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10.10.27高一数学《3.2.1 几类不同增长的函数模型(1)》


复习引入

在教科书第三章的章头图中,有一大群喝水、 嬉戏的兔子,但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了 脑筋.1859 年,有人从欧洲带进澳洲几只兔子, 由于澳洲有茂盛的牧草,而且没有兔子的天敌, 兔子数量不断增加,不到 100 年,兔子们占领了 整个澳大利亚,数量达到 75 亿只.可爱的兔子 变得可恶起来,75 亿只兔子吃掉了相当于 75 亿 只羊所吃的牧草,草原的载畜率大大降低,而牛 羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚头痛不 已,他们采用各种方法消灭这些兔子,直至二十 世纪五十年代,科学家采用载液瘤病毒杀死了百 分之九十的野兔,澳大利亚人才算松了一口气.

新课引入 ?问题1:在澳大利亚,为什么野兔 种族数量在短时间增加很大?在欧 洲没有这种局面? ?问题2:种族数量在理想环境与在 有限制的坏境下,可用同一函数刻 画吗?

新课讲授

例 1 假设你有一笔资金用于投资, 现有三 种投资方案供你选择, 这三种方案的回报如 下: 方案一:每天回报 40 元; 方案二:第一天回报 10 元,以后每天比前 一天多回报 10 元; 方案三:第一天回报 0.4 元,以后每天回报 比前一天翻一番. 请问,你会选择哪种投资方案?

新课引入 ?问题1:设第x天的所得的回报是y 元,建立三种方案的函数模型? ?问题2:从函数的单调性比较三个 函数模型的不同? ?问题3:从增长速度的角度看,其 有什么差异?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … 30

方案 一 方案 二 y/元 增加量 y/元 增加量 y/元 y/元 40 0 10 10 40 0 20 10 40 0 30 10 40 0 40 10 40 0 50 10 40 0 60 10 40 0 70 10 40 0 80 10 40 0 90 10 40 0 100 10 … … … … 40 0 300 10

方案 三 增加量 y/元 y/元 0.4 0.8 0.4 1.6 0.8 3.2 1.6 6.4 3.2 12.8 6.4 25.6 12.8 51.2 25.6 102.4 51.2 204.8 102.4 … …
214748364.8 107374182.4

y
120 100 80 60

函数图象是分析问题的好帮 手.为了便于观察,我们用虚线 连接离散的点.

y=0.4×2x-1 y=10x y=40

40 20 O 2 4 6 8 10

x

y
120 100 80 60

函数图象是分析问题的好帮 手.为了便于观察,我们用虚线 连接离散的点.

y=0.4×2x-1 y=10x y=40 我们看到,底为 2的指数函数模型 比线性函数模型增 长速度要快得多. 从中你对“指数爆 炸”的含义有什么 新的理解? 8 10

40 20 O 2 4 6

x

y
120 100 80 60 y=40 40 20 O 2 4 6 8 10 y=0.4×2x-1 y=10x

根据以上的分 析,是否应作这样 的选择: 投资5天以 下选方案一,投资 5~8天选方案二, 投资8天以上选方 案三?

x

新课讲授

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例 2 某公司为了实现 1000 万元利润的目标, 准备制定一个激励销售人员的奖励方案,在 销售利润达到 10 万元时, 按销售利润进行奖 励, 且奖金 y(单位: 万元)随销售利润 x(单位: 万元)的增加而增加, 但奖金总数不超过 5 万 元,同时奖金不超过利润的 25%. 现有三个奖励模型: x y = 0.25x,y = log7x + 1,y = 1.002 ,其中哪 个模型能符合公司的要求?

新课讲授

课堂练习
1.四个变量 y1,y2,y3,y4 随变量 x 变化 的数据如下表
x 0 5 10 505 55 15 1130 80 20 2005 105 25 3130 130 1.0151 30 4505 155 1.005 … … … …

y1 5 130 y3 5 30

y2 5 94.478 1785.2 33733 6.37×105 1.2×107 2.28×108 … y4 5 2.3107 1.4295 1.1407 1.0461

关于 x 呈指数型函数变化的变量是

.

课堂练习

2.某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播 的,如果某台计算机感染上这种病毒,那么 它就会在下一轮病毒发作时传播一次病毒, 并感染其他 20 台未感染病毒的计算机.现有 10 台计算机被第 1 轮病毒感染,问被第 5 轮 病毒感染的计算机有多少台?

课堂小结

通过实例和计算机作图体会、认识直线 上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模 型的增长的含义,认识数学的价值,认识 数学与现实生活、与其他学科的密切联系, 从而体会数学的实用价值,享受数学的应 用美.


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