AB ? AD ) = 0 ,等于已知 ABCD 是
菱形; (10) 在平行四边形 ABCD 中,给出 | AB + AD |=| AB ? AD | ,等于已知 ABCD 是 )

uuu uuur r

uuu uuur r

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矩形; (11)在 ?ABC 中,给出 OA = OB = OC ,等于已知 O 是 ?ABC 的外心(三角形 11) 外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点) ; 12) (12) 在 ?ABC 中,给出 OA + OB + OC = 0 ,等于已知 O 是 ?ABC 的重心(三角 形的重心是三角形三条中线的交点) ; (13)在 ?ABC 中,给出 OA ? OB = OB ? OC = OC ? OA ,等于已知 O 是 ?ABC 的垂 ) 心(三角形的垂心是三角形三条高的交点) ;
2 2 2

uuu r uuur AB AC + r ( 14)在 ?ABC 中,给出 OP = OA + λ ( uuu + uuur ) (λ ∈ R ) 等于已知 AP 通过 ) | AB | | AC | ?ABC 的内心;

在 给出 a ? OA + b ? OB + c ? OC = 0, 等于已知 O 是 ?ABC 的内心 (三 (15) ?ABC 中, ) 角形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点) ; (16) 在 ?ABC 中,给出 AD = ) 线;

uuur

r 1 uuu uuur AB + AC ,等于已知 AD 是 ?ABC 中 BC 边的中 2

(

)

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